Elementarna teoria katastrof

Twierdzenie Thoma

Załóżmy, że ktoś ma układ fizyczny opisany przez zewnętrznych parametrów które wahają się w drodze otwartego podzbioru R4 (np. przestrzenno-czasowe) i n-wewnętrzne parametry. Załóżmy, że zachowanie systemu jest określony przez potencjalnych czyli płynne postaci funkcji f Rn x R4 do R, aby dla danego y Rn tej funkcji zakładać minimum lokalne (w odniesieniu do wewnętrznych parametrów) . Wtedy możliwe stany leżą w zbiorze: Rysunek 1 Trzeba mieć nadzieję, że w ogólnych warunkach dla f, Mf jest podrozmaitością Rn x R. Kierując się tymi względami R. Thom sformułował następujące twierdzenie, które zostało udowodnione przez połączone wysiłki Mathera, Malgrangea i innych.
Twierdzenie: Poniższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego r jeśli n=1, dla r ≤ 6 jeśli n = 2 , dla r ≤ 5 jeśli n > 3:   jest otwarty, gęsty podzbiór F z C (Rn x Rr, R) , taki ,że dla każdego f ∈ F :
a) Mf jest r- wymiarową rozmaitością ;
b) jeśli Xf oznacza ograniczenie projekcji τ: Rn x Rr → Rr, wtedy każda osobliwość Xf jest lokalnym odpowiednikiem jednego skończonego zbioru typów - zwanego katstrofami elementarnymi
c) Xf jest lokalnie stabilna w odniesieniu do małych zmian w f
d) liczba elementarnych katastrof wynosi r jeśli n = 1.
Naszym celem jest podanie dowodu tego twierdzenia.Na przestrzeni C(Rm, R)funkcji gałdkiej od Rm do R zastosujemy topolgię Withney`a, Xf : Mf →Rr jest osobliwością przy (x,y) ∈ Mf jeśli stopień Xf(x,y) nie jest maksymalny. Dwie funkcje f, g od od Rm do Rrlokalnie równoważne przy x, x` jeśli są otwarte sąsiedzko U, U` z x, x` w Rm, odpowiednio otwarte sąsiedzko V, V` f(x), f(x`)w Rr i difeomorfizmy Φ : U → U` , Ψ : V &rrr; V` z Φ(x) = (x`)i Ψ(f(x)) = g(x`), tak aby wykres komutował: Rysunek 2. Funkcja f jest lokalnie stabilna jeśli jest sąsiedztwo f ( w topologi Whitneya), które zawiera tylko funkcje , które są lokalnym ekwiwalentem dla f

Pierścień "kiełków" funkcji różniczkowalnych

1.1."Kiełek" gładkiej funkcji w O ∈ Ro jest równoważny klasie gładkich funkcji z sąsiedztwa O w Ro z wartościami w R w relacji: (f : U → R) ~ (g : V → R)⇔ sąsiedztwo W dla O   f |W = g | W . Przestrzeń "kiełków" funkcji jest pierścieniem przemiennym z jednostką - oznaczamy ją przez ξn(Ro, 0)lub prościej przez ξn. Wtedy f ∈ ξn jest odwracalne jeśli i tylko jeśli f(0) ≠ 0.

1.2.Pochodne cząstkowe są jasno określone jak i same elementy ξn. Oznaczamy je przez δf/δxi (i = 1,...,n).
Definicja. Oznaczamy przez Mn (= M1n) idealne "kiełki" f tak ,aby f(0) = 0.
Definicja . Pierścień lokalny jest pierścieniem przemiennym z jednostką ,która posiada dokładnie jeden ideał maksymalny M(wtedy oczywiście ,pierścień ilorazowy A/M jest polem)
Lemat: ξnjest pierścieniem lokalnym Mn jest jego maksymalnym ideałem.
Dowód: Oczywiste jest ,że Mn jest ideałem maksymalnym (ponieważ jest to jądro homomorfizmów pierścienia f ---> f(0) od ξn na pole R.) Z drugiej strony, dowolny ideał właściwy jest zawarty w Mn ponieważ nie może zawierać dowolnego odwrcalnego elementu.

1.3.Definicja. Oznaczamy przez Mkn (k ∈ N)ideał k-płaskich "kiełków" w ξn tj. "kiełki" f takie ,że f i jej pochodne cząstkowe do rzędu k-1 znikają na początku. Na przykład , współrzędne funkcji x1,....,xn są elementami M1n a jednomian x1i1....xnin (in ∈ N) jest w Mkn, gdzie k = i1 + ... + in
Twierdzenie: (a) M1n jest generowane przez {x1,...,xn} (jak moduł ξn) ; (b) Mkn = [Mn]k, to znaczy, ideał generowany przez ten iloczyn f1....fk (gdzie każde fi jest w Mn). Dowód:Niech f : U --> R będzie przedstawiać "kiełek" w ξn, gdzie U jest wypukłym sąsiedztwem O. Wtedy ,jeśli [0,x] oznacza segment od 0 do x mamy
Rysunek 3 gdzie Rysunek 4 Wtedy hi ∈ ξn i tak (a) występuje bezpośrednio (ponieważ jeśli f ∈ Mn wtedy f(0) = 0). Jeśli f ∈ Mkn, wtedy hi ∈ Mk-1n i tak Mkn ⊆ Mn * Mk-1n
1.4.Definicja Nazywamy przestrzeń ilorazową ξn / Mk+1 n (zapisaną Jkn,0)) lub prosto Jkn, algebrą k -stumieni funkcji gładkich. Rozkład Taylora pokazuje ,że Jkn jest kanonicznie izomorficznez przestrzenią wielomianów stopnia ≤ k (ten ostatni przez mnożenie, uzyskujemy przez cięcie pod względem stopnia > k w zwykły iloczyn). Podobnie Mkr / Mk+1 r jest kanonicznie izomorficzne do przestrzeni wektora wielomianu homogenicznego stopnia k w n-zmiennych.Zatem jeśli jk: ξn --> Jkn jest kanoniczną projekcją , możemy utożsamić jkn z jego wielomainem Taylora rzędu k przy 0. Jknjest (skończenie wymiarowym)lokalny pierścieniem a jk morfizmem lokalnego pierścienia.
1.5.Lemat Nakayamy: Niech A będzie lokalnym pierścieniem z ideałem maksymalnym I(1,2). Jeśli M jest A-modułem, M′, M″ submodułami z M przy M′ skończenie generowanym wtedy: M′ ⊆ M″ + I.M′ ⇒ M′ ⊆ M″
Dowód: Niech N := (M′ + M″) / M″ Wtedy : N ⊆(M″ + I.M′)/M″ = I.(M′+M″)/M″ = I.N.> Musimy wykazać ,że N = 0(tj. musimy zredukować do przypadku M″ = 0)
Niech (n1,...np) generuje N. Ponieważ I.N ⊇ N istnieje (aij) ∈ I z
Rysunek 5 tj. (I-A).n = 0 gdzie A jest macierzą (aij) a n jest kolumną wektora z wejściami (n1,...np). Teraz wyzancznik det(I-A)ma postać 1+a (gdzie a ∈ I) i tak jest odwracalny .Daltego macierz odwrotna (I-A)-1 istnieje, tak więc n1 = n2 =... =np tj. N = {0}
1.6 Twierdzenie . Niech I ⊆ξn będzie ideałem. Potem mamy ekwiwalenty:
(a) I ⊇ Mkn ;
(b) jk(I) ⊇ Mkn / Mk+1n tj. I + Mk+1n ⊇ Mkn
Dowód: (a) ⇒ (b) jest trywialne. (b) ⇒ (a) wynika z 1.5 (bierzemy M′ = Mkn), M″ = I)
Następstow:(a) f1,..., fp generuje Mkn jeśli i tylko jeśli jkf1,..., jkfp, generuje przestrzeń wektorową Mkn / Mk+1n (jednorodnych wielomianów stopnia k n zmiennych)
(b) jeśli I jest ideałem w ξn, wetdy poniżej mamy ekwiwalenty
(i) istnieje k z I ⊇ Mkn
(ii) I ma skończony kowymiar w ξn (jako R-przestrzeń wektorowa)
Dowód: (a) Zastosujemy to twierdzeniedo ideału I = < f1,...,fp >ξn , wygenerowane przez f1,...,fp w ξn
(b) (i) ⇒ (ii) jest trywialne
(ii) ⇒ (i) jest rozważany jako łańcuch
ξn ⊇ I + Mn ⊇ I + M2n ⊇ ... ⊇ I + Mrn ⊇ I + Mr+1n ⊇....
Ponieważ I ma skończony kowymiar mamy r z
I + Mrn = I + Mr+1n
tj. Mrn ⊆ I + Mrn ⊆ I + Mr+1n , i możemy zastosować twierdzenie
1.7 Oznaczamy przez Mn ideał Rysunek 6 funkcji płaskiej. Nie jest skończenie generowana.Wstawimy Jn := ξn / Mn.
Twierdzenie: Jn ≅ R[[x1,....,xn]]to pierścień formalnego szeregu potęgowego w n zmiennych.
Dowód: Isomorfizm jest indukowany przes skojarzenie do f jego szeregu Taylora .Musimy tylko wykazać ,że jest to surjektywa. Jest to specjalny przypadek poniższej leamty.
Lemata : Dla α∈ Nn * , niech fα : U --> R będzie funkcją gładką zdefiniowaną w sąsiedztwie 0 w Rp .Wtedy istnieje funkcja gładka f : V --> R gdzie V jest otwartym sąsiedztwem 0 w Rn x Rn, tak ,że δα/ δxα f(0,y) = fα(y) (α∈Nn*) , y∈Rp .
Dowód: Bez szkody dla ogólności, możemy założyć ,że każde fα zdefiniowane w Rp i ma zwarty nośnik. Niech g będzie funkcją gładką od Rn do [0,1], tak,że
Rysunek 7.Pokażemy ,że możemy znaleźć ciąg (tα)indeksowany przez Nn* tak ,że suma
Rysunek 8 jest zbieżna jednoznacznie dla każego multi indeksowanego β Wtedy jeśli Rysunek 9 możemy różniczkować wyraz po wyrazie aby uzyskać Rysunek 10 .Dla określenia (tα) manipulujemyu w następujący sposób: Rysunek 11 gdzie Ψα : y |-->yαρ(y) zanika dla ||y||>1. Zatem , ponieważ fα ma zwartą relację: Mα : = max{δβ / δxβ (fα(y) Ψα(x)): |β|≤|α|} < ∞. Wtedy mamy : Rysunek 12 i tak wystarczy wybrać (tα) aby Rysunek 13
Następstwo:
(a) jn : ξn → Jn jest surejktywnym R-algebraicznym homomorfizmem; (b) Jn jest lokalnym pierścieniem z ideałem maksymalnym Mn / Mn
(c) Jn jest pierścieniem Noethera z jednoznaczną pierwszą dekompozycją
1.9. Lemat: dimRJn = dimR ξn / Mk+1n = (n+k)! / n!k!.
Dowód:Przez indukcję na n i k. Przypadki n=0 i k=0 są trywialne. Generalnie mamy ξr / Mk+1, przestrzeń wielomianów stopnia k w x1,...,xn, jest sumą bezpośrednią przestrzeni wielomianów stopnia ≤ k w x1,...,xn-1 a xn razy przestrzeń wielomianów stopnia ≤ k-1 w x1,...,xn. Zatem jej wymiarem jest
(n+k-1)! / (n-1)!k! + (n+k-1)! / n!(k-1)! = (n+k)! / n! k!.

Grupa lokalnych dyfeomorfizmów Rn

2.1.Kiełek lokalnego dyfeomorfizmu jest klasą równoważności funkcji Φ : U → U′, gdzie U i U′ są otwartymi sąsiedztwami O a &Phi(O) = 0, tak ,że Φ jest dyfeomorfizmem na pewne otwarte sąsiedztwo O (równoważenie, DΦ(0) jest odwracalne).Równoważna relacja jest zdefiniowana dokładnie jak w 1.1. Zbiór takich kiełków jest grupą (z mnożeniem indukcyjnym przez złożenie funkcji), którą oznaczamy przez L(Rn, O), lub Ln.
2.2 Grupa k-strumieniowa lokalnych dyfeomorfizmów :Jeśli Φ ∈ Ln, k∈ N , rozkład Taylora z Φ aż do stopnia k, ma postać:
P1 + P2 + ... + Pk + ε ,
gdzie P1 = DΦ(O) ∈ GL(n,R) a Pr jest hopmogenicznym wielomianem stopnia r z Rn .Współrzędne funkcji pozostałego wyrazu ε są elementami Mnk+1. Kiełęk Φjest k-płaski w odniesieniu do tożsamości jeśli P1 = IdRn, P2 = ... = Pk tj. jeśli współrzędne funkcji Φ - IdRn są w Mnk+1.
Lemat:Zbiór k-płaskich kiełków jest normalną podgrupą z Ln.
Dowód: Mamy wyświetlony powyższe naturlane przekształcenie z Ln na przestrzeń wielomianów
P1 + ... + P1
stopnia k z Rn na Rn z odwracalnym P1. Teraz ta ostatnia przestrzeń jest grupą kiedy mnożenie jest zdefiniowane następująco: jeśli P,Q są takimi wielomianami, niech P * Q będzie zwykłym złożeniem P i Q .Wyrazy stopnia > k są odrzucane aby otrzymać iloczn grupy P.Q. Teraz wspomniane powyżej przekształcenie z Ln na wielomiany jest grupą homomorficzną a przwestrzeń k-płaskich kiełków jest właśnie jego jądrem.
Definicja: Grupa ilorazowa Lnw odniesieniu do normalnej subgrupy k-płaskich kiełków jest nazywana grupą k-strumieniową lokalnych dyfeomorfizmów przy 0 i jest oznaczana Lnk . Piszemy jkdla kanonicznej projekcjiz Ln na Lnk. Dowód lematu wykazuje ,że Lnkjest naturalnie izomorficzna do grup wielomianów stopnia ≤ k z odwracalną częścią liniową.
2.3.Twierdzenie Grupa Lnk ma naturalną strukturę grup Lie.
Dowód: Lnkjest otwartym podzbioremskończono wymiarowej przestrzeni wektorowej ζnk wszystkich wiuelomianów P1 + ... + Pk stopnia ≤ bez stałego wyrazu (dla Lnk jest zbiorem wielomianów dla których det P1 ≠ 0 ). Zatem Lnk ma system współrzędnych globalnych, zdefiniowane przez współczynnik wielomianów Pr (1 ≤ r ≤ k). Iloczyn Lnk x Lnk → Lnk jest definiowana przez operacje algebraiczne na współczynnikach a więc jest analityczny.Zatem Lnkjest grupą Lie (analityczność inwersji wynika z elementarnych wyników grup Lie)
Spostrzeżenie
1) grupa Ln1 to tylko GL(n,R)
2) dla k′ ≥ kjest naturalna projekcja z Lnk′ do Lnk a jest to homomorfizm grypy Lie.

2.4 Grupa Ln działa w natrualny sposób na ξn. Jeśli Φ ∈ Ln, wtedy przekształcenie Φ* : f → f*Φ jest automorfizmem pierścienia ξn a przekształcenie Φ → Φ* jest antymorfizmem grupy z Ln do Aut (ξn). W szczególności mamy Φ* (Mnk) = Mnk dla każdego Φ ponieważ automorfizm pierścienia zachowuje unikalny maksymalny ideał i jego potęgi.
Definicja Dwa kiełki f,g ∈ ξn są (prawo) równorzędne (zapisane f ∼ g) jeśli jest Φ ∈ Ln takie ,że f.Φ = g , tj. jeśli f i g są w tej samej Ln-orbicie w ξn
2.5 Ponieważ Φ* (Mnk+1) = Mnk+1 dla każdego Φ ∈ Ln , Mnk+1 jest Ln-submodułem i Jnk = ξn / Mnk+1 jest Ln - modułem , a jnk : ξn → Jnk jest homomorfizmem Ln - modułu .Jest jasne ,że k-płaski kiełek działa trywialnie na Jnk tj. mamy następującą faktoryzację Rysunek 14 Z drugiej strony. Φ∈ Lnk działa na f ∈ Jnk jak następuje: formuje złożenie f*Φ i zmniejsza względem stopnia ≥ k, innymi słowy ,ma następujący diagram komutatywny : Rysunek 15 w symbolach: jk(f*Φ)= jk(f)* Φ = jk(f).jk(Φ)
Spostrzeżenie Działanie Ln na Mnk/Mnk+1 może być faktoryzowane jak następuje
Rysunek 16
2.6 Nieskończenie małą generacja z Ln, Lnk : Piszemy (t, x1,..., xn) dla punktu w R x Rn .niech X będzie gładkim polem wektora w otwartym sąsiedztwie z R x {0} w R x Rn formy
Rysunek 17 gdzie X(t,0) = 0 (t ∈ R). Krzywe całkowe X są funkcjami u:R→ R x Rn z du/ds = X(u(s)), tj. rozwiąznia równań różniczkowych zwyczajnych : du0/ds = 1; dui/ds(t,x) = Xi(t,x) (i=1,...,n). Założenie Xi(t,0) zapewnia ,że R x {0} (tj. krzywa u0 =idR, ui = 0 (i=1,...,n)) jest rozwiązaniem. Oznaczmy przez t |-> | (t,Φ(t,x)) rozwiązanie równania z warunkiem początkowym u(0) = (o,x). Wtedy z teroi rówanń różniczkowych zwyczajnych wynika ,że istnieje otwarty zbió U ⊆ R x Rn zawierający [0,1]x{0}tak więc
a) U jest sumą krzywych całkowych X , które przechodzą przez (0,x) ∈U;
b) każa krzywa całkowa w U jest definiowana w sąsiedztwie przdziału [0,1];
c) dla t ∈[0,1], odwzorowanie Φt : x |-> Φ(t,x) jest dyfeomorfizmem z U0 na Ut gdzie
Ut := {x ∈ Rn : (t,x) &isin U}
.Dodatkowo, Φt(0) = 0 i Φ0 = IdRn. Mamy zatem zdefiniowane przekształcenie X |-> Φ1 które przekształca perwne kiełki pola wektora wzdłuż [0,1] x {0} ⊆ R x Rn do elementów Ln, tj. odwzorowuyje VL([0,1] x {0}) → Ln (gdzie VL oznacza zbiór pól wektorów spełaniających warunek wymuszony powyżej na X). To przekształcenie nie jest surjektywne ponieważ można wyliczyć ,że det D Φt(0) > 0 (ponieważ Φ jest orienacji nieskończenie małej)
Lemat :Każdy Φ∈Ln z det D Φ(0) > 0 jest w zakresie powyższego przekształcenia.
Dowód Możemy zapisac Φ(x) =Ax + Ψ(x) gdzie A := Dφ(0) a współrzędne Ψ są w M2n. Ponieważ det A > 0, jest krzywa t |-> A(t) z R do GL(n,R) z A(0) = Id, A(1) = A. Niech Φ będzie przekształceniem
(t,x) |-> A(t).x + tΨ(x)
Dla kazdego t ∈ R, x |-> Φ(t,x) jest kiełkiem dyfeomorfizmu przy 0 a &Phi0 = Id .Rozważmy pole wektora
Rysunek 18 gdzie Φ = (&Phi1,...Φn).Wtedy, przez konstrukcję t |-> (t,Φ(t,x)) jest ktzywą całkową z X
2.8 Spostrzeżenie Jeśli elementy pola wektora Z (z 2.6) są k-płaskie w każdym punkcie R x {0} (k ≥ 1), wtdy kiełki dyfeomorfizmu Φ(t) są k-płaskie
2.9Możemy zidentyfikować ξn ( = Mn x ... x Mn - n czynników) z kiełkmai pól wektora przy zerze ,które zanikają na początku (przez przekształcenie (X1,...Xn) |-> Σδ/δXi). Jeśli X ∈ ξn , pole wektora X^ := δ/δt + X definiują podgrupę jednoparametrową Φt z Ln przez prces opisany w 2.6. (jest to podgrupa ponieważ Xi są niezależne od t).Przekształcenie
X |-> X^ |-> Φ1
z ξn na Ln jest nazywane przekształceniem wykładniczym i zapisanym Φ1 exp X. Dokładniej .Φt exp (tX)
2.10 ξnk jest płaszczyzną styczną do grupy Lie, Lnk przy IdRo (ponieważ Lnk jest otwarty w ξnk).ξnk jest zatem bazową przestrzenią wektorową algebry Lie z Lnk .Mamy naturalną grupę homomorficzną jk : Ln → Lnk (2.2) i naturalną projekcją jk : ξn → ξnk (2.3)
Twierdzenie : Poniższy wykres jest przemienny
Rysunek 19
Dowód : Jeśli x ∈ ξn a Φt = exp tX, definiujemy
Φtk := jk (exp tX) ( ∈ Lnk).{Φtk} jest jednoparametrową podgrupą z Lnk a
δ / δ Φtk | t=0 = δ/δt JkΦt |sub>t=0 = Jk δ/δt Φt | sub>t=0 = JkX
a to charakteryzuje wykładnik exp t ð gdzie
ð := jkX. Zatem Φtk = exp t ð.
Zatem mamy metodę dla obliczania wykładnika z ð:=jkX. ∈ ξnk. Rozważyu pole wektora zdefiniowane przez X w Rn inetgrując go i uzyskująć jednoparametrową podgrupę {Φt} lokalnego dyfeomorfizmu. Wtedy exp t ð = jk Φt
Spostrzeżenie Możemy podać ξn naturalnej struktury algebry Lie jak następuje : jeśli X,Y ∈ ξn można wziąść nawiasy Lie [X,Y] powiązanych pól wektora. Wtedy [X,Y] ∈ ξn. Można pokazać ,że nawias Lie w algebrze Lie ξnk jest podany wzorem [jkX,jkY] = jk[X,Y].
2.11 Dla f ∈ ζ n ,X ∈ ξn (X = &Sigma Xi δ/δXi z Xi ∈ Mn) wstawiamy
Ft(x) (= F(t,x)) := f.exp tX
Wtedy Ftζn dla każdego t i F0 = f
Twierdzenie : δF/δt |t=0 = Σ Xi δf/δXi (= Xf)
(wynika to z definicji krzywej całkowej pola wektora ). Wywołujemy f → Xf, nieskończenie małe działanie z X na f. Przekształcenie t → jkFt jest krzywą gładką w Jnk przez jkf i jest zawarta w orbicie jkf pod tym działaniem z Lnk. Wektor
δ/δt jkFt|t=0 ∈ Jnk
jest zatem wektorem stycznym do tej orbity jkf.Lnk. Wedle ogólnej teorii grup Lie , orbita jkf jest zanurzoną podrozmaitością z Jnk a przestrzeń styczna do orbity jkf przy jk jest dokładnie zbiorem wektorów uzyskanych powyżej (nieskończenie małe działanie algebry Lie na jkf)
2.12. Twierdzenie : Tjkf(jkf.Lnk) ⊆ Jnk jest podprzestrzenią
Rysunek 20 z Jnk

"Kiełki" skończenie określone

3.1 Definicja. Dwa kiełki f,g w ξn są k-równoważne (zapisujemy Rysunek 21) jeśli jk = jkg w Jnk. Przypominij sobie, że f i g są prawo równoważne keidy są w tej samej Ln - orbicie z ξn (2.4)>kełek f ∈ ξn jest k-określony jeśli każdy kiełek g który jest k-równoważy do f jest prawo rónoważny do f.
3.2 Lemat : Niech f ∈ ξn będzie k-określony. Wtedy
1) Rysunek 21 ⇒ g jest k-określony;
2) g ~ f ⇒ jest k-określony
(tj. właściwość będąca k-określona jest zasadniczo właściwością jkf)
Dowód: Musimy tylko udowodnić 2) (ponieważ Rysunek 22 ⇒ g ~ f jako f jest k-określone)
Załóżmy ,że f = g*Φ11 ∈ Ln). Jeśli Rysunek23 wtedy
jkh = jkg = jk(f*Φ1-1) = jkf.jk1-1) , a więc: jk(h.Φ1) = (jkh).(jkΦ1) = jk(f). Zatem Rysunek 24 a więc jest Φ2 ∈ Ln z h. Φ12 = f = g*Φ1 , tj. h.(Φ121-1) = g .Zatem g ~ h
3.3 Definicja. Jeśli f ∈ ξn ,definiujemy
Δ(f) := <δf/δx1 , ...,δf/δxn >
ideał generowany przez pochodną cząstkową z f w odniesieniu do danej podstawy {x1,...,x1} dla Rn/ &Delta(f) jest niezależnym wyborem podstawy.
3.4 Lemat: Jeśli f ∈ ξ/Mn i f′ := f - f(0) wtedy Δ(f) = Δ(f′) i f jest k-określone jeśli i tylko jeśli jest f′.
Dowód: Δ(f) = Δ(f′) ponieważ δf/δxi = δ(f-f(0))/δxi
Rysunek 25 i f(0) = g(0)
f = g*Φ ⇔ f′ = g′ *Φ i f(0) = g(0),
tj f ~ g ⇔ f′ ~ g′ i f(0) = g(0) .
Zatem w badaniu k-określeń możemy ograniczyć naszą uwagę do kiełka f ∈ Mn
3.5 Twierdzenie: Niech f będzie kiełkiem w Mn. Wtedy Mnk ⊆ Mn. Δ(f)+ Mnk+1 ⇔ jk ( Mnk) ⊆ kk(Mn.Δ(f)) → f jest k-określone Mnk+1 ⊆ Mn.Δ(f)+ Mnk+2 ⇔ jk+1( Mnk+1) ⊆ jk+1( Mn.Δ(f))
Dowód: Równoważności wypływają z 1.6. Teraz udowodnimy pierwszą implikację. Załóżmy ,że Mnk ⊆ Mn.Δ(f) Weźmy g ∈ ξn z jk(f) = jk(g). Musimy wykazać istnienie Φ ∈ Ln tak więc f.Φ = g .Definiujemy
F : (x,t) |-> (1-t)f(x) + tg(x) (t ∈ R, x ∈ Rn) i oznaczamy przez Ft funkcję x |-> F(t,x) tak więc F0 = f , F1 = g. Dla udowodnienia wyniku użyjemy argumentu typu homotopijnego.
Twierdzenie.Jeśli t0 ∈ [0,1] wtedy jest rodzina ⌈t w Ln, definiowana w otoczeniu t0 takie ,że ⌈t = id, Ft .⌈t = Fto dla każdego t. Ten wynik wynika z tego twierdzenia ze standardowego argumentu spójności.
Dowód twierdzenia: Oznaczamy do tego momentu przez tn+1 pierścień kiełków z (R0 x R, (0,t0)) → R, i przez Mn+1 jego ideały masymalne. Istnieje naturalna iniekcja π* : ξn → ξn+1indukowana przezprojekcję π ; Rn x R → R. Zatem możemy uważać Mn jako podprzestrzeń z Mn+. Teraz : Mnk ⊆ Mn < ∂F/∂x1 , … , ∂F/∂xn > ξn + Mnk+1. Stąd Mnk ⋅ &xin+1 ⊆ Mn < &partlF/∂x1, …,∂F/∂xn > ξn+1 + Mnk+1⋅ξn+1 ⊆Mn< &partF.∂x1, …∂F/∂xn> ξn+1 +Mn+1⋅Mnk⋅ξn+1, ponieważ ∂F/∂xi - ∂f/∂xi • t⋅∂/∂xi (g-f) ∈ t.Mnk. Zatem z Naayamy, Mnk ⋅ ξn+1 ⊆ Mn < ∂F/∂x1>, …,∂F/∂xn > ξn+1. Teraz ∂F/∂y = g - f ∈ Mnk+1 ⊆ Mnk ⊆ Mn < ∂F/∂x1, … ,∂F/∂xnn+1, tzn.∂F/∂t(x,t) = ∑xjyj(x,t),gdzie każde yj∈ <∂F/∂x1, …,∂F/∂xn> ξn+1 = ∑xjaij(x,t)⋅∂F/∂xi dla odpowiedniego (aij w ξn+1. Niech Ψ : (Rnx R, (0,t0)) → (R0, 0) będzie kiełkiem zdefiniowanym przez funkcję Rysunek 26 i rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne ∂⌈/∂t⋅(x,t) = - Ψ(⌈(x,t), t), dla (x,t) bliskiego (0,t0) z wartością początkową ⌈(x,t0) = x. Istnieje gładkie rozwiązanie ⌈ : (R0xR, (), t0)) → (R0.0). Zunikalnościmamy ⌈(0,t) = 0 ponieważ Ψ(0,t) = 0. Proste obliczenie, obejmujące powyższe równanie dla ∂F/∂t pokazuje ,że ∂/∂t (F(⌈(x,t), t) ) = 0 a więc F(⌈(x,t),t)) jest stałą jako funcja z t. Ponieważ t → det d ⌈(.,t)(0) jest ciągłe a ⌈(.,t0) = IdRn, ⌈(.,t) jest elementem z Ln dla t bliskiego t0. RównanieF(⌈(x,t),t) = F(⌈(x,t0),t0) dla t bliskiego t0 jest pożądanym wynikiem. Teraz załóżmy ,że f &isin. Mn jest k-określone i pokazuje ,że jk+1(Mnk+1) ⊆ jk+1(Mn. Δ(f)).Niech P :={g ∈ Mn : g ∼k f} = f + Mnk+1, Q := {g ∈ Mn : g ∼ f} = f0Ln, orbita f pod Ln. Wtedy jk+1(P) = jk+1(f) + jk+1(Mnk+1) = jk+1(f) + Mnk+1/Mnk+2, co jest afiniczną podprzestrzenią rzeczywistej przestrzeni wektorowej Jnk, w szczególności podrozmaitością. jk+1(Q) = jk+1(f.Ln) = jk+1(f) . jk+1(Ln) = jk+1(f).Lnk, orbita z jk+1(f) podskończenie wymiarową grupa Lie, Lnka więc zanurzoną podrozmaitością. Również Tjk+1f(jk+1(f).Lnk+1 = {jk+1(∑l=1nXi⋅∂f/∂xi) : Xi ∈Mn}=jk+1(Mn.Δ(f))w Jnk+1.Ponieważf jest k-określone, P⊆ Q, w szczególności, jk+1(P) ⊆jk+1(Q). Zatem,Tjk+1f(jk+1(P)) ≤ Tjk+1f(jk+1(Q)) tzn. jk+1(Mnk+1 ⊆ jk+1(Mn.Δ(f))
3.6.Twierdzenie: 1.f∈ Mn jest skończenie określone ⇔Mnk ⊆ Δ(f) dla pewnego k; 2. f ∈ Mn\Mn2 ⇒ f jest 1-określona
Dowód: 1.f jest k-określona ⇒ Mnk+1⊆Mn.Δ(f) ⊆&Delta(f). Z drugiej strony, jeśli Mnk ⊆ Δ(f) wtedy Mnk+1 ⊆ Mn.Δ(f), a więc f jest (k+1)-określona. 2. Jeśli f ∈ Mn\ Mn\2 wtedy ∂f/∂xi(0) ≠0dla pewnego a więc Δ(f) = ξn. Wtedy Mn⊆Mn Δ(f)tj.f jest 1-określona
3.7.Definicja.Niech f ∈ Mn, {x1, …,xn} będzie skońcozną bazą z Rn. Esencją f jest najmniejsze k dla którego każde xiwystępuje (z niezerowym współczynnikiem) w jkf. Zapiszemy ess(f) dla istoty f. det(f) oznacza najmniejsze k dla którego f jest k-określona.
Następstwo; det(f) ≥ess(f) (dla dowolnej bazy)
Dowód .Jeśli k < ess(f) wtedy g = jkf nie zawiera xi dla pewnego i. Wtedy żadna potęga z xi nie leży w Δ(g) a więc Ml ⊄ Δ(g) dla każdego l ≥ 0. Wtedy g nie jest skończenie określona, ale g ∼k f. Jeśli f było k-określone, wtedy byłoby g-sprzecznością.

Kowymiar

4.1.Definicja Jeśli f ∈ Mn2 kowymiaru f (zapisanego codim f) określa się dimKMn Δ(f) (oznacza Δ(f) ⊆ Mn ponieważ ∂f/∂Xi ∈ Mn dla każdego i)
4.2.Lemat : Jeśli f ∈ Mn2, wtedy codim f = ∞ jeśli i tylko jeśli det f = ∞ i jeśli są skończone, wtedy det f ≤ codim f+2
Dowód : Rozważmy łańcuch przestrzeni wektorowych : Mn = Mn + Δ(f) ⊇ Mn2 + Δ(f) ⊇ … ⊇ Mnk + Δ(f) ⊇ …
Mamy teraz dwa przypadki:
Przypadek 1: Istnieje k takie ,że Mnk-1 + Δ(f0 = Mnk + Δ(f). Możemy założyć ,że k jest najmniejszą taką liczbą całkowitą .Wtedy z lematu Nakayamy, Mnk-1 ⊆ Δ(f) a więc Mnk ⊆ Mn Δ(f) tzn. f jest k-określone. Wtedy det f &je; k a codim f jest większe niż długość nie-stacjonarnej części łańcucha tzn. k-1
Przypadek 2 : Łańcuch jest ściśle malejący przy każdym wyrazie. W tym przypadku det f i codim f są nieskończone. Bo jeśli det f < ∞, wtedy Mnk ⊆ Δ(f) dla pewnego k(3.6) a więc Mnk + Δ(f) = Δ(f) = Mnk+1 + Δ(f) tzn. będziemy mieli Przypadek 1
Podobnie codim f = ∞ ponieważ mamy nieskończoność, ściśle malejący łańcuch podprzestrzeni między Δ(f) i Mn
4.3 Wprowadźmy poniższą notację : Rysunek 27. Wtedy mamy poniższy rozkład z Mn2 := Mn = Γ0 ∪ Γ1 ∪ … ∪ ΓC ∪ … ∪ Γ.
4.4.Twierdzenie Jeśli 0 ≤ c ≤ k-2, wtedy jk(Mn2 jest suma rozłączną z jkC) i jk(∑C+1) i jk(∑C+1) jest domkniętym rzeczywistym zbiorem algebraicznym w jk(Mn2)
Dowód: Jeśli τ ∈ Mn2 określamy τ(f) dimR Mn/Δ(f) + Mnk. Wtedy jeśli g ~k f, τ(f) = τ(g) (tzn. τ zależy tylko od jk) (dla f-g ∈ Mnk+1 a więc ∂f/∂Xi - ∂g/∂Xi ∈ Mnk tzn. Δ(f/ + Mnk = Δ(f) + Mnk). Mamy : (i) τ(j,sup>kf) ≤ c ⇒ codim f = τ(f) tzn. jkf ∈ jkC); (ii) τ(jkf) > c ⇒ codim f > c tzn. jkf ∈ jk(∑C+1)
To implikuje pierwszą instrukcję Twierdzenia. Dowodząc tych twierdzeń, rozważmy poniższy schemat (symbole między przestrzeniami oznaczają kowymiary : Rysunek 28
κ i δ są definiowane z diagramu .Zauważ ,że τ(jk(f)) jest zawsze skończone chociaż codim f może być nieskończone. Przypadek (ii) ; mamy codim f ≥ τ(jk(f)) > c - jasne; Przypadek (i) : mamy k-2 ≥ c ≥ τ(jk(f)). Rozważmy łańcuch : 0 = Mn/Mn = Mn / (Δ(F) + Mn) ← Mn/(Δ(F) +Mn2) ← … ← Mn/(Δ(f)+ Mnk). Istnieje (k-1) kroków i dim Mn/(Δ(f) + Mnk ≤ k-2. Zatem jeden krok musi być trywialny ,tzn. istnieją i ≤ k tak więc Δ(f) + Mni-1 = Δ(f) Mni tzn. Mni-1 ⊆ Δ(f) + Mni. Zatem z lematu Nakayamy Mni-1 ⊆ Δ(f) a więc Mnk ⊆ Δ (f) tzn. 0 = K(f). Dlatego też codimf = τ(jk(f)) a więc (i) się utrzymuje. Wróćmy do drugiego polecenia. Ponieważ τ(jk(f)) > c, mamy
Rysunek 29. Zatem jk(∑C+1) = {jkf∈ jk(Mn2) : δ(jkf) < K } i wykażemy ,że ostatni zbiór jest rzeczywiście algebraiczny. Niech {x1, … ,xn} będzie podstawą dla Rn i liczbą jednomianów stopnia ≤ k jak poniżej : Rysunek 30 formuje podstawę {Xy : 1 ≤ y ≤ β = (n+k)!/n!k! } z Jnk. Jeśli z = jk(f) ∈ jk(Mn2 (gdzie f ∈ Mn2, wtedy z ma reprezentację w postaci Rysunek 31 . Wtedy ∂Z/∂Xi ma reprezentację w postaci Rysunek 32 gdzie Rysunek 33 i każde aij jest liczbą całkowitą xaj. Teraz Rysunek 34 jest podprzestrzenią z jk-1(Mn) generowaną z Rysunek 35. Teraz możemy zapisać ∂Z/∂xi.Xj jako Rysunek 36 gdzie każde aij,l jest apq. Niech M będzie n(β^-1)x(β^-1) macierz (aij,l tak więc jej kolumny składają się ze współrzędnych zbioru wektorów które obejmują (Δ(f) + Mnk) / Mnk. Wtedy δ(z) < K ⇔ dimR (Δf0 + Mnk) / Mnk < K , tzn. jeśli i tylko jeśli zakres M jest mniejszy niż K , lub równoważnie, jeśli K-minor z M zanika. Teraz warunek ,że K-minor z M zanika jest wyrażony przez zanikanie wielomianu w {aij} ze współczynnikami w liczbach całkowitych. Zatem jk(∑C+1 jest rozmaitością liczby całkowitej wymiaru (n+k)!/n!k! -n-1 w rzeczywistej przestrzeni wektorowej jk(Mnk)
4.5.Twierdzenie : jk(Mn2 jest sum rozłączną : Rysunek 37 gdzie każde ΓCk jest różnicą dwóch rozmaitości algebraicznych (jk(∑C) \ jk(∑C+1)).
4.6.Twierdzenie Jeśli f ∈ Mn2 a codim f = c przy 0 ≤ c ≤ k-2, wtedy jk(f.Ln) = jkf.Lnk jest subrozmaitością zanurzoną jk(Mn2) z kowymiarem c.
Dowód. W 2.12 wykazlaiśmy ,że Tjkf((jkf).Lnk = jk(Mn ⋅Δ(f)) ⊆ jk(Mn2. Teraz z 4.2 det f ≤ (codim f) + 2 ≤ k a więc f jest k-określone. Zatem Mnk+1 ⊆ Mn.Δ(f)(3.5). Teraz kowymiar z (jkf).Lnk w jk(Mn2 to Rysunek 38, a ponieważ Mn / Mn.Δ(f) = Mn/Mn2 ⊕ Mn2/Mn Δ(f) , równa się to : Rysunek 39
4.7.Lemta Jeśli f ∈ Mn2 z codim f < ∞ , wtedy dimR(Δ(f) / Mn.Δ(f)) = n
Dowód Typowy element g z Δ(f) ma postać Rysunek 40 z każdym ai ∈ ξn/ Zapisujemy ai = ai′ + ai(0) tak więc każde ai ∈ Mn. Wtedy Rysunek 41 a więc dim(Δ(f) / Mn.Δ(f)) ≤ n. Teraz wykażemy ,że {∂f/∂xi} jest liniowo niezależne mod Mn.Δ(f). Jeśli nie będą istnieć ci w R, nie wszystkie zerowe ,takie ,że Rysunek 42. Wtedy X := ∑(ci - bi)⋅∂/∂xi jest kiełkiem pola wektora przy 0 z x() ≠ 0. Wtedy może znaleźć nowe współrzędne {y1, … , yn} w otoczeniu 0 takie ,że X = ∂/∂y1. Wtedy Xf = 0 , tzn. ∂f/∂yi = 0 w otoczeniu zera. Ale to implikuje ,że ess f = ∞ w odniesieniu do tych współrzędnych i daje to przeciwieństwo ponieważ det f ≥ ess f (3.7) a więc det f = &inif; które będzie implikować ,że codim f = ∞ (4.2)

Twierdzenie przygotowawcze

5.1.Twierdzenie o dzieleniu Niech d : R x Rn → R będzie C - funkcją zdefiniowaną w otoczeniu 0 taka ,że d(t,0) = tkd^(t) dla pewnego k ∈ N a d^ funkcją gładką z R do R z d^(0) ≠ 0. Wtedy dla dowolnego gładkiego f : R x Rn → R (definiowanego w otoczeniu zera) istnieją funkcje gładkie q,r : R x Rn → R, definiowane blisko 0 takie ,że
1. f = q/d + r (blisko 0)
2. r ma postać Rysunek 43 dla odpowiednich funkcji gładkich ri
5.2.Twierdzenie przygotowawcze Niech f : (Rn,0) & rarr; (Rp, 0) będzi gładkim kiełkiem, f : ξp → ξn indukuje homomorfizm pierścienia. Wtedy jeśli M jest skończenie generowane &xi.n-moduł (przez f* ) jeśli i tylko jeśli dimR(M/(f*Mp).M) < ∞
Dowód Jeśli M jest generowane skończenie jako ε - moduł, wtedy istnieje surjektywny homomorfizm εp-modułu , ⊕Εp = Εp ⊕ Εp ⊕ … ⊕ Εp → M. Wtedy Rk = ⊕Εp/Mp & rarr; M/Mp. M jest również surjekcją, więc dimR M.Mp.M ≤ k.
Krok 1: Niech n = p+1, niech f: (Rn = R x Rp, 0) → (Rp,0) będzie dane przez f(t,x) = x/ Wybieramy a1, a2, … ak ∈ M które generuje M jako Εp+1-moduł i M/Mp jako rzeczywista przestrzeń wektorowa. Wtedy dowolne m ∈ M może być zapisane w postaci Rysunek 44 gdzie cj ∈ R a zj ∈ f*(Mp).Εp+1. Wygląda to tak: m = ∑cjaj + b dla cj ∈ R a b ∈ f* (Mp).M. Wtedy b = ∑yqbq dla yq ∈ f*(Mp) a bq ∈ M, bq = ∑wjqaj dla wjq ∈ Εp+1 i możemy wziąć zj = ∑yqwjq ∈ f*(Mp).Εp+1. Teraz użyjemy tego dla m = t ai:
tai = ∑(cij + zij)aj dla cij> ∈ R a zij ∈ f*(Mp).Εp+1. Oznacza to ∑(t δij - c - zij) aj = 0. Rozważmy macierz B = (bij) = (t δij - c - zij). Wtedy B.a^ = 0, gdzie a^ jest wektorem (a1, … ,ak). Niech C(B) będzie macierzą kowspółczynników z B, wtedy C(B).B = B.C(B) = det(B).(δij). Wszystkie są kiełkami, więc niech Δ(t,x) = det(B) = det(t,δij - cij - zij(t,x)). Wtedy Δ(t.x).a^ = det(B).a^ = C(B).B.a^ = 0. Dla x = 0 uzyskujemy zij(t,0) = 0, więc Δ(t,0) = det(t δij - cij) jest wielomianem stopnia k w t która jest unormowana (współczynnikiem prowadzącym jest 1). Zatem istnieje q ≤ k takie ,ze (t,0) = p(t).tq przy p(0) = 1. Teraz możemy użyć twierdzenia dzielenia 5.1 : Dal dowolnego f ∈ Εp+1 mamy f(t,x) = Δ(t,x).q(t,x) + ri(x).ti. Więc Εp+1/Δ.Εp+1 jest generowane skończenie nad Εp, faktycznie przez 1, t, t2, … ,tq-1. Ale ^Delta;.a^ = 0,co widać powyżej, zatem Δ.M = 0, więc M jest modułem nad algebrą ilorazową Εp+1/Δ.Εp+1 i skonńczenie generowalną (ponieważ M jest skończenie generowany nad Εp+1, a ta algebra ilorazowa jest skończenie generowana nad Εp, więc samo M jest generowane skończenie nad Εp
Krok 2: Niech f : (Rn,0) → (Rp,0) będzie kiełkiem zakresu n, tzn. kiełek odsadzony. Twierdzenie funkcji implicytnej daje nam współrzędne (y1,y2,…,yp) z Rp blisko 0 takie ,że f(x1,…,xn) = (x1, … xn, 0, …0) w tych współrzędnych. Więc f jest kiełkiem zwykłego osadzenia Rn → Rp. Wtedy f* : Εp → Εn jest surjekcją i generatorami M nad Εn są również generatorami z M nad Εp
Krok 3: Teraz niech f : (Rn,0) → (Rp, 0) będą arbitalne. Wtedy możemy zapisać f w postaci (Rn,0 →(id,f) (Rn x Rp,0) →(pr2) (Rp,0). Pierwszy kiełek jest osadzony jak było to w kroku 2. Drugi kiełek jest złożeniem n projekcji jak w kroku 1. Więc pozostaje wykazać ,że twierdzenie zachowa złożenie, Niech (Rn,o) → (f) (Rp,0) →(g) (Rq,0), będą kiełkami funkcji gładkich takich ,że 5.2 ma zastosowanie dla f i g. Musimy wykazać ,że 5.2 ma zastosowanie dla g o f. Niech M będzie skończenie generowanym Εn-modułem z dimR M/((g o f)*Mq.M) < ∞ . g*Mq ⊂ Mp , więc (g ⋅ f) *Mq = f*(g*Mq) ⊂ f*Mp, zatem (g o f) & Mq.M ⊂ f*Mp.M, a zatem dimR M/f*Mp.M ≤ dimR M/(g o f)&Mq.M < ∞ .Ponieważ możemy zastosować 5.2 do f implikuje to ,że M jest skończenie generowane nad Εp przez f*. Z definicji Εq-działania na M mamy g*Mq.M = f*g*Mq, więc dimR M/g*Mp < ∞ a przez zastosowanie 5.2 do g uzyskujemy ,że M jest skończenie generowane jako Εq-modułem.
5.3.Załóżmy ,że φ : (Rn,0) → (Rp,0) jest gładkim kiełkiem. A jest skończenie generowanym &Epsilon,-modułem, C jest skończenie generowanym Εn-modułem a B jest dowolnym Εn-modułem. Rozważmy następujący schemat gdzie β jest homomorfizmem Εn-modułu a α jest homomorfizmem Εp nad Φ* (tzn. α(f.a) = Φ*(f).α(a) dla a ∈ A a f ∈ Εp) : Rysunek 45
Twierdzenie : C = αA + βB + (Φ*Mp).C ⇒ C = αA + βB.
Dowód: Niech C′ = C/βB i oznaczmy przez ρ: C → C′, naturalną projekcję. C′ jest skończenie genrowane naf ξn. Teraz C′ = ραA + (Φ*Mp)C′ a więc C′/(Φ*Mp.C′ jest skończenie wygenerowane nad ξp. Niech c1, … , cr ∈ C′ generuje C′ mod (Φ*.Mp)C′ nad ξp. Wtedy, jeśli c ∈ C′, c ma reprezentację w postaci Rysunek 46 (przy fi ∈ ξp). Zapisują f = f′ + f(0) uzyskujemy : Rysunek 47 , a więc dimR(C′/(Φ*.Mp)C′) < ∞. Wtedy 5.2 (z C′ = M), C′ jest skończenie genrowane nad ξp (przez Φ*. Możemy wtedy zastosować lemat Nakayamy to równania C′ = ραA + (Φ*.Mp).C′ aby uzyskać C′ ⊆ ραA tzn. C ⊆ αA + βB

Rozwinięcia

6.1. Weźmy f ∈ Mn2. Kategoria rozwinięcia z f ma parę obiektów (r,f′) gdzie r ∈ N* a f&pirme; (Rn+r, 0) → (R, 0) jest kiełkiem takim ,że f′|Rn x {o} = f tzn. Diagram Rysunek 48 ,komutuje; jako morfiz z (s,f″ to (r, f′) ptraka (Φ, Phi;^, ε) , gdzie Φ : (Rn+s, 0) ^+→ (Rn+r, 0), Φ^ : (Rs , 0) → (Rr, 0) i ε : (Rs, 0) → (R,0) sa kiełkami, które Rysunek 49, Rysunek 50. Zauważ ,że ostatnie równanie może być zapisane w postaci f″(x,y) = Lε(y) {f′(Φ(x,y))}, gdzie Lε(y) oznacza translację przez ε(y). Tożsamość na (r, f′) jest trójką (idR, idRr,0); złożenie dwóch morfizmów jest zdefiniowane przez formułę (Phi;, Φ^, ε).(Ψ, Ψ^, τ) = (Φ.Ψ, Φ^>Ψ^, ε.Ψ^ + τ); morfizm (Φ, φ^, ε) jest izomorfizmem jeśli I tylko jeśli r = s a Φ i Φ^ są lokalnymi dyfeomorfizmami
6.2. Przykłady: 1.Suma dwóch rozwinięcie (r,f′) i (s,f″ ) jest definiowana jako rozwinięcie (r+s,f′ + f″ - f), gdzie (f′ + f″ - f) : (x,u,v) |-> f′(x,u) + f″(x,v) - f(x).
2.Stałe rozwinięcie - (r,f) gdzie f : (x,u) |-> f(x). wtedy (r,f) + (s,f′) = (r_s, f′)
3. Jeśli f ∈ Mn2 i b1, … br ∈ Mn2 , wtedy (r,f′) jst rozwinięciem f gdzie f&pime; : (x,u) |-> f(x) + b1(x)u1 + … br(x)ur
6.3. Jeśli (Φ, Φ^, ε) : (s, f″) → (r,f′) jest morfizmem wtedy możemy odkryc (s,f″) z (r,f′) a (Φ,Φ^,ε) (poniewaź f&Primel (x,u) = f′.Φ(x,u) + ε(u)),. Mówimy ,że (s,f″) jest indukowane z (r,f′) przez (Φ, Φ′, ε). To sugeruje następującą definicję: Roziwnięcie, (r,f′) z f jest wzajemne jeśli każde rozwinięcie z f jest indukowana przez (r,f′) (to znaczy, dla każdego rozwinięcia (s,f″) , istnieje morfizm (Φ ,Φ , ε) z (s,f″) do (r,f′). Uniwersalne rozwinięcie z f jest wzajemnym zwinięcie (r,f′) dla którego r jest minimalne.
6.4. Rozwinięcie k-dżetów kiełka : Jeśli f ∈ Mn , definiuje j1k f będzie kiełkiem z (Rn, 0) do jk(Mn) ⊆ Jnk z przekształcenia x |-> (k-dżety z (y |-> f(x+y) - f(x)) przy zero) = jk([y |-> f(x+y) - f(x)]o). j1kf jest nazywane naturalnym rozwinięcie k-dżeta z f. j1kf jest określne przez kiełek f, nie przez jego określone reprezentacje. Zauważ ,że j1kf(0) = jk([y |-> f(0+y) - f(0)]o) = jkf.
Definicja . Niech X,Y będą rozmaitościami, h : X → Y funkcją gładką, V zanurzoną subrozmaitością z X. h jest transwzajemną do V przy x ∈ X jeśli albo h(x) ∉ V lub (Th)x(Tx(X) + Th(x)(V) = Th(x)(Y). h jest transwzajemne do V jeśli jest tranwzajemne do V przy każdym x ∈ X
6.5. Lemat : 1. j1kf jest transwzajemne do jk (Mn ⋅Δ(f)) w jk(Δ(f)) przy zero i Im (Dj1kf(0)) jest generowane przez {jk(∂f/∂x1), … jk(∂f/∂xn)}. 2. Jeśli f jest k-okreslone, wtedy j1kf jest kiełkiem zanurzonym d (Rn, 0) do (jk(Mn), jkf).
Dowód : 1. Im(D(j1kf)(0)) jest generowane przez kolumny macierzy Jacobiego z j1k przy 0, tzn. przez {∂j1kf/∂xi (0) : i = 1,…,n}. Ale ∂/∂xi j1kf(0) = j1k(∂f/∂xi) (0) = jk(∂f/.∂xi). Transwzajemność : musimy wykazać ,że : Im(D(j1kf)(0)) + jk(Mn.Δ(f))= jk(Δ(f)). Załóżmy ,że g & ∈ Δ(f) tak ,że g = ∑ ai ∂f/∂xi(ai∈ ξn). Zapiszemy ai = ai′ + ai(0) przy ai ∈ Mn. Zatem Rysunek 51
2. Z 4.2, codim f < ∞ a więc dimR (Δ(f) / Mn , Δ(f)) = n (4.7). Również Mnk+1 ⊆ Mn.Δ(f) (3.5). Stąd Rysunek 52 ,a więc, z 1), Im D(j1kf)(0) ma wymiar b, tzn. j1kf jest zanurzonym przy 0 a więc w otoczeniu 0
6.6. Rozszerzenie k-dżeta rozwinięcia : Niech (r,f′) będzie rozwinięciem z f ∈ Mn2. Definiujemy j1kf′ , będzie kiełkiem z (Rn+r, 0) → (Jnk, jkf) definiowanym przez funkcję Rysunek 53. Zwróć uwagę ,ze defnicja 6.4 odpowiada tej definicji stosowanej do trywialnego rozwinięcia (0,f). Jak poniżej : j1kf′(0,0) = jk ([x |-> f′ (x′+x, y) - f′(x′, y′)]o)
Definicja : Rozwinięcie (r,f′) z f jest k-transwzajemne (k ≥ 0) jeśli j1kf′ jest transwzajemna do (jkf).Lrk w jk(Mn) przy 0 ∈ Rn+r. Wybieramy podstawę {x1, … , xn} z Rn a {y1, … yr} z Rr. Wtedy ∂f′/∂yj jest kiełkiem z (Rn+r, 0) do (R,0). Piszemy ∂j f′ dla tego elementu ∂f′/∂yj |Rnx{o} - ∂f′/∂yj(0,0) z Mn (j = 1, … ,r). Wtedy oznaczamy przez Vf′ - R-podprzestrzeń < ∂1f′ , … ,∂rf′>R z Mn.
6.7. Lemat : Rozwinięcie (r, f′) z f ∈ Mn2 jest k-transwzajene jeśli i tylko jeśli Mn = Δ(f) + Vf′ + Mnk+1.
Dowód : Z 1.12 Tjkf((jkf).Lnk = jk(Mn.Δ(f)) ⊆ jk(Mn). T(j1kf′)(0,0) (T(0,0)(Rnx {0})) jest genrowane przez {∂/∂xi j1kf′(0,0)} i=1n i mamy Rysunek 54 Zatem T(j1kf′)(0,0) (T(0,0)(Rn x {0j} =Im Dj1kf(0) (6.5). T(j1kf′)(0,0)(T(0,0)(0j x Rr)) jest generowane przez {∂/∂yj j1kf′(0,0)}rj=1 i mamy Rysunek 55, Rysunek 56
6.8.Następstwo : Niech b1, … ,br będzie repreentatywną podstawą Mn/(Δ(f) + Mnk+1. wtedy jeśli f′ : (x,y) |-> f(x) + ∑rj=1(x)yj, rozwinięcie (r,f′) jest k-wzajemny.
Dowód : ∂jf′(x) = ∂f′/∂yj (x,0) - ∂f′/&aprt;yji(0,0) = bj(x) a więc {b1, … ,br} generuje Vf′ .Zatem Δ(f) + Mnk+1 + Vf′ = Mn, tzn. (r,f′) jest k-transwzajemne (6.7).
6.9.Lemat : Rozwinięcie wzajemne (r,f′) z f jest k-transwzajemne dla każdego k ≥ 0. Dodatkowo r ≥ codim f
Dowód : Wybieramy k-transwzajemne rozwinici (s, f″) z f. Wtedy f″(x,z) = f′(Πn * Φ(x,z), Φ^(z)) + ε(z), gdzie Πn : Rn+r → Rn jest projekcją kanoniczną. Różniczkując, uzyskujemy Rysunek 57. Zatem Vf″ ⊆ Δ(f) + Vf′ a więc Mn ⊇ Δ(f) + Vf′ + Mnk+1 ⊇ Δ(f) + Vf″ + Mnk+1 = Mn a więc (r,f′) jest k-transwzajemne. Dodatkowo, r ≥ dimR , Vf′ ≥ dimR(Mn/(Δ(f) + Mnk+1) dla k ≥ 0. Zatem łańcuch Mn = Δ9f) + Mn ⊇ Δ(f) + Mn2 ⊇ … musi stać się stacjonarnym, powiedzmy, przy l-tym wyrazie. Wtedy Δ(f) + Mnl = Δ(f) + Mnl+1. Wtedy mamy Mnl ⊆ Δ(f) z leamtu Nakayamy a więc r ≥ dimR Vf′ ≥ dimR Mn / Δ(f) + Mnl) = dimR Mn / Δ(f) = codim f.
6.10. Lemat : Niech f ∈ Mn2 będzie k-określony. Wtedy, jeśli (r, f′) i (r,f″) są transwzajemnymi rozwinięciami z f, (r,f′) i (r,f″) są izomorficzne.
Dowód : Ponieważ f jest k-określne, Mnk+1 ⊆ Mn.Δ(f) ⊆ Δ(f) (3.5). Z drugiej strony z 6.7, Mn = Δ(f) + Vf′ + Mnk+1 = Δ (f) + Vf′ = Δ(f) + Vf″. Z 5.9, r≥ codim f = dim (Mn/ Δ(f)) = :c. Niech u1 , … uc ∈ Mn będzie reprezentatywną podstawą dla Mn/ Δ(f). Wtedy h : (Rn x Rc x Rc-r, 0) |-> (R,0) jest rozwinięcie z f gdzie h : (x,v,w) |-> f(x) + u1(x)vc + … uc(x)vc (tzn. h jest niezależne od w) . Teraz, jeśli ∂f′ oznacza obraz z ∂jfi w Mn / Δ(f) mamy ∂jf′ = ∑cl = 1 ajju^l (dla pewnego {alj}). Macierz c x r A := (alj)l = 1, …,cj =1, … r ma zakres c. Niech B := (blj)j=1,…r będzie macierzą (r-c) x r, tak więc [A,B] jest regularne i zdefniowane Rysunek 58-. Wtedy (r,h′) jest rozwinięciem f i Rysunek 59 a więc Rysunek 60 .Wtedy (ΦΦ^,0) jest izomorficzne z (r,h′) na (r,h) i Rysunek 61, tzn. konstruujemy rozwinięcie (r,h′) (izomorficzne do (r,h)) tak więc (∂fj′)^ = (∂hj′)^ (dla każdego j) (tak więc , w szczególności , (r,h′) jest k-tranzwzajemne). Przez symetrię, lemat będzie dowodził czy możemy zademonstrować (r,f′) ≅ (r,h′) tzn. jeśli możemy udowodnić specjalny przypadek lematu gdzie (∂fj′)^ = (∂f″j) (j= 1, … r). Załóżmy teraz ,że te równania są dobre. Definiujemy : Ft(x,y) (- F(x,y,t)) := (1-t)f′(x,y) + tf″(x,y). Wtedy (∂Fjt)^ = (1-t) (∂fj′)^ + t (∂f″) = ∂fj′ dla każdego j, a więc (r,Ft) jest transwzajemne do każdego t
Twierdzenie : dla każdego t0 ∈ [0,1] istnieje sąsiedztwo Ut0 z t0 w R tak więc istnieje izomorfizm (^Phi;t, Φt^, εt) : (r, Ft0) → (r,Ft) dla każdego t ∈ Ut0. Ten wynik wynika z tego twierdzenie przez zwykłą zwartość argumentu
Twierdzenie 2 : Istnieją kiełki Rysunek 62, tak więc
1.ΠΦ = Φ^.Π gdzie Π jest projekcją : Rn+r x R → Rr x R;
2.Φ(.,t0) = IdRn+r (a więc Φ^(.,t0) = IdRr przez 1))
3.F(Φ(x,y,t),t) + ε(y,t) = F(x,y,t0) dla t blisko t0
Zauważ ,że możemy zastąpić 3) przez 4) Rysunek 63, (dla wyrażenia w 4) jest pochodną lewej strony 3).
Dowód Twierdzenia 2 implikuje Twierdzenie 1 : Funkcja t |-> det DΦ(.,t)(0) jest ciągła, ponieważ det DΦ(.,t) (0) = det Id = 1, istnieje otwarty przedział Ut0 zawierający t0 tak więc det DΦ^(.,t)(0) > 0 w Ut0. Podobnie det DΦ(.,t)(0) > 0 na Ut0 . Wtedy Φ(., t) i Φ^(.,t) są dyfeomorfizmami na Ut0 a to implikuje Twierdzenie 1.
Twierdzenie 3 : Istnieją kiełki : Rysunek 64 tak więc 5) Rysunek 65
Dowód Twierdzenia 3 implikuje Twierdzenie 2: Niech Φ1, Φ2 będzie (gładkim) rozwiązanie równań różniczkowych Rysunek 66 , z warunkami początkowymi Φ1(x,y,t0) = x , Φ2(y,t0) = y . Z jednoznaczności, Φ1(0,0,t) = 0, Φ2(0,t) = 0 dla wszystkich t. Wstawiamy Rysunek 67 .wtedy podprogram obliczenia wykazuje ,ze 4) (z Twierdzenia 2) jest spełnione. Również ΠoΦ = Π(Φ1, Φ2) = Φ2 = Φ2 * Π, tzn. spełnia 1). 2) spełnione jest ze względu na warunki początkowe i mamy udowodnione Twierdzenie 2
Dowód Twierdzenia 3 : Rozpatrzmy Rn+r+1 jako Rn x Rr x R (z typowymi elementami (x,y,t)) Oznaczmy prze ξr+1 kiełki przy (0,t0) ∈ Rr+1. Niech A będzie swobodnym ξr+1- modułem z (r+1) generatorami (typowo a ∈ A jest zapisane jako (Y1, … Yr, Z) z Yl, Z ∈ ξr+1 i B będzie swobodnym ξn+r+1 - modułem z n generatorami (zazwyczaj b ∈ B ma postać (X1, … Xn) z Xj ∈ ξn+r+1). Zbudujmy schemat Rysunek 68 - jak w twierdzenie przygotowawczym - 5.3). α : A → C jest definiowane przez Rysunek 69 .wtedy α jest modułem homomorfizmu nad Π* ponieważ mamy dla g∈ ξr+1 Rysunek 70
β : B → C jest zdefiniowana przez β(X1, … Xn) := ∑nl=1 &art.;F/∂xi ⋅xi.
Twierdzenie 4 : C = αA + βB + (Π*Mr+1)V, tzn. hipoteza z 5.3 jest spełniona. Mamy MnFt dla każdego t a więc ξn = Δ(f) + VFt + R . 1. Wybieramy g ∈ V = ξn+r+1 i wstawiamy g~ := g|Rn x {o} x {t0} tak więc Rysunek 71 dla X~i ∈ ξn, Y~j ∈ R, s ∈ R. Niech Rysunek 72 gdzie, Xi (∈ ξn+r+1) , Yj (∈ ξr+1) , Z (∈ ξr+1) są wybrane tak ,że Rysunek 73. Wtedy g^|Rn x {o} x {tn} = g|Rn x {o} x {ξ0} i można udowodnić dokładnie jak w 1.3 , że implikuje to ,że g^ - g ∈ Mr+ . ξn+r+1. Teraz g^ = β(X1 , &hellip ,Xn) + α(Y1, … , Yn,Z) ∈ αA + βB a więc g ∈ αA + βB + Mr+1.C. tzn. C ⊆ αA + βB + Mr+1.C. Zatem przedstawiliśmy Twierdzenie 4 więc można wydedukować ,ż C ⊆ αA + βB (5.3). Zatem, Mr . C &sube α (Mr.A) + β(Mr.B). Teraz ∂F/∂t = f″ - f′ a więc zanika na Rn x {o} x R. Zatem, jak wyżej, dedukujemy ,że -∂F/∂t ∈ Mrξn+r+1 ⊆ α(MrA) + β(Mr.B),tzn. Istnieją kiełki X1, … , Xn ∈ Mrξn+rr+1, Y1, …, Yr, Z ∈ Mrr+1 tak więc Rysunek 74, a to jest dokładnie Twierdzeniem 3. Zatem dowód lematu 6.10 jest zakończony.
6.11.Twierdzenie ; Niech f ∈ Mn2 będzie k-określone. Wtedy rozwinięcue (r,f′) z d jest wzajene jeśli i tylko jeśli jest k-transwzajemne.
Dowód ; Z 6.9, wzajemne rozwinięcie jest k-transwzajemne. Teraz załóżmy ,że (r,f′) jest k-transwzajemne i ,że (s,f&Prime) jest dowolnym rozwinięciem. Musimy zbudować morfizf z (s,f″) do (r,f′). (IdRn+s x ORr , IdRs x ORr, 0) jest morfizmem z (s,f″) do (r+s, f″, f′ - f) a oststnie jest k-transwzajemne ponieważ można łatwo wyliczyć ,że Rysunek 75, a więc Vf″ + f′ - f = Vf′ + Vf″ . Ponieważ (r,f′) jest k-transwzajemne , mamy Mn = Δ(f) + Vf′ + Mn k+1. Zatem Δ(f) + Vf″+f′ -f + Mnk+1 ⊇ Mn , tzn. (r+s, f″ + f′ -f) jest k-transwzajemne. Podobnie, (r+s,f′) (rozwinięcie (x,y,z) |-> f′(x,y)) jest k-transwzajemne. Zatem, z 6.10, (r+s,f′) i (r+s,f″ + f′ - f) są izomorficzne. Zatem możemy zbudować morfizm z (s,F″) do (r,f′) jako złożenie (s,f″) → (s+r, f″ + fprime; -f) ≅ (r+s,f′) → (r,f′)
6.12.Twierdzenie : f ∈ Mn2 ma wzajemne rozwinięcie jeśli i tylko jeśli codim f < ∞. Wtedy:
a) dowolne dwa s-parametry rozwinięć wzajemnych są izomorficzne
b) każde rozwinięcie wzajemne jest izomorficzne do rozwinięcia w postaci (r+s,f′) gdzie (r,f′) jest uniwersalne
c) jeśli b1 , … br ∈ Mn są reprezentatywną podstawą dla Mn / Δ(f), wtedy (r,f′) jest uniwersalnym rozwinięciem gdzie, f′ : (x,y) → f(x) + ∑j=1r bj(x)yj
Dowód : Jeśli codim f < ∞ wtedy f jest k-określone dla pewnego k (4.2) a więc, z 6.8 , istnieje k-transwzajemne rozwinięcie (r,f′) i jest wzajemne przez 6.11. Z drugiej strony, jeśli f ma rozwinięcie wzajemne, ma rozwinięcie uniwersalne (r,f′) a wtedy codim f ≤ r (6.9). Teraz załóżmy ,ze codim f < ∞
a) Z 6.9, zarówno rozwinięcia są k-transwzajemne dla każdego k i izomorficzne z 6.10
b) Niech (s,f″) będzie wzajemnym rozwinięciem, (r,f′) uniwersalnym rozwinięciem. Wtedy s ≥ r. Możemy rozszerzyć (r,f′) w trywialny sposób do rozwinięcia (s,f′) a to rozwinięcie jest k-transwzajemne. Wtedy(s, f′) i (s,f″) są izomorficzne z 6.10
c) Z 6.8, (r,f′) jest k-transwzajemne dla każdego k a więc wzajemne. Z 6.9, r jest minimane a więc (r,f′) jest uniwersalne.
6.13.Przykład : 1.Bierzemy n=1, f:x → xN (N ≥ 2). Wtedy Δ(f) = < xN-1 > ε1 = M1N-1 i M1? Δ(f) = j(M1). Jest to podstawa funkcji {x,x2, … ,xN-2} a więc f′ (x,y) → xN + xN-2y1 + … xyN-2 jest rozwinięciem uniweralnym.
2. Niech f będzie funkcją x → x1N ± x22 ± … xn2. Wtedy Δ(f) = < x1N-1, x2,x3, … , xn > a więc Mn/ Δ(f) ma bazę funkcji {x1, x12, …, x1N-2}. Zatem f′ : (x,y) → f(x) + x1N-2y1 + … + x1yN-2, jest rozwinięciem uniwersalnym f(x1, … xk) + g(x1, … , xk, y1, …yr). Jeśli q(xk+1 , … xn) jest niezdegenrowaną formą kwadratową w dalszych zmiennych, wtedy uniwersalne rozwinięcie f(x1, …, xk) + q(xk+1 , … xn) to f(x1, … xk) + q(xk+1, … , xn) + g(x1, … , xk, y1. … yr). W szczególności, codim f = codim (f+q) (wybieramy współrzędne takie ,że q ma postać ±xk+12 … ±xn2 i ciągłe jak w 2)). Zatem jest naturalna transformacja f taka że tak wiele zmiennych jak to możliwe jest oddzielonych do niezdegenerowanej formy kwadratowej.
6.14. Jeśli f ∈ Mn2 , definiujemy kozakres s (zapisany jako corank(f)) będzie kozakresem macierzy (∂2 f/∂xi ∂ xj)ni,j=1| 0, tzn. odpowiada kozakresowi formy kwadratowej określonej przez j2f.
Lemat redukcji : Niech f ∈ Mn2 ma kozares n-r. Wtedy f jest prawo równorzędne do kiełka tej formy . q(x1,… xr) + g(xr+1,…, xn), gdzie q jest nie zdegenerowaną formą kwadratową i j2g = 0.
Dowód : Z liniowej transformacji możemy zredukować j2f do postaci q(x1, &hellip , xr) = ±x12 ± x22 ± … ± xr2. Niech h: f|Rrx0. Wtedy h ∈ Mr2 a j2h = q . Teraz Δ(q) = < x1 , &hellip, xr > ξr = Mr a więc Mr2 ⊆ MrΔ(q) a q jest 2-określone przez 3.5 a zatem jest h z 3.2. Zatem h jest prawo równoważny do q, tzn. q = h ⋅ Φ dla pewnego Φ ∈ Lr. Teraz f jest prawo równoważne do f.(Φ x IDRn-r. Oznacza to zasadniczo ,że możemy założyć ,że f|Rr x 0 = q, co teraz robimy,. Ponieważ Δ(q) = Mr , q jest swoim własnym rozwinięciem uniwersalnym (6.12.c)) a więc (n-r, f) jest rozwinięciem wzajemnym z q (ponieważ istnieje morfizm z (0,q) do (n-r, f)). Ale (n-r,q) jest również wzajemne a więc (n-r,q) i (n-r,f) są izomorficzne, tzn. istnieje izomorfizm (Ψ, Ψ^, ε) z (n-r,q) di (n-r, f). W szczególności q(x1, … ,xr) = f ⋅ Ψ(x1, … , xn) + ε(xr+1, …, xn) a więc możemy wybrać g = ε
. Teraz j11q = 0 i j1f = 0. j2ε = 0 wynika ponieważ j2ε ≠ 0 byłby implikował ,że kozakres z q - ε byłby mniejszy niż ten z q (ponieważ q i ε działają na różnych zmiennych) a to daje przeciwieństwo (zauważ ,że kozakres jest niezmienny przy działaniu Lr).
6.15.Lemat : Jeśli f ∈ Mn2 ma kozakres r wtedy codim f ≥ r3 + 5r /6. W szczególności, jeśli r ≥ 3 wtedy codim f ≥ 7.
Dowód : Z 6.14 , f jest prawo równoważne do g(x1, … , xr) + q(xr+1, … , xn) przy j2g = 0 i q niezdegenerowanej formie kwadratowej. Z 6.13.3, codim f = codim g. Teraz g ∈ Mr3 , a więc Δ(g) ⊆ Mr2. Rozważmy j3Δ(g) = (Δ(g) + Mr4) / Mr4 = < j3(∂g/∂xn, … j3(∂g/∂xr) > jr3. Nad ciałem R nie istnieją generatory liniowej, co najwyżej r generatorów kwadratowych j3(∂g/∂xi), i = 1, … r, a co najwyżej r2 generatorów sześciennych xj. j3(∂g/∂xi. Najgorszy przypadek mamy jeśli wszystkie one są R -liniowo niezależne. Wtedy dim j3Δ(g) = r + r2. Więc generalnie dim j3Δ(g) ≤ r(r+1) i Rysunek 76

Klasyfikacja

7.1.Twierdzenie : Kady kiełek f ∈ Mn2 kowymiaru ≤ 6 jest praworównoważny do jednego z poniższych (nie - równoważnych) kiełków. Tu Rysunek 77 jest normalną postacią nie zdegenrowanej formy kwadratowej w (n-1) zmiennych. Każdy kiełek jest stowarzyszony prze swoje uniwersalne rozwinięcie razem ze swoją nazwą Rysunek 78, Rysunek 79
Dowód: Klasyfikujemy według kozakresu
Kozakres 0: W 6.14 wykazaliśmy ,że każdy kiełek z kozakresu 0 jest równoważny nie zdegenrowanje formie kwadratowej. Zatem musimy tylko zweryfikować ,że liczba znaków minus w formie kanonicznej jest niezmiennym Ln-działań na Mn2.Z 4.3, det f ≤ 2 a więc f ~ j2f .Ln - działanie na czynnikach Jn2 nad Ln2 i jeśli P = P1 + P2 ∈ Ln2 (tj. P1 ∈ GL(n,R)), wtedy działanie z P2 na j2f ∈ j2(Mn2) jest przycięte ponieważ wynik ma stopień 4. Zatem tylko GL(n,R) działa efektywnie na j2(Mn2) a wtedy liczba znaków minus jest wyraźnie stała
Kozakres 1 : Przez oddzielenie nie zdegenerowanych form kwadratowych możemy założyć ,że n = 1. Ponieważ codim f ≤ 6 mamy det f ≤ 8 (4.2). Zatem f ~j8 f = ∑8i=3 aixi . Niech k będzie najmniejszym indeksem z ak ≠ 0. Wtedy Δ(f) = < xk-1 > ξ1 = M1k-1 a więc M1k ⊆ M1.Δ(f). Z 3.5, f jest k-określone, tzn. f ~akxk. Jeśli k jest parzyste , wtedy zastąpienie x → |ak|-yk .x pokazuje że f ~ ± xk , jeśli k jest nieparzyste wtedy x → }ak|-yk s gn ak. x pokazuje ,że f ~xk. Zatem f ~ x3 , ±x4, x5, ±x6,x7,±x8
Kozakres 2 : : Jeszcze raz, po usunięciu nie zdegenerowanej formy kwadratowej, możemy założyuć ,że n = 2, tzn. f (= f(x,y)) ∈ M22. Z 6.15, codim f ≥ 3, tzn,. codim f = 3,4,5,6. j3 jest wielomianem homogenicznym stopnia 3 (ponieważ j2f = 0) dwoma zmiennymi, zatem odpowiada niehomogenicznemu wielomianowi z jedną zmienną ze współczynnikami nad C .Więc j3 może być rozłożne (nad C) na współczynniki liniowe (a1x + b1y)(a2x + b2y)(a3x + b3y), a ten rozkład jest jednoznacznie dla stałych. Rozważmy cztery przypadki :
1.Wektory {(ai, bi)} są parowo liniowo niezależne nad C
2.Dwa z wektorów są liniowo zależne, trzeci jest niezależny od pierwszych dwóch
3.Wektory są parowo liniowo zależne
4.j3f = 0
Przypadek 1 :
a){ai} i {bi} są liczbami rzeczywistymi. Przy przekształceniu x → a1x + b1y , y → a2x + b2y, widzimy że j3f(x,y) ~ xy(ax + by) przy a,b ≠ 0 (bo jeśli A oznacza macierz Rysunek 80, wtedy ax + by = (a3,b3.A-1(x y) , tzn. (a,b).A = (a3, b3) a jeśli a = 0 wtedy (a2, b2) i (a3, b3) są liniowo zależne). Teraz Rysunek 81. Teraz Δ(x3 - xy2 = < 3x2 - y2,2xy >ξ2 , a więc Rysunek 82, a więc x3 - xy2 jest 3-określone (3.5). Wtedy f ~(r) j3 f ~( r ) x3 - xy2
b)Nie wszystkie z {ai}, {bi są liczbami rzeczywistymi. Ponieważ j3f jest liczbą rzeczywistą, rozkład na czynniki muszą mieć postać (a1x + b1y)(a2x + b2y)(a^2x + b^2y), gdzie a1 i b1 są liczbami rzeczywistymi. Zatem Rysunek 83. Wtedy &Delta,(x3 + y3) = < 3x2 , 3y2 >ξ2 a więc M2.Δ(x3 + y3) = < x3, x2, y, xy2, y3 >ξ2 = M23 , a więc x3 + y3 jest 3 - określone . Zatem f ~ ( r) j3f ~( r) x3 + y3.
Przypadek 2 : Załóżmy ,że (a1,b1) i (a2,b2) są liniowo niezależne a (a3,b3) jest wielokrotnością (a2,b2). Wtedy rozkład na czynniki może przyjąć postać (a1x + b1y)(a2x + b2y)2, gdzie {ai} i {bi} są liczbami rzeczywistymi. Wtedy j3f ~ (r ) x2y (z (x,y) → (a2x + b2y , a1x + b1y)) a Δ(x2y) = < 2xy, x3 >ξ2 nie jest skończenie określone (ponieważ nie ma potęgi y jaka może być wygenerowana). Ponieważ f jest skończenie określone, istnieje maksymalne k dla którego jkf ~(r ) x2y. Możemy założyć, że jkf = x2y. Wtedy jk+1f = x2y + h(x,y), gdzie h jest wielomianem homogenicznym stopnia k+1. Stosując transformacje Φ : (x,y) → (x+Φ(x,y), y + Ψ(x,y)), gdzie Φ, Ψ są wielomianami homogenicznymi stopnia k-1 ≥ 2, mamy Rysunek 84. Możemy wybrać Φ i Ψ takie ,ze wyrazy h , które są podzielne przez xy lub x2 zanikające. Wtedy mamy Rysunek 85. Z 3.5, x2y + ayk+1 jest (k+1) - określone a zatem jest f. Zatem, f ~ (r )x2y +ayk+1 ~ (r ) x2y ± yk+1 (z (x,y) →(|a|1/2k+2.x, |a|-1/k+1.y). Teraz 4 ≤ k+1 = det f ≤ (codim f) + 2 ≤ 8. Zatem mamy poniższe możliwości : Rysunek 86. Podobnie hak w przypadku gdzie f ma kozakres 0, można wykazać ,że znak minus nie może być usunięty
Przypadek 3 : j3f = (ax + by)3, a,b rzeczywiste. Wtedy jeśli (a^, b^) i (a,b) są liniowo niezależne, transformacja Φ : (x,y) → (ax+by, a^x +b^y) daje j3(f.Φ) = j3f.Φ = x3. x3 ma nieskończony kowymiar a więc f nie jest 3 - określony. Możemy założyć ,że j3f = x3 i wybieramy k maksymalne tak ,że jkf~(r ) x3. Wtedy jk+1f = x3+h(x,y), gdzie h jesy wielomianem homogenicznym stopnia k+1. Jeśli Ψ jest transformacją (x,y) → (x+Ψ(x,y), y) gdzie Ψ jest homogeniczne stopnia k-1 ≥ wtedy Rysunek 87. Teraz wybieramy Ψ takie ,że wyrazy z h które są podzielne przez x2 zanikające. Wtedy, jk+1(f.Ψ) = x3 + cxyk + dyk+1 ((c,d) ≠ (0,0)).
a) d≠ 0 : Stsujemy ρ : (x,y) → (x,y - c/(k+1)d ⋅x) uzyskujemy Rysunek 88, gdzie P1, P2 są wielomianami homogenicznymi stopnia k-1 ≥ 2, = x3 + cxyk - cxyk+ 3x2P(x,y) + dyk+1 = x3 + 3x2P(x,y) + dyk+1, gdzie P jest homogeniczne stopnia ≥ k-1
Stosując η (x,y) → (x-P(x,y),y) uzyskujemy Rysunek 89. Teraz Δ(x3+plusmn; yk+1) =< 3x2, (k+1)yk >ξ2 a więc M2.Δ(x3 ± yk+1 = < x3, xyk, x2,y,yk+1 >ξ2 ⊇ M2k+1 a więc x3 ± yk+1 jest (k+1)-określone. Zatem f ~(r ) x3 ± y4 ~(r ) ± (x3 + y4). k ≥ 4 : x,y,y2, … yk-1, xy, xy2, … xyk-1 s,a liniowo niezależne w Mn/ Δ(f) a więc codim f = 1+2(k-1) = 2k-1 ≥ 7
b) d = 0. Wtedy jk+1(f o Φ) = x3 + cxyk (c ≠ 0) ~(r ) x3 ± xyk. Wtedy Δ(x3 ± xyk = < 3x2 ± yk, kxyk-1 > ξ2. k= 3 : x3 ± xy3 ~(r ) x3 + xy3 jest 4-określone przez Lemat 7.2. Zatem j4f ~(r ) x3 + xy3 jest 4-określona a więc f ~(r ) x3 + xy3
k ≥ 4 :rozważmy jk+2f = x3 ± xyk + P(x,y) , gdzie P jest homogeniczne stopnia 2. Wtedy Rysunek 90. Jeśli ∂P/∂y ≠ 0 wtedy x,y,y2, y3, y4, xy, xy2, xy3 są liniowo niezależne w jk+1 M2/ jk+1 Δ(f). Jeśli ∂P/∂y = 0 wtedy P = P(x) = axk+2 i x,y,y2,y3, x2, x3,x4 , xy, xy2, xy3 są liniowo niezależne. Więc codim f = dim M2 / Δ(f) ≥ dim jk+1 M2 / jk+1 Δ(f) ≥ 8
Przypadek 4 : j3f = 0 a więc f ∈ M24, tzn. Δ(f) ⊆ M23. Δ(f) jest genrowane przez 2 elementy nad ξ2, M23 przez 4 (homogeniczny jednomian stopnia 3), które są niezależne nad ξ2. Dlatego też, dim M23 / Δ(f) ≥ 2. Zatem codim f = dim M2 ? Δ(f) = dim M2 / M23 + dim M23 /Δ(f) ≥ (4 2) - 1 + 2 = 7
Kozakres ≥ 3 : Z lematu 6.15 konludujemy ,że codim f ≥ 7. Zatem twierdzenie jest udowodnione.
Uwaga : Można kontynuować klasyfikację. W kolejnym kroku znajdziemy kiełki 4y3 - xz2-a1x2y - a2x3 z 27a22 - a13 ≠ 0. który jest 3-określony i ma kowymiar 7. Co więcej a13/a22 jest niezmienne przy zmianie gładkiej współrzędnej , więc klasyfikacja staje się nieskończona z kowymiarem 7
7.2.Lemat : Kiełek x3 + xy3 w M22 jest 4 - określony.
Dowód : Niech f ∈ M2 z j4f = x3+xy3. Wtedy możemy zapisać f(x,y) = x3 + xy3 + R(x,y) przy R ∈ M25. Wstawiamy F(x,y,t) = (1-t)f(x,y) + t(x3,xy3) = x3 + xy3 + (1-t)R(x,y). Zauważ, że w dowodzie 3.5 mamy inkluzję Mnk ⊆ Mn < ∂F/∂x1 , … , ∂F/∂xn >ξn+1 uzyskaną z rodziny {Γt} w otoczeniu t0. Faktycznie, użyjemy słabej inkluzji: Mnk+1 ⊆ Mn < ∂F/∂x1, …, ∂F/∂xn >ξn+1, i zweryfikujemy to dla n = 2, k = 4. Z leamtu Nakayamy, jest wystarczające to wykazania ,że Rysunek 91 .z Zatem uzyskaliśmy następujące elementy (mod M26 takie ,ze ignorujey wyrazy stopnia ≥ 6:
3x4 + x2y3 i 3x2y3 - zatem x4,x2y3; 3xy4 - zatem xy4; 3x3y + xy4 - razem z xy4 daje x3y. Zatem uzyskaliśmy system generujący M25 z wyjątku y5. Teraz wszystkie wyrazy rzędu 5 w (1-t)xh(x,y) są podzielne przez x a więc mogą być usunięte z generatorów , jakie już mamy. Zatem uzyskujemy x2y2 a to, razem z 3x2y2 + y5 , daje y5
7.3.Następstwo : Każdy kiełek f ∈ M1 kowymairu r jest praworównowazny do xr+2 a jego uniwersalne rozwinięcie jest podane przez xr+2 + y1x + y2x2 + … +yrxr
Dowód : Adaptujemy dowód 7.1 - kozakres 1
7.4.Następstwo : Każdy kiełek f ∈ M2 kowymiaru ≤ 7 jest praworównoważny do jedenej z pozycji na liście 7.1 (dla n = 2) lub jedengo z poniższych kiełków:
Rysunek 92
Dowód : Sprawdźmy dowód 7.1 z dalszym ograniczeniem n = 2. Pierwszy kiełek pochodzi z kozakrsu 1, kolejne dwa z kozakresu 2 (przypadek 2) a ostatni z Przypadku 3a). Wykazaliśmy ,że kolejny kiełek w kozakresie 2, Przyadek 3b, ma kowymiar ≥ 8. Zatem pozostaje tylko wykazać ,że w Przypadku 4 kozakresu 2, dowolny kiełek ,ma kowymiar ≥ 8. Można to zrobić przez dekompozycję j4f = (a1x + b1y)(a2x + b2y)(a3x + b3y)(a4x + b4y) nad C i postępujemy jak w dowodzie 7.1 ,kozakresu 2 .Okazuje się ,że kiełek z najniższym kowymiarem jest praworównoważny do (x2 ± y2)(x22) (α ≠ 0 , -1,1). Ten kiełek ma kowymiar 8 a wiec dla kowymiaru > 7, klasyfikacja staje się nieskończona.
7.5. Teraz zbadamy kwestię liczby Ln - orbit. Głównie będziemy zainteresowania orbitami kiełków f , który mają kowymiary ≤ 6 (a więc 8-określone z 4.2). f jest ekwiwalentem 8-dżeta i f o Ln = (j8)-1 (j8f ⋅Ln8 ) ∩ Mn. Będziemy zaiteresowanie liczba Ln8 - orbit w J = j8(Mn) ⊆ Jn8
a)Otwarty podzbiór j8(Mn) \ j8(Mn2) jest orbitą. Jeśli f ∈ Mn\Mn2 wtedy f jest 1-określone (3.6) a więc f ~(r )j1f . j1f jest formą liniową na Rn a więc jest jest praworównoważne do x1
b)Istnieje n+1 różnych orbit składających się klas równoważności nie zdegenerowanych form kwadratowych. Są one zanurzonymi subrozmaitościami kowymiaru 0 w j8(Mn2 (4.6) a więc mają kowymiar n w J
c)Orbity o kozaresie 1 i kowymiarze ≤ 6 - zgodnie z 7.1 są w dziewięciu typach : x13, ±x14, x15, ±x16, x17, ±x18 . Pozostałe (n-1) zmiennych jest zawartych w nie zdegenerowanych formach kwadratowych. Istnieje n możliwości a daje to sumę 9n orbit których kowymiary mogą być odczytane z listy w 7.1 (dodane n)
d)Orbity z kozakresu 2 i kowymiaru ≤ 6. Zgodnie z 7,.1, istnieje jedenaście typów : x1 + x23,x13 - x1x22 , ±(x12x2 + x24), x12x2 ± x25, ±(x13+x24, ±(x12x2 + x26), x13 + x1x23. Podobnie jak w b) uzyskujemy 11(n-1) orbit których kowymiar może być odczytany z 7.1.
e)Pozostałe orbity Ln8 w J sa zawarte w ∑87 = j8(∑7) ponieważ ich elementy maja kowymiar ≥ 7
7.6.Teraz rozłożymy ∑87, zbirów wszystkich 8-dżetów kiełków o kowymiarze ≥ 7 sma skończenie wiele rozłącznych zanurzonych podrozmaitości. Jak już widzieliśmy, nie może być to zrobione przy użyciu orbit (ponieważ istnieje ich nieskończenie wiele), więc spróbujemy stworzyć prostą dekompozycję jak to tylko możliwe. Pomocne jest to ,że każda z tych rozmaitości ma kowymiar (w J) wyższy niż maksymalny kowymiar pojawiający się w 7.5. Jest to możliwe tylko w przypadku n = 2. W przypadku n ≥ 3 będzie jeden typ rozmaitości z kowymiarem n + 6, i będziemy wymuszać dodawanie orbit kiełków kowymairu 6 do tej dekompozycji uzyskując dekompozycję spełniającą wszystkie wymagania
a)Przede wszystkim rozmażmy podzbiór z ∑87 składający się z 8-dżetów kiełków z kozakresem 1 .Z 6.14 , każdy f z kozakresem 1 jest praworównoważny z Rysunek 93. Jeśli j8g ≠ 0, wtedy f jest praworównoważne do kiełka z listy 7.1 - zatem j8f ∉ ∑87. Zatem j8g = 0. Zbiór z ∈ ∑87 z kozakresem 1 może wtedy być rozłożony na n różnych orbit nie zdegenerowanych form kwadratowych w n-1 zmiennych. Przestrzeń styczna takiej orbit ma postać Rysunek 94 .Kowymiar orbity w J to Rysunek 95, a {x1, … , xn, x12,x13, … ,x18} jest podstawą dla ostatniej przestrzeni nad R. Zatem kowymair to dokładnie n+7
b)Teraz rozważmy podzbiór ∑78 składający się z 8-dżetów kiełków z kozakresem 2. Wtedy dla takiego f : f(x1, … , xn) ~ g(x1,x2 + ∑l=3nεixi2 z j2g = 0. Rozważmy cztery przypadki badane w dowodzie 7.1
Przypadek 1 : : a) i b) tworzą kiełki z listy 7.1 a więc j8f ∉ ∑87
Przypdek 2: Ponieważ f ∈ ∑7, jkg ~ (r ) x12x2 (k = 3,4,5,6) - w przeciwnym razie tworzymy kielek na liście. W szczególności, j6f ~(r ) x12x2. Rozważmy n-1 orbit w j6(Mn) wygenerowanych przez x12x2 + ∑l=3n εixi2. Wtedy Δ(j6f) = < 2x1x2,x12,x3, … ,xn > a więc Mn. Δ(j6f) = < x12x2, x1x22,x13,x12x2, Mn. Mn2 > ξn. Elementy {x1, … xn, x12 ,x1,x2, x22, x23, … , x26 } definiują bazę dla Mn/(Mn .Δ(j6f) + Mn7) a więc, tak jak w a), każda z tych orbit ma kowymiar n+7 w j6(Mn). Teraz rozważny projekcję kanoniczną Π68 : j8(Mn) → j6(Mn). Dla przeciwobrazu pod Π68 tych n-1 orbit w j8(Mn) mamy Rysunek 96, a te przeciwobrazy mają te sam kowymiary w j8(Mn) mianowicie n+7. Jest n-1 zanurzonych podrozmaitości w której rozkładami kiełki z przypadku 2.
Przypadek 3 : j3g ~(r ) x13. Ponieważ f ∈ ∑7 mamy j4g ~(r )x13 (w przeciwnym razie tworzymy kiełek na tej liście) Teraz rozważmy n-1 orbit wygenerowanych przez te kiełki x13 + ∑nl=3 εixi2 w j4(Mn). Δ(j*f) = < 3x12,x3, … xn > ξn a więc Mn.Δ(j4f) = < x13, x12x2, Mn. Mn-2 > ξn a element {x1, … xn, x12,x22,x23,x24,x1,x2,x1,x22, x1x23} definiują podstawę dla Mn/(Mn.Δ(j4f) + Mn5). Zatem te orbity mają kowymiar n+7 .Wtedy rozkładamy kiełki przypadku 3 na zanurzone podrozmaitości formowane przez przeciwobraz Rysunek 97 tych orbit. Mają one kowymiar n+7
Przypadek 4 : j3g = 0. Zatem, j3f ~(r ) ∑nl=3εixi2. Rozważmy n-1 orbit generowanych przez kiełki Rysunek 98 definiują podstawę dla Mn/(Mn. Δ(j3f) + Mn4. Zatem każda z tych orbit ma kowymiar n+7 w j3(Mn. Ponownie, rozkładamy kiełki przypadku 4 na przeciwobrazy, przy projekcji π83, z tych n-1 orbit - są zanurzonymi podrozmaitościami kowymiaru n+7
c)Teraz rozważmy podzbiór ∧ ⊆ ∑87 składający się z elementów o kozakresie ⋛3. Zbiór ten jest pusty dla n ≤ 2. Twierdzimy ,że ∧ jest skończenie rozłączną sumą zanurzonych podrozmaitości o kowymairze n+6 , jeśli n ≥ 3. Aby to zobaczyć, niech f ∈ Mn2 z j8f ∈ ∧, tzn. z kozakresem ≥ 3. Wtedy j2f ∈ Jn2 a j2f jest zdegenerowaną formą kwadratową o zakresie n - q; (którym może być zero) >W L2n - orbicie z j2f możemy znaleźć formę kwadratową która wygląda tak : q(x1, …, xn) = ± x12 … ±xn2 . Macierz jest postaci Rysunek 99, gdzie liczba znaków minus na głównej przekątnej jest L2n niezmienniczych orbit. Teraz, niech q′ będzie blisko q w Jn2. Wtedy macierz q′ wygląda Rysunek 100, gdzie A i C są symetryczne a det A ≠ 0. Wtedy Rysunek 101. Więc stopień q′ = n - q = stopień q jeśli C = BtA-1. Więc pozostajemy w tym samym zakresie klas , z których jedna musi ograniczać swobodny wybór dla wejść w symetrycznym C, tzn. msusi ograniczać 1/2q(q+1) zmiennych. Istnieje skończenie wiele orbit w Jn2. Jeśli Π82 : j8(Mn) → j2(Mn) oznacza prjekcję kanoniczną "obciętą", wtedy ∧ jest sumą rozłączną odwróconego obrazu pod Π28 wszystkich Ln2-orbit from kwadratowych kozakresu ≥ 3 w j2(Mn) . Ma to kowymiar n + 1/2g(g+1) &gel n + 1/ 2 3.4 = n+6 w j2(Mn, więc ten odwrócony obraz ma ten sam komywmiar w J.
7.5. Dla póżniejszych odniesień zbierzemy ponownie dekompozycje z J = j8(Mn) w zanurzone subrozmaitości, których będziemy używać. Jeśli n = wtedy dla dowolnego k przestrzeń jk(M1 składa się ze skończenie wielu orbit o kowymiarze ≤ n+k-1 = k, a ∑k-1k = {0} ma kowymiar n+k = k+1. Jeśli n = 2 wtedy otwraty podzbiór J \ ∑87 jest sumą rozłączną skończenie wielu orbit o kowymiarze ≤ n+6 z listy 7.3. ∑87 rozkłada się na skończenie wiele podrozmaitości o kowymiarze ≤ n+7, z listy 7.4 a), b), ponieważ zbiór ∧ z 7.4 c) jest pusty. Jeśli n ≥ 3 wtedy zbiór otwarty J \ ∑86 jest sumą rozłączna skończenie wielu orbit 8-dżetów kiełków o kowymiarze ≤ 5, które są zanurzonymi podrozmaitościami o kowymiarze ≤ n+5. ∑86 rozkłada się na orbity 8-dżetów kiełków o kowymiarze = 6 i na skończenie wiele zanurzonych podrozmaitości o wymiarze ≥ n+6, z listy 7.4
Uwaga: Mather wykazał ,ze orbita, taka jak nasza jest rzeczywiście właściwą podrozmaitością, ponieważ grupa działań jest działaniem algebraicznym grupy algebraicznej ze specjalnymi właściwościami.

Kiełki katastrofy

8.1. Niech (r,f′) będzie uniwersalnym rozwinięciem z f ∈ Mn2 i niech f′~ : Rn+r → R przedstawia f′. Wstawmy Rysunek 102 Oznaczmy przez &Pir : Rn+r → Rr naturalną projekcję i wstawmy Rysunek 103 .Wtedy 0 ∈ Mf′~ ponieważ f ∈ Mn2. Xf′ jest definiwoane jako kiełek |Xf′~|O z Xf′~ przy 0 i jest nazywany kiełkiem katastrofy z f′. Możemy odnosić się do Xf′ jako przekształcenia Mf′ na Rr gdzie Mf′ jest kiełkiem zbioru. Xf′ zależy tylko od f′ , nie f′l.
8.2.Lemat : Jeśli f jest elementem Mn3 z codim f = c, wtedy istniej (standardowe) rozwinięcie uniwersalne (c,f′) z f takie ,że istnieje dyfeomorfizm z Mf′ do Rc
Dowód : Ponieważ f ∈ Mn3, Δ(f) ⊆ Mn2 . Wybieramy podstawę {u1, … , uc} z Mn mod Δ(f) takie ,że Rysunek 104 .wtedy Rysunek 105 jest uniwersalnym rozwinięcie (6.12) i Rysunek 106. Rozważmy gładkie przekształcenie Ψ = (Ψi)ni = 1 : Rn x Rc-n → Rn, gdzie Ψi : (x1, …, xn, yn+1, … , yc) → -∂f/∂xi(x) - ∑cj=n+1 yj ∂uj/∂xi (x). Wtedy Mf′ = {(x,y)} : yi = Ψi(x,yn+1, …, yc), i = 1, … ,n} a więc jest grafem z Ψ. Graf gładkiego przekształcenia jest rozmaitością która jest dyfeomorficzna do domeny definicji, w tym przypadku Rn x Rc-n = Rc.
8.3. Rozważmy sytuacją z 6,13.3, tzn. f jest kiełkiem w Mn2 z uniwersalnym rozwinięciem f(x) + g(x,y) zdefiniowanym z Rk x Rr a q jest nie zdegenerowaną formą kwadratową w oddzielnych zmiennycn (xk+1, … , xn). Wtedy rozwinięcie uniwersalne f + q to f + q+ g.
Lemat : Xf+g = Xf+g+q
Dowód : Bez utraty ogólności możemy założyć ,że q ma postać ±xk+12 ± … ±xn2. Jeśli zapiszemy x = (x^, x^^) ∈ Rk x Rn-k, wtedy prosta kalkulacja pokazuje ,że Rysunek 107 .Zatem, Mf+q+g = Mf+g x{0} i mamy następujący diagram komutatywny : Rysunek 108
8.4.Lemat : Niech (r,f′) i (s,f′) będą rozwinięciami z f ∈ Mn2 i niech (Φ,Φ^,ε) będzie morfizmem z (s,f″) do (r,f′) Wtedy Mf″ = Φ-1(Mf′ a Xf″ jest wycoafniame z Xf′ w odniesieniu do (Φ,Φ^), tzn. mamy taki diagram komutatywny Rysunek 109
Dowód : Rysunek 110
Macierz Jacobiego z Φ. Teraz ta macierz jest regularna dla z bliskiego 0 (ponieważ DΦ(x,0) = Id) a więc Rysunek 111, tzn. Mf″ = Φ-1(Mf′). Równanie Xf′ o Φ = Φ^ o Xf″ wynika z ograniczenia równości Πr o Φ = Φ^ o ΠS to właściwego kiełka zbiorów.
8.5. Jeśli g i : (Rn, pi) → (Rm, qi) są gładkimi kiełkami (i-1,2), mówimy ,ze g1 jest równoważne g2 (zapisujemy g1 ~ g2) jeśli istnieje dyfeomorfizm kiełków Φ : (Rn, p1) → (Rn,p2) i &_Psi; : (Rn, q1) → (Rm, q2) takie ,ż Ψ o g1 = g2 ⋅ Φ . Jest to relacja równoważności i jakiej mówiliśmy na samym początku. Nie możemy zastosować jej do Xf′ i Xf&Primel ponieważ Mf′ i Mf″ nie muszą być rozmaitościami. Dlatego wywołamy te dwa kiełki Xf′ i Xf″ , definiujemy na kiełkach Mf′ i Mf″, równoważnie jeśli można rozszerzyć je na otwarte otoczenie w Rn i Rm, tak ,ze są one gładkie i równoważne w powyższym sensie, używając Φ które ogranicza się do bijeksji z Mf′ na Mf″
Następstwo
a) Jeśli f ∈ Mn2 i (Φ , Φ^, ε) : (r,f′) → (r,f″) jest izomorfizmem między rozwinięciami z f, wtedy Xf′ ~Xf″ (w sensie 8.5)
b) Jeśli (r,f′) i (r,f″) są wzajemnymi rozwinięciami z f, wtedy Xf′ ~Xf″
c) Jeśli (r,f′) , (s,f&Prime) s,a wzajemnymi rozwinięciami z f z r ≤ s, wtedy Xf″ ~ Xf′ x IdRs-r
d) Jeśli f,g ∈ Mn a f ~(r ) g (tzn. f jest prawo równoważne fo g w sensie z 2.4) i jeśli (r,f′) i (r,g′) są rozwinięciami wzajemnymi z f i g, odpowiednio, wtedy Xf′ ~Xg′.
Dowód : a) Zobacz 8.4 (Φ i Φ^ zapewniają dyfeomorfizm a &Pir, Πs rozszerzenia.
b) Z 6.12 (r,f′) i (r,f″) są izomorficzne - teraz używamy a).
c) Niech (s,f′) będzie trywialnym rozszerzeniem f′ .Wtedy (s,f′) jest również wzajemne (ponieważ jest morfizm z (r,f′) do (s,f′) - z 6.11 lub 6.12c)). Z b) (s,f′) ~(s,f″) i mamy poniższy diagram Rysunek 112
d) Załóżmy ,że f = g o y) (y ∈ Ln). Wstawiamy f″ :== g′ o (y x IdRr. Wtedy f″ |Rn x {0} = g′ |Rm x {0} o y = g o y = f a więc (r,f″) jest rozwinięciem f. Poniższy diagram zapenia równoważność między Xg′ a Xf″ : Rysunek 113. Teraz (r,f″) jest wzajemne a więc z b) Xf′ ~ Xf″ - zatem Xf′ ~Xf″ ~Xg′
8.7.Twierdzenie : Jeśli codim f ≤ 6, wtedy istnieją dokładnie 14 różne kiełki katastrofy do równoważności i dodania nowych zmiennych. Są one nazywane katastrofami elementarnymi

Globalizacja

9.1.Topologia Whitneya. Oznaczmy przez C(Rm,R) (odpowiednio Ck(Rm,R)) przestrzeń funkcji gładkicj z Rmdo R (odpowiednio przestrzeń k-razy ciągłych funkcji różniczkowalnych) . Jeśli f ∈ Ck, funkcja jkf L Rm → Jkm jest definiowana przez jkf(x) = jk[f(-x)] gdzie Jmk jest przestrzenią wielomianów stopnia ≤ k w m zmiennych. Zapewnimy przekazanie z normą || || (np. l∞-norma we współczynnikach). Dla każdej ściśle dodatniej funkcji ciągłej ε : Rm → R i każdego r ≤ k wstawiamy
vεr := {f ∈ Ck (Rm, R) : ||jkf(x)|| < ε(x) dla x ∈ Rm}. Jeśli ε przebiega przez rodzinę wszystkich takich funkcji a r przez rodzinę liczb całkowitych mniejszych niż k wtedy uzyskujemy zerową bazę otoczenia topologii grupy na Ck(Rn,R) - Ck topologię Withneya. Podobnie , jeśli r przebiega przez dodatnie liczby całkowite uzyskujemy topologię na C(Rm, R) , C-topologię Withneya. C i Ck są pierścieniami topologicznymi ale nie topologicznymi przestrzeniami wektorowymi ponieważ mnożenie skalarne nie jest ciągłe
9.2. Lemat : Niech (fn będzie ciągiem w C , f ∈ C. Wtedy fn jest zbieżne do f w topologii Withneya jeśli i tylko jeśli istnieje zwarty podzbiór K z Rm taki ,że fn = f poza K z wyjątkiem co najmniej skończenie wielu n a fn → f jednostajnie na K razem ze wszystkimi jej pochodnymi. Podobne polecenia mają zastosowanie w Ck - topologii
Dowód : Ponieważ topolgia jest z definicji translalcyjno - niezmiennicza, możemy założyć ,że f = 0. Załóżmy ,że takie K istnieje, i niech Vkε będzie otoczeniem zera. Wtedy ε0 := inf ε(x) > 0. Możemy wybrać N ∈ N takie ,że Rysunek 114 dla n ≥ N. Wtedy fn ∈ Vεk dla n ≥ N. Zatem fn → 0. Załóżmy ,że fn → 0. Wtedy fn i jej pochodne są zbieżne jednostajnie do zera (wybieramy stałą funkcję ε). Zatem wystarczy wykazać istnienie K z wymaganą właściwością do wsparcia {fnj2}. Jeśli takie K nie istnieje, wtedy możemy znaleźć ciąg (xr) w Rm z ||xr||↑∞ i podciąg (fnr) taki ,że |fnr(xr)| > 0. Wybieramy ε : Rm → R+ ciągłą z ε(xr) < |fnr(xr)|. Wtedy podciąg leży poza otoczeniem Vε0 - przeciwieństwo.
9.3.Twierdzenie ; C(Rm,R) jest przestrzenią Baire′a w C∞-topologi Withneya.
Dowód : Musimy wykazać ,że przeliczalna część wspólna otwartego, gęstego podzbioru jest gęsta. Niech U1,U2, … będzie ciągiem otwartego, gęstego podzbioru i niech V będzie otwartym otoczeniem f ∈ C (Rm, R). Musimy wykazać ,że Rysunek 115. Przez translację, możemy założyć ,że f = 0. Przy danym k ≥ 0 i ciągłej ε : Rm R+ (ściśle dodatnia!), niech Rysunek 116. Istnieją k0, ε0 takie ,że Vε0k0 ⊆ V^k0ε0 ⊆ V. Twierdzimy ,że istnieją ciągi (fj) w C(Rmj) (dodatnich liczb całkowitych) i (εj) taki że dla każdego i , wynika co następuje Rysunek 117. Postępujemy zgodnie z indukcją ; ponieważ U1 jest gęste możemy znaleźć f1 ∈ Vεk ∩ U1. Ponieważ U1 jest otwarte, istnieje k1, ε1 z f1 + V^ε1k1 ⊆ U1. Zatem A1 i B1 trwają. Mając zbudowaną daną dla j = 1, … i-1, sprawdzamy najpierw ,że Rysunek 118 a więc ten zbiór jest otwarty i nie pusty. Zatem istnieje Rysunek 119 ponieważ Ui jest gęste. Wyraźnie fi spełnia Ai i C1 Ponieważ Ui jest otwarte, możemy znaleźć ki i εi z fi + V^εiki ⊆ Ui . Więc spełnia Bi. Ciąg (fj) zbieżny jest jednostajnie we wszystkich pochodnych w Rm a więc g = lim fj istnieje (ale nie musi być zbieżny w topologii Withneya) ,i oczywiście, jkg = lim jkf jednostajnie - zatem g ∈ C (Rm, R). Każde fj ∈ Vk0ε0 z (A) a więc g ∈ V^k0ε0. Wtedy fj ∈ (fi + Vkiεi dla wszystkich j ≥ 1 a więc g ∈ fi + V^kiε0 ⊆ Ui z (B). Zatem Rysunek 120, co był do udowodnienia
9.4. Niech X będzie gładką rozmaitością , Y ⊆ X zanurzoną rozmaitością, tzn. Y jest rozmaitością a iniekcja i : Y → X jest zanurzona. Wtedy Y ma następującą właściwość : każdy punkt y ∈ Y ma otwarte otoczenie Uy (w Y) które jest właściwą podrozmaitością z X (bierzemy i(Vy) gdzie Vy jest zawartym otoczeniem z y w Y takim ,że 1 | Vy jest homeomorfizmem. Wtedy Uy = i(Vo) ma tę właściwość). Jeśli, odwrotnie, Y ⊆ X jest podzbiorem i dla każdego y ∈ Y, istnieje podzbiór Uy ⊆ Y (y ∈ Uy taki ,że Uy jest właściwą podrozmaitością z X o stałym wymiarze dla każdego y, wtedy Y jest zanurzoną podrozmaitością z X. Możemy zapewnić Y ze strukturą rozmaitości przez wklejenie razem z Uy′ przez przekształcenie przejściowe Id : Uy ∩ Uy′ → Uy′ ∩ Uy .Wtedy jest jasne ,z iniekcja i Y → X jest zanurzona a topologia Y jest, generalnie cieńsza niż indukowana przez X , ponieważ Uy′ są teraz otwarte w Y . Zanurzona podrozmaitość jest wyraźnie jednoznacznie określona przez tą właściwość
9.5.Lemat : Niech X,Y będą gładkimi rozmaitościami z W, właściwoą podrozmaitością z Y. Niech f : X → Y będzie gładkim przekształceniem a x ∈ X będzie takie ,że f(x) ∈ W a f Ψ W przy x. Wtedy istnieje otoczenie N z x w X takie ,że f Ψ X na N
Dowód : Istnieje otwarte otoczenie V z f(x) w Y i zanurzenie Π : V → Rcodim W takie lże V ∩ W = Π-1(0). Fakt ,że f Ψ W prze x jest łatwo widoczny jak równoważność Π.f będących zanurzeniem przy x, tzn. w pewnych lokalnych diagramach o x w X, macierz Jacobiego z &Pi.f ma maksymalny stopień przy x. Ale wtedy jest to prawdą w otoczeniu x takum ,że f Ψ W w tym otoczeniu.
9.6.Lemat : Niech X,Y będą gładkimi rozmaitościami z W , właściwą podrozmaitością z Y. Niech f:X→Y będzie gładkim przekształceniem i załóżmy ,że f Ψ W na X. Wtedy f-1(W) jest właściwą podrozmaitościa z X
Dowód: Wystarczy wykazać ,że dla każdego punktu x ∈ f-1(W), istnieje otwarte otoczenie U z x w X takie ,że U ∩ f-1(W) jest rozmaitością. Niech V i Π będą jak w dowodzie z 9.5. Wtedy Π-1(0) = V ∩ W a Π.f jest zanurzeniem na f-1(V ∩ W). Teraz (Π.f)-1 (0) = f-1(V) ∩ f-1(W) a więc f-1(V) ∩ f-1(W) jest podrozmaitością z f-1 (V) .Weźmy U = f-1 (V)
9.7.Lemat : Niech X,B,Y będą gładkimi rozmaitościami, z W jako właściwą podrozmaitością z Y. Niech j : B → C (X,Y) będzie odwzorowaniem takim ,że przekształcenie Φ : X x B → Y dane przez Φ(x,b) = j(b)(x) jest gładkie a Φ Ψ W. Wtedy zbiór { b ∈ B l J(b) Ψ W} jest gęsty w B
Dowód : Niech WΦ := Φ-1(W) ⊆; X x B. Z 9.6 WΦ jest właściwą podrozmaitością z X x B. Niech Π : WΦ & rarr; B będzie ograniczona do WΦ projekcji X x B → B. Twierdzimy ,że jeśli b jest wartością regularną dl Π (tzn. albo b ∉ Π(WΦ) z b ∈ Π(WΦ) a Π jest zanurzeniem na π-1(b)), wtedy j(b) Ψ W. Wtedy z twierdzenia Sarda, zbiór wartości regularnych jest gęsty w B . Zatem niech n będzie regularne dla Π Jeśli dim WΦ < dim B, wtedy j(b)(X) ∩ W = Φ . Jeśli x ∈ X z (x,b) ∈ W&Phil , wtedy Π(x,b) = b ale Π nie może być zanurzone przy (a,b). Zatem b nie jest regularne. W tym przypadku j(b) Ψ W .Załóżmy ,ze dim WΦ < dim N , wtedy j(b)(X) ∩ W = Φ. Jeśli x ∈ X z (x,b) ∈ WΦ wtedy Π(x,b) = b ale Π nie może być zanurzone prz (x,b). Zatem b nie jest regualrne. W tym przypadku j(b) Ψ W Załóżmy ,że dim WΦ ≥ dim B. Weźmy x ∈ X. Jeśli (x,b) ∉ WΦ. wtedy j(b)(x) ∉ W a więc j(b) Ψ W przy x. Zatem możemy założyć ,że (x,b) ∈ WΦ .Ponieważ Π(x,b) = b a Π jest zanurzone przy (x,b) mamy ,że Rysunek 121 .Z hipotezy mamy Φ Ψ W a więc Rysunek 122
9.8. Wstawmy J = j8 (Mn ⊆ Jn8 i oznaczmy przez P = {Qi} rozkład z J w skończonym zbiorze zanurzonych podrozmaitością jak wyjaśniliśmy to w 7.5. Pamiętaj ,ze istnieją dwie grupy zanurzonych podrozmaitości, podzielone ze względu na n = 2 i n ≥ 3. Jedna grupa składa się z samych orbit mających kowymiar ≤ n+5 lub n + 6. Druga jest zbiorem mieszanym, ale wszystkie składowe mają kowymiary ≥ n + 6 = 8 lub n +7 odpowiednio. Przypadek n = 1 jest specjalny. Tu twierdzenie z pierwszej części jest prawdziwe dla dowolnego r a poniższe dowody mogą być łatwo zaadaptowane.
9.9. Jeśli f ∈ C(Rn+r, R) oznaczamy przez j81 f przekształcenie z Rn+r do J = j8(Mn) definiowane przez j81f(x,y) = j8 ([x′ → f(x,x′, y) - f(x,y)]0 ) = rozwinięciu Taylora z f(. , y) w Rn rzędu 8 bez stałego wyrazu. Zauważ ,że [j81f]0,0 = j81[f]0,0 w sensie 6.6.
9.10. Jeśli X ⊆ Rn+r a W jest zanurzoną podrozmaitością z J , W′ ⊆ J, wtedy wstawiamy Rysunek 123
. Oznaczamy JW,Tx prze JxW i JRn+rW przez JW .Jeśli ε > 0 jest stałe, niech Rysunek 124
Wtedy jest to otoczenie zera ponieważ zawiera Vlε.
9.11.Lemat : Niech W będzie zanurzoną podrozmaitością z J, X ⊆ Rn+r będzie zwarte a W′ ⊆ W będzie zwartym podzbiorem (takim ,że W&primel jest również zwarte w J). Wtedy JW,W′x jest otwarte w C(Rn+r, R)
Dowód : Wybieramy f w JW,W′x i x w X. Wtedy albo j81 f(x) ∉ W′ lub j81f(x) ∈ W′ a macierz [T(j81f), B] ma stopień dim J = (n+ 8 8 , - 1) , gdzie B jest macierzą, której kolumny formują bazę Tj81f(x)W. Poniewa W′ jest domknięte, powyższe polecenie kontynuuje dla wszystkich x′ ∈ Ux ∩ X gdzie Ux jest otoczeniem z x a wszystkie f′ ∈ C(Rn+r, R), tak więc j81f′(x′) jest blisko j18f(x′) dla każdego x′ ∈ Ux ∩ X, tzn. dla każdego f′ ∈ f + V8εx,X dla pewnej stałej εx > 0. Pokrywamy X przez skończenie wiele Ux . Jeśli ε jest minimalny z εxj wtedy f + V8εx,X ⊆ JW,W′8
9.12.Twierdzenie : Niech W będzie zanurzoną podrozmaitością z J. Wtedy JW = {f ∈ C (Rn+r, R) : j81f Ψ W} jest podzbiorem rezyudualnym C (Rn+r,R)
Dowód : Musimy wykazać ,że JW może być przedstawione jako przeliczalna część wspólna otwartego , gęstego podzbioru. Wybieramy pokrycie z W przez otwarcie (w W), względnie zwartego podzbioru {Wi} jak w 9.4. Możemy szukać przeliczalnego pokrycia {Xj} z Rn+r prze zwarte zbiory. Wtedy JW = ∩JXjW,W^ a ,z 9 .11 każde JXjW,W^i jest otwarte. Pozostaje wykazać ,że każde JxjW,W^i jest gęste . Dla uproszczenia notacji, zapiszemy X dla Xj i W′ dl Wi. Wykażemy ,że możemy przybliżać dowolne f ∈ C przez funkcje w JXW,W′ .Weźmy J = jjMn i rozważmy ją jako przestrzeń funkcji wielomianowych na Rn+r , niezależnej drugiej zmiennej i zanikającej przy 0. Niech α będzie C - funkcje na Rn+r ze zwartym wsparciem a α = 1 w otoczeniu U x X w Rn+r ,.Dla b ∈ J , niech f + α b będzie funkcją f(+αb)(x,y) = f(x,y) + α(x,y)b(x), (x,y) ∈ Rn+r. Jeśli bn → 0 w J (tzn. współczynniki z bn są zbieżne do zera), wtedy f + αbn → f w C(Rn+r, R) przez 9.2. Teraz niech Rysunek 125
. Jeśli W″ jest względnie zwartym otwartym otoczeniem W′ w W, wtedy W″ jest właściwą podrozmaitością z J (z 9.4). Twierdzimy ,że Φ Ψ W″ .Dla j81(f+b)(x,y) = j81f(x,y) + j81b(x), i dla stałego x ,. b → j81b(x) jest tylko przekształceniem z na swoje rozwinięcie Taylora przy x bez stałego wyrazu. To przekształcenie ma odwrotność (mianowicie, przekształcenie c → j81c(-x), dla c ∈ J a więc dla dowolnego (x,y) ∈ Rn+r przekształcenie b → Φ(x,y,b) = j81f(x,y) + j81b(x) jest dyfeomorfizmem z J na samą siebie. Zatem Φ L U XJ → J jest zanurzeniem a więc wyraźnie transwzajemnym do W″ w J. Warunki z 9.7 sa wtedy w pełni wypełnione i konkludujemy ,że zbiór { b ∈ J : .j(b) = j81(f+b) Ψ W″ na U } jest gęste w B. Wtedy możemy znaleźć ciąg (bn) w B zbieżny do 0. Zatem, f + αbn & rarr; f w C(Rn+r> , R) a j81(f+αbn) Ψ W″ na U, tzn. r + αbn ∈ JUW″ ⊆JXW,W^′
9.13. Chcemy wykazać ,ze J = ∩Q εPJQ, który jest rezydualnym podzbiorem z C(Rn+r,R) z 9.12 , jest, faktycznie, otwarte. JQ nie jest otwarte generalnie (ponieważ Q jest zanurzoną podrozmaitością). Zatem musimy wybrać inne podejście: Rysunek 126. Ponieważ każde Q ∈ P przy Q ∈ ∑86,7 (6,7 ze względu do tych dwóch przypadkow n = 2 lub n ≥ 3; 0 ma kowymiar ≥ n + 5,6 w J, przekształcenie z Rn+r do J (dla r ≤ 5,6) który napotyka ∑86,7 mogą nigdy nie być transwzajemne do wszystkich Q′ w P. Zatem J ∈ J1. Ten argument może łatwo być zaadaptowany do przypadku n = 1 r arbitralnie.
9.14.Lemat : J1 jest otwarte w C(Rn+r, R)
Dowód : Weźmy f w J1 .Dla x ∈ Rn+r , j81f(x) ∉ ∑86,7 a ponieważ ∑86,7 jest domknięte w J (4.4) mamy ε(x) := inf { ||j81f(x)-b|| : b ∈ ∑86,7} > 0. Przekształcenie ε : Rn+r → R zatem zdefiniowana jest ściśle dodatnie i ciągłe(ponieważ ma postać ε(x) = d(j81f(x) , ∑86,7)). Ale wtedy f + V8ε/2 jest wyraźnym otoczeniem f , które jest zawarte w J1
9.15. Teraz wstawiamy J1 := J \ ∑87 , które jest otwarte w J i P1 = {Q ∈ P : Q ⊆ J1}. Wtedy P1 składa się 21 n-9 orbit wymienionych w 9.8a. Poniżej mamy klcuzowy Lemat dla właściwości otwartości i używany mocnej specjalnej właściwości dekompozycji P1 , który jest zazwyczaj ujmowany pod nazwą stratyfikacji (rozwarstwienia). P{onieważ możemy użyć jej bezpośrednio ,nie będziemy dywagować nad jej definicją.
Lemat ; Niech f ∈ J1 , x ∈ Rn+r, j81f(x) ∈ Qi dla pewnego Qi P1. Wtedy jeśli j1 Ψ Qi przy x, istnieje otoczenie Ux z x w Rn+r , otoczenie V z f w J1 takie ,że j81f′ Ψ Qj na Ux dla wszystkich Qj ∈ P1 a każde f′ ∈ V.
Dowód : j81f Ψ Qi przy x implikuje ,że Rysunek 127. Teraz niech ρ : J1 x Ln8 → J1 będzie przekształceniem ρ(z, Φ) = x.Φ, tzn. działanie indukowane na J1 przez Ln8 .Teraz jeśli x ∈ J1, wtedy TŻ(z.Ln8) = IM(T(ρ(z,.))e). Niech d(j81f)(x) i d(ρ(z,.)) ( e) będą macierzą reprezentująca T(j81f)x i T(ρ(z,.)) (e ) dla pewnych współrzędnych. WTeyd kolumna wektorów d(j81f)x generuje IM(T(j81f)x) i ten z d(ρ(z,.)) (e )generuje TŻ(z.Ln8) podobnie. Więc, z założenia, macierz [d(j81f)(x) | d(ρ(j81f(x),.))( e)] mam stopień macierzy, mianowicie dim J1 = dim J = (n+8 8) -1. Przekształcenie (f′, x′ , Φ) → [d(j81f′(x′) | d(ρ(j81f′(x′), .)(Φ)\ jest ciągłe na J1> x Rn+r x Ln8 ponieważ d(j18f′)(x′) zależy ciągle na j9f′ : Rn+r → J9rHr. Zatem macierz [d(j81f′)(x′) | d(ρ(j81f′(x′) , .)(Φ))\] ma maksymalny stopień jeśli x′ jest blisko x w Rn+r, mówimy x′ ∈ UX , zwarte otoczenie x a Φ jest blisko e w L8n, mówimy,że Φ ∈ W , otoczenie e w L8n i jeśli d(j81f′)(x′) jest blisko d(j81f)(x′) , dla wszystkich x′ ∈ UX, mówimu ,że f′ ∈ (f + Vε,UX9 ∩ J1 gdzie ε > 0 jest stałą a notacja jest z 9.0. Ale to oznacza ,że j81f′ Ψ Qj na UX dla wszystkich Qj ∈ P1 a wszystkie f′ ∈ (f+V9ε,UX ∩ J1 =: V
9.16.Twierdzenie L Jeśli n = 1 dla wszystkich r, jeśli n = 2 dla r ≤ 6, jeśli n ≥ 3 dla r ≤ 5 zbiór F jest otwarty w C(Rn+r, R)
Dowód:Niech X ⊆ Rn+r będzie zwarte. Wykażemy najpierw ,że Rysunek 128 jest otwarte. Wybieramy f w J1X. Jeśli x ∈ X wtedy j81f(x) ∈ Qj dla pewnego j, więc z 9.15, istnieje otoczenie UX x w Rn+r i otoczenie (f + V9εXUX ) ∩ J1 z f , tak wiec f′ ΨQi na UX dla wszystkich Qi ∈ P1 i wszystkich f′ ∈ (f + V9εX,UX) ∩ Jj. Pokrywamy X przez skończenie wiele {UXk} z UX i niech ε = min εXk. Wtedy (f + V9ε,X∩ J ⊆ J1X. Teraz niech Rysunek 129 jest rozłączną sumą zwartych podzbiorów z Rn+r i załóżmy ,że Xi mają parowo rozłączne otoczenia {Yi}. Twierdzimy ,że J1X jest ponownie otwarte. Niech β1 : Rn+r → R będzie gładkimi funkcjami z 0 ≤ βi ≤ 1. βi = 1 na Xi i β1 = 0 jeśli i tylko jeśli Yi dla każdego i. Teraz, jeśli f ∈ J1X, wtedy f∈ JX1 dla każdego i a więc z pierwszej części dowodu istnieje stała εi >0 taka ,że (f + V9εi,Xi ) ∩ J1 ⊆ J1X1.Niech μ := 1 = ∑βi + ∑ εiβi. Wtedy μ jest ściśle dodatnie i jeśli x ∈ Xi wtedy μ(x)= εi. Zatem Rysunek 130. Możemy teraz udowodnić ,ż J jest otwarte w J1. Możemy wybraż podzbiory X,.X′ z Rn+r z powyższą właściwością taką ,że X ∪ X′ = Rn+r (np. Rysunek 131
9.17.Twierdzenie L: Jeśli n = 1 i r jest dowolne, lub n = 2 a r ≤ 6, lub n ≥ 3 a r ≤ 5, wtedy otwarty gęsty podzbiór J := {f ∈ C(RN+r, R) ; j81 F Ψ Qj dla wszystkich Qj w P} ma następująca właściwość : jeśli f ∈ K, wtedy Mf jest rozmaitością a każda osobliwość z Xf jest równważna elementarnej katastrofie.
Dowód : Wybieramy f w J. Wtedy j81 f Ψ j8 (Mn2 w J = j8(Mn. Dla j8(Mn8 jest liniowa podprzestrzeń z J i jeśli x ∈ Rn+r z j81f(x) ∈ j8(Mn2, j8,f(x) ∈ Q dla pewnego Q ∈ P, Q ⊆ j8(Mn2. Wtedy j81f Ψ Q przy x, to znaczy Rysunek 132 a więc j81f Ψ j8(Mn) przy x. Z 9.6 (j81f)-1(j8(Mn2)) jest podrozmaitością z Rn+r z kowymiarem n ponieważ j8(Mn2) ma kowymiar n. Teraz Rysunek 133. Zatem Mf jest podrozmaitością z Rn+r kowymiaru r. Niech XfRn+r : Mf → Rr .Załóżmy ,że Xf ma osobliwość przy (x,y) ∈ Mf i załóżmy ,.że (x,y) = (0,0). Niech f^ := f |Rnx{R} . Wtedy [f^]0∈ Mn2 ponieważ (0,0) ∈ Mf. J81[f^]0 = [j81(0,0) Ψ(j8f^).Ln8 w J ponieważ f ∈ J a więc [f]0 jest 8-transwzajemnym rozwinięcie z [f^]0 (z 6.6). Zatem z 6.7 Mn = Δ([f^]0) + V[f](0,0) + Mn9 a więc dim (Mn / Δ([f^]0) + Mn9) ≤ dim V[f](0,0) ≤ r ≤ 6. Wtedy τ(j9[f^]0) ≤ 6 a więc codim [f^]0 = τ(j9[f^]0 ≤ 6 (4.4) , co implikuje ,że det[f^]0 ≤ codim [f^]0 + 2 ≤ 8 (4.2), tzn. [f^]0 jest 8-określony a [f](0,0) jest 8-transwzajemnym rozwinięciem z [f^]0. Wtedy (r,[f](0,0)) jest uniwersalnym rozwinięcie, z[f^]0 z 6.11. Z 8.7, odpowiednio 8.8, konkludujemy ,że [Xf]0 = X[f](0,0) jest równoważne elementarnej katastrofie.
9.18.Twierdzenie : Przy założeniu twierdzenia 9.17 dla dowolnego f ∈ J przekształcenie Xf jest lokalnie stabilne w Mf. (Mówimy ,że Xf jest lokalnie stabilne przy (x0,y0) ∈ Mf jeśli N jest otoczeniem (x0,y0) w Rn+r, wtedy istnieje otoczenie V z f w J, takie ,że dla każdego g ∈ V istnieje (x1, y1) ∈ N ∩ Mg przy [Xf](x0,y0) ~[Xg](x1,y1 w sensie z 8.5. Ponieważ Mf i Mg są rozmaitościami, możemy wyrazić notację równoważności z 8.5 w prostszy sposób : istnieją kiełki dyfeomorfizmów Rysunek 134
Dowód : Niech (x0,y0) ∈ Mf. Jeśli z0 := j81f(x0,y0) &isinl; a N jest otoczeniem z(x0,y0) w Rn+r , wtedy j81f Ψ (z0.Ln8) przy (x0,y0) ponieważ f ∈ J. Niech c = codim z0.Ln8 w J (≤ n+6). Wtedy istnieje c-wymairowa afiniczna podprzestrzeń C przez (x0,y0 w Rn+r taka ,że dla D = C ∩ N mamy j81f|D Ψ z0 .Ln8 a zatem [j81f|D]x0,y0 jest kiełkiem osadzonym. Istnieję otwarte podzbiory D1 ⊆ D, (x0, y0) ∈ D1,takie ,że j81f(D1) ∩ (z0.L8n) jest zbiorem jednopunktowym. Jeśli g jest dość blisko f w J, wtedy j81d(D1) ∩ (z0.Ln8 jest jeszcze zbiorem jednopunktowym a j81g|D1 Ψ (z0.Ln8 na D. Niech V ⊆ J będzie otoczeniem f takim ,że każde g ∈ V ma tą właściwość. Wtedy dla g ∈ V mamy j81g|D1 Ψ (z0.Ln8 na D1 i istnieją (x1, y1 ∈ D1 takie ,żę j81g(x1,y1) := z1 ∈ j81g(D1) ∩ (z0.Ln8.Zatem istnieją Rysunek 136, tak więc fr⋅ g1 : (Rn+r, 0) → (Rr,0) a z0 = j8(f0|Rn x {0}) , z1/ = j8(f1|Rn x {0}. Teraz j81f0 = j81f.(translacja) a więc Rysunek 137 a (r, [f0](0,0) jest 8-transwzajemnym rozwinięcie z [f0]Rnx {0}. Ponieważ r ≤ 6 może sprawdzać ,jak w dowodzie 9.17 ,że (r,[f0](0,0) jest uniwersalnym rozwinięcie, z [f0|Rn x {0}] i że [f0|Rnx{0}]0 jest 8 - określona , tak więc [f0|Rn x {0} jest prawo równoważna do jej 8-dżeta z0. Podobnie g1 z1. Teraz z konstrukcji z1 ~(r ) z0 a więc Rysunek 138 a (r,[f0](0,0)), (r,[g1](0,0) ) są uniwersalnymi rozwinięciami. Zatem z 8.6.(d) możemy skonkludować ,że X[f0]~X[g1]. tzn, Rysunek 139 , gdzie pierwsza równoważności jest dana przez translację przez -(x0,y0) w Rn+r i [rzez -y0 w Rr a ostatnie równoważność jest dana przez translację przez -(x1,y1) w Rn+r i przez -y1 w Rr

Katastrofy na rozmaitościach

10.1 Niech M będzie rozmaitością, gładką bez ograniczenia. Potraktujmy Whitney-C - topologię na C(M), algebrą funkcji gładkiej na M Dlatego musimy potraktować wiązkę Jk(M,R) nad M.
Definicja ; k-dżet funkcji na M jest klasą równoważności [f,x]k pary (f,x) gdzie f ∈ C(M) i x ∈ M. Relacaj równoważności jest następująca : [f,x]k = [g,y]k jeśli x = y i f,g mają takie samo rozwinięcie Taylora przy 0 w pewnym diagramie M wyśrodkowanym przy x. Wersja swobodnych współrzędnych : [f,x]k = [g,y]k jeśli x = y a Tkfx = Tkgx, gdzie Tk jest k-razową iterację funktora wiązki stycznej. Zapisujemy [f,x]k = jkxf = jkf(x) i nazwiemy to k-dżetem z f przy x. Zbiór wszystkich k-dżetów jest nazywany Jk(M,R).
10.2. Teraz niech M = U będzie otwartym podzbiorem z Rm. Wtedy k-dźet przy x ∈ U z dowolnej funkcji f ∈ C&insfin; ma reprezentatywność kanoniczną, wielomian Taylora z f przy x rzędu k : (jkf(x))(t) = f(x) + df(x)t + 1 /2!⋅d2f(x)(t,t) + … + 1/k!⋅dkf(x)tk. Więc mamy Jk(U,R) = U x Jkm = U x Jkm, gdzie Jkm jest przestrzenią k-dżetów przy 0 z C- funkcji na RM. Każde jkf: U → Jk(U,R) jest częścią trywialnej wiązki wektorowej Jk(U,R) nad U. Teraz niech g : U → U′ będzie dyfeomorfizmem między otwartymi podzbiorami z Rm. Wtedy dla każdego x ∈ U , k-dżet jkg(x) jest odwracalnym przekształceniem wielomianowym z (Rm,x) do (Rm,g(x)) a obcięte złożenie z jkg(x) z prawej strony danego liniowego izomorfizmu z Jkg(x)(U′,R) do Jkx(U,R); gdzie Jky(U,R) = Jkm jest przestrzenią wszystkich dżetów ze źródłowym y. Szczegółowo: jkf(g(x)) → jkf(g(x))• jkg(x) = jk(f o g)(x). Daje to włóknisty liniowy dyfeomorfizm Jk(g,R) : Jk(U′,R) → Jk(U,R)
10.3.Teraz niech M będzie ponownie rozmaitością o wymiarze m. Niech (U,u) będzie diagramem, tzn. uU → u(U) ⊆ Rm jest dyfeomorfizmem z otwartego zbioru U w M na otwarty podzbiór Rm. Dla każdego k-dżeta σ &isisn; Jk(M,R) ze źródłwem x= α(σ) ∈ U, tzn. &sigmal = jkf(x) dla pewnego f i α ; Jk(Mk(f o u-1)(u(x)) ∈ Jk(u(U),R) do σ. Jest to bijektywne przekształcenie Jk(u-1,R) : JkU(M,R) = Jk(U,R) → Jk(u(U),R) = u(U) xJ′mk. Wszystkie te przekształcenia razem dla atlasu M daje atlas Jk(M,R). Z 10.2 diagram zmiany przekształcenia są gładkie a więc Jk(M,R) jest gładką rozmaitością, α : Jk(M,R) → M jest gładką wiązką styczną rzutowania
10.4.Whitney-C - topologia na C(M) jest dany przez wzięcie wszystkich zbiorów w postaci U(k,V) = {f ∈ C(M) : jkf(M) ⊂ V}, V otwarty zbiór w Jk(M,R), jako podstawę tej topologii. Łatwo zobaczyć że to jest rzeczywiście podstawa topologii. Aby udowodnić ,ze ta topologia jest przestrzenią Baire′a musisz stworzyć poniższą konstrukcję.
10.5.Niech X,Y będą arbitralnymi przestrzeniami topologicznymi. Niech C(X,Y) będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych X → Y. Graf topologii na C(X,Y) jest podany w następujący sposób : Niech f ∈ C(X,Y) a Γf = {x,f(x)), x ∈ X} x c c y będzie grafem f. Niech W będzie otwartym otoczeniem z Γg w X x Y. Wtedy niech N(f,W) = {g ∈ C(X,Y): Γg ⊂ W}i weźmy filtr N(f,W), W otwarty w X x Y i zawierając Γf jako bazę dla ootoczenia z f w C(X,Y). Jeśli X jest parazwartą a Y przestrzenią metryczna z metryką d wtedy graf topologii na C(X,Y) ma bazę składającą się ze wszystkich zbiorów w postaci N(f,ε) = {g ∈ C(X,Y) : d(f(x), g(x)) < ε(x) dla wszystkich x w X}, gdzie ε : X → R przebiega wszystkie ściśle ciągłe funkcje dodatnie na X. Jeszcze inna definicja : Podzbiór C(X,Y) jest nazywany jednostajnie domkniętym w odniesieniu do metryki d na Y, jeśli zawiera granicę każdego jednostajnie zbieżnego ciągu w sobie. Dowolny podzbiór , który jest domknięty w topologii punktowo zbieżnej, jest jednostajnie domknięty, ponieważ jest podzbiorem, który jest domknięty w zwartej otwartej topologii
Lemat : Niech X będzie parazwartą i niech Y będzie kompletna przestrzenią metryczną .Wtedy dowolny jednostajnie domknięty podzbiór Q z C(X,Y) jest przestrzenią Baire′a w grafie topologii.
Dowód : Niech (An) będzie ciągiem podzbiorów Q ,które są otwarte u gęste w grafie topologii. Niech U będzie nie pustym otwartym zbiorem w Q. Musimy wykazać ,ze U ∩ ∩An ≠ ∅. Zbiór A0 ∩ U jest otwarty i nie pusty, więc istnieje pewne f0 ∈ A0 ∩ U i pewnego ε0C(X,(0,1)) takie ,że Q ∩ N^(f0, 2ε0) ⊂ A0 ∩ U, gdzie N^(f0, ε0) = {g ∈ C(X,Y) : d(f0(x), g(x) ≤ ε0(x) dla wszystkich x w X}. Z rekursji uzyskujemy ciągi (fn) w Q, (εn) w C(X,Y)) takie ,że εn+1 ≤ εn/2 i Q ∩ N^(fn+1, 2εn+1) ⊆ An+1 ∩ N(fn, εn) dla wszystkich n. Wtedy mamy d(fn+1(x), fn(x)) ≤ 2-2 , dlatego też (fn) jest jednostajnie zbieżne w X a f := lim fn jest w Q ponieważ Q jest jednoznacznie domknięty w odniesieniu do d. Również d(f(x), fn(x)) ≤ ∑k≥nεn(x)∑k≥02-k = 2εn(x).Więc f ∈ N^(fn,2εn ∩ Q ⊆ An ∩ N(fn, εn, f ∈ An dla każdego n. Również, f∈ N^(f0, 2ε0) ∩ Q ⊆ A0 ∩ U , zatem f ∈ U ∩ ∩An
10.6.Twierdzenie : C(M) jest przestrzenią Baire′a w topologii C Whitneya.
Dowód : Niech J&infin(M,R) będzie rzutową granicą ciągu … ←Jk(M,R) ← Jk+1(M,R) ← Jk+2(M,R) ← …, gdzie przekształcenia są kanonicznymi obcięciami. Każde Jk(M,R) jest rozmaitością , więc jest całkowicie metryzowalne, więc J(M,R) jest domkniętym podzbiorem z TkTJk(M,R) i jest zatem również całkowicie metryzowalna. Niech j : C&infin(M) → C(M,J(M,R)) będzie oczywistym przekształceniem. Wtedy j jest injektywne (ponieważ obcięcie przy porządku 0 z jf dając z powrotem f), a obraz jest domknięty w zwartej otwartej topologii (która indukuje w C(M) topologie jednoznacznie zbieżną w zwartych podzbiorach, w każdej pochodnej oddzielnie, czyniąc ją całkowicie lokalną wypukłą przestrzenią wektorową). Więc obraz j jest jednoznacznie domknięty a z lematu jest przestrzenią Baire′a w topologii indukowanej. Również obraz jest zawarty w podprzestrzeni wszystkich ciągłych części topologicznych) wiązka wektorowa J(M,R) → M gdzie graf topologii pokrywa się z topologią daną przez podstawę U(s,V) = {s′ : s′(X) ⊆ V}, V otwarte w J(M,R) .Z dobrzez znanych właściwości granicy rzutowej topologicznej, ta ostatnia topologia indukuje topologie Whitneya-C w C(M).
10.7. Niech M będzie rozmaitością wymiaru n+r. Foliacja F o kowymiarze r w M jest dana przez rozpoznawalny atlas w M, atlas ,składający suę z rozpoznawalnych wykresów (U,u). Te wykresy są przekształceniami u: U → Rn x Rr, u(U) = Q1 x Q2 , iloczyn dwóch otwartych sześcianów w Rn, Rr, odpowiednio. Dla dwóch rozpoznawalnych wykresów (U,u) i (V,v) wykres zmiany odwzorowania u ⋅ v-1 : v(U ∩ V) &rarr u(U ∩ V) ma postać u ⋅ v-1(x,y) = (f(x,y),g(y)). Dla rozpoznawalnych wykresów (U,u) zbiór u-1(Q1 x {y}) jest (fragmentem) n-wymiarowej podrozmaitości w M. Jest to nazwane tablicą. Dla dowolnego x ∈ M niech F(x) będzie maksymalnym n-wymiarowym połączeniem zanurzonej podrozmaitości M , które są zbieżne w każdym rozpoznawalnym wykresem z tablicą i zawiera x.F(x) jest nazywane liściem foliacji F przez x
10.8. Niech F będzie foliacją na M. Dowolne x w M możemy połączyć płaszczyznę styczną TxF(x) z liściem przez x, co jest oznaczone przez TxF dla skrótu. Daje to wiązkę wektorową TF nad M, subwiązkę wiązki stycznej TM. Jeśli X i Y sa dwoma ciałami wektorowymi w M bierzemy wartości w TF (sekcja TF → M) wtedy nawias Lie[X,Y] bierze również wartości w TF
Twierdzenie (Frobeniusa). Niech E będzie n-płaszczyzną wiązki w TM nad M. Wtedy E jest wiązką styczną foliacji na M jeśli tylko jeśli dla dowolnej części X,Y z E , nawias Lie [X,Y] w TM ma również wartości w E.
Jest to standardowy wynik geometrii różniczkowej.
10.9. Niech Mn+r będzie rozmaitością z foliacją F wymiaru n. Chcemy zdefiniować wiązkę wektorową (algebra wiązki) JkF(M,R) k - dżetów wraz z liściami funkcji gładkich na M. Niech (U,u) będzie rozpoznawalnym wykresem w M, więc u(U) = Q1 x Q2 jest iloczynem sześcianów w Rn i Rr , odpowiednio. Definiujemy JkF(u(U),R) := Q1 x Q2 x Jnk (tu F wskazuje trywialną foliacje Rn+r = Rn x Rr). Dla f ∈ C(u(U)) definiujemy jkFf(x,y) := jk(f(.,y))(x) ∈ Jkn. Przekształcenie zmiany wykresu między rozpoznawalnymi wykresami (U,u) i (V,v) jest w postaci u ⋅v-1(x,y) = (a(x,y), b(y)) , więc indukuje włókniste liniowe (i multiplikatywne) gładkie odwzorowanie
Rysunek 140 . Zwróć uwagę, że jk(a(.,y))(x) jest kiełkiem dyfeomorfizmu (Q1,x) → (Q′1,a(x,y)). Więc przez sklejenie zbiorów JkF(u(U),R) przez odwzorowanie zmiany wykresu JkF(u ⋅ v-1,R), uzyskujemy k-dźet wiązki JkF(M,R) k-dżetów wraz z liśćmi funkcji gładkich na M.
10.10. Poniższe rozważania są równoległe do 9.8-9.18. W 8.9 wstawiliśmy J = j8(Mn) ⊂ J8n i ponownie P = {Vi} będzie rozkładem J w skończonym zbiorze zanurzonej rozmaitości jak wyjaśniliśmy w 7.5. Subwiązka Q1 x Q2 x J z Q1 x Q2 x J8n jest stabilne przy wszystkich współrzędnych zmiennych rozpoznawalnych wykresów, ponieważ to leży w grupie Ln8. Również wszystkie składowe rozkładu P są stabilne przy tych zmiennych współrzędnych. Widać poniższe fakty:
1.Istnieje subwiązka J8F(M,R)0 z J8F(M,R) włókna kowymiaru 1, składająca się ze wszystkich k-dżetów wraz z liśćmi bez stałych wyrazów. W rozpoznawalnym wykresie ta wiązka jest przekształcona do Q1 x Q2 x J
2.P8F(M,R)0 jest rozłożone na skończony zbiór zanurzonych podrozmaitości Wi. Każde Wi jest wiązką włóknistą nad M ze strukturą grupy Ln8 i typowym włóknem Vi. Każde Wi ma kowymiar albo ≤ n+5 ,n+6 lub kowymiar ≥ n+6, n+7 (dla n ≥ 3 lub n = 2 odpowiednio) W rozpoznawalnym wykresie zanurzona subwiązka Wi jest odwzorowana do Q1 x Q2 x Vi, Vi odpowiada składwoej do rozkładu P z J
10.11. Ustawym następującą notację:
Mn+r jest gładką rozmaitością z kowymiarem f foliacji F, gdzie r ≥ 6 dla n = 2 i r ≤ 5 dla n ≥ 3 a r arbitralnie dla n = 1. Zapisujemy J(M) := J8F(M,R)0 dla skrótu. Jeśli X jest podzbiorem z M, W jest zanurzona podrozmaitością J(M) a Y jest podzbiorem J(M), wstawiamy FXW,Y := { f ∈ C (M) : j8Ff Ψ W przy każdym x ∈ X j8Ff(x) ∈ Y}. Co więcej, wstawiamy FW,Y := FMW,Y, FXW := FXW,J(M), FW := FMW,J(M). Wyznaczamy metrykę dk w każdej przestrzeni JkF(M,R) taką ,że staje się całkowitą przestrzenią metryczną. Dla f ∈ C(M), ε ∈ C(M,(0,1)) , X ⊂ M a k ≥ 0 wstawiamy NkX(f, ε) := { g ∈ C&Infin;(M) : dk(j8Ff(x), j8Fg(x)) < ε(x) dla każdego x &isin X} Jest to otoczenie f w topologii Whitneya ponieważ zawiera otwarte otoczenie NkM(f,ε)
10.12 Lemat ; Niech W będzie zanurzoną podrozmaitością J(M), niech X będzie zwartym podzbiorem z M i niech W′ będzie zwarte w W. Wtedy FW,W′X jest otwarte w C(M).
Dowód: Niech f ∈ FXW,W′. Wystarczy wykazać ,że dla każdego x ∈ X istnieje zwarte otoczenie UX z x w M takie ,że FUXW,W′, zawiera otwarte otoczenie VX z f w C(M). Wtedy możemy pokryć zwarte X przez skończenie wiele UXi = Ui a wtedy ∩VXi =: V ⊂ ∩FUXiW,W′ ⊂ FXW,W′, a V jest otwartym otoczeniem f. Teraz musimy kontrolować tylko blisko x, więc przez rozpoznawalny wykres możemy założyć ,ze są w Q1 x Q2 ⊂ Rn+r, i udowodniliśmy lemat 9.11
10.13.Twierdzenie : Niech W będzie zanurzoną rozmaitością J(M). Wtedy FW = {f ∈ C(M) :j8Ff Ψ W} jest rezydualnym podzbiorem z C(M)
Dowód L Chcemy wykazać ,że FW może przedstawić jako przeliczalną część wspólną otwartych gęstych podzbiorów. Wybieramy pokrycie W przez otwarte (w W), względnie zwarte (w W) podzbiory Wj jak w 9.4 .Wtedy każde Wj jest osadzoną rozmaitością J(M) a W^j jest zwarte. Następnie wybieramy przeliczalne pokrycie (Xk) z M przez zwarty podzbiór taki ,że każde Xk jest zawarte w rozpoznawalnym wykresem (Uk,uk) z M. Wtedy FW = ∩j,kFW,WjXk a z lematu 10.12 każde FW,WjXk jest otwarte. Pozostaje wykazać ,że jest również gęste. Ponieważ potrzebujemy transweralizacji tylko na Xk ⊂ Uk, możemy założyć że są w Rn+r i kończymy dowód jak w 9.12.
10.14. Chcemy wykazać ,że zbiór F = ∩{FWi : Wi ∈ P, rozkład J(M)}, który jest rezydualnym podzbiorem z 10.13, jest faktycznie otwarte. Powtarzamy procedury z Globalizacji i wstawiammy F1 = {f ∈ C(M) : j8Ff(M) ∩ Wj = ∅ dla tych Wi w P , które ma kowymiar ≥ n+6, n+7}. ∑ ,suma tych Wi z kowymiarem ≥ n+6, n+7, jest domknięte w każdej rozpoznawalnej trywializacji Q1 x Q2 x J i jest lokalnie trywialną topologiczną wiązką nad M, więc ∑ jest domknięte w J(M) i dlatego F1 jest otwarte w C(M), jak w argumencie w lemacie 9.14. Niech P1 = {Wi : cdim Wi ≤ n+5, n+6} , rozkład otwartego zbioru J(M) \ ∑
10.15.Lemat : Niech f ∈ F1 , x ∈ M, j8Ff(x) ∈ Wi, dla pewnego Wi ∈ ) . Jeśli j8Ff Ψ Wi przy x , wtedy istnieje otoczenie UX z x w M i otoczenie V z f w F1 takie ,że j8Fg Ψ Wj na UX dla wszystkich g ∈ V i dla wszystkich Wj ∈ P1
Dowód : Problem jest lokalny przy x ∈ M. więc możemy wybrać rozpoznawalny wykres przy x ∈ M i używamy lematu 9.15 lub lepszego jego dowodu.
10.16. Twierdzenie : F ∩ F1 = ∩{FWi : Wi ∈ P1} ∩ F1 jest otwartu w C(M).
Dowód : Ten sam dowód jak dla 9.16 zastosujemy tutaj, ponieważ nie używamy specjalnej struktury Rn+r - struktury. W końcowej części dowodu, wybieramy całkowita metrykę w M
10.17. Twierdzenie : Niech Mn+r będzie gładką rozmaitością z foliacją F o kowymiarze r. Jeśli n = 1 niech r będzie arbitralne. Jeśli n = 2 niech r ≤ 6. Jeśli n ≥ 3 niech r ≤ 5. Wtedy otwarty gęsty podzbiór F = {f ∈ C(M): j8Ff Ψ Wi dla wszystkich Wi ∈ P} (jr+2F fΨ … jeśli n = 1) ma następujące właściwości:
1.Jeśli f ∈ F wtedy zbiór Mf = {x ∈ M : df(x) | TXF = D=0} jest podrozmaitością z M
2.Dla f ∈ F i z ∈ Mf istnieje rozpoznawalny wykres (U,u : U → Q1 x Q2 ⊆ Rn xRr) wyśrodkowane przy z i przekształcenie v ∈ C(Q2) takie ,że f o u-1(x,y) - v(y) jest wielmianem .
Dowód : Używając rozpoznawanego otoczenia możemy założyć ,że są w Rn+r i uzysukujemy z twierdzenia 9.17: Mf jest lokalną porozmaitością, więc jest podrozmaitością. Kiełek f przy z jest uniwersalnym rozwinięciem kiełka f ograniczonego do liścia F(z) prze z.
10.18.Twierdzenie : Przy założeniach 10.17, dla dowolnego f ∈ F typ osobliwości z f przy z jest lokalnie stabilne : wielomian w 10.17.2 pozostaje takim sam jeśli f jest zmieniony wystarczającą mało w odniesieniu do topologii Whitneya-C, a punkt osobliwości z pozostaje blisko oryginalnego.
10.19. Niech π : M → N będzie zanurzeniem który możemy zakładać surjektywność bez utarty uogólnienia. Wtedy połączone komponenty punktów przeciwobrazów frmują liście foliacj z M (bez ilorazowej struktury N)
Twierdzenie Niech π : Mn+r → Nr będzie zanurzeniem z indukowaną foliacją F w M. Załóżmy ,że r jest arbitralne jeśli n = 1 , r ≤ 6 jeśli n = 2, r ≤ 5 jeśli n ≥ 3. Wtedy istnieje otwarty gęsty zbior F ⊆ C(M) taki ,że:
1.Dla f ∈ F zbiór Mf = {x ∈ M :df(x)|TXF = 0} jest podrozmaitością z M
2.Dla f ∈ F oznaczamy przez XF : Mf → N ograniczenie rzutowania π do Mf ⊆ N. Wtedy każda osobliwość z Xf jest równoważne elementarnej katastrofie
3.Odwzorowanie Xf jest lokalnie stabilna w odniesieniu do f : Dla dowolneg x ∈ Mf istnieją otwarte otoczenia U z x w M i V z f w C(M) takie ,że dla dowolnego g ∈ V istnieje y ∈ U z y ∈ Mg i właściwość ,że kiełek z Xf przy x jest równoważne kiełkowi z Xg przy y.