Baire′a klasa : Klasy Baire′a B_α są rosnącymi sekwencjami rodzin funkcji zdefiniowanych indukcyjnie dla α < ω₁. B₀ jest zbiorem funkcji ciągłych. Dla α > 0 , f jest klasą Baire′a α jeśli istnieje sekwencja funkcji {f_n} zbieżności punktowych do f , z f_n ∈ B_βn i β_n < α dla każdego n. Zatem, f jest klasą Baire′a 1 (lub jest Baire-1) jeśli jest punktowa granica sekwencji funkcji ciągłych. W pewnych przypadkach, użyteczne jest zdefiniowanie klas taka że jeśli f ∈ B_α wtedy f ∉ B_β dla dowolnego β < α

Baire′a funkcja : Funkcja należąca do jednej z klas Baire′a, B_α, dla pewnego α < ω₁. Równoważnie, zbiór funkcji Baire′a w przestrzeni topologicznej jest najmniejszym zbiorem zawierającym wszystkie funkcje ciągłe które są domknięte w granicach punktowych. Istnieje twierdzenie , które mówi ,że f jest funkcją Baire′a jeśli i tylko jeśli f jest miarą borelowską, to znaczy, jeśli i tylko jeśli f^-1(U) jest zbiorem Borela dla dowolnego otwartego zbioru U.

Baire′a funkcja mierzalna : Funkcja f : X → Y, gdzie X i Y ą przestrzeniami topologicznymi, takimi ,że przeciwobraz dowolnego otwartego zbioru ,a właściwość Baire′a. To znaczy, jeśli V ⊆ Y jest otwarty, wtedy:
f^-1(V) = UΔC = (U\C) ∪ (C\U)
gdzie U ⊆ X jest otwarty a C ⊆ U chudy.

Baire′a właściwość : Zbiór, który może być zapisany jak otwarty zbiór modulo pierwszej kategorii lub zbiór chudy. To znaczy, X ma właściwość Baire′a jeśli istnieje zbiór otwarty U i zbiór chudy C z
X = UΔC = (U\C) ∪ (C\U)
Ponieważ zbiory chude formują ρ-ideał, zdarzy się to jeśli i tylko jeśli jest zbiór otwarty U i zbiory chude C i D z X = (U\C) ∪ D. Każdy zbiór Borela ma właściwość Baire′a ; faktycznie, każdy zbiór analityczny ma właściwość Baire′a

Baire′a przestrzeń :
(1)Przestrzeń topologiczna X taka ,że żaden zbiór otwarty w X jest chudy (pierwszej kategorii). To znaczy, żaden otwarty zbiór U ≠ ∅ w X może być zapisany jako policzalna suma zbiorów nigdziegęstych. Równoważnie , X jest przestrzenią Baire′a jeśli i tylko jeśli części wspólne dowolnego zbioru gęstych opartych zbiorów w X jest gęsty, co jest prawdą jeśli i tylko jeśli, dla dowolnego policzalnego zbioru zbiorów domkniętych {C_nn również ma puste wnętrze. Twierdzenie Kategorii Baire′a stanowi ,że zupełna przestrzeń metryczna jest przestrzenią Baire′a
(2)Przestrzeń Baire′a jest zbiorem wszystkich nieskończonych sekwencji liczb naturalnych, N^N, z topologią iloczynu i używając topologii dyskretnej na każdej kopii N. Zatem U jest podstawowym zbiorem otwartym w N^N jeśli istnieje skończona sekwencja liczb naturalnych ρ takie ,że U jest zbiorem wszystkich nieskończonych sekwencji które zaczynają się od ρ. Przestrzeń Baire′a jest homeomorficzna do niewymierności.

bar construction [konstrukcja słupkowa] : Dla grupy G, można zbudować przestrzeń BG jako realizację geometryczną następującego kompleksu symplicjalnego. Ścianki F_n w symplicjale stopnia n są dane przez (n+1)-krotki elementów z G. Przekształcenie brzegowe F_n & F_n-1 są dane przez wzór symplicjału brzegowego

gdzie notacja g^_i wskazuje ,że g_i jest pomijane dla pozyskania n-krotki . i-te przekształcenie degenracyjne s_i : F_n & rarr; F_n+1 jest dane przez wstawienie elementu grupy tożsamościowej na i-tej pozycji. Przykład: B(Z/2) , przestrzeń klsyfikacyjna grupy Z/2 , jest RP^∞, rzeczywista nieskończona przestrzeń rzutowa (suma RPⁿ dla wszystkich n dodatnich liczb całkowitych). Konstrukcja słupkowa ma wiele uogólnień i jest użytecznym środkiem budowania nerwu kategorii lub przestrzeni klasyfikacyjnej grupy, która określa wiązkę wektorową rozmaitości z grupą działająca na włóknie

base of number system [podstawa system liczbowego] Liczba b, kiedy liczba rzeczywista r jest zapisana w postaci

Gdzie każde r_j = 0,1,…,b-1, a r jest reprezentowane przez notację
R = r_Nr_N-1…r₀r_-1r_-2
Na przykład, podstawą standardowego system dziesiętnego jest 0 i potrzebujemy cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,8 i 9 aby używać tego systemu. Podobnie, używamy tylko cyfr 0 i 1 w systemie dwójkowym; to znaczy system "o podstawie 2". W systemie o podstawie b , liczba 10215,2011 jest równoważna liczbie dziesiętnej
1 x b⁴ + 0 x b³ + 2 x b² + 1 x b + 5 + 2 x b^-1 + 0 x b^-2 + 1 x b^-3 + 1 x b^-4
To znaczy, każde miejsce przedstawia określoną potęgę podstawy b.

Bernaysa - Gödela teoria mnogości Aksjomatyczna teoria mnogości, która jest oparta na aksjomatach innych niż tych z teorii mnogości Zermelo-Fraenkela. Ta teoria mnogości rozważa dwa typy obiektów : zbiory i klasy. Każdy zbiór jest klasą, ale odwrotnie już nie jest prawdą; klasy które nie są zbiorami są nazywane klasami właściwymi. Ta teoria ma Aksjomaty Nieskończoności, Sumy, Zbioru Potęgowego, Zastępowania, Regualrności i Pary dla zbiorów z teorii mnogości Zermelo-Fraenkel. Ma również poniższe aksjomaty, z klasami zapisanymi w :
(i)Aksjomat Rozszerzalności (dla klas): Załóżmy ,że X i Y są dwoma klasami takimi, że U ∈ X jeśli i tylko jeśli U ∈ Y dla wszystkich zbiorów U. Wtedy X = Y.
(ii)Jeśli X ∈ Y , wtedy X jest zbiorem
(iii)Aksjomat Zasięgu: Dla dowolnej formuły F(x) mającym zbiory jako zmienne, istnieje klasa Y składająca się ze wszystkich zmiennych spełniających formułę F(x)

Bertanda postulat : Jeśli x jest liczbą rzeczywistą większąniż 1, wtedy jest co najmniej jedna liczba pierwsza p taka ,że x < p < 2x . Postulat Bertranda wysunął francuski matematyk Joseph Louis Francois Bertrand a później udowodniony przez rosyjskiego matematyka Pafnucego Czebyszewa

Bettiego liczba : Załóżmy ,że X jest przestrzenią której grupy homologii są skończenie generowane. Wtedy k-ta grupa homologii jest izomorficzna dla sum prostych grupy torsii T_k i wolnej grupy abelowej B_k. k-ta liczba Bettiego b_k(X) z X jest zakresem B_k. Równoważnie, b_k(X) jest wymiarem H_k(X,Q), k-ta grupa homologii ze współczynnikami wymiernymi, widzianymi jako przestrzeń wektorowa nad liczbami wymiernymi. Na przykład, b₀(X) jest liczbą spójnych komponentów z X

bijekcja : Funkcja f:X → Y, między dwoma zbiorami, z następującymi dwoma właściwościami:
(i)f jest wzajemnie jednoznaczne (jeśli x¹, x² ∈ X a f(x₁) = f(x₂), wtedy x₁ = x₂);
(ii)f jest onto (dla dowolnego y ∈ Y istnieje x ∈ X takie ,że f(x) = y)

binomial coefficient [współczynnik dwumianowy] :
(1)Jeśli n i k są nieujemnymi liczbami całkowitym z k ≤ n, wtedy współczynnik dwumianowy


równa się    n!/k!(n-k)!
(2)Współczynnik dwumianowy reprezentuje również liczbę sposobów wyboru k różnych pozycji spośród n różnych pozycji, bez względu na porządek wybierania.
(3)Współczynnik dwumianowy jest k-tym wyrazem w n-tym wierszu trójkąta Pascala . Musimy zaznaczyć ,że trójkąt Pascala zaczyna się od wiersza 0, a każdy wiersz zaczyna się od wyrazu 0.

Binomial Theorem [wzór dwumianowy Newtona] : Jeśli a I b są elementami pierścienia przemiennego a n jest nieujemną liczbą całkowitą , wtedy (a+b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ a^kb^n-k, gdzie jest współczynnikiem dwumianowym

Bocksteina działanie W teorii kohomologii,działanie kohomoligczne jest naturalnym przekształceniem między dwoma kohomologicznymi funktorami . Jeśli 0 → A → B & rarr; C & rarr; 0 jest dokładnie krótką sekwencją modułów nad pierścieniem R i jeśli X ⊂ Y są przestrzeniami topologicznymi, wtedy istnieje dokładna długa sekwencja w kohomologii:

Homomorfizm
β : H^q(X,Y;C) → H^q+1(X,Y;A) jest działaniem (kohomologią) Bocksteina

Bolzano - Weierstrassa Twierdzenie : Każda sekwencja brzegowa w R ma zbieżną subsekwencję. To znaczy jeśli
{x_n : n ∈ N} ⊆ [a,b]
jest sekwencją nieskończoną, wtedy istnieje sekwencja malejąca {n_k : k ∈ N} ⊆ N taka ,że {x_nk : k ∈ N} jest zbieżne

boolowska algebra : Niepusty zbiór X ,wraz z dwoma działaniami binarnymi ∪ i ∩ (nazywanych odpowiednio sumą i częścią wspólną ), jednoargumetowe działanie (nazwane dopełnieniem) i dwa elementy 0 i 1 ∈ X , które spełniają poniższe właściwości dla wszystkich A,B,C ∈ X

Borela funkcja mierzalna : Funkcja f: X → Y , dla X,Y przestrzeni topologicznych, takich ,że przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem Borela. Jest to równoważne wymaganiu przeciwobrazu dowolnego zbioru Borela . Dowolna ciągła funkcja jest mierzalną Borela.

Borela zbiór : Zestaw B zbiorów boreal przestrzeni topologicznej X jest najmniejszą ρ -algebra zawierającą wszystkie otwarte zbiory X. To znaczy, dodatkowo do zawierania zbiorów otwartych, B musi być domknięty pod dopełnienie i policzalne przekroje (a zatem również domknięte pod policzalne sumy). Dla porównania, topologia na X jest domknięta pod arbitralne sumy ale tylko skończone przekroje. Zbiory Borela można również zdefiniować indukcyjnie : niech Σ₁⁰ oznacza zbiór otwartych zbiorów a Π₁⁰ zbiory domknięte. Wtedy dla 1 ≤ α ≤ ω₁, A ∈ Σ_α⁰ ieśli i tylko jeśli
A = ∪_n∈NA_n
Gdzie dla każdego n ∈ N ,A_n ∈ Π_αn⁰ I α_n ≤ α. Zbiór B jest w Π_α⁰, jeśli i tylko jeśli dopełnienie z B jest w Σ_α⁰. Wtedy zbiór wszystkich zbiorów Borela to
B = ∪_{α < ω1}Σ_α⁰ = ∪_{α < ω1}Π_α⁰
Zbiory w Σ₂⁰ są również znane jako zbiory F_ρ; zbiory w Π₂⁰ to G_δ. Jeśli przestrzeń X jest metryczna,wtedy zbiory domknięte są G_δ a zbiory otwarte to F_ρ. W tym przypadku mamy dla wszystkich α < ω₁
Σ_α⁰ ∪ Π_α⁰ ⊆ Σ_{α + 1}⁰ ∩ Π_{α + 1}⁰
stawia to zbiory Borela w hierarchii długości ω₁ znanej jako hierarchia Borela

bound [ograniczenie, kres] :
(1)Górne ograniczenie zbioru , S , z liczb rzeczywistych jest liczbą u taką ,że u ≥ s dla wszystkich s ∈ S. Jeśli takie u istnieje, mówimy ,że S jest ograniczone z góry przez u. Zauważ, że jeśli u jest górną granicą dla zbioru S, wtedy jest dowolna liczba większa niż u
(2)Dolne ograniczenie zbioru S, z liczb rzeczywistych jest liczbą l taką ,że l le; s dla wszystkich s &isisn; S. Jeśli takie l istnieje, mówimy ,że S jest ograniczony od dołu przez l. Zauważ, że jeśli l jest dolną granicą dla zbioru S, wtedy jest dowolna liczba mniejsza niż l
(3)Granica na zbiorze, S , z liczb rzeczywistych jest liczbą b taką ,że |s| le; b dla wszystkich s ∈ S

brzegowa grupa [homologia] : Łańcuch liczb zespolonych {C_n , ∂_n) składający się z sekwecnji grup lub modułów nad pierwścieniem R, razem z homomorfizmami ∂_n : C_n → C_n-1, takimi ,że ∂_n-1 o ∂_n = 0. Homomorfizmy ∂_n są nazywane operatorami brzegowymi. Szczególnie jeśli K jest uporządkowanym kompleksem symplicjalnym a C_n jest wolną grupą ableową generowaną przez n-wymiarowe sympleks, wtedy operator brzegowy jest definiowany przez pobranie do dowolnego n-symleksu ρ do alternatywnej dumy z jego n-1 wymiarowych ścianek. Ta definicja jest wtedy rozszerzona do homoorfizmu

bounded quantifier [kwantyfikator ograniczony] Kwantyfikator ∀x < y i ∃x < y. Instrukcja ∀x < yPhi;(x) jest równoważna ∀x(x < y → Φ(x)) , a ∃x < yΦ(x) jest równoważna ∃x(x < y ∧ Φ(x)). Ogólniej, ∀ ∈ yΦ(x) jest równoważne ∀x(x ∈ y → Φ(x)) a ∃x ∈ yΦ(x) jest równoważne ∃x(x ∈ y ∧ Φ(x))

bound variable [zmienna ograniczająca] Niech L będzie językiem pierwszego rzędu i niech φ będzie dobrze zbudowaną formuła z L. Wystąpienie zmiennej v w φ jest ograniczone jeśli występuje jako zmienna kwantyfikatora lub wewnątrz zakresu kwantyfikatora ∀v lub ∃v. Zakresem kwantyfikatora ∀v w formule ∀vα jest α. Na przykład, pierwsze wystąpienie zmiennej v₁ jest swobodne, podcza gdy pozostałe wystąpienia są ograniczone w formule
&froall;v₂(v₁ = v₂ → ∀v₁(v₁ = v₃))
Wszystkie wystąpienia zmiennej v₁ są ograniczone w formule
∀v₁( v₁ = v₂ → ∀ v₁( v₁ = v₃))

box topology [pole topologiczne] : Topologia na iloczynie kartezjańskim

zbioru przestrzeni topologicznych X_α mających jako podstawę zbiór wszystkich otwartych pól , Π_α∈AU_α, gdzie każde U_α jest otwartym podzbiorem X_α. Różnica między tym a topologią iloczynu jest taka ,że w topologii pola nie ma ograniczenia na dowolnym z U_α

Brouwera twierdzenie o punkcie stałym : Dowolne przekształcenie ciągłe f skończonego iloczynu kopie [0,1] do samego siebie, lub Sⁿ do samego siebie, ma stały punkt ,to znaczy, punkt z taki ,że f(z) = z. Intuicyjnie, jeśli weźmiemy ze stołu kawałek papieru, pomniemy go i położymy z powrotem na tej samej części stołu, to przynajmniej jeden punkt jest dokładnie nad tym samym punktem na stole jak był pierwotnie

bundle group [grupa wiązki] : Grupa która działa (ciągle) na wiązce wektorowej lub wiązce włóknistej E → B i chroni włókna (więc działa ograniczając się do działania na każdym przeciwobrazie punktu w B). Na przykład, rzeczywista grupa ortogonalna O(_n) jest grupą wiązki dla dowolnego rzędu n rzeczywistej wiązki wektorowej. Jeśli wiązka jest orientowalna , wtedy SO(_n) jest również grupą wiązki dla wiązki wektorowej

bundle mapping [odwzorowanie wiązki] : Przekształcenie włókna g : E → E′, gdzie p:E → B i p′ :E′ → B′ są wiązkami włókna. Jeśli wiązki są gładkimi wiązkami wektorowymi, wtedy g musi być gładkim i liniowym przekształceniem na przestrzeni wektorowej włókna

bundle of planes [wiązka płaszczyzn] : Wiązka włókna której włókna wszystkie są homoemorficzne do R². Kanonicznym tego przykładem jest rozważenie rozmaitości płaszczyzn Grassmana w Rⁿ Każdy punkt odpowiada płaszczyźnie w Rⁿ w ten sam sposób każdy punkt przestrzeni rzutowej RP^n-1 odpowiada linii w Rⁿ. Wiązkę płaszczyzn nad tą rozmaitością otrzymujemy zezwalając włóknu nad każdym punktem w rozmaitości być rzeczywistą płaszczyzną reprezentowaną przez ten punkt. Jeśli weźmiemy pod uwagę rozmaitość jako zbiór nazw płaszczyzn, wtedy wiązka jest zbiorem płaszczyzn, sparametryzowaną przez ich "nazwy"