ultarfiltr : Podzbiór U algebry boolowskiej B , który jest filtrem, niewłaściwe zawartym w innym filtrze na B. Jako filtr, U musi być niepusty, domknięty pod ∧, nie zawierać 0, i być zamkniętym w górę ; dla wszystkich u ∈ U i b ∈ B , jeśli u ≤ b wtedy b ∈ U. Warunek maksymalności jest równoważny wymaganiu ,że dla wszystkich b ∈ B, albo b ∈ U albo ¬b ∈ U. Dowolny filtr może być rozszerzony do ultrafiltru i używając słąebj formy aksjomatu wyboru dowolny podzbiór algebry boolowskiej z właściwością skończonej części wspólnej może być rozszerzony do ultrafiltru

ultrapower [ultramoc] : Ultra moc L-struktury A jest iloczynem kartezjańskim zredukowany Π_UA , gdzie U jest ultrafiltrem na zbiorem ineksowanym I. Iloczyn zredukowany jest formowany przez zadeklarowanie, dla x i y w iloczynie kartezjańskim Π_IA ,że x ≡ U y jeśli i tylko jeśli zbiór współrzędnych gdzie x i y są zgodne jest ultrafiltr U :
{i ∈ I : x(i) = y(i) } ∈ U
Iloczyn zredukowany Π_UA jest wtedy zbiorem wszystkich klas równoważności pod ≡ U. Fundamentalna właściwość ultramocy jest taka ,że dla dowlnej L-sentencji Φ, Π_UUA ≡ A

ultrprodukt : Ultraprodukt zbioru L-struktur {A_i : i ∈ I} jest iloczynem redukowalnym Π_UA_i, gdzie U jest ultrafiltrem nad zbiorem indeksowym I. Fundamentalną właściwością ultraproduktu jest to ,że dla dowolnej L-sentecji Φ, Π_UA_i |= Φ jeśli i tylko jeśli {i ∈ I :A_i |= Φ} ∈ U

umbilikalny punkt : Niech M będzie powierzchnią w R³ i niech k₁ ≥ k₂ będą funkcjami krzywizny głównej. Punkt umbilikalny jest punktem gdzie k₁ = k₂. Na dopełnieniu zbioru punktów umbilikalnych, krzywe główne formują parę pól ortogonalnych krzywej na powierzchni; punkty umbilikalne są miejscami gdzie te pola stają się pojedyncze.

unbounded set [zbiór nieograniczony] : Zbiór porządkowy C ⊆ κ taki że,dla dowolnego α < κ, istnieje β z α ≤ β < κ i β ∈ C

uncountable [nieprzeliczalny] : Zbiór który jest nieskończony ale nieprzeliczalny. Np. R i C są zbiorami nieprzeliczalnymi

undecidable [nierozstrzygalny] : Zbiór obiektów pewnego rodzaju, który nie jest rozstrzygalny.

uniformly continuous function [funkcja jednostajnie ciągła] : Funkcja f : R → R taka ,że dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takla ,że dla x i ′ w R ,|f(x) – f(′)| < ε gdzie |x – x′| < δ. Dowolna ciągłość f:[a,b] → R jest ciągłością jednostajną. Ogólniej, funkcja f z jedną przestrzenią metryczną (X, d_X do innej (Y, d_Y) jest jednoznacznie ciągła jeśli dla dowolnego &epsilon > istnieje δ > 0 taka ,że ,dla wszystkich x i x′ w X, d_Y(f(x), f(x′)) < ε gdzie d_X(x,x′) < δ .Jeśli X jest zwarta, wtedy dowolna ciągłość f ; X → Y jest jednoznacznie ciągła

uniform space [przestrzeń jednostajna] : Zbiór X indukowany topologicznie przez jednolitość U. Nieformalnie, jednolitość jest sposobem przechwytywania dokładności w przestrzeni topologicznej bez metryki; to znaczy stanowi uogólnienie metryki. Formalnie, niepusty zbiór U podzbiorów X x X jest jednolitością jeśli spełnia poniższe warunki:
(i)dla wszystkich U ∈ U , Δ ⊆ U, gdzie Δ {(x,x) : x ∈ X} jest przekątną X
(ii)dla wszystkich U ∈ U,U^-1 &isisn; U , gdzie U^- = {(y,x) : (x,y) ∈ U};
(iii)dla wszystkich U i V w U, U ∩ V &isinl U
(iv)dla wszystkich U & isinl U istnieje V &isin U z Y o V ⊆ U ,gdzie
V o V = {(x,z) :∃y ∈ X (x,y) ∈ V i (y,z) ∈ V};
(v)dla wszystkich U ∈ U jeśli U ⊆ V, wtedy V ∈ U.
Pomysł jest taki ,że x i y będą rozpatrywane jako U-zamknięte do siebie. Jednostajność U generuje topologię na X (jednostajnej topologii) przez rozważenie zbioru U[x] = {y:(x,y) ∈ U} jako podstawowy zbiór otwarty dla każdego U ∈ U i x ∈ X

uniform topology [topologia jednostajna] : Topologia jednostajna ma R^α jest ograniczona sup metryką
δ(x^,y^) sup{min{|x_β - y_β|, } : β < α}
Ta topologia jest taka sama jak iloczyn topologiczny jeśli α jest skończona; jeśli α jest nieskończona, topologia jednostajna , jednostajna topologia ulepsza iloczyn topologiczny

union [suma] : (1) Suma dowolnego zbioru X ,oznaczona przez ∪X, jest zbiorem, którego elementy są składowymi składowych X. To znaczy, a ∈ &cup>X jeśli i tylko jeśli istnieje S ∈ X takie ,że a ∈ S. Na przykład, , ∪{(0,k) : K ∈ Z } = R⁺. Jeśli X jest rodziną zbiorów indeksowanych {S_α ∈ I}, gdzie I jest pewnym zbiorem indeksowanym, suma X jest często oznaczana przez

(2). Suma zbiorów A i B, oznaczona przez A ∪ B, jest zbiorem wszystkich elementów, które należą do co najmniej jednego z A i B. Jest to specjalny przypadek poprzedniej definicji, ponieważ A ∪ B = ∪{A,B}. Na przykład, {3,0} ∪ {3,5} = {3,0,5} a N &cup R R

unit function [funkcja jednostkowa] : Funkcja arytmetyczna, oznaczona u, która zwraca wartość 1 dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych tj. u(n) = 1 dla wszystkich liczb całkowitych n ≥ . Jest całkowicie ( i silnie) multiplikatywna

universal bundle [wiązka uniwersalna] : Wiązka EG → BG z włóknem G jest wiązką uniwersalną ze struktura grupy G jeśli EG jest ściągalne a każda wiązka G nad jest równoważna wiązce sformowanej przez wyhamowanie EG → BG wzdłuż pewnego przekształcenia X → BG .Przykład :Uniwersalna wiązka linii rzeczywistej EO(1) → BO(1) jest równoważna z pokryciem BO(1) = RP^&infin (nieskończenie wymiarowa rzeczywista przestrzeń rzutowa) przez S^∞, suma nad wszystkimi n sfery sⁿ, pod działaniem Z/2 = O(1).

universal element [element uniwersalny] : Jeśli C jest kategorią, S jest kategorią zbiorów i funkcji, a F:C → S jest funktorem, element uniwersalny z F jest parą (A,B), gdzie A jest obiektem z C a B ∈ F(A), takie ,że dla każdej pary (A′, B′), gdzie B′ ∈F(A′), istnieje jednoznaczny morfizm f:A → A′ z C z (F(f))(B) = B′

universal mapping property [właściwość uniwersalnego przekształcenia] : Pojęcie właściwości uniwersalnego przekształcenia nie jest rygorystycznie zdefiniowane, istnieje wiele odmian. Wspólny wzorzec , który pojawia się w wielu instancjach może być opisany jak następuje. Trójka (p,A,A′) gdzie A i A′ są obiektami kategorii C a p :A → A′ jest morfizmem C ,ma właściwość uniwersalnego przekształcenia, jeśli dla każdego morfizmu f:X → A z C, istnieje jednoznaczny morfizm f′:X→ A′ z C taki ,że f′ = p o f. W większości przypadków, właściwość uniwersalnego przekształcenia jest używana do definiowania nowego obiektu. Standardowym przykładem definiowania krotki mającej właściwość uniwersalnego przekształcenia jest iloczyn obiektów w kategorii.

universal sentence [zdanie uniwersalne] : Zdanie σ języka pierwszego rzędu L które ma postać ∀v … &forallv_nα, gdzie α jest wolnym kwantyfikatorem, dla pewnego n ≥ 0

universe of sets [populacja generalna zbiorów] : Zbiór wszystkich zbiorów. W teorii zbiorów Zermelo-Frankela (ZFC), populacja generalna zbiorów, zazwyczaj oznaczana przez V może być wyrażona skrótem

gdzie każde V_α jest zbiorem z hierarchii łącznej. Ważne jest aby odnotować ,że ta suma nie definiuje zbioru w ZFC, raczej powyższe równanie jest po prostu skrótem dla następującej instrukcji która jest udowadnialna w ZFC :(∀x)(∃α) x ∈ V_α

unordered pair [para nieuporządkowana] : Zbiór z dokładnie dwoma elementami. Na przykład, {3.-5} jest parą nieuporządkowaną.

Urysohna lemat : Dla dwóch rozłącznych domkniętych podzbiorów A i B normalnej przestrzeni topologicznej X jest ciągła f:X → [0,1] taka ,że f(a) = 0 dla każdego A ∈ A i f(b) = 1 dla każdego b ∈ B. To znaczy, normalność implikująca rozłączność domkniętych zbiorów może być oddzielona przez funkcje ciągłe. Konwersja jest łatwa: jeśli f jest ciągła i rozdziela A i B, wtedy f^-1([0,1/2)) i f^-1((1/2,1] są rozłącznie otwartymi zbiorami zawierającymi A i B , odpowiednio. Zatem normalność jest równoważna rozdzieleniu przez funkcje ciągłe dla przestrzeni Huasdorffa. Lemat Uryshona jest istotną częcią dowodów rozszerzonego twierdzenia Tietze′go i twierdzenia metryzowalności Uryshona.

Uryshona twierdzenia metryzowalności. : Regularna, podwójnie przeliczalna przestrzeń topologiczna jest metryzowalna. Innymi słowy, jeśli X jest regularne i ma przeliczalną podstawę, wtedy istnieje metryka, która indukuje topologię na . Dowód opiera się na lemacie Uryshona i osadza X w sześcianie [0,1]^ω, który jest również rozdzielony