Postacie grupy, funkcje symetryczne i algebra Hecke

CZĘŚĆ I : Algebry skończenie wymiarowe

W tej części wszystkie algebry będą skończenie wymiarowe z tożsamością. Niech F będzie polem o charakterystyce zero i niech A będzie F-algebrą . Dla a ∈ A, niech aR : A → A będzie prawem mnożenia przez a; wtedy przekształcenie a |-> aR osadza A w EndF(A) ponieważ A ma tożsamość. Jest symetryczna forma bilinearna na A i jest nazywana formą śladu daną przez
(a,b)= tr (aRbR)
Ta forma spełnia ważną tożsamość
(1.1) (ax,b) = (a, xb) dla wszystkich a,b,x ∈ A
Kiedy forma śladu jest niezdegenerowana, będziemy mówić ,że A jest półprostą. Niech {e1,...,en} będzie podstawą A; wtedy A jest półprostą jeśli i tylko jeśli wyróżnik Δ(A) = det(ei,ej) jest niezerowy. Warunek ten jest niezmienniczy na podstawie rozszerzeń skalarów, jeśli K jest polem rozszerzonym F, wtedy {e1⊗ 1,...,en⊗ 1} jest bazą A ⊗FK nad K i (ei⊗ 1 , ej⊗ 1) = (ei , e)
Bardziej ogólnie, (1.1) implikuje ,że radykalne forma śledzenia, którą oznaczamy przez J(A) jest ideałem dwustronnym A. Jeśli x ∈ J(A), wtedy tr(xnR) = 0 dla wszystkich n , co implikuje przez standardową algebrę liniową ,że xR , a zatem samo x ,jest nilpotentne (tu używamy charakterystyki zero!). Jasne jest ,że dowolny ideał prawostronny składający się całkowicie z elementów nilpotenetnych musi być zawarty w J(A), więc J(A) jest charakteryzowany jako największy ideał prawostronny A składający się całkowicie z elementów nilpotentnych (nie trudno wykazać ,że J(A) jest rzeczywiście ideałem nilpotentnym). W szczególności ,J(A/J(A)) = 0. Niech M będzie nieredukowalny, A-modułem (tj M jest niezerowe i nie ma właściwości submodułu) i niech m będzie elementem niezerowym z M. Wtedy M = mA, a przekształcenie a |-> ma jest epimorfizmem A-modułu którego jadro, nazwane I, jest maksymalnym ideałem prawostronnym Z. Zakładamy ,że J(A) ⊂ I , bo jeśli nie, wtedy A = I+J(A), i zapiszemy 1 = x+y przy x ∈ I i y ∈ J(A). Ale wtedy x = 1 - y jest odwracalne ponieważ y jest nilpotnetne, co jest sprzecznością.
(1.2) Niech A będzie F-algebrą i niech J(A) będzie radykalną formą śladu. Wtedy J(A) jest największym ideałem prawostronnym A składającym się całkowicie z elementów nilpotentnych. J(A) unicestwia każdy nieredukowalny A-moduł, a A/J(A) jest półproste. Co więcej. J(A) = 0 jeśli J(A ⊗F K) = 0 dla każdego rozszerzenia pola K z F
Mówimy ,że pierścień jest prosty jeśli nie ma własności ideału dwustronnego. Ponieważ J(A) jest ideałem dwustronnym, proste pierścienie są półprostymi .Dalej będziemy zakładać ,że A jest półproste
Niech I będzie minimalnym, niezerowym ideałem dwustronnym z A, a I′ = I = {x ∈ A | (y,x) = 0 dla wszystkich y ∈ I}. Wtedy (1.1) implikuje ,że I′ jest również ideałem dwustronnym. Przez minimalizację I, albo I ⊆ I′ albo I ∩ I′ .Jeśli I ⊆ I′, mamy tr(x2R) = 0 dla wszystkich x ∈ I a potem I ⊆ J(A) = 0, co nie jest przypadkiem. Dlatego też ,musimy mieć I ∩ I′ = 0,z czego wynika przez algebrę liniową, że A = I ⊕ I′ i II′ = I′I = 0.
Zapisując 1 = e + e′ przy e ∈ I i e′ ∈ I′, natychmiastowo mamy ,że e i e′ są centralnie idempotentnymi, działającymi jako tożsamości dwustronne dla I i I′ , odpowiednio, i możemy skonkludować ,że suma A = I ⊕ I′ jest algebraiczną sumą prostą. Co więcej, I=Ie, I′ = I′e′ ,a I i I′ są półproste (przez (1.2) lub wprost). Przez minimalność, I jest prostą algebrą Przez indukcję na dim(A), I′ jest algebrą sumy prostej jego minimalnych ideałów dwustronnych, z których każdy jest prostą algebrą. Centralnie idempotentne e jest nazywane niepierwotnym jeśli istnieją niezerowe centralne idempotencje e1,e2 przy e = e1 + e2 i e1e2 = 0, w przeciwnym razie e jest nazywane pierwotnym. Z powyższego widać ,że jeśli {e1,...,es} jest zbiorem pierwotnych centralnych idempotencji A , wtedy {Ae1,...,Aes} jest zbiorem minimalnych 2-stronnych ideałów z A, 1 = Σsi=1 ei i A = Σi ⊕ Ae1. Ustawmy Bi = Ae1 (1 ≤ i ≤ s) i niech < będzie nieredukowalnym a-modułem. Wtedy M=Σi⊕ Mi, więc istnieje jednoznaczne i dla którego M = Mei a Mej = 0 dla i ≠ j. Zatem, M jest nierozkładalnym Bi- modułem. Ponieważ B,sub>i jest proste, M kest wierne tj. {x ∈ Bi | Mx = 0} = 0. Niech I będzie minimalnym ideałem prawostronnym z Bj. Wtedy MI jest niezerowym submodułem z M a zatem możemy wybrać m ∈ M przy mI ≠ 0. Ponieważ mI jest submodułem M, mI = M a przekształcenie |-> mx definiuje niezerowy homomorfizm nieredukowalnych Bi-modułów I → M co jest izomorfizmem. Podsumowując nasze obserwacje udowodniliśmy
(1.3) Niech A będzie półprostą algebrą i niech {e1,...,es} będzie zbiorem pierwotnych centralnych idempotentnych z A. Wtedy {Ae1,...,Aes} jest zbiorem minimalnych 2-stronnych ideałów A. Każde Aei jest prostą algebrą z tożsamością ei a A jest algebrą sum bezpośrednich


Co więcej ,jeśli Mi jest minimalnym ideałem prawostronnym a Aei, wtedy {M1,...,Ms} jest zbiorem odwzorowań dla klas izomorfizmów nieredukowalnych A-modułów.
Dużo więcej można powiedzieć o strukturze komponentów A. Mianowicie, mamy
(1.4)(Rieffeel-Wedderbrun) Niech B będzie pierścieniem prostym z elementem neutralnym, I prawostronnym ideale z B a D = EndB(I) Wtedy naturalne przekształcenie B |-> EndD(I) dane przez prawostronne mnożenie jest izomorfizmem
Dowód. Ponieważ B jest proste, B= = BI. Teraz dla b ∈ B, niech bR oznacza mnożenie prawostronne przez b, wtedy bR ∈ EndD(I). Wybieramy x ∈ I i niech xL & rarr; I oznacza mnożenie lewostronne przez x. Zauważmy ,że xL ∈D ponieważ x(yb) = (xy)b dla wszystkich y ∈ I i wszystkich b ∈ B. Zatem dla dowolnego φ ∈ EndD(I) mamy φ(xy) = xφy dla wszystkich x,y ∈ I. W szczególności, dla dowolnego b ∈ B uzyskujemy φ(xby) = φ((xb)y) = xbφ(y). Pozwalając na zakres x nad I podczas ustalania b,y i φ uzyskujemy φ o (by)R = (bφ(y))R. Mówi to ,że obraz B = BI nad naturalnym przekształceniem jest ideałem lewostronnym EndD(I). Ale obraz B zawiera 1 i dlatego jest równy EndD(I) .Zatem naturalne przekształcenie jest onto. Ponieważ B jest proste, mamy nasz wynik. Przypomnijmy sobie ,że jeśli I jest minimalnym ideałem prawostronnym wtedy D musi być pierścieniem z dzieleniem. Jeśli 0 ≠ φ ∈ D wtedy ker(φ) i im(φ) oba są ideałami prawostronnymi z A, podczas gdy ker(φ) = 0 i im(φ) = I (Ta obserwacja jest zwykle znana jako lemat Schura) .Ponieważ algebry skończenie wymiarowe zawsze mają minimalne ideały prawostronne, mamy
(1.5)Następstwo. Niech B będzie prosta algebrą skończenie wymiarową, niech I będzie minimalnym ideałem prawostronnym z B i nich D = EndB(I). Wtedy D jest (skończoną wymiarowo) algebrą dzielenia a B jest izomorficzne do algebry macierzy m x m nad D, gdzie n = dimD(I)
Zastosujemy (1.5) z B = Bi składową prostą A i I = Ii minimalnym ideałem prawostronnym A zawartym w B. Z (1.3) I jest minimalnym ideałem prawostronnym z B. Z (1.5) D = Di = EndA(Ii) skończoną wymiarowo algebrą dzielenia nad F, I jest D-przestrzenią wektorową wymiaru n = ni,a EndD(I) jest pierścieniem macierzy n x n nad D. Niech e będzie macierzą z 1 na pozycji (1,1) i zerami w pozostałych. Wtedy eB jest ideałem prawostronny wszystkich macierzy których wszystkie niezerowe wyrazy są w wierszu 1. W szczególności, dimD(eB) = n , więc eB jest minimalnym ideałem prawostronnym. Ponieważ e2 = e mamy B = eB ⊕(1-e)B, skąd eB jest bezpośrednim składnikiem sumy A-modułu z A i dlatego jest projektywny . Z (1.3) konkludujemy ,że wszystkie nieredukowalne A-moduły są projektywne. Wtedy mamy
(1.6) Każdy A-moduł jest bezpośrednią sumą nieredukowalnych A-modułów.
Teraz rozważmy wpływ rozszerzenia pola skalarów.
(1.7) Niech K będzie rozszerzeniem ciała F i niech AK = A ⊗FK. Kontynuując notację (1.3), każdy nieredukowalny AK-moduł jest składową dokładnie jednego z AK-modułów MiF K.
Dowód. Z (1.2) AK jest półproste. Przekształcenie a |-> a ⊗ 1 jest osadzone, i będzie identyfikowała A przez A ⊗ 1. Pierwotne centralne idempotencje ei z A są jeszcze centralnymi idempotecjami AK, ale nie może być dalej pierwotne. Zapisujemy


gdzie eij są pierwotnymi centralnymi idempotecjami ei z AK. Ponieważ dwie pierwotne centralne idempotencje są albo równe albo ortogonalne a ei są ortogonalne, wynika ,że eijekl = σikσjl .W szczególności, eij są różne
Niech
{Mij | 1 ≤ i ≤ s , 1 ≤ j ≤ mi}
będzie odpowiednim zbiorem minimalnych ideałów prawostronnych AK i niech k ≠ i. Wtedy Mijek Mijeijek 0 co implikuje ,że Mij nie jest składową MkFK dla wszystkich j. Ale z (1.6) A jest modułem bezpośrednich sum minimalnych ideałów prawostronnych, więc AK jest odpowiednią sumą bezpośrednią ideałów prawostronnych postaci MiF K .Ponieważ każde Mij jest składową AK , konkludujemy ,że Mij jest składową MiFK.
W specjalnym przypadku gdzie EndA(M) = F, mówimy ,że nieredukowalny A-moduł M jest bezwzględnie nieredukowalny. W tym przypadku (1.5) mówimy ,że odpowiedni, minimalny 2-sronny ideał jest całkowitą algebrą macierzy nad F. Mówimy ,że rozszerzenie ciała K z F jest ciałem rozkładu dla A jeśli każdy nieredukowalny A-moduł jest bezwzględnie nieredukowalny. Ciało rozkładu z pewnością istnieje, na przykład jeśli K jest algebraicznie domknięte wtedy nie istnieją żadne nietrywialne skończenie wymiarowe algebry dzielenia nad K, więc K jest z koniczności ciałem rozkładu. Tu jest przydatne kryterium dla modułu będącego bezwzględnie nieredukowalnym:
(1.8) Niech M będzie A-modułem z dimF(M) = ni załóżmy ,że suma prosta i egzemplarzy M jest modułem prostych składowych A, Wtedy i ≤ n z możliwą równością jeśli M jest bezwzględnie nieredukowalne.
Dowód. Przez rozszerzenie ciała skalarów i zmianę notacji jeśli to konieczne, możemy założyć ,że F jest ciałem rozkładu. Udoskonalamy rozkład sumy prostej z (1.3) na sumę prostą minimalnych ideałów prawostronnych używając (1.6). Ponieważ minimalne 2-stronne ideały z A są całkowitymi algebrami macierzy nad F, łatwo policzyć wymiar wykazując ,że każdy minimalny ideał prawostronny występuje z krotnością równą jego stopniowi. (Zauważ ,że minimalne ideały prawostronne należące do różnych 2-stronnych ideałów nie są izomorficzne przez (1.3)). Niech N będzie nieredukowalną składową M. Wtedy wynika z twierdzenia Jordana-Holdera, że i ≤ dim(N) ≤ dim(M) z równością M = N. Konkludujemy tą część przydatnym wynikiem na iloczynie półprostych algebr
(1.9) Załóżmy ,że Ai i A2 są półprostymi F-algebrami i niech A A1F A2. Wtedy A jest półprosta. Jeśli F jest ciałem rozkładu dla A1 i A2 wtedy A-moduł M jest nieredukowalny przy M ≅ M1F M2 gdzie Mi jest nieredukowalnym Ai-modułem (i = 1,2).
Dowód. Jeśli ai ∈ Ai (i = 1,2) wtedy (a1 ⊗ a2)R = a1R ⊗ a2R, tr((a1 ⊗ a2)R) = tr(a1)tr(a2), a zatem (a1 ⊗ a2 , b1 ⊗ b2) = (a1,b1)(a2,b2). To implikuje ,że Δ(A) = Δ(A1)Δ(A2) ≠ 0, więc A jest półproste.
Teraz załóżmy, że F jest ciałem rozkładu dla A1 i A2 i niech Ii będzie minimalnym ideałem prawostronnym Ai o wymiarze n. Wtedy z (1.8) krotności Ii w A1 to ni (i =1,2). Ponieważ dim(I1 ⊗ I2) = n1n2, który jest krotnością I1 ⊗ I2 w A1 ⊗ A2, mamy wykonane przez (1.8)

CZĘŚĆ II : Charaktery Grupy

W tej części, zastosujemy algebrę grupy grup skończonych. Najpierw ustalimy pewną standardową notację:
G - grupa skończona
C -liczby zespolone
V - skończenie wymiarowa liczba zespolona przestrzeń wektorowa
End(V) - Pierścień liniowych transformacji na V
GL(V) - grupa odwracalnych elementów End(V)
M(n,C) - pierścień n x n zespolonych macierzy
GL(n,C) - Grupa odwracalnych elementów MnC
Liniowa reprezentacja G jest homomorfizmem ℵ:G → GL(V) dla pewnego V. Reprezentacja macierzowa G jest homomorfizmem ℵ:G → GL(n,C) dla pewnego n. Dwie liniowe reprezentacje ℵ,ℵ′ są równoważne jeśli istnieje nieosobliwe liniowe przekształcenie T takie ,że T-1ℵ(g)T = ℵ(g) dla wszystkich g ∈ G. Przy danej reprezentacji ℵ ,często rozpatrujemy funkcję X : G → C daną przez X(g) tr(ℵ(g)). Nazywamy X charakterem oferowanym przez ℵ Tym samym równoważne reprezentacje oferują ten sam charakter. Niech CG będzie zespoloną przestrzenią wektorową której bazą jest zbiór G. Konwertujemy CG do algebry zespolonej przez rozszerzenie liniowej grupy mnożenia. To znaczy


.Algebra wynikowa jest nazywana algebrą grupową .Najwyraźniej, CG jest tylko algebrą funkcji wartości zespolonych na G z iloczynem splotowym. Zwyczajem jest jednak używanie sum formalnych jak powyżej. Powodem wprowadzenia algebry grupowej jest przydatne spostrzeżenie ,że każdy skończenie wymiarowy CG-moduł V jest naturalnie powiązany liniową reprezentacją ℵ z G. Mianowicie ℵ(g) jest prawostronnym mnożenie przez g dla dowolnego g ∈ G. Mówimy ,że ℵ jest oferowane przez V. Odwrotnie, dowolna liniowa reprezentacja ℵ : G → GL(V) może być rozszerzona liniowo do homomorfizmu ℵ : CG → End(V), tym samym konwertując V do CG-modułu. Wyraźnie, liniowe reprezentacje i CG-moduły są naturalnie równoważnym gadżetami. Reprezentacja ℵ:G → GL(V) jest nazywana przywiedlną jeśli odpowiedni CG-moduł jest przywiedlny, w przeciwnym razie jest nieprzywiedlna. Charakter nieprzywiedlności jest charakterem nieprzywiedlnej reprezentacji. Szczególnie ważny charakter jest tzw. charakterem regularnym ρG dostarczanym przez (mnożenie prawostronne) samą algebrę grupy
(2.1)
CG jest półproste.
Dowód. Obliczając względem bazy elementów grupy, jest bezpośrednio ,że ślad gR jest zerem, chyba ,że g = 1. Zwłaszcza, że macierz formy śladu to |G|P gdzie P jest macierzą permutacji g → g-1. W konsekwencji (2.1) i )1.6, każdy CG-moduł jest sumą prostą nieprzywiedlności. Zatem ,każdy charakter jest sumą nieprzywiedlnych charakterów. Z (1.3) możemy wybrać notację dla reszty tej części
* {e1,...,es} są pierwotnymi centralnymi idempotecjami z CG
* Bi = eiCG (1 ≤ i ≤ s) są minimalnymi 2-stronnymi ideałami z CG
* Ii ⊆ Bi jest minimalnym prawostronnym ideałem dostarczającym nieprzywiedlnego charakteru Xi (1 ≤ i ≤ s).
Co więcej, ponieważ liczby zespolone są algebraicznie zamknięte, (1.5) implikuje ,że Bi ≅ <(Ni,C) gdzie ni = Xi(1). :liczba całkowita X(1) jest zazwyczaj nazywana stopniem X.
(2.2) Niech ρ będzie śladem regularnej reprezentacji z M(n,C), działającym na samym sobie przez prawostronne mnożenie. Wtedy ρ(X) n ⋅ tr(X) dla dowolnej macierzy X.
Dowód. Obliczając w odniesieniu do podstawy jednostek macierzy Eij , niech X będzie Σi,jxijWij. Wtedy mamy EijX = ΣkxjkEik , skąd


Teraz definiujemy ρi(α) ρG(ei,α) dla dowolnego α ∈ CG i zauważmy ,że ρi jest śladem prawostronnego mnożenia przez eig na Bi. Jeśli wybierzemy podstawę dla Ii i niech Xi:Bi → M(Ni,C) będzie homomorfizmem indukowanym przez mnożenie prawostronne, wtedy Xi(g) tr(Xi(g)) dla dowolnego ∈ G. Ale Xi jest izomorfizmem z (1.5) zatem (2.2) implikuje
(2.3) ρG(eig) = Xi(1)Xi(g) dla wszystkich ∈ G i 1 ≤ i ≤ s.
Możemy użyć tego wyniku do wyrażenia ei jako liniowego połączenia elementów grupy
(2.4) Dla i 1,2,...,s mamy


Dowód. Istnieją jednoznacznie zdefiniowane liczby zespolone εi(x) takie ,że ei = Σx∈Gεi(x)x >Mnożąc obie strony przez g otrzymamy


Teraz zastosujemy ρG do obu stron i użyjemy (2.1) i (2.3) dla uzyskania


Jak wynika z następstwa (2.4) uzyskujemy tak zwaną pierwszą relację ortogonalności.
(2.5) Pierwsza relacja ortogonalności. Nich Xi i Xj będą nieprzywiedlnymi charakterami z G. Wtedy dla dowolnego x ∈ G


Dowód. Użyjemy (2.4) dla zastąpienia w równaniu eiej = δijei:


Wynik wynika ze zrównanie współczynników x-1. Powyższy wynik jest najczęściej stosowany w specjalnym przypadku x = 1. Teraz niech Z(CG) będzie środkiem algebry grupy. Ponieważ elementy grupy są podstawą dla CG, koniecznym i wystarczającym warunkiem dla α ∈ CG leżącym w Z(CG) jest to ,że g-1 αg α dla wszystkich g ∈ G. Jeśli α = Σxa(x)x, wtedy g-1αg = Σxa(gxg-1)x, więc α ∈ Z(CG) jeśli a jest stałą w klasach sprzężoności G. Jeśli więc niech x oznacza sumę wszystkich G-sprzężeń x w G, wtedy sumy proste x^ jako x zakres nad G formuje podstawę dla Z(CG). Rzeczywiście, ten sam argument pokazuje więcej: sumy klasy są podstawą dla całkowego pierścienia grupy ZG ⊆ CG. Ale pierwotna centralna idempotencja również formuje podstawę dla Z(CG) ponieważ


a Z(M(n,C)) jest tylko macierzą skalarów. Ponieważ Xi są odpowiedniościami 1-1 z ei, udowodniliśmy
(2.6) Sumy różnych klas sprzężoności i pierwotnych centralnych idempotentności są bazami dla Z(CG) .W szczególności, liczba nieprzywiedlnych charakterów jest równa liczbie klas sprzężoności
Spójrzmy bliżej na wartości charakterów. Załóżmy, że X jest dostarczane przez reprezentację macierzową ℵ i niech σ będzie automorfizmem liczb zespolonych. Jeśli oznaczymy przez ℵσ(g) wynika zastosowania σ do wyrazów macierzy z ℵ(g), jasne jest ,że ℵσ jest również reprezentacją, która jest nieprzywiedlna jeślii ℵ jest. Zatem , funkcja Xsigma;(g) = σ(X(g)) jest innym (nie koniecznie różnym) charakterem, który jest nieprzywiedlny jeśli X jest.
(2.7) Niech ℵ będzie reprezentacją G stopnia n dostarczające charakter X i niech g ∈ G. Wtedy:
(i) X(g) jest sumą n|G|-tych pierwiastków jedności. W szczególności, |X(g)| ≤ X(1) przy równości ℵ(g) jest macierzą skalarną ,a X(g) = X(1) jeśli ℵ(g) = I
(ii) Dla dowolnego automorfizmu σ liczb zespolonych, istnieje liczba pierwsza i względnie pierwsza do |G| i zależąca tylko od σ ,taka ,że Xσ(g) = X(gi) dla wszystkich g ∈ G. Jeśli &sigma jest koniugacją zespoloną, możemy przyjąć i = -1.
Dowód. Wybieramy g ∈ G. Wtedy ge = 1 dla pewnego dzielnika e z |G|. Wynika ,ze ℵ(g) spełnia wielomian λ|G| -1. W szczególności, wielomian minimalny ℵ(g) ma różne pierwiastki które są pewnymi |G| tymi pierwiastkami jedności .Zatem po zastąpieniu ℵ przez podobną reprezentację, możemy założyć, że ℵ(g) jest macierzą diagonalną z |G| tymi pierwiastkami jedności po przekątnej. Nierówność trójkątna implikuje ,ze suma n pierwiastków jedności ma wartość bezwzględną mniejszą niż n przy założeniu ,że są wszystkie równe .Ponieważ X(1) n mamy |X(g)| ≤ X(1) przy założeniu ,że ℵ(g) jest macierzą skalarną. Jeśli X(g) = X(1), ta macierz skalarna musi być tożsamościowa. Niech ξ będzie pierwotnym |G| tym pierwiastkiem jedności. Wtedy σ(ξ) ξi dla pewnego całkowitego i względnie pierwszego do |G| i zależy tylko od σ. Ponieważ ℵ(g) jest diagonalna z potęgami ξ po przekątnej, wyraźnie ℵσ(g) = ℵ(gi) i dlatg0 Xσ(g) = X(gi). Z powyższego widać ,,że zbiór g ∈ G przy X(g) = X(1) jest normalną subgrupą z G , którą oznaczamy przez ker(X). Przez funkcję klasy rozumiemy funkcję zespoloną na G która jest stałą na klasach sprzężeń. Definiujemy dodatni oznaczony hermitowski iloczyn skalarny na przestrzeni funkcji klasy:


(2.8) Druga relacja ortogonalności. Nieprzywiedlne charaktery formują ortonormalną podstawę dla przestrzeni funkcji. Niech xj będzie reprezentacją jtej klasy sprzężenia G i niech CG(xj)oznacza centarlizator xj w G. Wtedy


Dowód. Z (2.7) mamy, wtedy (2.5) (z x=1) mówi ,że nieprzywiedlne charaktery są zbiorem ortonormalnym. Z (2.6) wynika wtedy ,że nieprzywiedlne charaktery są bazą. Niech X będzie macierzą s x s, której wyraz (i,j) to xi(xj). X jest nazywane tablicą charakteru G. Ponieważ xi są funkcjami klas, pierwsza relacja ortogonalności może być zapisana


Jeśli D jest macierzą diagonalną z wejściem (k,k) |x^k|, powyższe równanie może być zapisane w formie macierzowej X*DX = |G|I, gdzie * oznacza transpozycję sprzężoną. WtedyD X(X*DX)X-1 X(|G|I)X-1 = |G|I
skąd XX* |G|D-1
Ponieważ |x^k|= |G:CGxk}, dowód jest zakończony.
Niech Irr(G) oznacza zbiór nieprzywiedlnych charakterów G. Ponieważ Irr(G) jest podstawą ortonormalną , dowolna funkcja klasy Φ ma "rozwinięcie Fouriera" :


Wynika ,że
(2.9) Funkcja klasy φ jest charakterem jeśli (X,φ) jest nieujemną liczbą całkowitą dla wszystkich X ∈ Irr(G). Charakter φ jest nieredukowalny jeśli (φ,φ) = 1
Kolejny zapis jest konsekwencją (1.9)
(2.10) Załóżmy ,że K i H są grupami skończonymi. Wtedy każdy nieprzywiedlny charakter K x H jest postaci xΨΦ(k,h) = Ψ(k)Φ(h) gdzie Ψ ∈ Irr(k) a Φ ∈ Irr(H)
Funkcja klasy Φ dla których (x, Φ) jest liczbą całkowitą (możliwie ujemną) jest nazywana uogólnionym (lub wirtualnym) charakterem. Ważna obserwacja jest taka ,że zbiór uogólnionych charakterów w rzeczywistości formuje pierścień pod mnożeniem punktowym.
(2.11) Iloczyn punktowy charakterów jest charakterem
Dowód. Osadzamy G z G x G po przekątnej. Wtedy ograniczenie nieprzywiedlnego charakteru xΦΨ z G x G jest charakterem z G.
Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom. Przede wszystkim, dowolna 1-wymiarowy moduł CG jest wyraźnie nieredukowalny, a każda grupa ma co najmniej jeden taki moduł, mianowicie, moduł trywialny gdzie wszystkie elementy grupy wyznaczają wszystkie wektory. Charakter dostarczony przez taki moduł jest nazywany charakterem głównym, i jest oznaczany 1G Ma wartość 1 we wszystkich elementach grupy. Ogólniej, charaktery stopnia 1 są nazywane charakterami liniowymi Są one homomorfizmami G → Cx. Załóżmy ,że G jest abelowe. Wtedy CG jest algebrą przemienną, więc z (1.2) i (1.3) , wszystkie nieredukowalne charaktery są liniowe. Konwersja tej instrukcji jest również prawdziwa. Ważną klasą przykładów charakterów są charaktery permutacji. Jeśli G działa na zbiorze Ω wtedy przestrzeń wektorowa CΩ zawsze ma 1-wymiarowy trywialny submoduł połączony przez sumę wektorów bazowych, więc istnieje kowymiar uzupełnienia 1. Na przykład Sn ma charakter stopnia n-1 (co jak pokazaliśmy jest nieredukowalne)

CZĘŚĆ III : Podzielność

W tej części, uzyskamy pewne nietrywialne wyniki przez rozważenie właściwości podzielności wartości charakteru. Najpierw, musimy przypomnieć sobie kilka faktów algebraicznych. Zlicza zespolona γ jest nazywana liczbą całkowita algebraiczną jeśli jest pierwiastek z wielomianu unormowanego ze współczynnikami całkowitymi
(3.1) Zbiór liczba całkowitych algebraicznych jest podpierścieniem C którego przecięcie z liczbami wymiernymi to liczby całkowite.
Teraz niech g ∈ G i niech g^ będzie klasą sprzężoną sumy zdefiniowanej w części II. Wtedy z (2.6) istnieją jednoznacznie zdefiniowane liczby zespolone ωi(g^) takie ,że g^ = Σsi=1ωi(g^)ei Rozszerzymy ωi liniowo do funkcji zespolonych w Z(CG). Z |g^| oznacza liczbę wyrazów w sumie, tj. liczbę sprzężeń z g
(3.2) Funkcje &omegai:Z(CG) & rarr; C są algebrami homomorficznymi których wartości są liczbami całkowitymi algebraicznymi. Co więcej:


Dowód. Fakt ,że ωi są homomorfizmami algebry wynikającymi bezpośrednio z faktu, że ei są idempotecjami ortogonalnymi. Aby zobaczyć ,że ωi(g^) jest liczbą całkowitą algebraiczną, użyjemy wcześniejszej obserwacji ,że g^ są faktycznie podstawą dla środkowego całkowitego pierścienia grupy ZG. Stąd , istnieje ,że liczby wymierne aijk takie ,że


Wyznaczając r i stosując ωr to tego równania otrzymamy
(3.3) Niech Ai będzie macierzą całkową s x x z wyrazami (j,k) aijk i niech wr będzie wektor której j-ty wyraz to ωr(x^j) Wtedy (3.3) staje się


W szczególności &omegar(x^i) jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego Ai ,który jest wielomianem unormowanym ze współczynnikami całkowitymi, a zatem ωr(x^i) jest liczbą całkowitą algebraiczną. Aby uzyskać żądaną formułę dla ωi z punktu widzenia xi używamy funkcji ρi z (2.3). Ponieważ charaktery są śladami, są stałe w klasach sprzężonych tak więc:
ρi(g^) = |g^|xi(1)xi(g)
z (2.3). Z drugiej strony, g^ei = ωi(g)ei, skąd (2.3) daje
ρi(g^) = ωi(g)ρi(ei) = ωi(g)ρi(1) = ωi(g)Xi(1)2.
Porównanie tych dwóch wyrażeń kończy dowód
(3.4) Stopień nieprzywiedlnego charakteru dzieli rząd grupy
Dowód. Ustalamy X ∈ Irr(G) .Z relacji ortogonalności ,mamy


Wybierając klasę sprzężoną reprezentatywną {x1,...,xs} możemy zapisać to jako


Dzieląc przez X(1) i używając (3.2) otrzymujemy


Ponieważ pierwiastki z jedności są oczywistymi liczbami całkowitymi algebraicznymi, prawa strona jest liczbą całkowitą algebraiczną przez (3.2),(2.7) i (3.1) .Stąd lewa strona jest liczbą całkowitą przez (3.1)
(3.5) Załóżmy, że X ∈ Irr(G) i x ∈ G takie ,że gcd(X(1),|x^|) = 1. Wtedy albo X(x) = 0 lub x ∈ Z(G/ker(X))
Dowód. Wybieramy liczby całkowite a i b takie ,że aX(1) + b|x^| = 1. Wtedy


skąd X(x)/ X(1) jest liczbą całkowitą algebraiczną z (3.2). Jeśli k jest liczbą całkowitą względnie pierwszą do |G| , wtedy CG(xk) = CG(x), więc w szczególności |x^| = |xk|^. Zatem, powyższy argument może być powtarzalne xk w miejsce x. Z (2.7) konkludujemy ,że wszystkie sprzężenia Galois X(x)/X(1) również są liczbami całkowitymi algebraicznymi, a każda ma wartość bezwzględną co najwyżej jeden Zatem, norma Galois z X(x)/X(1) jest liczbą całkowitą wymierną o wartości absolutnej, więc jeśli X(x) ≠ 0otrzymamy |X(x)|= X(1). Z (2.7), reprezentacja ℵ dostarcza X osadzonego G/ker(X) do Mn(C) w taki sposób ,że ℵ(x) jest elementem centralnym.
(3.6 Burnside) (i) Załóżmy |x^| = pr dla pewnego nietożsamościowego elementu x ∈ G i pewnej liczby pierwszej p .Wtedy G nie jest proste. (ii) Każda grupa rzędu paqb (p i q są liczbami pierwszymi) jest rozwiązalna
Dowód. (i) Niech ρG będzie regularnym charakterem a 1G charakterem głównym. Wtedy


Wynika z tego ,że jest niegłówny charakter X taki ,że X(x) ≠ 0 a p ł X(1); w przeciwnym razie powyższe równanie będą implikowały ,że 1/p jest algebraiczną liczbą całkowitą. Teraz (3.5) implikuje ,że x ∈ Z(G/ker(X)), więc G nie może być proste.
(ii) Jeśli |G| = paqb, niech Q będzie q-subgrupą Sylova z G i wybieramy nietożsamościowy element x ∈ Z(Q). Wtedy Q ⊆ CG(x) co implikuje ,że |x^| = pr dla pewnej liczby całkowitej r ≤ a. Z pierwszego paragrafu, albo G jest rzędu liczbą pierwszej lub G ma właściwość normalnej subgrupy. Zatem G jest rozwiązywalne przez oczywisty argument indukcji.

CZĘŚĆ IV : Charaktery indukowane

Niech H ⊆ G i niech Φ będzie funkcją klasy na H. Rozszerzmy Φ do funkcji Φ^ na G przez zdefiniowanie


Teraz definiujemy indukowaną funkcję klasy ΦG na G jak następuje


Oznaczmy ograniczenie funkcji Ψ na G do H przez ΨH. Najczęściej będzie nas interesował przypadek gdzie Φ jest albo charakterem albo uogólnionym charakterem, przez co rozumiemy całkowe liniowe połączenie charakterów.
(4.1)Prawo wzajemności Frobeniusa. Niech Φ będzie funkcją klasy na H ⊆ G i niech Ψ będzie funkcją klasy na G. Wtedy
(Ψ, ΦG) = (ΨH, Φ)
Dowód. Jest to proste obliczenie:


Ponieważ jest funkcją klasy a Φ zanika z H, mamy


Poniższe następstwo bezpośrednio wynika z (2.9) i (4.1)
(4.2) Jeśli Φ jest (uogólnionym) charakterem podgrupy H ⊆ G wtedy ΦG jest (uogólnionym) charakterem z G
Okazuje się ,że jeśli V jest CH-modułem dostarczającym Φ, możemy użyć standardowej konstrukcji iloczynu tensorowego dla rozszerzenia pierścienia operatorów:
VG = Y ⊗CHCG
gdzie odnosimy się do CG jako lewostronnego CH-modułu i prawostronnego modułu CG. Wtedy VG dostarcza ΦG. Ponieważ nie potrzebujemy tego wyniku, pomijamy dowód. Przekształcenie indukowane jest niezbędne w analizie związków między charakterami G i charakterami podgrup H ⊆ G. Oto kilka z jej przydatnych właściwości:
(4.3) Niech Φ będzie funkcją klasy na H ⊆ G i niech Ψ będzie klasą funkcji na G. Wtedy:
(a) (ΨHΦ)G = ΨΦG
(b) Niech x1,...,xt będzie zbiorem prawostronnych warstw reprezentatywnych dla H w G. Wtedy


(c) Jeśli H ⊆ K ⊆ G, wtedy (ΦK)G = ΦG
Dowód. Z definicji, mamy


ale ponieważ Ψ jest stałą na klasach sprzężonych G, występuje założenie (a). Instrukcja (b) występuje bezpośrednio z definicji i faktu ,że Φ jest stała na klasach sprzężonych H. Ostatnia instrukcja może być udowodniona łatwo z definicji, ale zauważmy ,że jest bezpośrednia z (4.1),(2.8) i trywialnego faktu ,że (XK)H = XH.
(4.4 Mackey) Niech K, H ⊆ G, załóżmy ,że Ψ jest funkcją klasy na K i niech x1,...,xt będzie zbiorem (K,H) podwójnych reprezentatywnych warstw w G. Dla każdego i, niech Ki = xi-1Kxi i definiujemy funkcje klasy Ψ(i)(y) = Ψ(xiyxi-1) na Ki. Wstawiamy Hi = H ∩ Ki .Wtedy


W szczególności, jeśli Φ jest funkcją klasy na H, wtedy


Dowód. Druga konkluzja wynika z pierwszego z prawa wzajemności Frobeniusa:


Aby udowodnić pierwszą instrukcję, rozważmy działanie G przez prawostronne mnożenie na prawostronnych warstwach KX z K. Podwójna warstwa KxiH jest orbitą H zawierająca punkt Kxi, a stabilizatorem tego punktu w H jest dokładnie Hi. Niech {hi1,...,hit1} będzie zbiorem reprezentatywnych prawostronnych warstw dla Hi w H. Wtedy każdy punkt KX w H-orbicie KxiH może być zapisany Kxihij dla pewnego j.. W szczególności, zbiór iloczynów {xihij | 1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ Ti} jest zbiorem reprezentatywnych prawostronnych warstw dla K w G. Niech h ∈ H; wtedy z (4.3)(b) mamy


gdzie Ψ(i) zanika z Ki. Ale wtedy (4.3)(b) stosuje się do podgrup Hi ⊆ H pokazuje ,że suma skalarna to dokładnie (Ψ(i)Hi)H(h)
Mamy już dość informacji o charakterach indukowanych dla udowodnienia poniższego sławnego twierdzenia Frobeniusa
(4.5 Frobenius) Załóżmy ,że H ⊆ G i H ∩ g-1Hg = 1 dla g ∈ G\H. Wtedy istnieje normalna podgrupa N ≤ G z H ∩ N = 1 i HN = G.
Dowód. Niech S będzie sumą wszystkich sprzężeń zbioru H\{1} w G. Ponieważ nasza hipoteza implikuje w szczególności ,że NG(H) = H, wynika ,że S jest sumą |G:H| zbiorów rozłącznych, z których każdy ma moc |H|-1, i dlatego |S| = |G:H| (|H|-1). Niech N = G\S; wtedy |N| = |G:H|. Co więcej, jasne jest ,że N jest sumą G-klas sprzężonych. Problemem jest udowodnienie ,że N jest podgrupą. Aby to zrobić, niech Irr(H) = {Φ0 = 1H, Φ1,...,Φs} i definiujemy uogólnione charaktery Ψi = Φi(1)1H - Φi ( 1 ≤ i ≤ s). Wtedy dla 1 ≤i, j ≤ s mamy


Teraz rozważmy uogólnione charaktery ΨGi z G. Wynika bezpośrednio z definicji indukowanych charakterów ,że ΨGi(1) = 0, a twierdzenie Mackeya (4.4) z H = K i nasza hipoteza implikuje ,że
(4.7) (ΨiG, ΨjG) = (Ψi, Ψj) (1 ≤ i; j≤ s)
Z prawa wzajemności Frobeniusa, łatwo uzyskujemy (1G, ΨiG) = (1Hi) = Φi(1) co oznacza ,że możemy zapisać ΨiG = Φi(1)1G - Xi, gdzie Xi jest pewnym uogólnionym charakterem z (Xi, 1G) = 0. Ale teraz,(4.6) i (4.7) dostarcza (Xi,Xj) = σij. W szczególności, Xi musi być nieprzywiedlnym charakterem. Ponieważ ΨiG(1) = 0, musimy mieć Xi(1) = Φi(1) > 0, a stąd {X1,...,Xs} jest zbiorem różnych nieredukowalnych charakterów z G. Niech N0 będzie przecięciem ich kerneli. Pokażemy ,że N0 = N. Stosując twierdzenie Mackeya widać ,że


i dlatego XiH = &Phii dla wszystkich i. Ponieważ przecięcie kerneli niegłównych nieredukowalnych charakterów dowolnej grupy jest tożsamościowe z (2.8),mamy N0 ∩ H = 1. Z drugiej strony, jeśli x ∈ N\{1} wtedy x nie jest G-sprzężone dla dowolnego elementu z H, skąd ΨiG(x) = 0 dla każdego i z definicji indukowanych charakterów. Ale implikuje to ,że x ∈ ker(Xi) dla wszystkich i a zatem N ⊆ N0. Ponieważ |G| = |H||N| ≥ |H||N0| a H ∩ N0 = 1, wynika ,że G + NH a N = N)
Bardzo ważną klasą przykładów indukowanych charakterów są charaktery permutacji. Szczegóły są jak poniżej:
(4.8) Załóżmy ,że G działa na zbiorze Ω z charakterem permutacji θ. Niech Ω1,...,Ωr będzie G-orbitami na Ω i niech Hi będzie stabilizatorem punktu w Ω1 (1 ≤ i ≤ r). Wtedy θ = Σri=1(1Hi)G. W szczególności, (θ, 1G) = r .Jeśli r = 1 wtedy (θ ,θ) jest liczba podwójnych warstw z H1 w G
Dowód. Ponieważ θ jest sumą przechodnich charakterów permutacji θi z G działającą na Ωi, wystarczy rozważyć specjalny przypadek r = 1, H = H1. Więc możemy założyć ,że Ω jest zbiorem prawostronnych warstw H Z G działającymi przez prawostronne mnożenie. Wtedy widać z (4.3)(b) ,że 1GH(g) jest liczbą reprezentatywnych prawostronnych warstw xj z H w G dla których xj>gxj-1 leży w H. Ale jest to tylko liczba warstw HXj z Hxjg = Hxj. Wykazaliśmy ,że θi> = (1Hi)G. Z prawa wzajemności Frobeniusa (θi, 1G) = 1 więc (θ,1G) = r .Jeśli r = 1 i H jest stabilizatorem punktu, wtedy (4.4) pokazuje ,że (θ, θ) jest liczbą (H,H) podwójnych warstw.
Powyższy wynik mówi ,że liczba orbit grupy działającej na zbiorze jest równa średniej liczby stałych punktów. Ta obserwacja, pierwotnie przez wzgląd na Burnsidea, jest użyteczna w pewnych problemach wyliczeniowych. Inną konsekwencją (4.8) jest przypadek ,że θ jest charakterem podwójnie przechodniej reprezentacji permutacji. W tym przypadku, łatwo zobaczyć ,że istnieją dokładnie podwójne warstwy stabilizatora punktu, więc otrzymujemy (θ, θ) = 2. Implikuje to ,że θ = 1G + X gdzie X jest nieredukowalne. jak wspomnieliśmy wcześniej, nie potrzebujemy używać modułów indukowanych tutaj, opierając się w dużej mierze na prostszych charakterach indukowanych. Jednakże, poniżej mamy specjalny ciekawy przypadek:
(4.9) Załóżmy ,że H ⊆ G a λ jest charakterem liniowym z H, z odpowiednią centralną idempotencją eλ. Wtedy główny prawostronny ideał eλCG z CG dostarcza charakter indukowany λG
Dowód. Niech {x1,x2,...,xt} będzie zbiorem reprezentatywnych prawostronnych warstw dla H w G .Wtedy


ponieważ eλh = λ(h)eλ dla wszystkich h ∈ H. Co więcej, ponieważ


wektory B = {eλxi | 1 ≤ i ≤ t} są liniowymi podstawami dla ideału eλCG ponieważ zbiory Hxi są rozłączne. Dane dowolne g ∈ G , jest permutacją i → i′ z {1,2,...,t} i elementami hi(g) ∈ H takimi ,że dla każdego i, xig = hi(g)xi′. Oznacza to ,że macierz prawostronnych mnożeń przez g jest jednomianem w odniesieniu do podstawy B, jednoznacznym niezerowym elementem w wierszu i będącym λ(hi(g)) w kolumnie i′ Otrzymujemy niezerowy wkład do śladu ściśle kiedy i = i′, tj. kiedy xigxi-1 ∈ H a wynik wynika teraz z (4.3)(b)

CZĘŚĆ V : Dalsze wyniki

W tej części, uzyskamy liczbę ważnych i wewnętrznie powiązanych w teorii charakterów, w tym twierdzenie Clifforda na charakterach normalnych podgrup, fakt ,że wszystkie nieredukowalne reprezentacje p-grup są jednomianami, charakteryzacja Brauera charakterów i twierdzenie Brauera na blokach defektu zera. Zaczniemy od twierdzenia Clifforda. Załóżmy ,że H ≤ G i θ ∈ Irr(H) jest dostarczana przez reprezentację Θ. Wtedy dla dowolnego g ∈ G, składającego się na przekształcenie h |-> ghg-1 z Θ dostarcza innej reprezentacji dostarczające charakteru θg(h) := θ(ghg-1). W ten sposób, G działa na Irr(H) z H działającym trywialnie. Dla każdego θ ∈ Irr(H) wstawiamy Gθ = {g ∈ G|θg = θ}; wtedy H ⊆ Gθ ⊆ G.
(5.1 Clifford) Załóżmy ,że H &lr; G X ∈ Irr(G), a θ jest nieredukowalną składową z XH. Wtedy istnieje jednoznaczny nieredukowalny charakter Ψ z Gθ dla której (ΨG, X) ≠ 0 ≠ (ΨH, θ). Co więcej, ΨG = X, ΨH = e θ dla pewnej liczby całkowitej e, i jeśli X jest zbiorem reprezentatywnych warstw dla Gθ w G wtedy XH = e Σx∈XθX.
Dowód. Niech I = Gθ. Stosując (4.4) przy K = H otrzymujemy


ponieważ(H,H) podwójne warstwy są tylko H-warstwami kiedy H jest normalne. Ponieważ X jest składową θG z wzajemności, xH jest składową (θG)H i możemy zatem zobaczyć ,że wszystkie nieredukowalne składowe z XH są G-sprzężenia do θ Z drugiej strony, XH, jest G-niezmiennikiem, więc (X, θ) = (X, θg) dla wszystkich g ∈ G. Stąd


dla pewnego całkowitego e. W szczególności X(1) = e|G:I|θ(1). Możemy zapisać XI = Ψ + Φ gdzie każdą nieredukowalną składową ξ z Ψ spełnia (ξH,θ) ≠ 0 podczas gdy (ΦH, θ) = 0. Wtedy ΨH = eθ tak więc Ψ(1) = eθ(1) i (XI, Ψ)= (Ψ, Ψ) Z wzajemności wynika ,że ΨG = (Ψ, Ψ) X + ϑ dla pewnego charakteru ϑ z G przu (X, ϑ) = 0 skąd
|G:I|eθ(1) = |G:I|Ψ(1) = ΨG(1) ≥ (Ψ, Ψ)X(1) = (Ψ ,Ψ)e|G:I|θ(1)
Konkludujemy ,że (Ψ, Ψ) = 1 a Ψ jest jednoznacznie nieredukowalnym charakterem z I spełniającym XI, Ψ) ≠ 0 ≠ (&PSi;H, θ). Co więcej, ta nierówność jest równością co oznacza ,że ϑ = 0.
(5.2) Załóżmy ,że G ma normalną podgrupę abelową A taką ,że G/A jest p-grupą dla pewnego pierwszego p. Wtedy dla każdego X ∈ Irr(G) jest podgrupą H z G i liniowym charakterem λ z H przy λG = X
Dowód. Możemy założyć bez utraty ogólności ,że G jest minimalnym kontrprzykładem i ,że A jest maksymalną normalna podgrupą abelową z G. Najpierw argumentujemy ,że A = CG(A) bo jeśli nie , to CG(A)/A jest właściwą normalną podgrupą z p-grupy G/A i spełnia tym samym środek nietrywialnego G/A Implikuje to ,że istnieje normalna podgrupa Z z G przy A ⊆ Z ⊆ CG(A) a |Z/A| = p .W szczególności a jest środkiem w Z a Z/A jest cykliczne, skąd Z jest przeciwnością abelową do maksymalności A. Konkludujemy ,że
(5.3) A = CG(A)
Ponieważ każda podgrupa G spełnia tą hipotezę, wystarczającą z indukcji do pokazania ,że każdy nieliniowy charakter X z G jest indukowana z właściwej podgrupy z G. Zatem ,z (5.1), przy H = A, możemy założyć ,że X jest nieliniowe i
(5.4) XA = eθ
dla pewnego nieredukowalnego (a zatem liniowego) charakteru θ z A.
Niech N = ker(X). Wtedy przez lekkie wykorzystanie notacji, X jest nieredukowanym charakterem z G/N i jeśli X = λG/N dla pewnego liniowego charakteru λ podgrupy H/N, łatwo zobaczyć ,że X = λG. Ponieważ G/N spełnia tą hipotezę, możemy założyć przez indukcję ,że N = 1. Teraz niech ℵ będzi reprezentacją dostarczaną przez X. Wtedy ℵ osadza G w GL(V) a (5.4) pokazuje ,że ℵ(a) jest skalarny dla wszystkich a ∈ A. Z (5.3), A = G a zatem X jest liniowe.
Naszym kolejnym celem w tej części jest udowodnienie ważnej tezy Brauera, która podaje konieczne i wystarczające warunki dla funkcji klasy na G będącej uogólnionym charakterem. Najpierw potrzebujemy pewnej notacji i definicji. Niech Ch(G) będzie pierścieniem uogólnionych charakterów z G. Niech ℵ będzie rodziną podgrup z G z taką właściwością ,że jeśli H,K ∈ ℵ i g ∈ G, wtedy H ∩ Kg ∈ ℵ i niech ℜ(G.ℵ) będzie zbiorem charakterów permutacji {1GH | H ∈ ℵ}
(5.5) ℜ(G; ℵ) jest podpierścieniem z Ch(G)
Dowód. Niech H,K ∈ ℵ .Z (4.3)(a)(c) i (4.4)


gdzie Hi = H ∩ xi-1Kxi, jak w (4.4)
Pierścień ℜ(G, ℵ) jest często nazywany pierścieniem Burnside′a z G względem do ℵ
(5.6) Niech R będzie pierścieniem funkcji Z - wartości na skończonym zbiorze G z operacjami punktowymi. Załóżmy ,że dla każdej liczby pierwszej p i każdego g ∈ G , istnieje funkcja fg,p ∈ R przy


.Wtedy 1 ∈ R
Dowód. Dla g ∈ G, niech Ig = {f(g): f ∈ R} ⊆ Z. Ig jest addytywną podgrupą i dlatego ideałem z Z. Nasza hipoteza zatem gwarantuje ,że Ig + r, skąd istnieje funkcja fg &isin R przy fg(g) = 1. Wynika z tego ,że Πg∈ G(1 - fg) . Dzięki rozszerzeniu się tego iloczynu, uzyskujemy 1 jako sumę elementów R
Nazwiemy grupę H quasi-elementarną jeśli, dla pewnej liczby pierwszej p, H jest półprostym iloczynem PC gdzie C jest normalną cykliczną podgrupą rzędu liczby pierwszej do p a P jest p-grupą. Jasne jest ,że dowolna podgrupa quasi-elementarnej grupy sama jest quasi-elementarną, a zwłaszcza ,że pierścień Burnside′a ℜ(G;℘) gdzie ℘ jest quasi-elementarną podgrupą z G
(5.7) 1 ∈ ℜ(G; ℘)
Dowód Wystarczy wykazać, że ℜ(G,℘) spełnia tą hipotezę z (5.6) Zatem, przy danej liczbie pierwszej i elemencie g ∈ G ,zapisujemy rząd g jako pan gdzie p ł n i niech C = ⟨gpa⟩. Wtedy |C| = n. Niech P będzie p-subgrupą Sylova z N = NG(C) zawierającą g i niech H = PC .Wtedy H ∈ ℘ i twierdzimy ,że


.Mianowicie, wybieramy reprezentatywną warstwę {x1,...,xt} dla H w G. Wtedy z (4.3)(b), 1GH(g) równa się liczbie indeksów i dla których xigxi-1 ∈ H. teraz jeśli xgx-1 ∈ H , wtedy xCx-1 ⊆ H ale ponieważ H/C jest p-grupą, C zawiera wszystkie podgrupy z H rzędu pierwszego do p. Wynika z tego ,że xCx-1 = C a zatem xgx-1 ∈ H implikuje ,że x ∈ N. Konkludujemy ,że 1GH(g) = 1NH(g) jest liczbą warstw z H w N określonych przez g. Ponieważ c ≤ N i C ⊆ H, C określa wszystkie warstwy z H w N a zatem działanie g na warstwach H w N ma rząd podzielny przez pa.W szczególności każda nietrywialna orbita g ma długość podzielną przez p . Z drugiej strony, liczba warstw H z N jest liczbą pierwszą p ponieważ H zawiera p-subgrupę Sylowa z N, a zatem liczba stałych punktów z g musi być pierwsza do p. Wrócimy do dowodu charakterystyka Brauera charakterów. Mówimy ,że podgrupa H ⊆ G jest elementarna jeśli dla pewnej liczby pierwszej p, H = P xC gdzie C jest cykliczną rzędu pierwszego do p a P jest p-grupą .W szczególności, elementarne podgrupy są quasi - elementarne.i,liniowe charaktery λi z Hi i liczby całkowite ai (1 ≤ i ≤ n) takie ,że Φ = Σni=naiλiG
(b) Φ jest uogólnionym charakterem z G
(c) ΦH jest uogólnionym charakterem H dla każdej elementarnej podgrupy H z G.
Dowód. Niech ζ będzie zbiorem wszystkich elementarnych podgrup G . Niech ℜ będzie pierścieniem wszystkich funkcji klas Φ na G takim ,że ΦH ∈ Ch(H) dla wszystkich H ∈ ζ i niech ξ będzie podgrupą Ch(G) łączoną nad Z przez charaktery postaci λG gdzie λ jest charakterem liniowym z pewnego H ∈ X. Wtedy jasne jst ,że ξ ⊆ Ch(G) ⊆ ℜ a twierdzenie jest równoważne instrukcji ξ = ℜ. Niech Φ ∈ ξ i Ψ ∈ ℜ , z Φ = Σni=1aiλiG gdzie λi jest charakterem liniowym elementarnej podgrupy Hi. Wtedy ΨΦ = Σni=1aiHiλi)G z (4.3)(a). Ponieważ ΨHi ∈ Ch(Hi) istnieją liczby całkowite bij takie ,że
(5.9)


gdzie ζij ∈ Irr(Hi). Z (5.2) ζij jest indukowane z charakteru liniowego pewnej podgrupy z Hi, ale ponieważ podgrupy elementarnych grup są ponownie elementarne, (4.3)(c) zastosowane do (5.9) pokazuje ,że ΦΨ ∈ ξ. Oznacza to ,że ξ jest ideałem z ℜ, więc aby zakończyć dowód wystarczy wykazać ,że 1G ∈ ξ .Z (5.7) i (4.3) wystarczy założyć ,że G = PC gdzie C jest normalną cykliczną podgrupę rzędu pierwszego do p a P jest p-grupą dla pewnej liczby pierwszej p, a potem wykazać ,że 1G ∈ ξ. Niech N = NG(P) . Wtedy N = P x ( N ∩ C) jest elementarne. Jeśli B = G wtedy G jest elementarne i nie ma nic do udowodnienia, Więc możemy również założyć ,że N < G .Niech
(5.10)


gdzie Xi są niegłównymi nieredukowalnymi charakterami a ai są dodatnimi liczbami całkowitymi. Zauważmy ,że a0 = (1GN, 1G) = (1N, 1N) = 1. Następnie argumentujemy ,że Xi(1) > 1 dla wszystkich i > 0. Mianowicie (XiN, 1N) ≠ 0 z wzajemności, więc jeśli Xi będzie liniowe dla pewnego i będziemy mieli XiN = 1N a N będzie zawarte we właściwej normalnej podgrupie H = ker(Xi). Ale jest niemożliwe ze względu na tzw. "argument Frattiniego". Niech g ∈ G. Wtedy P i Pg są obie p-podgrupami Sylowa H, skąd pgh = P dla pewnego h ∈ H. Ale wtedy gh ∈ N ⊆ H i dlatego g ∈ H dla wszystkich g ∈ G co jest przeciwieństwem. Możemy teraz zakończyć dowód przez indukcję , ponieważ z (5.2) każde Xi jest indukowane z liniowego charakteru λi właściwej podgrupy H i < G, a ponieważ a0 = 1 , (5.10) staje się


Ponieważ Hi jest właściwe, możemy założyć ,że λi jest całkowitym połączeniem liniowym indukującym liniowy charakter z elementarnej podgrupy z Hi, a zatem 1G ∈ ξ z (4.3)(c) a) X(g) = 0 dla każdego g ∈ G których porządek jest podzielny przez p
b) X(g) = 0 dla każdego g ∈ G których porządek jest potęgą p
c)


Dowód. Jest oczywiste ,że (a) implikuje (b). Wykazują to ,że (b) implikuje (c) niech P będzie p-podgrupą Sylowa z G. Wtedy


Zatem X(1) jest podzielne przez pełną moc p dzieloną przez }G| i wynika (c). Nietrywialną implikacją jest (c) ⇒ (a). Najpierw argumentujemy ,że
(5.12) Załóżmy ,że H = P x Q ⊆ G gdzie P jest p-grupą a p ł |Q|. Wtedy (λ XQ) jest podzielne przez |P| dla wszystkich λ ∈ Irr(Q)
. Mianowicie , niech n = |G|/X(1) i niech x ∈ Q. Wtedy z (3.2) ilość
|G|X(x)/ |CG(x)|X(1)
jest algebraiczną liczbą całkowitą. Ponieważ P ⊆ CG(x), ilość
|G|X(x)/|P|X(1) = nX(x)/|P|
jest również algebraiczną liczbą całkowitą. Z hipotezy wynika ,że istnieją liczby całkowite a i b takie ,że an + b|P| = 1. Wtedy X(x)/|P| = anx(x) / |P| + bX(x), więc X(x)/|P| jest również liczbą całkowitą algebraiczną. Teraz wybieramy liczby całkowite d,e , takie ,że d|P| + e|Q| = 1. Wtedy


a ponieważ prawa strona jest algebraiczną liczbą całkowitą, wynika z tego (5.12). Następnie definiujemy funkcję klasy X^ na G :


Chcemy udowodnić ,że X = X^. Głównym krokiem jest wykazanie, używając (5.8) ,że X^ ∈ Ch(G). Aby to zrobić, musimy tylko wykazać ,że X^H dla każdej elementarnej podgrupy H z G. Ponieważ grupy cykliczne są iloczynami prostymi grup cyklicznych rzędu potęgi pierwszej, H jest postaci P x Q gdzie P jest p-grupą a



(Q może nie być cykliczna ale nas to nie obchodzi) .Z (2.10) każdy nieredukowalny charakter H jest postaci xΨλ gdzie Ψ ∈ Irr(P) a λ ∈ Irr(Q). Ponieważ X^ zanika na elementach rzędu podzielnego przez p , mamy


a zatem. ^H ∈ Ch(H) z (5.12) . Przez (5.8) X^ ∈ Ch(G). W końcu , niech R będzie zbiorem elementów G rzędu niepodzielnego przez p. Wtedy ponieważ 1 ∈ R , mamy


Ale ponieważ X^ jest charakterem uogólnionym, nierówność musi być równością i dlatego X zanika z R a

CZĘŚĆ VI : Permutacje i rozkłady

W tej części zbierzemy pewne wyniki kombinatoryczne i wprowadzimy notację , która będzie potrzebna później. Oznaczymy zbiór składający się z n dodatnich liczb całkowitych przez Ωn i niech Sn będzie grupą wszystkich permutacji na tym zbiorze. Będziemy często pomijać górny indeks jeśli nie wprowadzi to zamieszania. Będziemy oznaczać rozkład &Omega jako uporządkowany zbiór par rozłącznych niepustych podzbiorów P = {P1,P2,...,Pr} taki ,że
|Pi| ≥ |Pi+1 dla wszystkich i i .
Zatem dwa rozkłady
({1,2},{3,4}) i ({3,4},{1,2}) z Ω4 są różne. Zbiory Pi są częściami P. Rozkład Ω jest tylko funkcją surjektywną Ω → &Omegar dla pewnego r którego włókna monotonicznie zmniejszają wielkość. Przez rozkład n rozumiemy sekwencję liczb całkowitych dodatnich
π = (π12,...,πr)
takich ,że
πi ≥ πi+1 dla wszystkich i , i


Liczby całkowite πi są częściami π Często wskazujemy powtarzające się wyrazy wykładniczo, więc (32, 2,13) oznacza (3,3,2,1,1,1). Przy danym rozkładzie P = (P1,P2,...,Pr) z Ω dany typ P będzie rozkładem P^ = (π1, π2,...,πr) gdzie πi = |Pi| dla wszystkich i. Czasami będziemy nadużywać notacji przez rozważenie rozkładu Ω jako nieskończoną sekwencję, które części są ostatecznie puste. Co więcej, czasami jest wygodniej odrzucić ograniczenie ,że części rozkładu są monotonicznie malejące. Grupa symetryczna Sn działa na zbiorze wszystkich rozkładów Ωn w sposób oczywisty. To działanie najwyraźniej zachowuje typy i jeśli dwa rozkładu mają taki sam typ, jasne jest ,że możemy zmienić etykietę elementów jednego dla uzyskania drugiego. Stabilizator SP rozkładu P jest nazywana podgrupą Younga typu P. Jeśli P = (P1,P2,...,Pr) a Si będzie podgrupą S ustalającą Ω\Pi, wtedy SP ≅ S1 x S2 x ... x Sr. Załóżmy ,że O = (O1,...,Os) jest innym rozkładem. Jeśli damy ℜ będzie rozkładem którego częściami są zbiory Pi ∩ Oj we właściwym porządku, wtedy SP ∩ SO = S. Podsumowując: (6.1) Dwa rozkłady z Ω są S-sprzężone jeśli i tylko jeśli mają ten sam typ. Jeśli SP i SO są podgrupami Younga, wtedy SP ∩ SO jest podgrupą Younga rozkładu , którego części są niepustą parą części wspólnych części P z częścią O. Każdy rozkład π = (π12,...,πr) z n powiązany z diagramem Younga Y(π) = {(i,j) : 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤j πi}. Często myślimy o diagramie Younga jako tablicach pól np.


Przy danym diagramie Younga ,Y(π), ne trudno zauważyć że transpozycja diagramu Y(π)′ = {(j,i) | (i,j) ∈ Y(π)} jest diagramem Younga jednoznacznie określającym rozkład przeciwnym, π′. Na przykład, (32, 2 ,1)′ = (4,3,2). Niech &pi będzie rozkładem z n. Macierz sieci Younga typu π jest bijekcją T: Y(π) → Ωn. Można pomyśleć o tym jako przypisaniu liczb do pól. Poniżej mamy macierz sieci typu (32,2,1):


Każda macierz sieci również ma macierz przeciwny. Co więcej, dowolna macierz T definiuje dwa rozkłady Ω, wiersz rozkładu ℜ(T) i kolumnę rozkładu ξ(T). Dowolne dwa rozkłady , które uzyskujemy z pojedynczego diagramu Younga w ten sposób będzie nazywana przeciwną. Bardziej ogólnie, mówimy, że P jest rozłączne od O jeśli |Pi ∩ Oj| & le; 1 dla każdej części Pi z P i Oj z O. Jasne jest ,że S działa swobodnie na zbiorze macierzy sieci danego typu przez permutację wyrazów. Definiujemy wiersz grupy R(T) (odpowiednio kolumnę grupy C(T)) będący stabilizatorem wiersza rozkładu (kolumny rozkładu) T.
(6.2) Niech P i O będą rozkładami z Ω .Wtedy P i O są przeciwieństwami jeśli są rozłączne i mają przeciwne typy. Co więcej SP jest przechodni na zbiorze przeciwnych rozkładów do P.
Dowód. Jasno wynika z definicji ,że rozkłady przeciwne mają przeciwne typy i są rozłączne. Jeśli P = (P1,..., Pr) i O =(O1,..., Os) są rozłączne i mają przeciwne typy musimy zbudować macierz T typu P^ z ℜ(T) = P i ξ(T) = O. Ponieważ P^ = O^, wynika w szczególności ,że |O1| = r a ponieważ |O1 ∩ Pi| ≤ 1 dla 1 ≤ i ≤ 4 , konkludujemy ,że |O1 ∩ Pi| = 1 dla wszystkich i. Zatem , możemy dać T(i,1) będące jednoznacznym elementem O1 ∩ Pi1 , P^i = Pi\O1 (1 ≤ i ≤ r) a O^i = Oi+1 (1 ≤ i ≤ s). w końcu, przy danych dwóch macierzach sieci T i T^ z tymi samymi wierszami rozkładu , oczywiste jest ,że jeden możemy uzyskać z drugiego przez permutowanie elementów w każdy wierszu. Zatem istnieje element σ ∈ R(T) taki ,że ξ(T)σ = ξ(T^). Przy danym rozkładzie P z Ω istnieje standardowy sposób wyboru macierzy T z ℜ(T) = P, mianowicie ułożenie każdej części P w monotonicznie malejącym porządku. Macierz wynikowa jest monotoniczna wierszowo. Macierze które są zarówno w monotoniczne wierszowo jak i kolumnowo są nazywane standardowymi. Następnie wprowadzimy ważny porządek częściowy na (niewłaściwej) partycji n, zdefiniowanej tak :


gdzie bierzemy λi = μj = 0 dla i > r i j > s. Oznaczamy przez ≤ całkowity porządek leksykograficzny: λ ≤ μ jeśli λ = μ lub dla pewnego k mamy λi = μi dla i < k i λk < μk. Jasne jest ,że jeśli λ ≤ μ wtedy λ << μ. Kolejny wynik daje elegancką i ważną charakterystykę rozłączności odnośnie porządku częściowego.
6.3(Gale-Ryster) Niech λ i μ będą rozkładami z n, Istnieje rozłączny rozkład z Ωn typu λ i μ jeśli λ << μ′
Dowód. Jest dobry sposób myślenia o tym wyniku: Wiersze Y(λ) są rodzinami jadącymi autobusem, każde pole oznacza członka rodziny. Wiersze Y(μ) są autobusami, każde pole oznacza siedzenie. Szukamy "harmonicznego" ułożenia siedzeń, tzn. takiego w którym żaden z dwóch członków rodziny nie siedział w tym samym autobusie. Jest oczywiście konieczny warunek dostarczany przez zasadę szufladkowanie, mianowicie ,że po pierwszych k rodzinach usadowionych nie może być więcej niż k osób na autobus. Niech Ck = Σkj=1μ′j. Wtedy Ck jest całkowita liczbą pól w pierwszych k kolumnach z Y(μ), co jest całkowitą liczbą dostępnych siedzeń, przy ograniczeniu ,że nie będzie więcej niż k osób na autobus. Będziemy nazywać Ck "k-pojemnością" autobusów. Musi być co najmniej tak duża jak całkowity rozmiar największej k rodziny. Wynika ,że jeśli istnieje rozłączny rozkład, wtedy λ << μ′. Załóżmy ,że całkowity rozmiar największej k rodziny nie przekracza k-pojemności autobusu dla dowolnego k. Wstawiamy tak dużo ludzi jak może być usadowionych harmonicznie w największym autobusie. Problemem jest zweryfikowanie czy pozostali ludzie i autobusy spełniają ograniczenie ,ze nowy całkowity rozmiar największej rodziny nie przekracza k-pojemności pozostałych autobusów. Niech s będzie rozmiarem autobusu już wysłanego, wtedy k-pojemność pozostałej floty musi być zredukowana o k dla wszystkich k ≤ s i przez s dla wszystkich k ≥ s. Z drugiej strony, ponieważ co najwyżej jedna osoba została zredukowana z każdej rodziny, całkowity rozmiar największej k rodziny zostaje zredukowana o co najwyżej k dla wszystkich k ≤ s i o co najwyżej s dla dowolnego k, ponieważ co najwyżej s ludzi opuści pierwszy autobus. Wynika z indukcji ,że pozostali ludzie mogą być usadowieni harmonicznie. Ciekawym następstwem z (6.3) jest to ,że relacja λ << μ′ jest symetryczna. Co ważniejsze, jednak, wynika z (6.1) ,że podgrupy Younga mają trywialne części wspólne jeśli są stabilizatorami rozkładów rozłącznych. Zatem mamy
(6.4)Następstwo .Niech λ i μ będzie rozkładem z n. Istnieją podgrupy Younga typu λ i μ z trywialnymi częściami wspólnymi jeśli λ << μ′
Dla σ ∈ Sn niech ⟨σ⟩ będzie cykliczną podgrupą wygenerowaną przez σ i niech: Ω = Ω1 ∪ Ω2∪ ... ∪ Ωr
gdzie Ωi są (rozłącznymi) orbitami ⟨σ⟩na Ω Niech |Ωi| = ki (1 ≤ i ≤ 4) z notacją dobraną tak ,że ki & ge; ki+1. Nazywamy rozkład σ^ = (k1,...,kr) typem σ Mówimy ,że σ jest k-cykliczna jeśli k1 = k a k2 - 1. Zwykła notacja dla k-cyklicznego σ to (m0m1...mk-1) gdzie miσ = mi+1 (0 ≤ i < k). Ta notacja jest unikalna do cyklicznej permutacji z mi. Co więcej ma dalsze zalety takie jak τ-1στ = (m0τm1τ...mk-1τ), skąd jest oczywiste ,że dwie k-cykliczności są Sn - sprzężone. Wracając do głównego przypadku, niech σi będzie ki- cykliczną co zgadza się z σ na Ωi i jest tożsama gdzieindziej. Wtedy σi będą rozłączne (to znaczy ich nietrywialne orbity na Ω są rozłączne) a ich iloczyn to σ Łatwo zobaczyć ,że σi są jednoznacznie określone przez σ, zatem jest jednoznaczny sposób zapisania σ jako iloczyn cykli rozłącznych, do rzędu współczynników (co nie jest ważne ponieważ σi oczywiście komutuje).Co więcej jasne jest ,że σ jest S-sprzężona do τ jeśli σ^ = τ^. Podsumowując: (6.5) Każdy element z Sn jest jednoznacznym iloczynem cykli rozłącznych. Długość tych cykli formuje rozkład z i , w ten sposób, klasy sprzężoności Sn są indeksowane przez rozkład n.
Ponieważ liczba klas sprzężoności równa się liczbie nieredukowalnych charakterów , możemy mieć nadzieję ,że jest również naturalny sposób indeksowania nieredukowalnych charakterów Sn przez rozkład n. Dla celów obliczeniowych ważne jest znać porządek każdej klasy sprzężoności w Sn , lub co jest tym, samym, porządek centralizatora elementu reprezentatywnego
(6.6) Dla dowolnego rozkładu π = njn...2j21j1 w formie wykładniczej, definiuje


Zatem |CSn(σ)| = nσ^ dla dowolnego σ ∈ Sn
Dowód. Dla i = 1,2,...,n , niech mi będzie liczbą orbit σ rozmiaru i i niech Oi będzie sumą tych orbit; wtedy |Oi| - imi. Niech Hi będzie podgrupą Sn która permutuje te orbity i jest tożsamościowa z Oi. Hi ma normalną podgrupę Ni która stabilizuje każdą z mi orbit. Ni jest iloczynem prostym mi kopii Si, a Hi / Ni ≅ Smi. Niech Ci = CHi(σ). Z (6.5) możemy zapisać σ = σ1σ2...σn gdzie dla każdego i , σi ∈ Ni jest iloczynem mi rozłącznych i-cykli (z tym ,że pusty iloczyn jest tożsamością). Nasza formuła jest konsekwencją następujących trzech faktów, z których każdy jest dość oczywisty: (i) CSn(σ) = C1 x C2 x ... x Cn
(ii) CiNi = Hi
(iii)Ci ∩ Ni = CNii) = ⟨σi
Założenie (i) jest konsekwencją faktu ,że CSn(σ) musi permutować orbity z σ tego samego rozmiaru. Założenie (ii) wynika ,np, z konstrukcji iloczynu transpozycji których części wspólne dwóch orbit z σ i jest tożsama gdziekolwiek. Założenie (iii) szybko redukuje do założenia ,że jedyne elementy Si komutujące z i-cyklami są jej potęgami.

CZĘŚĆ VII : Nieredukowalne Charaktery z Sn

W tej części, zdefiniujemy , dla każdego rozkładu π z n, nieredukowalny charakter Xπ z Sn, i opiszemy efektywny algorytm dla obliczania tabeli charakteru z Sn. Najpierw przypomnijmy ,że Sn działa na pierścieniu wielomianów w n przemiennych zmiennych x1,...,xn prze permutacje wskaźników. Niech Δ = Πi < j(xi - j) i niech σ ∈ Sn. Wtedy σ(Δ)= sgn(σ)Δ gdzie sgn:Sn → {±1} jest liniowym charakterem Sn, nazwanym sygnaturą. Często będziemy używać tej notacjo (-1)σ = sgn(σ) Permutacja σ jest nieparzysta jeśli (-1)σ = -1 i parzysta jeśli (-1)σ = +1. Zauważ ,że (-1)(1,2) = -1. Teraz rozważmy działanie grupy symetrycznej na zbiorze rozkładu Ω. Jak mówiliśmy w poprzedniej sekcji, S jest przechodnia na rozkładach danego typu. Niech Sπ będzie podgrupą Younga typu π, i niech Ψπ = 1SSπ, permutacja charakteru S dostarczana na rozkładach typu π dla dowolnego rozkładu π z n. Dodatkowo, niech Φπ = (-1)SSπ, sygnatura charakteru Sπ indukowana do S.
(7.1) (Φμ , Ψλ ) ≠ 0 jeśli μ′ >> λ. Co więcej jeśli μ′ = λ wtedy (Φμ., Ψλ) = 1.
Dowód. Niech K i H będą podgrupami Younga typu λ i μ, odpowiednio, wybrane z K ∩ H = 1 jeśli możliwe. Z (4.4) mamy


gdzie Hi = H ∩ xi-1Kxi a xi są (K,H) podwójną reprezentatywną warstwą. Ponieważ sygnatura jest stała na klasie S-sprzężonych, (-1)(i) = -1. Ale Hi jest częścią wspólną podgrup Younga typu μ i λ. Jeśli Hi ≠ 1, wtedy Hi zawiera nieparzystą permutację z (6.1), skąd 1Hi a -1Hi są różnymi nieredukowalnymi charakterami Hi którego iloczyn skalarny jest zerem. Stąd (Φμ, Ψλ) ≠ 0 jeśli Hi = 1 dla pewnego i, a pierwsze założenie wynika z (6.4). Teraz załóżmy μ′ = λ. Wtedy to co musimy udowodnić to to ,czy istnieje dokładnie jedna wartość i dla którego Hi = 1. Wybieramy rozkłady rozłączne P i O typów μ i λ odpowiednio i bierzemy H = SP .H = SP i K = S0. Wybieramy notację tak więc x1 = 1 wtedy H1 = K ∩ H = 1. Załóżmy ,że dla pewnego σ ∈ S, Kσ ∩ H = 1. wtedy Oσ jest rozłączna z P przez (6.1) i dlatego Oσh = P dla pewnego h ∈ H z (6.2). Zatem σ ∈ KH, co było wymagane. Poprzedni wynik jest krytyczny. Mówimy ,że dla dowolnego rozkładu π z n, Ψπ i Φπ′ ma jednoznacznie wspólną nieredukowalną składową, która ponadto posiada wielokrotność każdego z nich. Definiujemy teraz Xπ będący tą jednoznaczną wspólną nieredukowalną składową z Ψπ i Φπ′. Dla każdego rozkładu λ z n niech σλ ∈ S będzie klasą sprzężenia reprezentatywną, i niech X = xπλ) i Y = Ψπλ) będzie macierzą kwadratową indeksowaną przez rozkłady n. Porządek wierszy X i Y w malejący leksykograficznym porządku (z pierwszym (n)i ostatnim (1n)) a rząd kolumn w rosnącym leksykograficznym porządku. Załóżmy (Ψμ, Xλ) ≠ 0. Wtedy, ponieważ Xλ jest przez definicję składową Φλ′ z pewności mamy (Ψμ, Φλ′) ≠ 0 a zatem λ>> μ z (7.1). Załóżmy ,że Xλ = Xλ^ dla pewnego rozkładu λ!. Wtedy (Ψλ, Xλ^) = 1 = (Ψλ^,Xλ) z tego λ >> λ^ >> λ a zatem λ = λ^. Xλ są dlatego różnymi nieredukowalnymi charakterami, a ponieważ X jest kwadratem, musi być tablica charakteru S. Ponieważ porządek leksykograficzny ≥ jest udoskonalonym porządkiem częściowym >>, widzimy ,że Y = LX dla pewnej dolnotrójkątnej macierzy całkowitej L z jedynkami na przekątnej. W szczególności, L jest odwracalne nad Z. Zatem udowodniliśmy
(7.2) Jeśli (Ψμ, Xλ) ≠ 0 wtedy λ >> μ W szczególności, Xλ są różne, X jest tablicą charakteru z S, a Y = LX, gdzie L jest macierzą dolnotrójkątną z jedynkami na przekątnej. Co więcej, Ψμ są Z-bazą dla przestrzeni uogólnionych charakterów S.
Możemy opisać bardzo prostu algorytm rekurencyjny dla obliczenia X. Początkowo mamy X(n) = Ψ(n) = 1S. Teraz zakładamy ,że mamy obliczone Ψμ i ,że już obliczyliśmy Xλ dla wszystkich λ > μ. Wtedy


Zatem, μ-ty wiersz X jest wyliczony przez pobranie iloczynu skalarnego μ tego wiersza Y z wszystkimi poprzednimi wierszami X a potem odejmujemy właściwe wielokrotności poprzednich wierszy od μ -tego wiersza Y. Aby to zrobić, musimy wiedzieć jak obliczyć Y, ale to jest relatywnie proste. Mianowicie przy danych dwóch rozkładach π = (π1,...,πr) i λ = (λ1,...,λs) z n, definiujemy λ-udoskonalenia z π będące funkcją surjektywną f: Ωs → Ωr taką ,że πj = Σf(i)=jλi (1 ≤ j ≤ r)
(7.3) Niech π i λ będą rozkładami z n. Wtedy Ψπλ) jest liczbą λ-udoskonaleń z π
Dowód. Zliczamy liczbę rozkładów z Ω typu π które są ustalane przez elementy typy λ. Niech σ będzie typu λ = (λ1,...,λs) i niech σ = σ1σ2....σs będą rozkładem z σ jako iloczyn cykli rozłącznych, gdzie σ1 jest λi - cykli. Niech ξ =(ξ,...,ξs) będzie odpowiednim rozkładem z Ω, tak więc σi permutuje ξ cyklicznie i ustala pozostałe punkty Ω. Aby σ ustaliła rozkład P = (P1,...,Pr), konieczne i wystarczające jest ,ze każde ξi było zwarte w pewnym Pj. Jeśli to się wydarzy dla pewnego rozkładu P typu π, ustawiamy f(i) = j uzyskując funkcję f która wydaje się być λ-udoskonalona z π Przy danej takiej funkcji f. niech


dla każdego j dla uzyskania rozkładu P = (P1,...,Pr) typu π ustalonego przez σ Zauważmy ,że Φπ = (-1) ⋅ Ψπ z (4.3)(a). Ponieważ Xπ jest jednoznaczną nieredukowalną składową z Ψπ i Φπ′, wynika ,że (-1)⋅Xπ i (-1)⋅Φπ′ .Ponieważ (-1)⋅Ψπ = Φπ i (-1)⋅Φπ′ = Ψπ, udowodniliśmy
(7.4) Xπ′ = (-1)⋅Xπ
Możemy użyć powyższego wyniki do obliczenia tablicy charakterów S6. Z (7.4) musimy tylko obliczyć jedno z {Xπ, Xπ′} co zapisuje w przybliżeniu połowę pracy. Najpierw obliczamy Y:


Jako przykład jak (7.3) jest używane do obliczenia Y, rozważmy obliczenia Ψ41122114) = 12 .Liczymy liczbę sposobów w jakie części z 4112 mogą być zapisane jako suma części 2114. Wyraźnie, 2 musi być składnikiem 4 wraz z dwoma innym jedynkami, więc jest sześć różnych sposobów zapisania 4 jako sumy części 2114. Wybierając jeden z takich sposobów, każda pozostała 1 jest sumą jednej z pozostałych jedynek z 2114, więc są dwa sposoby zrobienia tego. Zatem liczba z 2114 - udoskonaleń z 4112 to 12. Teraz przy danym Y, obliczenie jest całkowicie mechaniczne. Pierwszy wiersz to same jedynki. Dla pobrania drugiego wiersza obliczamy iloczyn skalarny pierwszego wiersza z X z drugim wierszem Y pobierając krotności z X6′ w Ψ5111 (co jest oczywiście 1) i odejmujemy tą wielokrotność pierwszego wiersza X od drugiego wiersza Y pobierając drugi wiersz X. Dla trzeciego wiersza obliczamy iloczyny skalarne pierwszych dwóch wierszy X z trzecim wierszem Y i odejmujemy od trzeciego wiersza Y tych krotności pierwszych dwóch wierszy X. Zauważ ,że na każdym etapie możemy sprawdzić naszą pracę przez obliczenie iloczynu skalarnego każdego wiersza X przez niego samego (musi być 1). Wyniki są następujące:



CZĘŚĆ VIII : Moduły Spechta

Wrócimy do problemy budowy modułu Xπ uzyskując nieredukowalny charakter Xπ. Zaczniemy pozwalając Mπ być modułem permutacji dającym Ψπ. Mπ ,a naturalną podstawę {fP |P^ = π} permutowane przez S. Ponieważ Xπ ma krotności 1 w Ψπ, istnieje jednoznaczny submoduł Xπ ⊆ Mπ uzyskując Xπ który jest nazywany modułem Spechta. Chcemy zbudować wyraźną podstawę dla Xπ z punktu widzenia fP. Przy danym rozkładzie O, definiujemy


(8.1) Niech O będzie dowolnym rozkładem z Ω typu π′. Wtedy MπτO ⊆ Xπ
Dowód. Niech H będzie podgrupą Younga typu π tak więc Ψπ = 1GH. Niech


wtedy eH jest pierwotną centralną idempotentnością CH odpowiadająca 1H/ Z (4.9), ideał prawostronny Iπ = eHCG uzyskujemy Ψπ i zatem jest izomorficzna do Mπ. Ponieważ 1/|SO| ⋅ τO jest pierwotną centralną idempotentnością CSO odpowiadający (-1)H, prawostronny ideał Jπ′ = τOCG uzyskuje Φπ′. Niech BX będzie minimalnym 2-stronnym ideałem CG odpowiadającej nieredukowalnemu charakterowi X z G. Wtedy IπBX⊆ Iπ ∩ BX .Ponieważ każdy nieredukowalny submoduł BX uzyskuje X przez (1.3). IπBX = 0 chyba ,że (Ψπ , X) ≠ 0. Podobnie, BXJπ′ = 0 chyba ,że (X, Φπ)≠ 0. Ponieważ CG jest sumą jego minimalnych 2-stronnych ideałów, mamy najpierw


a wtedy IπJπ′ ⊆ BXn ponieważ Ψπ i Φπ′ ,ma jednoznacznie nieredukowalną składową, mianowicie Xπ. Konkludujemy ,że MπτO jest zawarte w submodule Mπ wszystkie których nieredukowalne składowe dają Xπ. Następnie, przy danej macierzy sieci T typu π z ℜ = &real(T) i ξ = ξ(T), definiujemy wektor Spechta v(T) = fτ&i;. Z (8.1), v(T) ∈ Xπ. Jeśli T jes macierzą standardową,, nazywamy v(T) standardowym wektorem Spechta. Przy danych rozkładach P i O z Ω tego samego typu z powiązanymi funkcjami surjektywnymi p,q : Ω → Ωr definiujemy P ≤ O jeśli P = O lub istnieje i takie ,że p(j) = q(j) dla j > i i p(i) > q(i). Jest to najwyraźniej całkowity porządek na zbiorze rozkładów danego typu. Teraz przy danych dwóch macierzach T, T′ tego samego typu, definiujemy T > T′ jeśli ξ(T) > ξ(T′) lub jeśli ξ(T) = ξ(T′) a ℜ(T) > ℜ(T′).
(8.2) Zbiór wszystkich wektorów Spechta typu π jest permutowana przez S a podzbiór standardowych wektorów Spechta obejmuje Xπ
Dowód. Niech C = CT będzie grupą kolumn T i niech ξ =ξ(T) a ℜ = ℜ(T) będzie kolumną i wierszem rozkładu T. Dla dowolnego σ ∈ S mamy
Cσ = σ-1Cσ = C(Tσ)
i


Zatem


Ponieważ v(T) są permutowane przez S muszą być obejmować S-podgrupy z Xπ, ale ponieważ Xπ jest nieredukowalne, obejmują Xπ. Aby pokazać ,że standardowy v(T) obejmuje Xπ , wystarczy wykazać ,że jeśli T nie jest standardowe wtedy istnieją liczby całkowite aT′ takie ,że (8.3)


Faktycznie, wykażemy ,że nie zerowe aT′ może być wybrane jako ±1. Najpierw zaobserwujemy ,że jeśli σ ∈C(T) wtedy τξσ = (-1)στξ a zatem
(8.4)


Jasne jest ,że jeśli T jest monotoniczną kolumną wtedy T ≥ Tσ dla dowolnego σ ∈ C(T), zatem używając (8.4) jeśli to konieczne, możemy założyć ,że T jest monotoniczną kolumnę. Ponieważ T nie jest niestandardowe, mamy T(i,j) < T(i,k) dla pewnego j < k i pewnego i. niech nj i nk będą długością kolumn j i k z T, i rozważmy podzbiór
Ω0 = {T(1,k) > T (2,k) > ... > T(i,k) > T(i,j) > T(i+1,j) > ... > T(nj , j)}
z Ω/ Niech H będzie podgrupa S która jest tożsamość z Ω0 i niech τH = Σh∈H(-1)hh. Twierdzimy ,że v(T)τH = 0. Ponieważ v(T) jest przemienną sumą standardowych bazowych wektorów fσ jeśli σ wynosi ponad C(T), wystarczy pokazać ,że fστH = 0 dla wszystkich σ ∈ C(T). Aby to zobaczyć, wybieramy σ ∈ C(T) i zanotujmy ,że |Ω0| = nj + 1 i ponieważ nj ≥ nk, zawsze będzie co najmniej jedne wiersz m z Tσ takie ,że α = Tσ(m,j)i β = Tσ(m,k) są elementami Ω0 .Niech h0 ∈ H będzie transpozycją (α ,β) i niech {h1,...,ht} będzie prawostronną warstwą reprezentatywną dla ⟨h0⟩ w H. Wtedy (-1)h0hr = -(-1)hi i fh0 = fσ, skąd


Dlatego też wywodzimy związek
(8.5)


Jednakże, (8.5) ma wiele powtarzalnych wyrazów. Zbierając je, niech H0 = H ∩ C(T) i niech X będzie zbiorem reprezentatywnym dla nietożsamościowych prawostronnych warstw H0 w H. Ponieważ v(Thx) = (-1)hv(Tx) dla h ∈ H0 , (8.5) implikuje
(8.6)


Ponieważ X ∩ H0 = ∅ , każdy element z X przenosi co najmniej jeden element z kolumny k do kolumny j. Ale każdy element z Ω0 w kolumnie k jest większy niż każdy element z Ω0 w kolumnie j, tak więc największy element T który jest przenoszony przez dowolne x ∈ X jest przenoszone do kolumny najniżej numerowanej. Wynika ,że Tx > T a zatem (8.6) jest w postaci (8.3) a dowód (8.2) jest zakończone.
(8.7) Jeśli T1,...,Tt są standardowymi macierzami z ℜ(T1) > ℜ(Ti) dla i > 1, a


, wtedy bP = 0 dla P > ℜ(T1) a bℜ(T1) = a1. W szczególności, standardowe wektory Spechta typu π są podstawą dla Xπ i Xπ(1) jest liczbą standardowych macierzy sieci typu π
Dowód. Z definicji v(T), mamy
(8.8)


gdzie ℜi = ℜ(Ti) a ξi = ξ(Ti). ale kiedy T jest monotoniczną kolumną mamy również ℜ(T) > ℜ(Tσ) dla dowolnej nietożsamości σ ∈ C(T), Implikuje to ,że współczynnik z f1 w (8.8) to a1 i ,że współczynnik z fP to 0 dla P > ξ1. Teraz załóżmy ,że istnieje relacja zależności w standardowych wektorach Spechta:


. Ponieważ dowolne dwie standardowe macierze z tymi samymi wierszami rozkładu są równe, notacja może być wybrana tak ,że &real1 > ℜi dla wszystkich i > 1. Ale wtedy a1 = 0 z powyższego, a zatem ai = 0 dla wszystkich i z oczywistego argumentu indukowanego. Zauważ ,że związki (8.4) i (8.6) wyrażają niestandardowe wektory Spechta jako Z-liniowe połączenie standardowych wektorów. Ponieważ wektory Spechta są permutowane przez S, wynika ,że Xπ jest definiowane nad Z a standardowe wektory Spechta są Z-podstawą. Zauważ również ,że (8.7) dostarcza konstruktywnego algorytmu dla znajdowania macierzy reprezentatywnych. Mianowicie, jeśli v = ΣPbPfP ∈ Xπ a O = max{P | bP ≠ 0}, wtedy (8.7) implikuje ,że jednoznaczna macierz monotoniczna wierszowo TO z ℜ(TO) = O jest faktycznie standardowa i ,że v-bOv(TO) jest liniowym połączniem standardowych wektorów Spechta które są mniejsze niż TO.
Jako przykład rozważmy przypadek n = 6 , π = (32). Ponieważ π ma tylko dwie części, możemy określić rozkład Ω typu π tylko przez podanie jego pierwszej części. Standardowe macierze typu (32), wylistowane z rozkładem wierszowym rzędu malejącym to


Każdy standardowy wektor Spechta jest sumą przemienną ośmiu z 20 różnych wektorów bazowych fP .Na przykład
Na przykład


Powiedzmy ,że chcemy wyliczyć macierz transpozycja σ = (1,2). Wtedy


a ponieważ największy wyraz to f654 powinniśmy odjąć v(T1):


Największy wyraz w tym wyrażeniu to f652, więc powinniśmy dodać v(T3):


więc pamiętajmy ,że f indeksy f są nieuporządkowane, mamy


W podobny sposób, można przepisać v(Ti)σ odnoście v(Tj) dla i = 2,3,4,5. Macierz wynikowa to


Możemy użyć modułów Spechta do analizy ograniczenia nieredukowalnych charakterów Xλ z Sn do Sn-1. Niech λ = (λ1,...,λr) i niech {i1,i2,...,is} będzie zbiorem wszystkich wskaźników k takich ,że λk > λk+1. ij indeksuje dokładnie te wiersze Y(λ) gdzie pole może być usunięte pozostawiając poprawny diagram Younga rozmiaru n-1. Więc niech λ(j) = (λ1,..,λij - 1,..., λr) (1 ≤ j ≤ s). Wtedy każdy λ(j) jest rozkładem z n-1.
(8.9) Niech Sn-1 ⊆ Sn będzie stabilizatorem 1 i niech Xλ ∈ Irr(Sn). Z powyższą notacją Xλ | Sn-1 = Σsj=1Xλ(j)
Dowód. Dla uproszczenia notacji, niech X będzie modułem Spechta Xλ ograniczonym do Sn-1 , niech Xj = Xλ(j) i wstawmy X = Xλ| Sn-1 i Xj = Xλ(j). Zauważamy ,że jeśli T jest macierzą standardową typu λ a T(i,j) = 1 wtedy i = ik dla pewnego k i j = λik ponieważ nie może być pola bezpośrednio poniżej lub po prawej stronie pola zajętego przez 1. Usuwając pole (i,j) (i odejmując jedne od każdego pozostałego wyrazu) otrzymujemy macierz T′ typu λ(k). Zatem możemy zdefiniować dla każdego j odwzorowanie fj :X → Xj przez


Jeśli σ ∈ Sn-1 wtedy bezpośrednio (Tσ)′ = (T′)σ ponieważ σ wyznacza 1. Wynika ,że fj HomSn-1 (X,Xj) q w szczególności (X,Xj) ≠ 0. Wiemy ,że charakter ΣSj=1 Xj jest składową . aby zakończyć dowód musimy tylko wykazać ,że ΣSj=1 Xj(1) = Xj(1) ale to wynika bezpośrednio z (8.7) ponieważ przekształcenie T → T′ przekształca standardową macierz typu λ bijektywnie do rozłącznej sumy standardowych macierzy typu λj (1 ≤ j ≤ s )Sπ,Xλ) ≠ (XSπ,Xμ)
Dowód. Oznaczmy przez N(λ) zbiór wszystkich diagramów Younga jakie możemy uzyskać przez usunięcie jednego pola z Y(λ). Z Wzajemności Frobeniusa i (8.9) wystarczy wykazać ,że dla n ≥ 3, N(λ) = N(μ) implikuje ,że λ = μ. Załóżmy ,że π ∈ N(λ) ∩ N(mu;) dla pewnego λ ≠ μ. Wtedy istnieje i ≠ j takie ,że πi = λi = μi -1 , πj = μj = λj -1 i πk = λk = μk dla k ≠ i,j. Ewidentnie te warunki charakteryzują i i j , stąd |N(λ) ∩ N(μ)| ≤ 1 .Zatem , jeśli N(λ) = N(μ) wtedy N(λ) = N(μ) = {μ}. Ale to implikuje ,że Y(λ) i Y(μ) są oba prostokątami i wynika z tego ,że n = 2

CZĘŚĆ IX : Funkcje symetryczne

W tej części dokonamy pozornej dygresji dla rozwinięcia teorii funkcji symetrycznych. Nie będzie zaskoczeniem jednak ,że ten temat jest blisko związany z teorią charakterów grup symetrycznych. Niech Λn będzie ustalonym podpierścieniem działań Sn na Z[x1,...,xn] uzyskanym przez permutację zmiennych, Nazwiemy Λn pierścieniem symetrycznych wielomianów z n zmiennymi. Λn jest stopniowanym pierścienie w następujący sposób:


gdzie Λkn jest przestrzenią homogenicznych wielomianów symetrycznych całkowitego stopnia k. Jasne jest ,że Sn permutuje jednomian stopnia k i ,że każda Sn-orbita zawiera jednoznaczny jednomian xλ = Πnxiλi , gdzie λ = (λ1,...,λn) jest rozkładem z k(z możliwymi częściami zerowymi). Niech mλ(x1,...,xn) będzie sumą wszystkich różnych sprzężeń z xλ pod Sn.Wtedy mλ formuje bazę dla Λkn. Rozkład λ może mieć nie więcej niż n części, co nie jest problemem tak długo jak n ≥ k , ale aby usunąć to ograniczenie generalnie, damy liczbę zmiennych dążących do nieskończoności przez zdefiniowanie:


.Bardziej dokładnie, vkn : Λkn+1 → Λkn będzie przekształceniem indukowanym przez wyspecjalizowanie xn+1 do zera. Wtedy Λk składa się ze wszystkich sekwencji f = {f1,f2,...} takiej ,że fn ∈ Λkn dla wszystkich n i fn = vkn(fn+1). Zatem ,fn+1 = fn + (jednomiany obejmujące xn+1) więc możemy myśleć o tych elementach Λk = Λk(x)jako formalnej nieskończonej sumie jednomianów całkowitego stopnia k w zmiennych x = {x1, x2,...}. Zwróć uwagę ,że bierzemy oddzielną granicę dla każdego stopnia k, i n &ge k, vkn jest izomorfizmem ponieważ rozkład k może mieć co najwyżej k części. Zatem Λk jest wolnym Z-modułem którego zakres jest liczbą rozkładów z k. Dla oszczędzenia notacji ponownie oznaczymy przez mλ jednoznaczny element Λk który rzutujemy na mλ(x1,...,xn) dla n ≥ k. Na przykład:


Jasne jest ,że mλ są bazą dla Λk. Mając zdefiniowane Λk dla wszystkich k, teraz wstawimy


Jest to oczywisty sposób na zdefiniowanie mnożenia w Λ, które czyni przekształcenie rozkładu Λ → Λn pierścieniem homomorfizmów. Ten iloczyn przekształca Λ na stopniowany pierścień , który nazywamy pierścieniem funkcji symetrycznych ze zmiennymi x = {x1,x2,...}> Dodatkowo do mλ, wprowadzimy i zbadamy różne inne podstawy dla Λ. Są to , w kolejności pojawiania:
* elementarne funkcje symetryczne eλ
* zupełne funkcje symetryczne hλ
* potęgi sum pλ
* funkcje Schura sλ
Zaczniemy od elementarnych funkcji symetrycznych zdefiniowanych przez


wtedy


Przy danym rozkładzie λ = (λ1,...,λs) definiujemy eλ = eλ1eλ2 ....eλs
(9.1) Istnieją nieujemne liczby całkowite aλμ takie ,że dla dowolnego rozkładu λ mamy


gdzie < jest leksykograficznym porządkiem wprowadzonym przez (6.3). W szczególności {eλ : |λ| = k} jest podstawą dla Λk , er są algebraicznie niezależne a Λ = Z[e1,e2,...]i będzie liczbą części z λ′ równe i. Jeśli rozszerzymy iloczyn eλ′ = Πieici jako sumę jednomianów i rzędu leksykograficznych jednomianów z x1 > x2 > ..., wtedy największy wyraz


i występuje z krotnością 1. Ponieważ można łatwo odczytać z diagramu Younga ,że ci = λi - λi+1, mamy λk = Σi≥kci a zatem w = xλ = Πixiλi. Konkludujemy ,że kiedy eλ′ jest rozszerzona jako liniowa kombinacja z mμ, wyraz prowadzący to mΛ i ma krotność 1.
Aby uzyskać zupełne funkcje symetryczne, ustawiamy


Wtedy h,sub>r ∈ Λ i używamy rozwinięcia (1 - xit)-1 = Σk≥0xiktk, wynika łatwo z tego ,że hr jest sumą wszystkich jednomianów o całkowitym stopniu r. Przy danym rozkładzie λ - (λ1,...,λs), definiujemy hλ = hλ1hλ2...hλs.Zauważmy ,że E(t)H(-t) = 1 co implikuje ,że
(9.2)


Ponieważ er są algebraicznie niezależne, możemy zdefiniować stopniowany endomorfizm ω : Λ → Λ via ω(er) = hr. Stosując ω do (9.2), ustawiamy s = n-r, i mnożąc przez -1 jeśli n jest nieparzyste, uzyskujemy


co razem z (9.2) i łatwym argumentem indukcyjnym , implikuje ,że ω(hr) = er dla wszystkich r a zatem ω2 = 1 .W szczególności mamy
(9.3) Całkowite funkcje symetryczne {hλ : |λ| = k} są bazą dla Λk, hr są niezależne algebraicznie a Λ = Z[h1,h2,...].
r-ta suma potęgowa jest definiowana przez pr = Σi≥1xri ∈ Λ dla dowolnego r ≥ 1 a funkcja generująca to


Widzimy ,że P(t) jest pochodną algorytmiczną z H(t)


Biorąc pochodną logarytmiczną tożsamości E(t)H(-t) = -1 uzyskujemy


Rozszerzając automorfizm ω :Λ → Λ do automorfizmu Λ[[t]]. otrzymujemy Pω(t) = P(-t) i wynika z tego
(9.4) ω(pr) = (-1)r-1pr d;la r ≥ 1.
Przy danym, rozkładzie λ = (λ1,...,λs) definiujemy pλ = pλ1pλ2...pλs
(9.5) hk = Σ|λ|=knλ-1pλ dla wszystkich k, gdzie nλ jest zdefiniowane w (6.6). W szczególności, pλ z |λ| = k są bazą dla Λk ⊗ Q
Dowód. Niech


Wtedy f′(t)/f(t) = P(t) a ponieważ f(0) = H(0) = 1, mamy f(t) = H(t). Zatem


Zamykając inspekcję prawej strony tego równania odkrywamy ,że współczynnik tk to dokładnie Σ|λ|=knλ-1pλ. W szczególności, wynika z tego ,że Q[p1,p2,...] = Q[h1,h2,...] = Λ ⊗ Q a zatem pλ z |λ| = k są podstawą dla Λk ⊗ Q

CZĘŚĆ X : Funkcje Schura

W tej części, będziemy dalej zajmować się teorią funkcji symetrycznych. Zdefiniujemy funkcje Schura, wyrażając je jak sumy naprzemienne zupełnych funkcji symetrycznych i użyjemy ich jako ortonormalnej bazy dodatnio określonych form na λ. Najpierw definiujemy wielomian z n zmiennymi a potem przechodzimy do granicy. Niech α = (α1,..,αn) będzie n-krotką nieujemnych liczb całkowitych, i niech xα = Πi=1nxiαi będzie odpowiednim jednomianem. Definiujemy:


Wtedy aα jest antysymetryczne tj. σ(aα) = (-1)σ aα dla dowolnego σ ∈ Sn. Niech f = Σαcαxα będzie dowolnym asymetrycznym wielomianem. Wtedy cσ(α) = (-1)σcα i wynika z tego ,że aα obejmuje antysymetryczne wielomiany nad Z. Co więcej, ponieważ f zmienia znak kiedy zmienne xi i xj są wymienne, ,f zanika przy wyspecjalizowaniu xi = xji jest dlatego podzielne przez xi - xj dla wszystkich i ≠ j. Zatem, jeśli ustawimy δ = δn = (n-1, n-2,...,0), wtedy f jest podzielne przez wyróżnik aδ = Πij (xi-xj) a iloraz jest symetrycznym wielomianem z n zmiennymi. Odwrotnie, jasne jest ,że jeśli s jest symetryczne wtedy aδs jest asymetryczne, więc pomnożenie przez aδ jest bijekcją z symetrycznego do antysymetrycznego wielomianu. Wynika z tego ,że wielomiany symetryczne aα/aδ osiągają Λn nad Z. Jeśli założymy ,że α1 > α2 > ... > αn w definicji aα , wtedy aα jest postaci aλ+δ gdzie λ jest rozkładem z co najmniej n częściami i symetrycznymi wielomianami sλ = a λ+δ/aδ osiąga Λn nad Z .Wielomiany sλ są nazywane wielomianami Schura. Przez liczbę wymiarów konkludujemy ,że
(10.1) Wielomiany Schura są Z-podstawami dla Λn
Następnie chcemy wyrazić wielomiany Schura z punktu widzenia zupełnych wielomianów symetrycznych. Niech α = λ + δ gdzie , jak wyżej, λ jest rozkładem z co najmniej n częściami. Wygodnie jest założyć ,że λ ma dokładnie n części, przez dołączenie dodatkowych zer w razie konieczności. Niech Aα będzie macierzą n x n której wyrazy (i,j) to xiαj. Wtedy aα = det Aα. Niech er(k) będzie r-tym elementarnym wielomianem symetrycznym z n-1 zmiennych
{x1,...,xk-1,xk+1,...,xn} i wstawimy E(k)(t) = Σr=0n-1er(k)tr. Wtedy
(10.2) Hn(t)E(k)(-t) = (1-xkt)-1
gdzie Hn(t) = Πi=1n(1-xit)-1. Współczynnikiα w (10.2) dają
(10.3)


z konwencją (dotąd przyjętą ),że hs = 0 dla s < 0. Przepisując (10.3) w formie macierzy, E będzie macierzą n x n której wyraz (k,i) to (-1)n-1en-i(k) i niech Hα będzie macierzą której wyraz (i,j) to hαj-n+i. Wtedy (10.3) staje się :
Aα = EHα a biorąc wyznaczniki mamy aα = detEdetHα. Zauważ ,że jeśli αj < 0 dla pewnego j, wtedy j-ta kolumna Hα jest zerem, więc definiujemy aα = 0 jeśli dowolny αj = 0. Ponieważ Hδ jest dolnym trójkątem z h0 = 1 na przekątnej, uzyskujemy krytyczny wzór
(10.4)


dla dowolnych n-krotek liczb całkowitych α. Jeśli α = λ + δ gdzie λ jest rozkładem, otrzymujemy
(10.5)


Na przykład (biorąc n = 2), otrzymujemy s(3,1) = h3h1 - h4h0, wynik który może być sprawdzany bezpośrednio z definicji. Zwróćmy uwagę ,że jeśli λ ma dokładnie r niezerowych części, wtedy


gdzie H11 ma wymiar r a H22 z dolnym trójkątem z 1 na przekątnej. W szczególności, detHα = detH11, więc sλ jest niezależną liczbą zmiennych stałego wielomianu stopnia e w hi. Wynika że (10.5) definiuje w granicy funkcję symetryczną sλ, którą nazywamy funkcją Schura. Jeśli |λ| = n wtedy wszystkie niezerowe wielomiany hλ+δ-σ(δ) są jednorodne stopnia n. Co więcej, λ + δ - σ(δ) > λ dla wszystkich σ ≠ 1 i dlatego (10.5) wyraża sλ jako "sumę górnego trójkąta" hμ z |μ| = |λ| .Ponieważ odwrotność górnego trójkąta macierzy jest ponownie górnym trójkątem, mamy
(10.6) Niech n będzie nieujemną liczbą całkowitą. Wtedy dla wszystkich rozkładów λ, μ z |λ| = |μ| = n istnieją liczby całkowite bλμ takie ,że


W szczególności funkcje Schura stopnia n są Z-bazami dla Λn. Przypomnijmy sobie ,że ponieważ Λ jest pierścieniem stopniowanym, jest osadzony w Λ^ = ΠkΛk w taki sam sposób w jaki pierścień wielomianowy jest osadzony w swoim pierścieniu formalnego szeregu potęgowego. Niech x = {x1,x2,...} i y = {y1,y2,...} bedą dwoma zbiorami nieoznaczonymi. Oznaczamy przez hλ(x),pλ itd., różne funkcje symetryczne ze zmiennymi x i y, a Hx(t), Py(t) itd. ich odpowiednie funkcje generujące. Mamy zamiar dokonać pewnych obliczeń w pierścieniu Λ^(x,y) = Λ^(x ∪ y). Niech
(10.7)


gdzie α jest zakresem nad wszystkimi nieujemnymi liczbami całkowitymi z sumami skończonymi. Jeśli oznaczymy przez z (policzalny) zbiór zmiennych {xiyj} wtedy K(x,y) = Hz(1) a pλ(z) = pλ(x)pλ(y). Zatem (9.5) daje
(10.8)


Chcemy również wyrazić K(x,y) biorąc pod uwagę funkcje Schura. Aby to zrobić, wydaje się ,że musimy ponownie popracować najpierw z n zmiennymi a potem przejdziemy do granicy .Ustawiając pierwsze n zmiennych na zero w (10.7) uzyskujemy


gdzie α jest zakresem na wszystkimi n-krotek liczb całkowitych (przypomnij sobie ,że nasza konwencja jest taka ,że hr = 0 dla r < 0, i aα = 0 jeśli dowolne αj < 0). Teraz mnożymy przez aδ(y) = Σσ ∈ Sn(-1)σyσ(δ) uzyskując
(10.9)


gdzie β jest zakresem nad wszystkim n-krotkami liczb całkowitych. Z (10.4) mamy


więc mnożąc (10.9) przez aδ(x) uzyskujemy


Ponieważ aβ(x) = 0 chyba ,że wszystkie wyrazy β są różne i nieujemne, w którym przypadku β = σ(λ) dla pewnego rozkładu λ z co najmniej n części i pewnego σ∈ Sn, suma prawostronna może być przepisana aby uzyskać


gdzie suma jest nad rozkładem λ z co najmniej n częściami. Ponieważ aλ = 0 chyba, że λ ma różne części, otrzymujemy


sumując wszystkie rozkłady λ z co najmniej n częściami. Teraz przy n → ∞ mamy
(10.10)


W końcu, definiujemy dodatnio określony iloczyn skalarny ⟨ , ⟩ na Λ przez wymaganie ,że Λj i Λk będzie ortogonalną dla j ≠ k i ,że sλ będą ortonormalnymi podstawami dla Λk. Wynika bezpośrednio z (10.6) ,że
(10.11) ⟨sλ, hλ ⟩ = 1 i ⟨sλ,hμ⟩ = 0 dla μ < λ . Kluczowym faktem jakim będziemy się zajmować później, jest to ,że sumy potęgowe są ortogonalne. Niech nλ będzie liczbą całkowitą zdefiniowaną z (6.6). Wtedy
(10.12) Dla dowolnych dwóch rozkładów λ,μ z n ⟨pλ,pμ⟩ = δλμnλ
Dowód. Ponieważ funkcje Schura stopnia n są Z-bazami dla Λn z (10.6), istnieją liczby całkowite cλv takie ,że pλ = Σvcλvsv. Zatem ⟨pλ,pμ ⟩ = Σvcλvcμv. Jeśli C będzie macierzą której wyrazem (λ, μ) jest cλμ, wtedy chcemy pokazać że CCt = N = diag(nλ). Z (10.8) i (10.10) mamy


Wstawiamy


Wtedy
(10.13)


Niech y^ będzie specjalizacją z y w której wszystkie ale skończone liczby z yj są zerami. Wtedy (10.13) staje się relacją zależności na sλ(x), skąd otrzymujemy relację


dla wszystkich takich specjalizacji y^. Ale sλ(y^) jest tylko specjalizacją wielomianu Schura z n zmiennymi a ponieważ jest baza dla Λn(y) z (10.1), wynika ,że dλμ = δλμ. W formie macierzowej to brzmi CtN-1C = I. Ponieważ (9.5) implikuje ,że C jest nieosobliwe, wynik jest następujący. Zwróć uwagę ,że z (9.4), (9.5) i (10.12) wynika bezpośrednio ,że
(10.14) ω jest izometrią

CZĘŚĆ XI : Pierścień Littlewooda-Richardsona

W tej części zdefiniujemy pierścień z gradacją którego homogenicznym komponentem stopnia n jesr Z-moduł uogólnionego charakteru z Sn (ale mnożenie nie jest punktowe) i udowodnimy ,że pierścień tak zdefiniowany jest izomorficzny do pierścienia funkcji symetrycznych. Pod izomorfizmem, nieredukowalny charakter xλ odpowiada funkcji Schura sλ, a charakter permutacji Ψλ odpowiada zupełnej funkcji symetrycznej hλ. Używając tego izomorfizmu, uzyskujemy tzw. "formę wyznacznika" wyrażającej Xλ w zamkniętej formie jako całkowita liniowa kombinacja z Ψμ >Z formy wyznacznika wywodzimy kilka wzorów dla wartości charakteru. Niech Ln będzie Z-modułem uogólnionych charakterów Sn dla n ≥ 1, niech L0 będzie jednowymiarową przestrzenią objętą prze element zwany 1 i niech L = ⊕n≥0Ln. konwertujemy L do pierścienia z gradacją. Identyfikujemy Si i Sj z podgrupami Si+j które ustalają {i+1,...,i+j} i {1,...,i}, odpowiednio., wtedy SiSj = Si x Sj definiowane przez f#g(x,y) = f(x)g(y) dla wszystkich x ∈ Si i y ∈ Sj. Zauważ ,że jeśli f = f1 + f2 , wtedy f#g = f1#g + f2#g , skąd f#g jest uogólnionym charakterem z (2.10)
Teraz zdefiniujemy fg = (f#g)Si+j. Wtedy (f,g) |-> fg jest przekształceniem bilinearnym Li x Lj → Li+j co konwertuje L do pierścienia z gradacją. Iloczyn jest przemienny ponieważ jeśli zamienimy rolami i i j, wtedy Si x Sj jest sprzężone do Sjx Si w Si+j. Aby wykazać ,że iloczyn jest łączny, identyfikujemy Sk z podgrupą Si+j+k ustalając {1,...,i+j} i niech h ∈ Lk. Stwierdzamy ,że
(fg)#h = (f#g#h)Si+j x Sk ponieważ łatwo można zauważyć z (4.3) po obserwacji ,że warstwy reprezentatywne dla Si x Sj w Si+j są równoczesnymi warstwami reprezentatywnymi dla Si x Sj x Sk w Si+j x Sk. Wtedy wynika ,że
(fg)h = (f#g#h)Si+j+k = f(gh)
Nazywamy L pierścieniem Littlewooda - Richardsona. Struktura stałej cλμv dla L zdefiniowanego przez równanie


została zbadana przez Littlewooda i Richardsona, którzy ustanowili słynną zasadę kombinatoryczną dla jej obliczenia. Każdy jednorodny komponent Ln z L ma zdefiniowany naturalny iloczyn skalarny, a my rozszerzymy to do iloczyn skalarny na L przez zadeklarowanie Li i Lj będące ortogonalne dla i ≠ j. Oznaczmy przez [n] charakter główny 1Sn ∈ Ln. Przypomnijmy ,że Ψπ jest charakterem permutacji indukowanym z podgrupy Younga typu π.
(11.1) Jeśli π = (π1, π2,...,πs) wtedy Ψπ = [π1][π2]...[πs]
Do każdego elementu σ ∈ Sn mamy powiązany rozkład σ^, typu cyklicznego σ. Niech ρ(σ) = pσ^ ∈ Λ będzie powiązaną sumę potęg do σ^. Teraz definiujemy przekształcenie charakterystyczne ch : L → ΛQ = Λ ⊗ Q jak następuje:


gdzie dla każdego rozkładu π z n, σπ jest elementem reprezentatywnym Sn typu π i nπ, jest liczbą całkowitą zdefiniowaną w (6.6). Ponieważ wszystkie nieredukowalne charaktery Sn są rzeczywiste, ta definicja ma sens. Jak powyższa formuła wskazuje, ch(f) może być interpretowana jako iloczyn dwóch funkcji ΛQ wartościowych, ponieważ istnieje naturalne osadzenie Q → ΛQ. Główny wynik tej części to:
(11.2) Przekształcenie ch definiuje izometryczny izomorfizm L onto Λ taki ,że dla każdego rozkładu π, ch(Ψπ) = hπ.
Dowód .najpierw wykażemy ,że ch jest izometrią. Niech f, g ∈ Ln. Potem używając (10.12) i (6.6) mamy


Następnie argumentujemy, że ch jest homomorfizmem injektywnego pierścienia. Ważną obserwacją tu jest to ,że wzajemność Frobeniusa (3.1) jest obliczeniem formalnym równie dobrym dla funkcji ΛQ wartościowych, tak więc jeśli f ∈ Ln i g ∈ Lm , mamy


Ponieważ jasne jest ,że ρ(x,y) = ρ(x)ρ(y) dla (x,y) ∈ Snm, mamy ch(fg) = ch(f)ch(g). Ponieważ ch jest przekształceniem z gradacją, jego jądro jest również z gradacją, ale jeśli f ∈ Ln i ch(f)= 0, wtedy (f,g) = 0 dla wszystkich g ∈ Ln skąd f = 0. W końcu, z (9.5)


i dlatego ch(Ψπ) = hπ z (11.1). W szczególności, ch(L) = Λ z (7.2)
Teraz dla każdego rozkładu λ = (λ1,...,λr), definiujemy uogólniony charakter [λ] ∈ L via wzór
(11.3) [λ] = det[λj + i - j](1≤i,j≤r)
Z (10.5) i (11.2) mamy ch([λ]) = det(hλj+i-j) = sλ .Ponieważ ch jest izometrią, wynika ,że ({λ},[λ]) = ⟨sλ,sλ⟩ = 1 więc ±[λ] jest charakterem nieredukowalnym. Z (10.11) i (11.2) mamy ([λ],Ψλ) = 1 co implikuje ,że [λ] ( a nie -[λ]) jest nieredukowalnym charakterem, a co więcej ([λ], Ψμ) = 0 dla μ < λ. Teraz wynika z (7.2) ,że [λ] = Xλ,z czego
(11.4) Xλ = [λ] a ch(Xλ) = sλ dla każdego rozkładu λ

Ten wynik wyraża każdy nieredukowalny charakter Sn jako całkowite liniowe połączenie charakterów permutacji podgrup Younga w zamkniętej formie. Na przykład (mając w pamięci konwencję [0] = 1 i [k] = 0 dla k < 0) mamy


. Użyjemy formy wyznacznika dla uzyskania wyników na wartościach nieredukowalnych charakterów. Na przykład, niech σ będzie n-cykliczne w Sn. Wtedy σ nie jest sprzężone z elementem dowolnej właściwej podgrupy Younga, skąd Ψλ(σ) = 0 , chyba ,że λ = (n). Ale ponieważ niezerowe wyrazy w macierzy ([λj + i - j]) są ściśle rosnące w dół kolumny i ściśle malejące w dół wierszy, łatwo zobaczyć ,że jednoznacznie największa jedynka jest [λ1 + r -1]. Co więcej, ponieważ λ1 + r - 1 ≤ n z równością λ2 = λ3 = ... = λr = 1, może być co najmniej jeden wyraz równy [n] w rozwinięciu dowolnego wyznacznika w formie (11.3) i wystąpi w rozwinięciu dokładnie jednego takiego wyznacznika, mianowicie:


Rozwinięcie wraz z pierwszą kolumną i wyliczeniem na σ, mamy
(11.5) Niech σ ∈ Sn będzie n-cykliczne. Wtedy


Możemy również użyć (11.3) i (11.4) dla uzyskania stopnia formuła . Najpierw zaobserwujmy ,że jeśli λ = (λ1,...λr) jest rozkładem n i jeśli definiujemy λ! = Πi=1rλi!. wtedy Ψλ(1) = |S:Sλ = n!/λ!. Jeśli rozwiniemy wyznacznik w (11.3) i wyliczymy każdy wyraz na 1, łatwo jest zobaczyć ,że wynik jest wyznacznikiem całkowitym :


gdzie μj= λj + r - j. Na przykład, kiedy r = 3 otrzymujemy


ponieważ te dwie macierze różnią się przez elementarne działania na wierszu. Generalnie, musimy wyliczyć wyznacznik postaci det(fij)) gdzie fi jest wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia i. Działając w górę od ostatniego wiersza, możemy kolejno przekształcać wiersze dowolnej takiej macierzy do wierszy macierzy Vandermonde′a przez elementarne działania na wierszu wyznacznika 1. Zatem, wstawiając Δ(μ) = Πi < j i - μj) mamy
(11.6) Niech λ = (λ1,...,λr) będzie rozkładem z i niech μ = (μ1,...,μr) gdzie μj = λj + r - j. Wtedy



CZĘŚĆ XII : Przydatne wzory

W tej części wyprowadzimy dwa wzory z formy wyznacznika dla charakterów nieredukowalnych uzyskanych w części XI : wzór na długość haczyka dla stopni i wzór Murnaghana-Nakayamy, które mogą być użyte do obliczenia wartości pojedynczych nieredukowalnych charakterów bez konieczności obliczania całej tablicy charakterów, jak w części VII. Przy danym rozkładzie λ definiujemy , dla każdego węzła (i,j) diagramu Younga Y(λ) , podzbiór Hij z Y(λ) nazwany (i,j)-haczykiem jak następuje:
Hij(λ) = {(i,k) : k ≥ j} ∪ {(k,j): k ≥ i}
Wtedy ustawiamy hij(λ) = |Hij(λ)| = λi + λj′ -i - j + 1. Na przykład w poniższych diagramach dla λ = (3,3,2,1), oznaczamy H21(λ) i wprowadzamy wartość hij do każdego węzła:


12.1 (Frame,Robinson i Thrall) Z powyższej notacji,
Xλ(1) = n!/Πi,jhij(λ)
Dowód. Niech λ = (λ1,...,λr). Z (11.6) wystarczy wykazać ,że
(12.2)


gdzie μ = λ + δ i Δ(μ) = Πi < ji - μj).Zwróć uwagę ,że μi = λi + r - i = hi1(λ). Argumentując przez indukcję, traktujemy dwa przypadki oddzielnie.
Przypadek 1: λr = 1. Usuwamy ostatnie pole w kolumnie 1:
Niechλ′ = (λ1,...λr-1). Wtedy μ′i = μi - 1(1 ≤ i ≤r -1) i


Co więcej, hi1(λ′) = μ′i a hij(λ′) = hi,j(λ) dla j > 1
Indukcyjnie mamy


Mnożąc przez &Pii=1r-1 μi/μ′i, mamy dowiedzione (12.2) w Przypadku 1.
Przypadek 2 : λr > 1. Usuwamy całkowicie kolumnę 1:
Niech λ′ = (λ1 - 1,...,λr-1). Wtedy μ′i = μi - 1 (1 ≤ i ≤ r). Δ(μ) = Δ(μ′) i hij(λ′) = hi,j+1(λ) dla wszystkicj i,j. Indukcyjnie zatem mamy


Mnożąc przez Πiμi = Πihi1(λ) dowiedliśmy (12.2)
Następnie przy danym rozkładzie λ=(λ1,...,λr) i liczbach całkowitych k,m przy 1 ≤ k ≤ r, niech λ(k,m) będzie r-krotką (λ1,..., λk-1, λk - m,...,λr) i definiujemy Ψλ(k,m) = [λ1]...[λk-1][λk-m]...[λr]. Zauważ ,ze Ψλ(k,m) = 0 chyba ,że λk ≥ m.
(12.3) Załóżmy ,że σ jest m-cykliczna a π jest rozłączne z σ .Jeśli λ ma r części, wtedy


Dowód. Niech μ = (μ1,...,μs) będzie typu πσ. Wtedy μi = m dla pewnego i a π jest typu (μ1,...,μi-1, μi+1,...μs). Odnosząc się do (7.3), tylko musimy zaobserwować ,że zbiór R wszystkich przekształceń f:Ωs → Ωr takich ,że f jest μ-pokryciem λ jest sumą rozłączną tych zbiorów R(k) = {f ∈ R | f(i) = k}
Przy danej sekwencji λ = (λ1,...,λr) liczb całkowitych, definiujemy macierz r x r
Dλ = [λj + i - j]1≤i,j≤r
z wyrazami w L, i ustawiamy [λ] = det(Dλ) ∈ L. Łatwo sprawdzić ,że [λ] jest jednorodne stopnia n = Σj=1rλj i dlatego jest uogólnionym charakterem Sn. Jeśli λ jest rozkładem, wtedy [λ] = Xλ z (11.4) i będziemy nazywali tę macierz standardową Dλ.
(12.4) Kontynuując notację z (12.3). Wtedy


Dowód. Rozwiniemy wyznacznik, sumujemy odpowiadające wyrazy i używamy (12.3)
Dla uzyskania wzoru Murnaghana-Nakayamy z (12.4) musimy zrozumieć uogólniony charakter [λ] kiedy λ nie jest rozkładem. Wstawiając μj = λj + r-j jak zwykle, zauważamy ,że dolny wiersz Dλ to ([μ1],...,[μr]). Oznaczamy przez ⟨a⟩ wektor kolumnowy długości r którego j-te wejście to [a-r+j] dla dowolnego całkowitego ⟨a⟩. Będziemy nazywać taką kolumnę jednostajną. W szczególności, kolumny Dλ są jednostajne a
Dλ = (⟨μ1⟩,μ2⟩,...,μr⟩)
Odwrotnie, dolna macierz D′ = (μ′1⟩,...,μ′r⟩) z jednostajną kolumną jest postaci Dλ′ gdzie λ′ = diag(D′). Co więcej, μ′j - μ′j+1 = λ′j - λ′j+1 + 1, więc λ′ jest rozkładem jeśli μ′ jest ściśle malejąca. Wynika z tego ,że jeśli μ′j są różne, wtedy kolumny D′ są pewnymi permutacjami τ kolumn pewnej standardowej macierzy Dλ a zatem [λ′] = (-1)τλ. Jeśli μ′j nie są różne, wtedy oczywiście [λ′] = 0. Wracając do uogólnionych charakterów z (12.4), rozważmy macierz Dλ(k,m) = (μ1⟩,...,μk - m⟩,...,μr⟩). μj są ściśle malejące i możemy również założyć ,że jest pewien indeks i ≥ k taki ,że μi > μk - m > μ+1, w przeciwnym razie [λ(k,m-)] = 0. Permutacja kolumny wymagająca przeniesienia Dλ(k,m) do formy standardowej to wtedy (i,i-1,...,k) i jeśli mamy λ(k) będzie diagonalną wynikową macierzą standardową, wtedy
(12.5) [λ(k,m)] = (-1)i-kXλ(k)
Dla uzyskania Dλ(k) z Dλ(k,m), kolumny k+1 przez i są przesuwane w lewo o jedną pozycję, a kolumna k jest przesuwana w prawo i-k pozycji. Wynika z tego ,że
λj(k) = λj+1 -1 dla k ≤ j < i , i λi(k) = λk - m + i - k
Powyższy wzór jest receptą na konwersje rozkładu λ z n na rozkład λ(k) z n-m.W odniesieniu do usuwania węzłów z diagramu Younga mówimy o usuwaniu λj - λj+1 + 1 węzłów z wiersza j dla k ≤ j < i i jeśli całkowita liczba węzłów do usunięcia w ten sposób to t, usuwamy dalsze m-t węzłów z wiersza i. Na przykład w poniższym diagramie przy λ = (52, 3,2,12) i m = 6, λ2 = (5,2,13) jest uzyskiwane przez usunięcie pól 2 do 7, λ3 = (52) uzyskujemy przez usunięcie pól 5 d o0 a λk = 0 dla wszystkich pozostałych k


Ewidentnie, uzyskujemy Y(λ(k)) przez usunięcie łączonych segmentów "brzegów" Y(λ) długości m zaczynających się w wierszu k jeśli diagram wynikowy jest poprawny, w przeciwnym razie λ(k) = 0. Takie połączenie brzegów segmentu jest nazywane skośnym m-haczykiem z λ Przy danym rozkładzie λ mówimy ,że haczyk skośny s jest usuwalny z λ jeśli wynikowy diagram Younga jest poprawny, i będziemy oznaczać rozkład wynikowy przez λ/s. Niech l(s) będzie liczbą wierszy obejmowanych przez s. Łącząc (12.4) i (12.5) z powyższym omówieniem mamy
12.6(Murnaghan-Nakayama). Załóżmy ,że ρ jest m-cykliczne a π jest rozłączne z ρ. Wtedy


gdzie suma wynosi ponad wszystkimi skośnymi m-haczykami s, które są usuwalne z λ
Wzór Murnaghana-Nakayamy jest uogólnieniem (8.9), który jest specjalnym przypadkiem m = 1. Wzór może być użyty do rekurencyjnego obliczania Xλ(σ) dla dowolnego rozkładu λ i permutacji σ. Na przykład, jeśli λ = (52,3,2,12) jak powyżej a σ jest typu (6,5,5,1), zapisujemy σ = σ1σ2σ3 gdzie σi są rozłącznymi cyklami typu 6,5,5, odpowiednio. Ponieważ λ ma dwa usuwalne skośne 6-haczyki


Kontynuując (5,2,14) ma jeden usuwalny skośny 5-haczyk, co daje


ponieważ σ3 jest parzyste, podczas gdy (52, 1) również ma jeden usuwalny skośny 5-haczyk, który daje


.Ponieważ (4,12) nie ma usuwalnych skośnych 5-haczyków, X4,123) = 0. Konkludujemy ,że Xλ(σ) = 1

CZĘŚĆ XIII : Algebry Hecke

W tej części definiujemy algebrę Hecke (typu An-1) i udowodnimy ,że jest izomorficzna do algebry grupy Q[t]Sn.Zaczniemy do podsumowania pewnych podstawowych faktów, o których trzeba wiedzieć o Sn (13.1) Niech σi = (i, i+1) ∈ Sn dla 1 ≤ i ≤ n. Wtedy


Co więcej powyższe relacje są prezentacją dla Sn
Dowód. Związki są łatwe do weryfikacji.
Teraz definiujemy algebrę Hn = Hn[t] na pierścieniem wielomianowym Q[t] z generatorami g1,g2,...,gn-1 badając te relacje


Przy danej liczbie zespolonej q, oznaczamy przez Hn[q] specjalizację uzyskaną przez ustawienie t = q. Wynika jasno z (13.1) ,że Hn[1] = QSn. Ustawiamy R = Q(t), pole funkcji rzeczywistych a RHn = Hn ⊗ R. Dla wygody zapisujemy


(13.2) Hn jest rozciągnięta nad Q[t] przez elementy postaci wg1,i, dla pewnego i ≥ 0 , gdzie w ∈ ⟨g1,...,gn-2
Dowód. Najpierw argumentujemy ,że element postaci gn-1wgn-1 z w ∈ ⟨g1,...,gn-2⟩, możemy przepisać jako Q[t] liniowe połączenie słów obejmujących co najmniej jedno wystąpienie gn-1. Mianowicie, jeśli w ∈ ⟨g1,..,gn-1⟩ wtedy


w przeciwnym razie, możemy założyć przez indukcję na n ,że w =w1gn-2w2 gdzie wi ∈ ⟨g1,...,gn-3⟩ (i = 2,3) a potem


Wynika ,że Hn jest objęte przez ⟨g1,...,gn-2⟩. Przez indukcję na n, w jest Q[t]-liniowym połączeniem słów w postaci w3g2,i, dla pewnego i ≥ 1 gdzie w3 ∈ ⟨g1,...,gn-3⟩, a ponieważ w3gn1 = gn-1w3 następuje nasz wynik
Indukcyjnie , definiujemy w ∈ Hn będące standardowym słowem jeśli jest w postaci w1g1,i, dla pewnego i ≥ 0, gdzie w1 jest standardowym słowem w ⟨g1,...,gn-2
(13.3) Dla każdego σ ∈ Sn istnieje jednoznaczne standardowe słowo wσ ∈ Hn z wσ[1] = σ , a standardowe słowa są wolnymi Q[t]-bazami dla Hn. Ponadto HnQ[t]F jest półproste dla dowolnego pola F ⊇ Q[t]
Dowód. Użyjemy indukcji na n. Niech H^n-1 = ⟨g1,...,gn-2⟩ ⊆ Hn. Wtedy H^n-1 jest obrazem homomorficznym Hn-1 i dlatego z pewnością jest obejmowany przez standardowe słowa w g1,..,gn-2. Z (13.2) standardowe słowa obejmują Hn. Jeśli x[1] będzie obrazem x w Hn[1], wtedy w[1] ∈ Sn dla dowolnego słowa w w gi, ale ponieważ standardowe słowa rozciągają się na Hn ich obrazy muszą rozciągać się na QSn i wynika z tego ,że
Sn = {w[1]:w jest standardowym słowem w Hn}
Z drugiej strony, bezpośredni argument indukcji pokazuje ,że istnieje tylko n! słów standardowych, więc dla σ ∈ Sn możemy zdefiniować wσ będzie jednoznacznym słowem standardowym takim ,że wσ[1] = σ. Co więcej, jeśli była relacja


z pσ(t) ∈ Q[t] i gcd{pσ(t)} = 1, możemy ustawić t = 0 i dedukujemy ,że każde pσ(t) jest podzielne przez t, co jest niemożliwe. Niech Δn(t) będzie wyznacznikiem formy śladu w odniesieniu do podstawy standardowych słów, Wtedy Δn(1) jest wyróżnikiem QSm który jest niezerowy, skąd Δn(t) ≠ 0 .Ponieważ {wσ ⊗ 1} jest F-bazą dla HnQ[t]F dla dowolnego pola rozszerzonego G z Q[t], wynika z tego ,że HnQ[t]F jest półproste.
W szczególności (13.3) implikuje ,że naturalne przekształcenie Hn → RHnn-1 → Hn są osadzone. Odtąd będziemy tworzyć konieczne identyfikacje aby zawrzeć te przekształcenia. Zapiszemy H = Hn kiedy nie ma niebezpieczeństwa pomyłki. Teraz niech P = Q[[t-1]] będzie pierścieniem formalnych szeregów potęgowych w (t-1) i niech L = Q((t-1)) będą jego polami ułamkowymi, pole formalnego szeregu Laurenta w (t-1). Oznaczmy przez PH i LH rozszerzone algebry H ⊗ P i H ⊗ L, odpowiednio. Przy danym module M dla PH, oznaczamy przez M[1] Sn-moduł uzyskany przez wyspecjalizowanie przy t=1. Dokładniej "rozszerzamy skalary" przez homomorfizm pierścienia indukowanego przez ustawienie t=1 uzyskując M[1] = M ⊗QSn
(13.4) Niech π będzie rozkładem z n. Wtedy istniej P-wolny PH-moduł Mπ taki ,że Mπ[1] jest nieredukowalnym QSn-modułem dającym charakter Xπ. Co więcej, LH-moduły {Mπ ⊗ L:π rozkład z n} są zbiorami zupełnymi pary nieizomorficznych całkowicie nieredukowalnych LH_modułów.
Dowód. Ten wynik jest udowodniony przez ważną technikę zwaną podnoszeniem idempotentności .Niech Iπ ⊆ QSn będzie minimalnym ideałem prawostronnym dającym Xπ. Wtedy QSn = Iπ⊕Jπ dla pewnego prawostronnego ideału Jπ z (1.6). Niech 1 = e + f z e ∈ Iπ i f ∈ Jπ. wtedy dla dowolnego x ∈ Iπ mamy x = 1x = ex + fx. Zatem fx = x - ex ∈ Iπ ∩ Jπ = 0 a x = ex. W szczególności, e2 = e a Iπ = eQSn. Wybieramy element e1 ∈ H z e1[1] = e. Wtedy e12 ≡ e1(mod (t-1)H). Indukcyjnie zbudujemy sekwencję {ei} elementów H taką ,że


Zakładając ,że {e1,...,ei} już skonstruowano, niech y = ei2 - ei i definiujemy ei+1 = ei + (1-2ei)y. Ponieważ y ∈ (t-1)iH, ei+1 spełnia (ii). Co więcej, ponieważ y komutuje z ei mamy


zatem kończymy te indukcję.
Warunek (ii) teraz implikuje, że jest element e ∈ PH, taki ,że e ≡ ei (mod (t-1)iPH). Wtedy (i) implikuje ,że e2 = e. Niech Mπ = ePH. Wtedy, ponieważ e[1] = e wynika ,że Mπ[1] = Iπ. Niech JI = (1 - e)PH. Wtedy PH = Mπ ⊕ JI i JI[1] = Jπ.Jeśli f jest inną idempotentnością która generuje minimalny ideał prawostronny z QSn zawarty w Jπ, wtedy powyższe techniki podnoszą go do idempotentności f z JI. Kontynuując, jasne jest ,że dowolna prosta suma rozkładu QSn podnosi do bezpośredniej sumy rozkładu PH. Ponieważ Q obejmuje pole dla Sn z wyników części VIII, (1.7) i powyższe implikuje ,że istnieje suma prosta rozkładu
(13.5)


gdzie M^π jest suma prostą x Xπ(1) kopiuje Mπ. Ponieważ P jest P.I.D a Mπ jest submodułem wolnego P-modułu PH, Mπ jest P-wolne. Tensoring (13.5) z L, daje sumę prostą rozkładu LH w której Mπ ⊗ L występuje z krotnością co najwyżej równą jej stopniowi. Z (1.8) dowód jest zakończony.
Argumentujemy następnie ,że R , pole funkcji wymiernych , jest ciałem rozkładu dla H, i ,ze moduły Mπ są rzeczywiście zapisywalne nad Q[t]. Ten wynik nie jest rzeczywiście konieczny w następstwie, i jest indukowane zasadniczo przez wzgląd na kompletność
(13.6) Dla każdego rozkładu π z n istnieje Q[t]-wolny Hn -moduł Xπ taki ,że Xπ[1] daje xπ. Co więcej, {Xπ ⊗ R : π rozkład z n} jest zbiorem zupełnym par nieizomorficznych bezwzględnie nieredukowalnych RH-modułów.
Dowód. Przystąpimy do indukcji na n, przypadek n = 2 będzie trywialne. Dla każdego rozkładu π z n, niech Nπ = Mπ ⊗ L gdzie Mπ jest PH-moduł zbudowany w (13.4). Z (13.3) widać ,że H jest wolne lewostronnym Hn-1 - modułem o zakresie n na bazie {g1,i}, co łatwo implikuje ,że jeśli X jest Hn-1 - modułem, wtedy ten indukowany moduł XH = X ⊗Hn-1 H ma właściwość
XH[1] = x[1]S
Wtedy używając (8.10) i indukcji wynika ,z tego ,że dla każdej pary rozkładów λ ≠ μ na n, istnieje rozkład π z n-1 i H-moduł Xλ,μ = XπH z następującą właściwością :
Xλ,μ ⊗ L zawiera Nλ i Nμ z różnymi krotnościami. Rzeczywiście, jasne jest z (8.9) ,że jedna z tych krotności to jeden a druga to zero. Z (1.7) jest dla każdego λ jednoznaczny nieredukowalny RH-moduł Yλ taki ,że Yλ ⊗ L ma Nλ jako składowe. Zakładamy, w drodze sprzeczności, żę Yλ = Yμ dla pewnego μ ≠ λ .Wtedy Yλ musi być składową Xλ,μ ⊗ R. Ale wtedy Yλ ⊗ L = Yμ ⊗ L ma tylko jedno z {Nλ, Nμ} jako składowe , co jest niemożliwe. Wynika z tego ,że Yλ ⊗ L mus być krotnością N&;lambda; dla wszystkich λ. Teraz używając (8.9) i indukcji, istnieje H-moduł Xλ = XπH dla odpowiedniego π takiego ,że Xλ ⊗ L zawiera Nλ z wielokrotnościami jeden. To implikuje ,że Yλ ⊗ L = Nλ i udowadnia ,że R jest ciałem rozkładu dla Hn. Następnie argumentujemy ,że Yλ ≅ Xλ ⊗ R dla pewnego Q[t]-wolnego H-modułu Xλ Mianowicie wybieramy niezerowy element x1 ∈ Yλ i niech Xλ będzie Q[t]-submodułem obejmowanym przez te elementy {x1Wσ : σ ∈ Sn}. Wtedy Xλ jest H-niezmiennicze i jest również nieskończenie generowany i beztorsyjna nad Q[t] , więc Xλ jest Q[t]-wolny. Ponieważ Xλ ⊆ Yλ, jest naturalne przekształcenie φ : Xλ ⊗ R → Yλ, które jest surjektywne ponieważ Yλ jest nieredukowalne. Ponieważ R jest polem ułamkowym z Q[t], wynika ,że dla każdego y ∈ Yλ istnieje p ∈ Q[t] takie ,żeby ∈ Xλ. To implikuje ,że Q[t]-baza dla Xλ pozostaje liniowo niezależne nad R, skąd zakres(Xλ) = dim(Yλ) a zatem φ jest izomorfizmem. W końcu, argumentujemy ,że Xπ[1] ≅ Mπ[1]. Ustalamy rozkład π i niech M = Mπ i M1 = Xπ ⊗ P. Wystarczy wykazać ,ż M[1] = M1[1]. Ponieważ Nπ = Mπ ⊗ L ≅ Xπ ⊗L ,możemy zidentyfikować M i M1 z kotorsją P-submodułów z Nπ. Wtedy M/(M∩M1) ≅ (M + M1)/M1 jest skończenie generowanym P-torsyjnym modułem i dlatego jest niszczony przez pewne p ∈ P. Bądź ostrożny przy wyborze p, możemy założyć ,że pM ⊆ M i . Ponieważ M1/(t-1)M1 jest nieredukowalne, M1 = pM + (t-1)M1, skąd
M/(t-1)M ≅ pM/p(t-1)M ≅ Mi/(t-1)M1
Teraz niech ξπ będzie charakterem H dostarczanym, przez Xπ. Zauważ ,że ξ(wσ)[1] = xλ(σ) dla wszystkich σ ∈ Sn. Jesteśmy zainteresowani w obliczeniu ograniczenia ξλ do subalgebry Hn,k z Hn generowane przez wszystkie gi z wyjątkiem gk
(13.7) Niech cλμπ będzie strukturą stałych pierścienia Littlewooda - Richardsona w odniesieniu do podstaw nieredukowalnych charakterów. Jeśli σ Sn ustala {k+1,...,n} wtedy
(i) wσρ - wσwρ
(ii) zbiór wszystkich takich wσρ jest bazą dla Hn,k ≅ Hk ⊗ Hn-k i
(iii)
gdzie suma wynosi nad wszystkimi rozkładami λ z k i μ z n-k
Dowód. Ponieważ ⟨g1,...,gk-1⟩ ≅ Hk i ⟨gk+1,...,gn-1⟩ ≅ Hn-k a te algebry komutuje elementarnie, jest oczywisty epimorfizm φ L Hk ⊗ Hn-k → Hn,k. Z drugiej strony, jasne jest ,że z definicji słów standardowych ,że jeśli w1 jest słowem standardowym w {g1,...,gk-1} a w2 jest słowem standardowym w {gk+1,...,gn-1} wtedy w1,w2 i w1w2 są wszystkie słowami standardowymi w {g1,...,gn-1} a zatem liniowo niezależne z (13.3) Wynika ,że φ jest izomorfizmem, a potem, że {wσ:σ ∈ Sk x Sn-k} jest Q[t]-bazą dla Hn,k. Co więcej, jeśli identyfikujemy Sk i Sn-k jako oczywiste podgrupy Sn wtedy wσρ = wσwρ dla σ ∈ Sk i ρ ∈ Sn,k.
Z (1.9) RHn,k jest półproste a jej nieredukowalne moduły są postaci Xλ ⊗ Xμ gdzie λ jest rozkładem z k a μ jest rozkładem n-k. Oznaczamy przez ξλμ charaktery dostarczane przez Xλ ⊗ Xμ. Jeśli x ∈ Hk a y ∈ Hn-k wtedy ξλμ(xy) = ξλ(x)ξμ(y). Co więcej, istnieją nieujemne liczby całkowite bλμπ takie ,że


Niech σ ∈ Sk i ρ ∈ Sn-k. Wtedy ponieważ wσwρ = wσρ , mamy


Dla zidentyfikowania bλμπ jako stałe Littelwooda - Richardsona cλμπ specjalizujemy przy t = 1:


i używamy wzajemności Frobeniusa.

CZĘŚĆ XIV : Ślad Markowa

W tej sekcji zdefiniujemy funkcję Q[t]-liniową τ : H → Q[s,t] gdzie s jest inną nieoznaczona, i pokażemy jak wyrazić τ jako Q[s,t]-liniowe połączenie charakterów z Hn.
(14.1) Jest jednoznaczna funkcja Q[t]-liniowa τn : Hn → Q[s,t] z następującymi właściwościami:


Dowód. Indukcyjnie, możemy założyć ,że istnieje jednoznacznie taka funkcja τn-1. zdefiniowana na Hn-1. Wtedy (13.3) pokazuje ,że jest co najmniej jedno rozwinięcie do Hn spełniające (ii) i (iii) ,mianowicie definiujemy
τ(wg1,i) = sτn-1(wg2,i)
gdzie w jest standardowym słowem w Hn-1 a potem rozszerzanym przez Q[t]-liniowość. Wtedy τn|Hn-1 = τn-1 i będziemy zapisywać τ = &taun bez niebezpieczeństwa pomyłki. Jasne jest ,że τ spełnia (iii). faktycznie, twierdzimy ,że τ spełnian-1y) = sτ(xy) dla wszystkich x, y ∈ Hn-1.
Mianowicie, z liniowością wystarczy wykazać to kiedy y jest słowem standardowym postaci wg2,i gdzie w ∈Hn-2. Wtedy xgn-1y = xwg1,i a (14.2) pozwala na zapisanie x w jako Q[t]-liniowej kombinacji słów standardowych i zastosowanie definicji τ. Pozostałym problemem jest zweryfikowanie (ii). Wystarczy wykazać ,że
(14.3) τ(wgi) = τ(giw)
dla wszystkich standardowych słów w i wszystkich i. Załóżmy najpierw ,że w ∈ Hn-1. Jeśli i < n-1 wtedy(14.3) otrzymujemy przez indukcję. Niech w = w1g2,j, gdzie w1 ∈ Hn-2. Wtedy gn-1w = w1g1,j jest słowem standardowym a więc jest wgn-1, więc (14.3) otrzymujemy z definicji w tym przypadku. Więc możemy założyć ,że w = w1g1,j w (14.3) dla pewnego standardowego słowa w1 w Hn-1 i pewnego j ≥ 2. Jeśli i < n -1 wtedy (14.3) występuje po pierwszym zastosowaniu (14.2) i użyciu (ii) w Hn-1.Zatem, redukujemy doprowadzając do
(14.4)
Niech w1 = w2g2,k gdzie w2 ∈ Hn-2. Wtedy


Dla zanalizowania prawej strony (14.4) mamy dwa przypadki:
Przypadek 1: j = 1 .Wtedy


podczas gdy (14.5) daje w tym przypadku


Przypadek 2: j > 1. Wtedy


Podczas gdy (14.5) i indukcja dają w tym przypadku


Zweryfikowaliśmy(14.3) we wszystkich przypadkach, a zatem τ spełnia (ii)
Główne zainteresowanie τ wynika z faktu ,że może być znormalizowany aby dać związek nieoznaczony. Aby to zrozumieć, odnotujmy najpierw ,że generatory gi z Hn są jednościami. Faktycznie , gi(gi + (1-t)) = t więc widzimy ,że gi-1 = t-1gi + t-1 - 1, a τ(gi-1) = t-1s + t-1 - 1.Teraz jeśli zdefiniujemy θ z równania τ(θgi) = τ(θ-1gi-1) wtedy


więc θ leży w rozwinięciu kwadratowy, Q(s,t).Niech g^i = θgi. Wtedy g^i spełnia pierwsze dwa związki z (13.1) i dlatego jest homomorfizmem πn : Bn → Hn przy πni) = g^i, gdzie Bn jest grupą warkoczy Artina. Co więcej
τ(πni-1)) = τ(πni)) = θs
dla wszystkich i, i
τ(πn+1(ασn)) = sθτ(πn(α))
dla wszystkich α ∈ Bn. Wynika z tego ,że jeśli ustawimy τ^(α) = (θs)n-1τ(πn(α)) dla dowolnego n-łańcuchowego warkocza α ∈ Bn, wtedy


Powyższe relacje mówią ,że τ^ jest nieoznaczone przy tzw. "ruchach Markowa", które , z twierdzenia Markowa implikują ,że τ^(α) zależy tylko od łącza α^ uzyskanego przez połączeni końców łańcuchów warkocza w R3. Zauważ że jeśli w jest słowem w gi sumy wykładniczej ε(w), wtedy


Można wykazać ,że po odpowiedniej zmianie zmiennych, τ^ jest w rzeczywistości wielomianem Laurenta z dwoma zmiennymi.
Przykład. Trójliść może zostać uzyskany przez połączenie końców warkocza σ13. Zatem (przy n = 2) mamy


Niech F = Q(s,t) będzie polem funkcji wymiernych z dwiema zmiennymi. Wtedy τn jest F-liniowym funkcjonałem na FHn = Hn ⊗ F. Z (13.6) , F jest ciałem rozkładu dla Hn, a nadużywając notacji będziemy kontynuować oznaczają przez ξπ nieredukowalne charaktery FHn. Nie trudno zauważyć ,że liniowa funkcjonalność t na pierścieniu macierzy zupełnej która spełnia t(xy) = t(yx) musi być krotnością śladu przez dopuszczenie zakresu y nad jednościami macierzy. Implikuje to ,że istnieje απ ∈ F takie ,że


Ciekawym, wynikiem jest tu to ,że jest homomorfizm φ z pierścienia funkcji symetrycznych do F taki ,że φ(Sπ) = απ, gdzie sπ są funkcjami Schura (część X). Pozwala to nam wyrazić απ w odniesieniu do α(p) gdzie (p) jest rozkładem p z jedną częścią. Następnie otrzymujemy prosty wzór rekurencyjny dla α(p)
(14.6) Niech α(0) = 1 i α(k) = 0 dla k < 0. Wtedy dla dowolnego rozkładu π = (π1,...,πr)mamy


Dowód. Utożsamiamy Sk x Sn-k z oczywistą podgrupą Younga z Sn. Niech σ ∈ Sk i ρ ∈ Sn-k. Wtedy żądany wzór jest zasadniczo konsekwencją
(14.7) τn(wσρ) = τk(wσn-k(wρ)
który może być łatwo zweryfikowany używając (13.7), indukcji na n-k, i definicji τ. Pozwala to nam ograniczyć τn do Hn,k i użyć 13.7 dla uzyskania


gdzie sumy zakresu nad rozkładami λ z k , μ z n-k i π z n, i cλμπ są współczynnikami Littlewooda-Richardsona. Ponieważ wσρ są bazami dla Hn,k i nieredukowalnymi charakterami z Xn,k są liniowo niezależne, możemy porównać współczynniki dla uzyskania


dla wszystkich rozkładów λ z k i μ z n-k. Jednakże, wynika z (11.2) i (11.4) ,że


gdzie sπ jest funkcją Schura typu π. Ponieważ funkcje Schura są Z-bazami dla pierścienia funkcji symetrycznych z (10.6), istnieje homomorfizm pierścienia φ : Λ → F z φ(sπ) = απ. Jeśli najpierw użyjemy (10.5) z λ = (p) otrzymamy s(p) = hp, wtedy (10.5) staje się


a wynik mamy przez zastosowanie φ
Pozostaje obliczyć α(p) dla wszystkich p. Do tego celu, przydatny jest poniższy lemat:
(14.9) Niech en = Σσ∈Snwσ. Wtedy engi = ten =ten dla 1 ≤ i < n
Dowód. Przejdziemy ,jak zwykle ,przez indukcję na n. Niech ρn = Σi=0n-1g1,i. Wtedy en = en-1ρn z definicji słowa standardowego. Ponadto, ρn = 1 + gn-1ρn-1 i ρn-1 = 1 +gn-2ρn-2. Wtedy


Ponieważ en-1gn-2 = ten-1 z indukcji, możemy pomnożyć lewą stronę przez en-1 aby uzyskać


Dlai > 1, piszemy


Następnie


Z indukcji mamy en-1gn-i = en-1gn-i-1 = ten-1, skąd


Z (14.9) widać, że enHn jest jednowymiarowym ideałem prawostronnym dającym "charakter główny" ξ(n), mianowicie enα = ξ(n)(α)endla wszystkich α ∈ Hn, gdzie ξn jest homomorfizmem Hn → Q[t] definiowanym przez ξ(n)(gi) = t dla wszystkich i. W szczególności, en-1ρn-1 = (1+t+t2+...+tn-2)en-1, z czego wynika że


Stosując powyższy wynik do τ(ei) dla i = n-1, n-2,...,1 i stosując τ(e1) = 1 otrzymujemy


Z drugiej strony, wynika z wyników części I, że ξπ(en) = 0 dla π ≠ (n), zatem τ(en) = α(n)ξ(n)(en). Ponadto, jasne jest ,że enwσ = tl(σ) dla pewnej liczby całkowitej l(σ) która jest zazwyczaj nazywana "długością" σ i jeśli wstawimy pn(t) = Σσ∈Sntl(σ) wtedy ξ(n)(en) = pn(t). Ponieważ


uzyskujemy dobrze znany wzór:


W końcu, ponieważ τ(en) = α(n)ξ(n)(en) = α(n)Pn(t), udowodniliśmy
(14.10) Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1 mamy