Europejskie teksty arytmetyczne z XV i XVI wieku często przedstawiały matematyczne problemy słowne związane z handlem w celu nauczania pojęć matematycznych. Ogólna koncepcja problemów słownych dla uczniów sięga wieków, a niektóre z najstarszych znanych problemów słownych były prezentowane w starożytnym Egipcie, Chinach i Indiach. Treviso Arithmetic jest pełen problemów słownych, wielu angażuje kupców inwestujących pieniądze i którzy chcą uniknąć oszustwa. Książka została napisana w weneckim dialekcie i opublikowana w 1478 roku w miejscowości Treviso we Włoszech. Nieznany autor książki pisze: "Często młodzi ludzie, którymi się interesuję, i którzy z niecierpliwością czekają na kupieckie zajęcia, często proszą mnie o napisanie podstawowych zasad arytmetyki. im, a według wartości przedmiotu, mam najlepszą z moich małych zdolności podjętych w celu ich zaspokojenia w pewnym stopniu ". Następnie daje liczne problemy słowne z udziałem kupców o nazwiskach takich jak Sebastiano i Jacomo, którzy inwestują swoje pieniądze w celu uzyskania partnerstwa. Książka pokazuje także kilka sposobów przeprowadzania mnożenia i zawiera informacje z pracy Fibonacciego Liber Abaci (1202). Treviso ma szczególne znaczenie, ponieważ jest to pierwsza znana drukowana książka matematyczna w Europie. Promował także użycie hinduskiego systemu liczbowego i algorytmów obliczeniowych. Ponieważ ówczesny handel zaczął mieć szeroki komponent międzynarodowy, potencjalni biznesmeni musieli pilnie zająć się matematyką. Dziś uczeni są zafascynowani Treviso, ponieważ stanowi portal z metodami nauczania matematyki w piętnastowiecznej Europie. Podobnie, ponieważ problemy obejmują obliczanie płatności za wymianę towarów, cięcie tkanin, handel szafranem, mieszanki stopów w monetach, wymianę walut i obliczanie udziałów w zyskach pochodzących ze współpracy, czytelnicy rozumieją współczesne obawy dotyczące oszustwa, lichwy i ustalanie opłat odsetkowych.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), James Gregory (1638--1675), Nilakantha Somayaji (1444-1544)

Szereg nieskończony jest sumą nieskończenie wielu liczb i odgrywa ważną rolę w matematyce. W przypadku serii takich jak 1 + 2 + 3 + … suma jest nieskończona i mówi się, że szereg się różni. Szereg naprzemienny to taki, w którym co drugi termin jest ujemny. Jedna szczególna seria na przemian intrygowała matematyków od stuleci. Pi, symbolizowane grecką literą π, jest stosunkiem obwodu koła do jego średnicy i może być wyrażone za pomocą niezwykle prostej formuły: π/ 4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7+… Zauważ również, że funkcję arctan w trygonometrii można wyrazić za pomocą arctan (x)= - x/3 + x/5 - x/7 + … Korzystając z serii arctan, serię dla π / 4 uzyskuje się przez ustawienie x = 1. Ranjan Roy zauważa, że niezależne odkrycie nieskończonego szeregu dla π przez różne osoby żyjące w różnych środowiskach i kulturach daje nam wgląd w charakter matematyki jako dyscyplina uniwersalna . Cykl został odkryty przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Wilhelma Leibniza, szkockiego matematyka i astronoma Jamesa Gregory′ego oraz indyjskiego matematyka z XIV lub XV wieku, którego tożsamość nie jest ostatecznie znana, chociaż wynik zwykle przypisuje się Nilakantha Somayaji. Leibniz odkrył formułę w 1673 r., a Gregory odkrył ją w 1671 r. Roy pisze: "Odkrycie nieskończonego szerego Leibniza dla π było pierwszym największym osiągnięciem Leibniza". Holenderski matematyk Christiaan Huygens powiedział Leibnizowi, że ta niezwykła właściwość koła będzie świętowana wśród matematyków na zawsze. Nawet Newton powiedział, że formuła ujawniła geniusz Leibniza. Odkrycie Gregory′ego dotyczące formuły arctan nastąpiło przed Leibniza, chociaż Gregory nie zauważył specjalnego przypadku formuły arctan dla π/4. Ta nieskończona seria Arctan została również podana w 1500 książce Somayaji Tantrasangraha. Somayaji zdawał sobie sprawę, że skończona seria liczb wymiernych nigdy nie wystarcza do przedstawienia π.

Ojciec Luca Bartolomeo de Pacioli (1445-1517)

W 1509 roku włoski matematyk Luca Pacioli, bliski przyjaciel Leonarda da Vinci, opublikował Divina Proportione, rozprawę na temat numeru znanego obecnie jako "Złoty stosunek". Ten stosunek, symbolizowany przez fil, pojawia się z niesamowitą częstotliwością w matematyce i przyrodzie. Możemy najłatwiej zrozumieć proporcję, dzieląc linię na dwa segmenty, tak aby stosunek całego segmentu do dłuższej części był taki sam jak stosunek dłuższej części do krótszej części lub (a + b)/b = b/a = 1,61803… Jeśli długości boków prostokąta są w złotym stosunku, wówczas prostokąt jest "złotym prostokątem". Można podzielić złoty prostokąt na kwadrat i złoty prostokąt. Następnie możemy wyciąć mniejszy złoty prostokąt na mniejszy kwadrat i złoty prostokąt. Możemy kontynuować ten proces w nieskończoność, wytwarzając coraz mniejsze złote prostokąty. Jeśli narysujemy przekątną z górnego prawego rogu oryginalnego prostokąta w lewym dolnym rogu, a następnie z dolnego prawego rogu niemowlęcia (czyli następnego mniejszego) złotego prostokąta w lewym górnym rogu, punkt przecięcia pokaże punkt, w którym wszystkie złote prostokąty dziecka zbiegają się. Ponadto długości przekątnych są w złotym stosunku do siebie. Punkt, w którym zbiegają się wszystkie złote prostokąty, jest czasem nazywany "okiem Boga". Złoty prostokąt jest jedynym prostokątem, z którego można wyciąć kwadrat, dzięki czemu pozostały prostokąt będzie zawsze podobny do oryginalnego prostokąta. Jeśli połączymy wierzchołki na diagramie, przybliżymy spiralę logarytmiczną, która "otacza" Oko Boga. Spirale logarytmiczne są wszędzie - muszle morskie, rogi zwierząt, ślimak ucha - wszędzie tam, gdzie przyroda musi wypełniać przestrzeń w sposób ekonomiczny i regularny. Spirala jest mocna i zużywa minimum materiałów. Podczas rozbudowy. zmienia swój rozmiar, ale nigdy nie ma kształtu.

Johannes Trithemius (1462-1516), Abu Yusuf Yaqub ibn Ishaq al-Sabbah AI-Kindi (ok. 801-873)

Dzisiaj teoria matematyki stała się kluczowa dla kryptografii. Jednak w czasach starożytnych często stosowano proste szyfry zastępcze, w których litery w wiadomości zastępowano innymi literami. Na przykład CAT staje się DBU, zastępując każdą literę w CAT literą następującą po nim w alfabecie Oczywiście takie proste szyfry stały się łatwe do złamania po odkryciu analizy częstotliwości, na przykład, przez arabskiego uczonego al-Kindiego w dziewiątym stulecie. Ta metoda analizuje, które litery występują najczęściej w języku - takim jak ETAOIN SHRDLU w języku angielskim - i wykorzystuje te informacje do rozwiązywania kodów zastępczych. Można stosować bardziej złożone statystyki, takie jak uwzględnianie liczby par listów. Na przykład Q prawie zawsze występuje razem z U w języku angielskim. Pierwsza drukowana książka o kryptografii, Polygraphiae Libri Sex (Six Books of Polygraphy), została napisana przez niemieckiego opata Johannesa Trithemiusa i opublikowana w 1518 roku, po jego śmierci. Polygraphiae zawiera setki kolumn łacińskich słów, ułożonych w dwóch kolumnach na stronie. Każde słowo oznacza literę alfabetu. Na przykład pierwsza strona zaczyna się tak:

a: Deus
b: Stwórca
c: Gonditor
a: Clemens
b: clementissimus
c: pius

Aby zakodować wiadomość, używa się słowa oznaczającego literę. Co ciekawe, Trithemius skonstruował tablice, tak że zakodowany fragment wydaje się mieć sens jako rzeczywista modlitwa. Na przykład, jeśli dwie pierwsze litery w orędziu brzmią CA, modlitwa rozpoczyna się od Clemens Conditor (Miłosierny Stwórca) jako pierwszych dwóch słów w zdaniu łacińskim. Pozostałe książki Polygraphiae przedstawiają bardziej wyrafinowane metody kryptograficzne wraz z tabelami do kreatywnego ukrywania informacji. Inne słynne dzieło Trithemiusa, Steganographia (napisane w 1499 r. I opublikowane w 1606 r.), Zostało umieszczone na "Liście książek zakazanych" Kościoła Katolickiego, ponieważ wydawało się, że jest to książka o czarnej magii, ale w rzeczywistości była to tylko kolejna książka z kodami!

Pedro Nunes (1502-1578)

Do celów nawigacji naziemnej spirala loksodromowa - znana również jako spirala sferyczna, loksodrom lub linia loksodromy - przechodzi przez południki północ-południe Ziemi pod stałym kątem. Loxodrome cewki jak gigantyczny wąż wokół Ziemi i spirale wokół biegunów, nie docierając do nich. Jednym ze sposobów żeglowania po Ziemi jest próba pokonywania najkrótszej ścieżki między punktami, która biegnie wzdłuż łuku wielkiego koła wokół Ziemi. Jednak pomimo tego, że jest to najkrótsza ścieżka, nawigator musi stale dostosowywać kurs w oparciu o odczyty kompasu, co jest prawie niemożliwym zadaniem dla pierwszych nawigatorów. Z drugiej strony ścieżka loksodromiczna umożliwia nawigatorowi ciągłe kierowanie statku do tego samego punktu kompasu, nawet jeśli ścieżka do miejsca docelowego jest dłuższa. Na przykład, korzystając z tego podejścia do podróży z Nowego Jorku do Londynu, podróżnik może skierować się na stałą pozycję wynoszącą 73° na wschód od północy. Lokoksodrom jest reprezentowany jako linia prosta na mapie projekcji Mercatora. Lokoksodrom został wymyślony przez portugalskiego matematyka i geografa Pedro Nunesa. Nunes żył w czasach, gdy inkwizycja wywołała strach w sercu Europy. Wielu Żydów w Hiszpanii przymusowo nawrócono na katolicyzm, a Nunes nawrócił się jako dziecko. Głównymi celami późniejszej inkwizycji hiszpańskiej byli potomkowie tych konwersacji, tacy jak wnukowie Nunesa na początku 1600 roku. Gerardus Mercator (1512-1594), flamandzki kartograf, został uwięziony przez Inkwizycję z powodu jego protestanckiej wiary i szerokich podróży, a on ledwo uniknął egzekucji. Niektóre grupy muzułmańskie w Ameryce Północnej wykorzystują linię loksodromu do Mekki (południowy wschód) jako swoją qibla (kierunek modlitwy) zamiast korzystać z tradycyjnej najkrótszej ścieżki. W 2006 r. Malezyjska Narodowa Agencja Kosmiczna (MYNASA) sponsorowała konferencję mającą na celu określenie właściwej qibli dla muzułmanów na orbicie.

Gerolamo Cardano (1501-1576), Niccolo Tartaglia (1500-1557), Lodovico Ferrari (1522-1565)

Włoski renesansowy matematyk, lekarz, astrolog i hazardzista Gerolamo Cardano jest najbardziej znany ze swojej pracy nad algebrą zwaną Artis magnae, sive de regulis algebraicis (Of the Great Art lub The Rules of Algebra) - zwaną również zwięźlejszą nazwą Ars magna. Chociaż książka dobrze się sprzedawała, zauważa Jan Gullberg: "Żadna pojedyncza publikacja nie promuje zainteresowania algebrą, jak Ars magna Cardano, która jednak zapewnia bardzo nudne czytanie współczesnemu peruserowi poprzez konsekwentne poświęcanie stron pełnej retoryki rozwiązaniu .. .. Przy niestrudzonej branży młynka do organów Cardano monotonnie powtarza to samo rozwiązanie dla kilkunastu lub więcej prawie identycznych problemów, w których wystarczyłby tylko jeden. " Niemniej imponująca praca Cardano ujawniła rozwiązania różnych rodzajów równań sześciennych i kwartalnych - to znaczy równań ze zmiennymi podniesionymi odpowiednio do trzeciej i czwartej potęgi. Włoski matematyk Niccolo Tartaglia wcześniej poinformował Cardano o rozwiązaniu sześciennym, x³ + ax = b, i próbował upewnić się, że Cardano nigdy nie opublikuje rozwiązania, zmuszając Cardano do złożenia przysięgi na Boga. Cardano i tak opublikował to rozwiązanie, po tym, jak wydawało mu się, że Tartaglia nie był pierwszym, który rozwiązał równanie sześcienne za pomocą rodników. Ogólne równanie kwartowe rozwiązał uczeń Cardano, Lodovico Ferrari. W Ars magna Cardano badał istnienie tak zwanych liczb urojonych, które są oparte na pierwiastku kwadratowym z \, chociaż nie w pełni docenił ich właściwości. W rzeczywistości pierwsze obliczenia przedstawia liczbami zespolonymi, pisząc: "Odrzucając psychiczne tortury i mnożąc 5 + √5 przez 5 - √5, otrzymujemy 25 - (- 15). Zatem iloczyn wynosi 40" W 1570 r. w wyniku inkwizycji Cardano został wtrącony do więzienia na kilka miesięcy pod zarzutem herezji, ponieważ stworzył horoskop Jezusa Chrystusa. Według legendy Cardano poprawnie zobrazował dokładną datę swojej śmierci, jak mówi przepowiednia, zabijając się w tym dniu.

Juan Diez (1480--1549)

Sumario compendioso, opublikowane w Mexico City w 1556 roku, jest pierwszym dziełem na temat matematyki wydrukowanym w obu Amerykach. Publikacja Sumario compendioso w Nowym Świecie poprzedza wiele dekad emigracji purytanów do Ameryki Północnej i osady w Jamestown w stanie Wirginia. Autor, brat Juan Diez, był towarzyszem hiszpańskiego konkwistadora Hernando Cortesa podczas podbojów Cortesa przez imperium Azteków. Diez napisał książkę przede wszystkim dla osób kupujących złoto i srebro odzyskane z kopalni Peru i Meksyku. Oprócz dostarczania tabel ułatwiających handlowcom uzyskiwanie wartości liczbowych bez większych obliczeń, poświęcił także część pracy algebrze związanej z równaniem kwadratowym - to znaczy równaniami w postaci ax² + bx + c = 0 z a ≠ O. Na przykład jeden z problemów można przetłumaczyć jako: "Znajdź kwadrat, od którego odejmuje się 15 ? …, wynikiem jest jego własny pierwiastek." Jest to równoważne rozwiązaniu x² -15 ? = x . Pełny tytuł pracy Dieza brzmi: Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que in los reynos del Pim son mustarios a los mercaderes y todo genera de Iratantes los algunos reglos tocantes al Arithmetica, co przekłada się na "Kompleksowe podsumowanie liczenia srebra i Złoto, które w Królestwach Peru są niezbędne dla kupców i wszelkiego rodzaju handlowców. Prasa drukarska i papier zostały wysłane z Hiszpanii, a następnie przewiezione do Mexico City". Obecnie istnieją tylko cztery znane kopie Sumario compendioso. Według Shirley Gray i C. Edwarda Sandifera: "Pierwsza książka z matematyki w języku angielskim na świecie została wydana dopiero w 1703 roku ... Ze wszystkich kolonialnych książek z matematyki, te w języku hiszpańskim są najciekawsze, ponieważ w większości zostały napisane Ameryka do użytku przez ludzi mieszkających w Ameryce. "

Gerardus Mercator (1512-1594), Edward Wright (ok. 1558-1615)

Wiele starożytnych greckich pomysłów na przedstawianie kulistej Ziemi na płaskiej mapie zostało utraconych w średniowieczu. John Short wyjaśnia, że w XV wieku "wartość map morskich rywalizowała ze złotem jako głównym celem kapitanów korsarzy. Później mapy stały się symbolami statusu wśród bogatych kupców, którzy budowali ogromne fortuny dzięki kwitnącym szlakom handlowym umożliwianym przez niezawodną nawigację morską . " Jedną z najbardziej znanych projekcji map w historii jest mapa Mercator (1569), która stała się powszechnie używana w żegludze i nosi imię flamandzkiego kartografa Gerardusa Mercatora. Norman Thrower pisze: "Podobnie jak kilka innych rzutów, Mercator jest konformalny (kształty wokół punktu są prawidłowe), ale ma także unikalną właściwość: linie proste są loksodromami lub loksodromami (linie o stałym namiocie kompasu)". Ta ostatnia jakość była nieoceniona dla żeglarzy morskich, którzy wybrali trasy za pomocą kompasów i innych urządzeń, aby wskazać kierunki geograficzne i sterować statkami. Korzystanie z mapy Mercator wzrosło w 1700 roku, po wynalezieniu dokładnego morskiego chronometru, urządzenia do pomiaru czasu używanego do określania długości geograficznej za pomocą nawigacji niebieskiej. Chociaż Mercator był pierwszym twórcą map, który stworzył swoją projekcję, w której linie kompasu przecinają południki pod stałym, określonym kątem, prawdopodobnie zastosował metody graficzne i małą matematykę. Angielski matematyk Edward Wright przedstawił analizę fascynujących właściwości mapy w swoim "Pewnym". Błędy w nawigacji (1599). W przypadku czytnika pochylonego matematycznie odwzorowanie mapy Mercatora o współrzędnych x i y można utworzyć na podstawie wartości szerokości φ długości geograficznej przez λ x = λ - λ₀ i y= sinh^-1(tan(φ)), gdzie λ₀ długością geograficzną w centrum mapy. Projekcja Mercatora ma swoje niedoskonałości; na przykład przesadza rozmiar obszarów daleko od równika

Rafael Bombelli (1526-1572)

Liczba urojona to liczba, której kwadrat ma wartość ujemną. Wielki matematyk Gottfried Leibniz nazwał liczby urojone "cudownym / światłem Ducha Bożego; są prawie płazem między bytem a nieistnieniem". Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest dodatni, przez stulecia wielu matematyków deklarowało, że liczba ujemna nie ma pierwiastka kwadratowego. Chociaż różni matematycy mieli wyobrażenie o liczbach urojonych, historia liczb wyobrażonych zaczęła kwitnąć w XVI-wiecznej Europie. Włoski inżynier Rafael Bombelli, znany za swojego czasu osuszając bagna, jest dziś znany ze swojej Algebry, opublikowanej 10 1572, która wprowadziła notację √-1, która byłaby poprawnym rozwiązaniem równania x² + 1 = 0. Napisał: "To była szalona myśl w ocenie wielu . " Wielu matematyków wahało się "uwierzyć" w liczby urojone, w tym Kartezjusz, który tak naprawdę wprowadził pojęcie imaginacji jako rodzaj zniewagi. Leonhard Euler w XVIII wieku wprowadził symbol i dla √ -1 dla pierwszej litery łacińskiego słowa imaginarius - i nadal używamy dzisiaj symbolu Eulera. Kluczowe postępy we współczesnej fizyce nie byłyby możliwe bez użycia liczb urojonych, które pomogły fizykom w szerokim zakresie obliczeń, w tym w wydajnych obliczeniach z wykorzystaniem prądów przemiennych, teorii względności. przetwarzanie sygnałów, dynamika luid i mechanika kwantowa. Wyimaginowane liczby odgrywają nawet rolę w produkcji wspaniałych dzieł fraktalnych, które pokazują bogactwo szczegółów wraz ze wzrostem powiększenia. Od teorii strun do teorii kwantów, im głębiej studiuje się fizykę, tym bardziej zbliża się do czystej matematyki. Niektórzy mogą nawet powiedzieć, że matematyka "uruchamia" rzeczywistość w taki sam sposób, jak system operacyjny Microsoft działa na komputerze. Równanie falowe Schrodingera - które opisuje podstawową rzeczywistość i zdarzenia w kategoriach funkcji falowych i prawdopodobieństw - można uznać za zanikające podłoże, na którym wszyscy istniejemy, i opiera się na liczbach urojonych.

Johannes Kepler (1571-1630), Thomas Callister Hales (1740-1780)

Wyobraź sobie, że Twoim celem jest wypełnienie dużego pudełka jak największą liczbą piłek golfowych. Po zakończeniu szczelnie zamknij pokrywę. Gęstość kulek jest określana na podstawie proporcji objętości pudełka zawierającego piłkę. Aby wsunąć jak najwięcej piłek do pudełka, musisz odkryć układ o największej możliwej gęstości. Jeśli po prostu upuścisz kulki do pudełka, osiągniesz gęstość około 65 procent. Jeśli jesteś ostrożny i utwórz warstwę na dole w układzie sześciokątnym, a następnie umieść następną warstwę kulek we wgłębieniach utworzonych przez dolną warstwę i kontynuuj, będziesz w stanie osiągnąć gęstość upakowania wynoszącą &π/8, co stanowi około 74 procent. W 1611 roku niemiecki matematyk i astronom Johannes Kepler napisał, że żaden inny układ kulek nie ma wyższej średniej gęstości. W szczególności w swojej monografii The Six-Comered Snowflake doszedł do wniosku, że niemożliwe jest spakowanie identycznych kulek w trzech wymiarach większych niż wypełnienie znalezione w sześciokątnym wypełnieniu skierowanym do twarzy. W dziewiętnastym wieku Karl Friedrich Gauss udowodnił, że tradycyjny układ heksagonalny był najbardziej wydajny dla zwykłej siatki 3-D. Niemniej jednak hipoteza Keplera pozostała, a było pewne, czy można uzyskać gęstsze upakowanie przy nieregularnym wypełnieniu. Wreszcie w 1998 r amerykański matematyk Thomas Hales oszołomił świat, gdy przedstawił dowód, że Kepler miał rację. Równanie Halesa i jego 150 zmiennych wyrażały każdy możliwy układ 50 sfer. Komputery potwierdziły, że żadna kombinacja zmiennych nie doprowadziła do wydajności pakowania wyższej niż 74 procent. Annals of Mathematics zgodziły się opublikować dowód, pod warunkiem, że został zaakceptowany przez panel 12 sędziów. W 2003 r. Panel stwierdził, że byli "w 99 procentach pewni" co do poprawności dowodu. Hales ocenia, że przygotowanie pełnego formalnego dowodu zajmie około 20 lat pracy.

John Napier (1550-1617)

Szkocki matematyk John Napier jest znany jako wynalazca i promotor logarytmów w swojej książce z 1614 r. "Opis reguły logarytmicznej Marvela". Od tego czasu metoda ta przyczyniła się do niezliczonych postępów w nauce i inżynierii, umożliwiając trudne obliczenia. Zanim kalkulatory elektroniczne stały się powszechnie dostępne, logarytmy i tabele logarytmów były powszechnie używane w pomiarach i nawigacji. Napier był także wynalazcą kości Napiera, prętów rzeźbionych przy pomocy tabliczek mnożenia, które można było układać we wzory, aby pomóc w obliczeniach. Logarytm (a o podstawie b) liczby x jest wyrażany jako log_b(x) i równa się wykładowi, który spełnia x = b^y. Na przykład, ponieważ 3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243, mówimy, że log 243 (o podstawie 3) to 5 lub logl₃(243) = 5. Jako inny przykład, log₁₀(100) = 2 Dla celów praktycznych należy wziąć pod uwagę, że mnożenie, takie jak 8 x 16 = 128, może zostać przepisane jako 2³ x 2⁴ = 2⁷, przekształcając w ten sposób obliczenia w te uwzględniające proste dodawanie mocy (3 + 4 = 7). Przed kalkulatorami, w celu pomnożenia dwóch liczb, inżynier często sprawdzał logarytmy obu liczb w tabeli, dodawał je, a następnie sprawdzał wynik w tabeli, aby znaleźć produkt. Często może to być szybsze niż pomnożenie ręczne i jest to zasada, na której oparte są reguły slajdów. Dzisiaj różne wielkości i skale w nauce są wyrażane jako logarytmy innych wielkości. Na przykład skala pH w chemii, belkowa jednostka miary w akustyce i skala Richtera stosowana do pomiaru intensywności trzęsień ziemi obejmują skalę logarytmiczną 10. Co ciekawe, odkrycie logarytmów tuż przed erą Izaaka Newtona miało wpływ na naukę porównywalny z wynalezieniem komputera w XX wieku.

William Oughtred (1574-1660)

Ci z was, którzy chodzili do liceum przed latami 70. XX wieku, mogą pamiętać, że zasada suwaka wydawała się kiedyś tak powszechna jak maszyna do pisania. W ciągu kilku sekund inżynierowie mogą mnożyć, dzielić, znajdować pierwiastki kwadratowe i robić wiele więcej. Najwcześniejsza wersja z przesuwanymi elementami została wynaleziona w 1621 roku przez angielskiego matematyka i anglikańskiego ministra Williama Oughtreda, w oparciu o logarytmy szkockiego matematyka Johna Napiera. Oughtred mógł początkowo nie docenić wartości swojej pracy, ponieważ nie opublikował szybko swoich ustaleń. Według niektórych relacji, jeden z jego uczniów ukradł ten pomysł i opublikował broszurę na temat zasady slajdów, która podkreślała jego przenośność i zachwycił się tym, że urządzenie "nadaje się do użytku na koniu jak na głupcu". Oughtred oburzył się na dwulicowość jego ucznia. W 1850 r. 19-letni francuski porucznik artylerii zmodyfikował oryginalny projekt suwaka, a armia francuska wykorzystała go do obliczeń pocisków podczas walki z Prusami. Podczas II wojny światowej amerykańskie bombowce często stosowały wyspecjalizowane reguły ślizgowe. Cliff Stoll, guru od suwaków, pisze: "Zastanów się nad osiągnięciami inżynieryjnymi, które zawdzięczają ich istnieniu poprzez połączenie dwóch kijów: Empire State Building; Hoover Dam; zakręty Golden Gate Bridge; hydrodynamiczne transmisje samochodowe, tranzystory radiowe; Boeing 707 samolot pasażerski. " Wernher Von Braun, projektant niemieckiej rakiety V-2, podobnie jak Albert Einstein, polegał na regułach ślizgowych niemieckiej firmy Nestler. Reguły slajdów Picketta znajdowały się na pokładzie misji kosmicznych Apollo na wypadek awarii komputerów W XX wieku na całym świecie wyprodukowano 40 milionów reguł slajdów. Biorąc pod uwagę kluczową rolę tego urządzenia od rewolucji przemysłowej do czasów współczesnych, urządzenie zasługuje na miejsce w tej książce. Literatura z Oughtred Society stwierdza: "Przez okres 3,5 stuleci był używany do obliczeń projektowych dla praktycznie wszystkich głównych budowli zbudowanych na tej ziemi".

Pierre de Fermat (1601-1665), Rene Descartes (1596 - 1650)

Na początku 16 roku życia Pierre de Fermat, francuski prawnik i matematyk, dokonał genialnych odkryć w teorii liczb i innych dziedzinach matematyki. Jego rękopis z 1636 r. "Ad locos pIanos et solidos Iisagoge" ("Wprowadzenie do płaszczyzny i bryły Loci") wykroczył poza prace Rene Descartesa w geometrii analitycznej i pozwolił Fermatowi zdefiniować i zbadać wiele ważnych krzywych, w tym cykloidę i spiralę Fermata. Spirala Fermata lub spirala paraboliczna może być utworzona za pomocą równania biegunowego, r² = a²θ. W tym przypadku r jest odległością krzywej od początku, a jest stałą, która określa, jak ciasno nawinięta jest spirala, a θ jest kątem biegunowym. Dla każdej dodatniej wartości θ ujemne i dodatnie wartości r istnieją, które prowadzą do krzywej symetrycznej względem początku. Fermat badał zależność obszaru zamkniętego ramieniem spirali i osi x podczas obrotu spirali. Dzisiaj specjaliści od grafiki komputerowej czasami używają tej krzywej do modelowania rozmieszczenia główek nasion w kwiatach. Na przykład możemy narysować plamy, które mają pozycje środkowe określone przez wartości współrzędnych biegunowych, r(i) = ki^-2/2, i kąty θ zdefiniowane przez θ(i) = 2iπ/τ. Tutaj τ jest złotą liczbą (1+√5)/2, a i jest po prostu licznikiem, który kroczy jako), 2,3,4, .., To podejście graficzne wytwarza wiele różnych ramion spiralnych, które skręcają się w jednym kierunku lub inny Możliwe jest prześledzenie różnych zestawów symetrycznych spiral, promieniujących od środka wzoru, na przykład zestaw 8, 13 lub 21 ramion spiralnych, a wszystkie te liczby ramion są liczbami Fibonacciego (patrz wpis Liber Abaci Fibonacciego). Michael Mahoney pisze: "Fermat pracował przez pewien czas ze spiralami, zanim spotkał go w Dialogach Galie;eusza. W liście z 3 czerwca 1636 r. Opisał spiralę Mersenne′ r² = a²θ…"

Pierre de Fermat (1601-1665), Andrew John Wiles (ur. 1953), Johann Dirichlet (1805-1859), Gabriel Lame (1795-1870)

Na początku XVI wieku francuski prawnik Pierre de Fermat dokonał genialnych odkryć w teorii liczb. Chociaż był matematykiem "amatorskim", stworzył matematyczne wyzwania, takie jak Last Theorem Fermata (FLT), który został rozwiązany dopiero w 1994 roku przez brytyjsko-amerykańskiego matematyka Andrew Wilesa. Wiles spędził siedem lat swojego życia, próbując udowodnić słynne twierdzenie, które mogło wygenerować więcej prób udowodnienia niż jakiekolwiek inne twierdzenie. FLT stwierdza, że xⁿ + yⁿ = zⁿ, "nie ma niezerowych rozwiązań liczb całkowitych dla x, y i z, gdy n > 2." Fermat stwierdził swoje twierdzenie w 1637 roku, kiedy napisał w swojej kopii Arytmetyki Diofantusa:" … ma naprawdę cudowny dowód na tę propozycję,na którą ten margines jest zbyt wąski, aby ją pomieścić" .Dziś uważamy, że Fermat nie miał takiego dowodu. Fermat nie był zwykłym prawnikiem. Uważany jest wraz z Blaise Pascal (1623-1662) za założyciel teorii prawdopodobieństwa. Jako współtwórca geometrii analitycznej wraz z Rene Descartes (1596-1650) uważany jest za jednego z pierwszych współczesnych matematyków. Kiedyś zastanawiał się, czy można znaleźć odpowiedni trójkąt, którego przeciwprostokątna i sumy nóg były kwadratami. Dziś wiemy, że najmniejsze trzy liczby spełniające te warunki są dość duże: 45 655 566,027,761, 1 061 652 293,520 i 4 677 298 610 289. Od czasów Fermata FLT zaowocował znaczącymi badaniami matematycznymi i zupełnie nowymi metodami. W 1832 r. Johann Dirichlet opublikował dowód Ostatnie twierdzenie Ferrnata dla n=14. Gabriel Lame udowodnił to dla n = 7 w 1839 r. Amir Aczel pisze, że FLT "stałoby się najbardziej zagadkową matematyczną tajemnicą na świecie. Proste, eleganckie i [pozornie] całkowicie niemożliwe do udowodnienia, ostatnie twierdzenie Fermata pobudziło wyobraźnię amatorów i zawodowych matematyków przez ponad trzy stulecia. Dla niektórych stała się cudowną pasją. Dla innych była to obsesja, która doprowadziła do oszustwa, intrygi lub szaleństwa ".

Rene Descartes (1596-1650)

W 1637 r. Francuski filozof i matematyk Rene Descartes opublikował La geometrie, która pokazuje, w jaki sposób geometryczne kształty i liczby można analizować za pomocą algebry. Praca Kartezjusza wpłynęła na ewolucję geometrii analitycznej, dziedziny matematyki obejmującej reprezentację pozycji w układzie współrzędnych, w której matematycy analizują algebraicznie takie pozycje. La geometrie pokazuje także, jak rozwiązywać problemy matematyczne i omawia reprezentację punktów płaszczyzny za pomocą liczb rzeczywistych oraz reprezentację i klasyfikację krzywych za pomocą równań. Co ciekawe, La geometria w rzeczywistości nie używa osi współrzędnych "kartezjańskich" ani żadnego innego układu współrzędnych. Książka zwraca tyle samo uwagi na reprezentowanie algebry w formach geometrycznych, co na odwrót. Kartezjusz uważał, że algebraiczne kroki w dowodzie powinny zwykle odpowiadają reprezentacji geometrycznej. Jan Gullberg pisze: "La geometrie to najwcześniejszy tekst matematyczny współczesny , student matematyki potrafił czytać bez potknięcia się o mnóstwo przestarzałych notacji … Wraz z Principią Newtona jest to jeden z najbardziej wpływowych tekstów naukowych XVII wieku. "Według Carla Boyera Descartes pragnął" uwolnić geometrię "od użycia diagramów poprzez procedury 1algebraiczne i nadać sens działaniom algebry poprzez interpretacja geometryczna. Mówiąc bardziej ogólnie, Kartezjusz dokonał przełomu w swojej propozycji połączenia algebry i geometrii w jeden temat, jak pisze Judith Grabiner: "Tak jak historia zachodniej filozofii była postrzegana jako seria przypisów do Platona, tak przez ostatnie 350 lat matematyka może być postrzegana jako seria przypisów do geometrii Kartezjusza … i triumfu metod rozwiązywania problemów przez Kartezjusza. "Boyer konkluduje:" Pod względem zdolności matematycznych Kartezjusz prawdopodobnie był najbardziej. zdolny myśliciel swoich czasów, ale tak naprawdę nie był matematykiem. "Jego geometria była tylko jeden aspekt pełnego życia, który obracał się wokół nauki, filozofii i religii.

Albrecht Durer (1471-1528), Etienne Pascal (1588-1640), Ole Romer (1644-1710), Philippe de La Hire (1640-1718), Johann Castillon (1704-1791)

Kardioid w kształcie serca od stuleci fascynuje matematyków swoimi matematycznymi właściwościami, pięknem graficznym i praktycznymi zastosowaniami. Krzywa może być wytworzona po prostu przez śledzenie punktu na kole, który toczy się po innym (stałym) kole o tym samym promieniu. Nazwa pochodzi od greckiego słowa oznaczającego serce, a jej równanie biegunowe można zapisać jako r = a (1 - cosθ). Obszar kardioidy wynosi (3/2)πa², a jego obwód wynosi 8a. Kardioida może być również generowana przez narysowanie okręgu C i ustalenie na nim punktu P. Następnie narysuj zestaw różnych kół wyśrodkowanych na obwodzie C i mijającym Przez P. Kręgi te kształtują kardioidalny kształt. Kardioid pojawia się w wielu pozornie odmiennych obszarach matematycznych, od kaustyki w dziedzinie optyki do centralnego kształtu zestawu Mandelbrota w geometrii fraktalnej. Wiele dat może być związanych z kardioidem. Francuski prawnik i matematyk amator Etienne Pascal, ojciec matematyka Blaise Pascal, formalnie przestudiował bardziej ogólny przypadek tej krzywej. nazywa się Limacon z Pascala 1637. Jednak nawet wcześniej niemiecki malarz i matematyk Albrecht Diirer przedstawił melodię do rysowania Limy w Underweysung der Meßung (Instruction In Measurement), opublikowanym w 1525 r. W 1674 r. Duński astronom Ole Rjilmer rozważał kardioidę, rozważając kształty teelh biegów. Francuski malematyk Philippe de La Hire określił swoją lenglh w 1708 roku. Co ciekawe, kardioida otrzymała swoją sugestywną nazwę dopiero w 1741 roku, kiedy Johann Castillon nazwał ją w swoim traktacie o transakcjach filozoficznych Towarzystwa Królewskiego. Glen Vecchione wyjaśnia praktyczną stronę kardioidów, gdy pisze, że mogą wykazać wzorce interferencji i zgodności fal, które promieniują koncentrycznie ze źródła punktowego. W ten sposób mogą zidentyfikować obszary o największej czułości na mikrofonach lub antenach. … Mikrofon kardioidalny jest wrażliwy na dźwięk z przodu i minimalizuje dźwięk z tyłu.

Rene Descartes (1596-1650) ,Jacob Bernoulli (1654-1705)

Spirale logarytmiczne w naturze są wszechobecne i mają szereg przejawów botanicznych i zoologicznych. Prawdopodobnie najczęstszymi przykładami są logarytmiczne spirale muszli łodzika i innych muszli morskich. rogi różnych ssaków. układ nasion wielu roślin (takich jak słonecznik i stokrotka). i łuski szyszki. Martin Cardner zauważył, że Eperia. popularna odmiana pająka. obraca sieć, w której pasmo cewki wokół centrum w spirali logarytmicznej Spirala logarytmiczna (znana również jako spirala równokątna lub spirala Bernoulliego) może być wyrażona jako r= ke^aθ. gdzie T jest odległością od początku. Kąt 0 między linią styczną do krzywej a linią promieniową narysowaną na (r, θ) jest stała. Spirala została po raz pierwszy omówiona przez francuskiego matematyka i filozofa Rene Descartesa w 1638 r. W listach napisanych do francuskiego teologa i matematyka Marina Mersenne. spirala została dokładniej zbadana przez szwajcarskiego matematyka Jacoba Bernoulli. Najbardziej imponujący wygląd spirali logarytmicznej znajduje się w ogromnych ramionach wielu galaktyk, a tradycyjny pogląd polega na tym, że konieczne jest oddziaływanie dalekiego zasięgu, takie jak grawitacja, aby stworzyć tak ogromne porządek. W galaktykach spiralnych ramiona spiralne są miejscami aktywnego formowania się gwiazd. Wzory spiralne często pojawiają się spontanicznie w materii zorganizowanej przez transformacje symetryczne: zmiana wielkości (wzrostu) a obrót. Forma podąża za funkcją. a forma spiralna może umożliwiać zagęszczanie na stosunkowo dużej długości. Długie, ale kompaktowe rurki są przydatne z mięczaków i ślimaków z oczywistych powodów. w tym wytrzymałość fizyczna i zwiększona powierzchnia. Jako członek gatunku dorasta. ogólnie przekształca się w taki sposób, że jego części zachowują w przybliżeniu ten sam stosunek względem siebie. i jest to prawdopodobnie powód, dla którego natura często wykazuje podobny wzrost spirali.

Leon Battista Alberti (1404-1472), Gerard Desargues (1591-1661), Jean-Victor Poncelet (1788-1867)

Geometria rzutowa ogólnie dotyczy relacji między kształtami i ich odwzorowaniami lub "obrazami", które wynikają z rzutowania kształtów na powierzchnię. Rzuty mogą być często wizualizowane jako cienie rzucane przez obiekty. Włoski architekt Leon Battista Alberti był jedną z pierwszych osób, które eksperymentowały z geometrią rzutową poprzez swoje zainteresowanie perspektywą w sztuce. Mówiąc bardziej ogólnie, renesansowi artyści i architekci zajmowali się metodami przedstawiania trójwymiarowych obiektów na dwuwymiarowych rysunkach. Alberti czasami umieszczał szklany ekran między sobą a krajobrazem, zamykał jedno oko i zaznaczał na szkle pewne punkty, które wyglądały jak na obrazie. Wynikowy rysunek 2D dał wierne wrażenie sceny 3D. Francuski matematyk Gerard Oesargues był pierwszym profesjonalnym matematykiem, który sformalizował geometrię rzutową, szukając sposobów na rozszerzenie geometrii euklidesowej. W 1636 r. Desargues opublikowało Exemple de l'une des mani, res universelles du S.G.D.L. touchant la pratique de la perspective (Przykład metody uniwersalnej autorstwa Sieur Girarda Desargues Lyonnais dotyczący praktyki perspektywy), w której przedstawił geometryczną metodę konstruowania perspektywicznych obrazów obiektów. W projekcie Desargues zbadano także właściwości kształtów, które zostały zachowane w ramach odwzorowań perspektywicznych. Malarze i rytownicy wykorzystali jego podejście. Najważniejsze dzieło Desargues, Brouillon proiect d'une lonte aux evenements des rencontres d'un cone avec un plan (Szorstki projekt osiągnięcia efektu przecięcia stożka z płaszczyzną), opublikowane w 1639 r., Traktuje teorię przekrojów stożkowych przy użyciu geometria rzutowa. W 1882 r. Francuski matematyk i inżynier Jean-Victor Poncelet (1788-1867) opublikował traktat, który ożywił zainteresowanie geometrią rzutową. W geometrii rzutowej elementy takie jak punkty, linie i płaszczyzny zwykle pozostają punktami, liniami i płaszczyznami podczas rzutowania. Jednak długości, stosunki długości i kąty mogą się zmieniać podczas projekcji. W geometrii rzutowej równoległe linie w geometrii euklidesowej przecinają się w nieskończoności w rzucie. '

Evangelista Torricelli (1608-1647)

Twój przyjaciel podaje ci galon czerwonej farby i pyta, jak całkowicie pomalować nieskończoną powierzchnię za pomocą tego galona farby. Jaką powierzchnię byś wybrał? Istnieje wiele możliwych odpowiedzi na to pytanie, ale trąbka Torricellego jest jednym znanym kształtem do rozważenia - przypominający róg obiekt utworzony przez obrót f(x) = 1/x dla x ∈ [1, ∞ ] wokół osi x. Można użyć standardowych metod rachunku różniczkowego aby wykazać, że trąbka Torricellego ma skończoną objętość, ale nieskończoną powierzchnię! John dePillis wyjaśnia, że matematycznie wlanie czerwonej farby do trąbki Torricellego może napełnić lejek, a tym samym można pomalować całe wnętrze nieliniową powierzchnią, nawet jeśli ty mają linitową liczbę cząsteczek farby. Ten pozorny paradoks można częściowo rozwiązać, pamiętając, że trąbka Torricellego jest w rzeczywistości konstrukcją matematyczną, a nasza skończona liczba cząsteczek farby, która "wypełnia" róg, jest przybliżeniem rzeczywistej skończonej objętości rogu. Dla jakich wartości a f(x) = 1/x^a produkuje róg o skończonej objętości i nieskończonej powierzchni? To jest coś, co możesz przemyśleć z matematycznymi przyjaciółmi. Trąbka Torricellego nazywany jest czasem rogiem Gabriela i nosi imię włoskiego fizyka i matematyka Evangelisty Torricellego, który odkrył go w 1641 roku. Był zaskoczony tą trąbką, która wydawała się nieskończenie długą bryłą o nieskończonej powierzchni i skończonej objętości. Torricelli i jego koledzy uważali, że to głęboki paradoks i niestety nie mieli narzędzi rachunku różniczkowego, aby w pełni docenić i zrozumieć przedmiot. Dziś Torricelli jest pamiętany z astronomii teleskopowej zrobił to z Galileo i za jego wynalazek barometru. Nazwa "róg Gabriela" przywołuje wizje Archanioła Gabriela, dmuchającego w róg, aby ogłosić Dzień Sądu, łącząc w ten sposób nieskończoność z mocami Boga

Blaise Pascal (1623-1662), Omar Chajjam (1048-1131)

Jednym z najbardziej znanych wzorców liczb całkowitych w historii matematyki jest trójkąt Pascala. Blaise Pascal był pierwszym, który napisał traktat o tym postępie w 1654 r., Chociaż wzór ten znany był perskiemu poecie i matematykowi Omarowi Chajjamowi już w AD 1100, a nawet wcześniej matematykom z Indii i starożytnych Chin. Pierwsze siedem rzędów trójkąta Pascala przedstawiono w prawym górnym rogu. Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch powyżej. Matematycy omawiali rolę, jaką trójkąt Pascala odgrywa w teorii prawdopodobieństwa, w ekspansji dwumianów formy (x + y)ⁿ oraz w różnych zastosowaniach teorii liczb od lat. Matematyk Donald Knuth (ur. 1938) wskazał kiedyś, że istnieją tak wiele relacji i wzorców w trójkącie Pascala, że kiedy ktoś odkrywa nową tożsamość, nie ma już wielu ludzi, którzy się tym ekscytują, z wyjątkiem odkrywcy. Niemniej fascynujące badania ujawniły niezliczone cuda, w tym specjalne wzory geometryczne na przekątnych, istnienie idealnych kwadratowych wzorów o różnych właściwościach heksagonalnych oraz rozszerzenie trójkąta i jego wzorów na ujemne liczby całkowite i na wyższe wymiary. Gdy liczby parzyste w trójkącie zostaną zastąpione kropkami, a liczby nieparzyste przerwami, powstały wzór będzie fraktalem , ze złożonymi powtarzającymi się wzorami w różnych skalach wielkości. Te ligatury fraktalne mogą mieć praktyczne znaczenie, ponieważ mogą zapewnić modele dla naukowcy pomagają w tworzeniu nowych struktur o nowatorskich właściwościach. Na przykład w J 986 naukowcy stworzyli uszczelki druciane w skali wielkości mikrona prawie identyczne z trójkątem Pascala, z otworami na liczby nieparzyste. Powierzchnia ich najmniejszego trójkąta wynosiła około 1,38 mikrona do kwadratu, a naukowcy zbadali wiele niezwykłych właściwości ich nadprzewodzącej uszczelki w polu magnetycznym

William Neile (1637-1670), John Wallis (1616-1703)

W 1657 r. Brytyjski matematyk William Neile stał się pierwszą osobą, która "wyprostowała" lub znalazła długość łuku nietrywialnej krzywej algebraicznej. Ta specjalna krzywa jest nazywana parabolą półksiężycową, zdefiniowaną przez x³ = ay². Zapisany jako y = ±ax^3/2, łatwiej jest zobaczyć, jak można go uznać za "pół sześcienny", a stąd geneza terminu semicubic. Raport z pracy Neile'a pojawił się w D Cycloide brytyjskiego matematyka Johna Wallisa w 1659 r. Co ciekawe, jedynie długości łuku krzywych transcendentalnych, takich jak spirala logarytmiczna i cykloida, zostały obliczone przed 1659 r. Ponieważ próby naprawy elipsy i hiperboli zakończyły się niepowodzeniem , niektórzy matematycy, tacy jak francuski filozof i matematyk Rene Descartes (1596-1650), przypuszczali, że niewiele krzywych można naprawić. Jednak włoski fizyk i matematyk Evangelista TorricelIi (1608--1647) wyprostował spiralę logarytmiczną, która była pierwszą zakrzywioną linią (inną niż okrąg), której długość została określona. Cykloid był następną krzywą rektyfikowaną przez angielskiego geometra i architekta Sir Christopher Wren (1632-1723) w 1658 r. Około 1687 r. Holenderski matematyk i fizyk Christiaan Huygens (1629-1695) wykazał, że parabola półksiężycowa jest krzywą, wzdłuż której cząstka może opadać pod wpływem siły grawitacji, dzięki czemu porusza się w równych odległościach pionowych w równych czasach. Półprzewodnikowa parabola może być również wyrażona jako para równań: x = t² i y = at³. Biorąc pod uwagę tę postać, długość krzywej w funkcji to (1/27) x (4 + 9 t²)^3/23 = ax t², która umieszcza wierzchołek krzywej skierowany w dół wzdłuż osi y zamiast w lewo na osi x.

Vincenzo Viviani (1622-1703)

Umieść punkt w trójkącie równobocznym. Od tego miejsca narysuj linię po każdej stronie, aby te trzy linie były prostopadłe do każdej strony. Bez względu na to, gdzie umieścisz punkt, suma odległości prostopadłych od punktu do boków jest równa wysokości trójkąta. Twierdzenie to nosi imię włoskiego matematyka i naukowca Vincenzo Viviani. Galileusz był pod takim wrażeniem talentu Viviani, że zabrał go do swojego domu w Arcetri we Włoszech, jako współpracownika. Badacze znaleźli sposoby rozszerzenia twierdzenia Vivianiego na problemy, w których punkt znajduje się poza trójkątem, a także zbadali zastosowanie tego twierdzenia do dowolnego regularnego wielokąta n-stronnego. W tym przypadku suma prostopadłych odległości od punktu wewnętrznego do n boków jest n-krotnością apotemu wielokąta. (Apothem to odległość od środka do boku.) Twierdzenie to można również badać w większych wymiarach. Po śmierci Galileusza Viviani napisała biografię Galileusza i miał nadzieję opublikować pełne wydanie dzieł Galileusza. Niestety, Kościół zabronił tego wysiłku, który zaszkodził reputacji Viviani i był ciosem dla nauki w ogóle. Viviani opublikował włoską wersję Elementów Euklidesa w 1690 roku. Twierdzenie to jest nie tylko interesujące matematycznie ze względu na wiele różnych dowodów, twierdzenie to służy do nauczania dzieciom różnych aspektów geometrii. Niektórzy nauczyciele umieścili problem w realnym świecie, rzucając go w kontekście surfera, który utknął na wyspie w kształcie trójkąta równobocznego. Surferka chce zbudować chatę, w której suma odległości do boków jest minimalna, ponieważ surfuje po każdej z trzech plaż w jednakowym czasie. Uczniowie są bardzo zadowoleni z tego, że umieszczenie chaty nie ma znaczenia..

Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716)

Angielski matematyk Isaac Newton i niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz zwykle przypisuje się wynalezienie rachunku różniczkowego, ale różni wcześniejsi matematycy badali pojęcie stawek i limitów. zaczynając od starożytnych Egipcjan, którzy opracowali zasady obliczania objętości piramid i przybliżania obszarów kręgów. W XVI wieku zarówno Newton, jak i Leibniz zastanawiali się nad problemami stycznych, szybkości zmian, minimów, maksimów i nieskończenie małych (niewyobrażalnie małe ilości, które są prawie, ale nie całkiem zerowe). Obaj mężczyźni zrozumieli, że różnicowanie (znajdowanie stycznej do krzywej w punkcie - to znaczy linia prosta, która "dotyka" krzywej w tym punkcie) i całkowanie (znajdowanie obszaru pod krzywą) są procesami odwrotnymi. Odkrycie Newtona (1665-1666) rozpoczęło się od jego zainteresowania nieskończonymi kwotami; jednak bardzo wolno publikował swoje odkrycia. Leibniz opublikował swoje odkrycie rachunku różniczkowego w 1684 r. I rachunku całkowego w 1686 r. Powiedział: "Niegodni doskonałych ludzi, tracić godziny jak niewolnicy w obliczeniach… Mój nowy rachunek… oferuje prawdę rodzaj analizy i bez wysiłku wyobraźni. " Newton był oburzony. Przez wiele lat toczyły się debaty na temat podziału uznania za odkrycie rachunku różniczkowego, w wyniku czego postęp w rachunku różnił się. Newton jako pierwszy zastosował rachunek różniczkowy do problemów w fizyce, a Leibniz opracował znaczną część zapisu znanego z współczesnych rachunków różniczkowych. Dzisiaj rachunek różniczkowy i inwazyjny opanował każdą dziedzinę badań naukowych i odgrywa nieocenioną rolę w biologii, fizyce, chemii, ekonomii, socjologii i inżynierii oraz w każdej dziedzinie, w której zmienia się pewna ilość, na przykład prędkość lub temperatura. Rachunku można użyć do wyjaśnienia struktury tęczy, nauczenia nas, jak zarabiać więcej na giełdzie, kierować statkiem kosmicznym, prognozować pogodę, przewidywać wzrost populacji, projektować budynki i analizować rozprzestrzenianie się chorób. Rachunek spowodował rewolucję. Zmieniło to nasze spojrzenie na świat.

Isaac Newton (1642-1727)

Wykorzystanie technik obliczeniowych opartych na relacjach powtarzalności, w których każdy termin sekwencji jest zdefiniowany jako funkcja poprzedniego terminu, można prześledzić od początku matematyki. Babilończycy zastosowali takie techniki do obliczenia pierwiastka kwadratowego liczby dodatniej, a Grecy do przybliżenia liczby pi. Obecnie wiele ważnych specjalnych funkcji fizyki matematycznej można obliczyć za pomocą wzorów rekurencyjnych. Analiza numeryczna często dotyczy uzyskania przybliżonych rozwiązań trudnych problemów. Metoda Newtona jest jedną z najbardziej znanych metod numerycznych rozwiązywania równań formy f{x)=0, których niektóre rozwiązania mogą być trudne do znalezienia przy użyciu prostych metod algebraicznych. Problem znajdowania zer lub pierwiastków funkcji za pomocą tego rodzaju metod występuje często w nauce i inżynierii. Aby zastosować metodę Newtona, zaczynamy od numerycznego odgadnięcia rozwiązania pierwiastka, a następnie funkcja jest aproksymowana przez jej linię styczną, która jest linią prostą, która "dotyka" wykresu funkcji w jednym punkcie. Po określeniu przecięcia x tej linii, które jest często lepszym przybliżeniem pobliskiego pierwiastka niż początkowe przypuszczenie, metodę można powtórzyć (powtórzyć), aby uzyskać kolejno dokładne przybliżenia. Dokładna formuła metody Newtona to x_n+1 = x_n - f(x_n) / f′(x_n), gdzie symbol (′) wskazuje pierwszą pochodną funkcji f Gdy metoda jest stosowana do funkcji o złożonych wartościach, komputer Wersje graficzne są czasami używane w celu wskazania, gdzie można polegać na metodzie i gdzie zachowuje się dziwnie. Powstała grafika często ujawnia chaotyczne zachowanie i piękne fraktalne wzory. Ziarna matematyczne dla metody Newtona zostały opisane przez Izaaka Newtona w De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (O analizie przez równania z nieskończoną liczbą terminów), napisane w 1669 r. I opublikowane przez Williama Jonesa w 1711. W 1740 r. Brytyjski matematyk Thomas Simpson udoskonalił to podejście i opisał metodę Newtona jako iteracyjną metodę rozwiązywania ogólnych równań nieliniowych za pomocą rachunku różniczkowego.

Christiaan Huygens (1629-1695)

W XVI wieku matematycy i fizycy szukali krzywej, która określa kształt specjalnego rodzaju rampy. W szczególności obiekty umieszczane są na rampie, pojedynczo, i muszą ześlizgnąć się na sam dół, zawsze w tym samym czasie i bez względu na to, gdzie zaczynają się na rampie. Obiekty są przyspieszane przez grawitację i uważa się, że rampa nie ma tarcia. Holenderski matematyk, astronom i fizyk Christiaan Huygens odkrył rozwiązanie w 1673 roku i opublikował je w swoim Horologium oscillatoriumi (The Pendulum Clock). Technicznie rzecz biorąc, tautochron jest cykloidalny - to znaczy krzywą określoną przez ścieżkę punktu na krawędzi koła, gdy koło toczy się po linii prostej. Tautochron jest również nazywany brachistochronem w odniesieniu do krzywej, która daje obiektowi pozbawionemu tarcia najszybszą prędkość opadania, gdy obiekt zsuwa się z jednego pomta na drugi. Huygens próbował wykorzystać swoje odkrycie do zaprojektowania dokładniejszego zegara wahadłowego. Zegar wykorzystywał fragmenty powierzchni tautochronu w pobliżu miejsca, w którym sznurek obracał się, aby zapewnić, że sznurek podąża za optymalną krzywą, niezależnie od tego, gdzie wahadło zaczęło się kołysać. (Niestety, tarcie spowodowane powierzchniami spowodowało poważne błędy.) Moby Dick wspomniał o specjalnej właściwości tautochronu w dyskusji na temat próbnika, miski używanej do wytłaczania tłuszczu do produkcji oleju: "[Próbnik ] jest także miejscem do głębokiej medytacji matematycznej. To właśnie w lewostronnym naczyniu Pequod, z kamienistą pieczołowitością krążącą wokół mnie, najpierw zostałem pośrednio uderzony niezwykłym działaniem, że w geometrii wszystkie ciała ślizgają się wzdłuż na przykład cykloid, mój kamień steatytowy, zejdzie z dowolnego miejsca w tym samym czasie "

Ole Christensen Romer (1644-1710)

Astroid to krzywa z czterema guzkami, która jest wyznaczona przez punkt na kole, który toczy się jak koło zębate wzdłuż wnętrza większego koła. Ten większy okrąg ma czterokrotność średnicy małego koła. Astroid wyróżnia się różnorodnością znanych matematyków, którzy badali jego intrygujące właściwości. Krzywą tę po raz pierwszy zbadał duński astronom Ole Romer w 1674 r., W wyniku poszukiwań zębów przekładni o bardziej przydatnych kształtach. Szwajcarski matematyk Johann Bernoulli (1691), niemiecki matematyk Gottfried Leibniz (1715) i francuski matematyk Jean d'Alembert (1748) zafascynowali się krzywą. Astroid ma równanie x^2/3 + y^2/3 = R^2/3, gdzie R jest promieniem stacjonarnego koła zewnętrznego, a R/4 jest promieniem wewnętrznego koła tocznego. Długość astroida wynosi 6R, a pole to 3πR²/8. Co ciekawe, jego obwód 6R nie jest zależny od π, pomimo zaangażowania kół, które są wykorzystywane do generowania astroidu. W 1725 r. Matematyk Daniel Bernoulli odkrył, że astroid jest również śledzony przez wewnętrzny okrąg, który ma średnicę stałego koła. Innymi słowy, wykrywa to tę samą krzywą, co wewnętrzny okrąg z tylko y … średnicą większego. W fizyce krzywa astroida Stonera-Wohlfartha jest używana do scharakteryzowania różnych właściwości energii i magnetyzmu. USA Patent 4,987,984 opisuje zastosowanie astroidv w mechanicznych sprzęgłach rolkowych: "Krzywa astroidów zapewnia takie samo dobre rozproszenie naprężeń, jak w przypadku równoważnego łuku kołowego, chata usuwa mniej materiału bieżni krzywki, dając mocniejszą strukturę". Co ciekawe, linie styczne wzdłuż krzywej astroidu, gdy są przedłużane, aż dotkną osi X i Y, wszystkie mają tę samą długość. Możesz to sobie wyobrazić, wyobrażając sobie drabinę opierając się pod wszystkimi możliwymi kątami o ścianę, co wykrywa część krzywej astroidu.

Guillaume Francois Antoine, markiz de l′Hopital (1661-1704)

W 1696 r. Francuski matematyk markiz de l′Hopital opublikował pierwszy w Europie podręcznik rachunku różniczkowego, Analyze des infiniment petit., Pour I'intelligence des lignes courbes (Analiza nieskończenie małego, dla zrozumienia krzywych). Chciał, aby książka była narzędziem promującym zrozumienie technik rachunku różniczkowego. Rachunek został wynaleziony kilka lat wcześniej przez Izaaka Newtona i Gottfrieda Leibniza i udoskonalony przez braci Bernoulli, matematyków Jacoba i Johanna. Keith Devlin pisze: "W rzeczywistości, do czasu pojawienia się książki Humala, Newton, Leibniz i dwaj Bernoullowie byli całkiem nieźle jedynymi ludźmi na powierzchni ziemi, którzy wiedzieli wiele o rachunku różniczkowym". Na początku lat 90. XIX wieku I'Hopital zatrudnił Johanna Bernoulli'ego, aby uczył go rachunku różniczkowego. L'Hopital był tak zaintrygowany rachunkiem różniczkowym, że szybko się nauczył i wkrótce skonsolidował swoją wiedzę w swoim obszernym podręczniku. Rouse Ball pisze o książce l′Hopital: "zasługa stworzenia pierwszego traktatu wyjaśniającego zasady i zastosowanie metody wynika z l′Hopital…" Praca ta miała szeroki obieg; wprowadziła notację różnicową do ogólnego używać we Francji i pomógł rozpowszechnić go w Europie ". Oprócz swojego podręcznika I'Hopital jest znany z zawartej w jego książce zasady rachunku różniczkowego, służącej do obliczania wartości granicznej ułamka, którego licznik i mianownik zbliżają się do zera lub oba zbliżają się do nieskończoności. Początkowo planował karierę wojskową, ale słaby wzrok spowodował, że przeszedł na matematykę. Dziś wiemy, że I'Hopital w 1694 r. Płacił Bernoulliemu 300 franków rocznie, aby opowiedzieć mu o swoich odkryciach, które opisałem w swojej książce. W 1704 roku, po śmierci I'Hopital, Bernoulli zaczął mówić o umowie i twierdził, że wiele wyników w Analizy nieskończenie małego było dzięki niemu".

William Whiston (1667-1752)

Chociaż ta łamigłówka nie jest kamieniem milowym na równi z większością innych , ten mały klejnot z 1702 r. jest godny uwagi, ponieważ intrygował uczniów i dorosłych od ponad dwóch stuleci i jest metaforą tego, jak prosta matematyka może pomagają analitykom rozumować poza granicami własnej intuicji. Wyobraź sobie, że masz linę, która ściśle otacza równik koszykówki. Jak długo trzeba by zrobić linę, aby we wszystkich punktach znajdowała się jedna stopa od powierzchni koszykówki? Jak zgadujesz Następnie wyobraź sobie, że mamy linę wokół równika kuli wielkości Ziemi, co daje długość liny około 25 000 mil! Jak długo musiałbyś teraz robić linę, aby znajdowała się jedną stopę nad ziemią wokół równika? Odpowiedź, która jest zaskoczeniem dla większości ludzi, to 2π lub około 6,28 stopy zarówno dla koszykówki, jak i dla Ziemi, tylko o długości dorosłego mężczyzny. Jeśli R jest promieniem Ziemi, a 1 + R jest promieniem, w stopach, powiększonego koła, możemy porównać obwód liny przed (2πR) i po 2π(1 + R), co pokazuje różnica wynosi 2 stopy IT, niezależnie od promienia Ziemi lub koszykówki. Układanka bardzo podobna do tej pojawiła się w książce Williama Whistona The Elements of Euclid, napisanej w 1702 roku dla studentów. Whiston - angielski teolog, historyk i matematyk - był prawdopodobnie najbardziej znany ze swojej A New Theory of the Earth from its Original to the Consummation of All Things (1696), w której sugeruje, że powódź Noego był spowodowany przez kometę.

Jacob Bernoulli (1654-1705)

W 1713 r. Szwajcarski matematyk Jacob Bernoulli udowodnił swoje prawo wielkich liczb (LLN) w pośmiertnej publikacji Ars Coniectandi (The Art of Conieeluring). LLN jest twierdzeniem prawdopodobieństwa, które opisuje długoterminową stabilność zmiennej losowej. Na przykład, gdy liczba obserwacji eksperymentu (takich jak rzucanie monetą) jest wystarczająco duża, wówczas proporcja wyniku (np. Występowanie głów) będzie na przykład bliska prawdopodobieństwa wyniku, na przykład 0,5 Mówiąc bardziej formalnie, biorąc pod uwagę sekwencję niezależnych i identycznie rozmieszczonych zmiennych losowych o skończonej średniej populacji i wariancji, średnia z tych obserwacji zbliży się do teoretycznej średniej populacji. Wyobraź sobie, że rzucasz standardową sześciościenną kostką. Oczekujemy, że średnia z wartości uzyskanych przez podrzucanie będzie średnią lub 3,5. Wyobraź sobie, że pierwsze trzy rzuty mają miejsce na 1,2, i 6, dając średnią oB. Przy większej liczbie rzutów wartość średniej ostatecznie ustala się na oczekiwaną wartość 3,5. Operatorzy kasyn uwielbiają LLN, ponieważ mogą liczyć na stabilne wyniki w dłuższej perspektywie i mogą odpowiednio planować. Ubezpieczyciele polegają na LLN, aby radzić sobie i planować zmiany strat. W Ars Coniectandi Bernoulli szacuje udział białych kulek w urnie wypełnionej nieznaną liczbą czarnych i białych kulek. Wyciągając piłki z urny i "losowo" zastępując piłkę po każdym losowaniu, ocenia proporcję białych kulek na podstawie proporcji wylosowanych piłek, które są białe. Robiąc to wystarczająco dużo razy, zyskuje dowolną pożądaną dokładność oszacowania. Bernoulli pisze: "Gdyby obserwacje wszystkich wydarzeń miały być kontynuowane przez całą wieczność (a zatem ostateczne prawdopodobieństwo zmierzałoby do doskonałej pewności), wszystko na świecie byłoby postrzegane jako zdarzające się w ustalonych proporcjach ... Nawet w najbardziej przypadkowe ... zdarzenia, z pewnością uznalibyśmy ... pewien los. "

Leonhard Paul Euler (1707-1783)

David Darling, brytyjski pisarz naukowy, pisze, że liczba e jest "prawdopodobnie najważniejszą liczbą w matematyce. Chociaż pi jest bardziej znana laikowi, e jest znacznie bardziej znacząca i wszechobecna w wyższych zakresach przedmiotu". Liczba e, która jest w przybliżeniu równa 2,71828, może być obliczona na wiele sposobów. Na przykład jest to wartość graniczna wyrażenia (I + l / n) podniesiona do n-tej potęgi, gdy n wzrasta w nieskończoność. Chociaż matematycy tacy jak Jacob Bernoulli i Gottfried Leibniz byli świadomi stałej, szwajcarski matematyk Leonhard Euler był jednym z pierwszych, którzy intensywnie przestudiowali liczbę, i jako pierwszy użył symbolu e w listach napisanych w 1727 roku. W 1737 roku wykazał, że e jest irracjonalny - to znaczy nie można go wyrazić jako stosunek dwóch liczb całkowitych. W 1748 r. Obliczył 18 cyfr, a dziś znanych jest ponad 100 000 000 000 cyfr e. e stosuje się go w różnych obszarach, takich jak wzór na łańcuchowy kształt wiszącej liny wspartej na jej dwóch końcach, do obliczania odsetek złożonych oraz w wielu zastosowaniach w prawdopodobieństwie i statystyce. Pojawia się również w jednym z najbardziej niesamowitych związków matematycznych, jakie kiedykolwiek odkryto, ff "" + I = 0, który łączy pięć najważniejszych symboli matematyki: 1,0, "11", e i i (pierwiastek kwadratowy z minus jeden). Matematyk z Harvardu, Benjamin Pierce, powiedział: "nie możemy zrozumieć [formuły] i nie wiemy, co to znaczy, ale udowodniliśmy to i dlatego wiemy, że to musi być prawda". Kilka ankiet wśród matematyków umieściło tę formułę na szczycie listy najpiękniejszych formuł w matematyce. Kasner i Newman zauważają: "Możemy tylko odtworzyć równanie i nie przestać badać jego konsekwencji. W równym stopniu przemawia do mistyków, naukowców i matematyków ".

James Stirling (1692-1770)

W dzisiejszych czasach silnie są wszędzie w matematyce. Dla nieujemnych liczb całkowitych n, "n silnia" (zapisana jako n!), jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych dodatnich mniejszych lub równych n. Na przykład 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24. Notacja n! został wprowadzony przez francuskiego matematyka Christiana Krampa w 1808 roku. Czynniki są ważne w kombinatorykach, na przykład przy określaniu liczby różnych sposobów układania obiektów w sekwencji. Występują również w teorii liczb, prawdopodobieństwie i rachunku różniczkowym. Ponieważ wartości silni rosną tak bardzo (na przykład 70! Jest większa niż 10¹⁰⁰, a 25,206! jest większa niż 10^{100 000}), dogodne metody przybliżania dużych silni są niezwykle przydatne. Wzór Stirlinga, n! ≈ √2πe^-nn^n+1/2, zapewnia dokładne oszacowanie dla n silni. Tutaj symbol ≈ oznacza "w przybliżeniu równy", zaś e i π są stałymi matematycznymi e ≈ 2,71828 a π ≈ 3,14159. W przypadku dużych wartości n wyrażenie to daje jeszcze prostsze przybliżenie, ln(n!) ≈ nln(n) - n, które można również zapisać jako n! ≈ nⁿe^-n. W 1730 r. szkocki matematyk James Stirling przedstawił swoje przybliżenie dla wartość n! w jego najważniejszym dziele, Methodus Differentialis. Stirling rozpoczął karierę w matematyce pośród konfliktów politycznych i religijnych. Przyjaźnił się z Newtonem. ale większość swojego życia po 1735 roku poświęcił zarządzaniu przemysłowemu. Keith Ball pisze: "Moim zdaniem jest to jedno z najistotniejszych odkryć matematyki XVIII -wiecznej. Taka formuła daje nam wyobrażenie o zdumiewającej transformacji matematyki, która miała miejsce w XVII i XVIII wieku. Logarytmy były wynaleziony dopiero około 1600 r. Principia Newtona, określająca zasady rachunku różniczkowego, pojawiła się 90 lat później. W ciągu kolejnych 90 lat matematycy tworzyli formuły podobne do wzoru subtelności Stirlinga, który byłby niewyobrażalny bez sformalizowania rachunku różniczkowego. przestała być grą dla amatorów - stała się pracą dla profesjonalistów ".

Abraham de Moivre (1667-1754), Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

W 1733 r. Francuski matematyk Abraham de Moivre jako pierwszy opisał krzywą rozkładu normalnego lub prawo błędów w Approximatio ad summam tenninorum binomii (a + b)ⁿ in seriem expansi ("Approximation to the Sum of the Terms of a Binomial (a + b)ⁿ Expanded as a Series "). Przez całe życie de Moivre pozostawał biedny i zarabiał na boku, grając w szachy w kawiarniach. Normalna dystrybucja - zwana także dystrybucją Gaussa, na cześć Carla Friedricha Gaussa, który później badał krzywą - reprezentuje ważny nieprzewidywalny ciągły rozkład prawdopodobieństwa, który jest stosowany w polach CountIess, w których dokonywane są obserwacje. Obejmują one badania demografii populacji, statystyki zdrowia, pomiarów astronomicznych, dziedziczności, inteligencji, statystyki ubezpieczeń i wszelkich pola, w których występuje vanation w danych eksperymentalnych i obserwowanych cechach. W rzeczywistości, na początku XVIII wieku, matematycy zaczęli zdawać sobie sprawę, że ogromna liczba różnych pomiarów wykazuje zwykle podobną formę rozpraszania lub rozkładu. Rozkład normalny jest definiowany przez dwa kluczowe parametry, średnia (lub średnia) i odchylenie standardowe, które określają ilościowo rozpiętość lub zmienność danych. rozkład rmal, gdy jest wykreślany, jest często nazywany krzywą dzwonową ze względu na jego symetryczny kształt dzwonka z wartościami bardziej skoncentrowanymi w środku niż w ogonach po bokach krzywej. De Moivre badał rozkład normalny podczas swoich badań aproksymacji do rozkładu dwumianowego. co powstaje na przykład podczas eksperymentów z rzucaniem monetą. PierreSimon Laplace zastosował rozkład w 1783 r. Do badania błędów pomiarowych. Gauss zastosował go w 1809 r. Do badania danych astronomicznych. Antropolog Sir Francis Galton napisał o normalnym rozkładzie: "Nie znam prawie niczego, co mogłoby zaimponować wyobraźni, jak cudowna forma kosmicznego porządku wyrażona w" prawie częstotliwości błędów: prawo byłoby personifikowane przez Greków i ubóstwiany, gdyby o tym wiedzieli. Panuje w nim spokój i całkowite zniszczenie w najdzikszym zamieszaniu.

Leonhard Paul Euler (1707-1783), Lorenzo Mascheroni (1750-1800)

Stała Eulera-Mascheroniego, oznaczona literą grecką γ, ma wartość liczbową 0,5772157… Liczba ta łączy wykładnicze i logarytmy z teorią liczb i jest zdefiniowana przez granicę (1+1/2+1/3 +… + l/n - log n), gdy n zbliża się do nieskończoności. Zasięg γjest szeroki i szeroki, ponieważ odgrywa rolę w tak różnorodnych obszarach, jak nieskończone szeregi, iloczynach, prawdopodobieństwie i określone całkowe reprezentacje. Na przykład średnia liczba dzielników wszystkich liczb od 1 do n jest bardzo zbliżona do In n + 2γ - 1. Obliczanie &gamma nie cieszyło się takim samym zainteresowaniem publicznym jak obliczanie π, ale γ wciąż inspirowało wielu żarliwych wielbicieli. Chociaż obecnie znamy π do 1 241 100 000 000 miejsc po przecinku, w 2008 roku znanych było tylko około 10 000 000 000 miejsc γ. Wyliczanie γ jest znacznie trudniejsze niż π. Oto kilka pierwszych cyfr: 0,5772 1566490153286060651209008240243104215933593992… Ta stała matematyczna ma długą i fascynującą historię, podobnie jak inne znane stałe, takie jak π i e. Szwajcarski matematyk Leonhard Euler omówił - w artykule. "De Progressionibus hannonicis observationes" ("Obserwacje postępów harmonicznych"), opublikowany w 1735 r., ale w tym czasie był w stanie obliczyć go z dokładnością do sześciu miejsc po przecinku. W 1790 roku włoski matematyk i ksiądz Lorenzo Mascheroni obliczyli dodatkowe cyfry. Dziś nie wiemy, czy liczbę można wyrazić jako ułamek (w taki sposób, że liczbę taką jak 0.1428571428571 ... można wyrazić jako In). Julian Havil, który poświęcił całą książkę γ, opowiada o historiach, w których angielski matematyk C. H. Hardy zaproponował, że zrezygnuje z katedry Savilian w Oxfordzie każdemu, kto udowodni, że -nie można wyrazić ułamkiem.

Leonhard Paul Euler (1707-1783)

Teoria grafów to dziedzina matematyki, która dotyczy sposobu łączenia obiektów i często upraszcza problemy, przedstawiając je jako kropki połączone liniami. Jednym z najstarszych problemów teorii grafów jest siedem mostów w Królewcu w Niemczech (obecnie część Rosji). Ludzie ze starego Królewca uwielbiali spacerować wzdłuż rzeki, mostów i wysp. Na początku XVIII wieku ludzie wciąż zastanawiali się, czy można odbyć podróż przez wszystkie siedem mostów bez konieczności przekraczania jednego mostu więcej niż jeden raz i powrotu do miejsca początkowego. Wreszcie w 1736 r. Szwajcarski matematyk Leonhard Euler udowodnił, że taka wycieczka była niemożliwa. Euler przedstawiał mosty za pomocą wykresu, na którym obszary lądowe są reprezentowane przez kropki, a mosty liniami. Pokazał, że można przejść przez taki wykres, przechodząc przez każdy segment tylko raz, jeśli wykres ma mniej niż trzy wierzchołki nieparzystej wartościowości. (Wartościowość wierzchołka to liczba linii, które zaczynają się lub zatrzymują na wierzchołku.) Mosty w Królewcu nie miały właściwej charakterystyki graficznej; dlatego nie jest możliwe przechodzenie przez wykres bez przechodzenia przez linię więcej niż jeden raz. Euler uogólnił swoje ustalenia na podróże po dowolnej sieci mostów. Problem mostu w Królewcu jest ważny w historii matematyki, ponieważ rozwiązanie Eulera odpowiada pierwszemu twierdzeniu w teorii grafów. Obecnie teorię grafów stosuje się w niezliczonych dziedzinach, od badania ścieżek chemicznych i przepływu ruchu samochodowego po sieci społecznościowe użytkowników Internetu. Teoria grafów może nawet wyjaśnić, jak rozprzestrzeniają się choroby przenoszone drogą płciową. Bardzo proste reprezentacje Eulera dotyczące połączeń mostów, bez względu na specyfikę długości mostów, były prekursorem topologii, pola matematycznego dotyczącego kształtów i ich wzajemnych relacji.

Daniel Bernoulli (1700-1782)

Daniel Bernoulli, urodzony w Holandii szwajcarski matematyk, fizyk i lekarz, napisał fascynujący artykuł na temat prawdopodobieństwa, który został ostatecznie opublikowany w 1738 r. W komentarzach Cesarskiej Akademii Nauk w Sankt Petersburgu. W artykule opisano paradoks znany obecnie jako Paradoks Sankt Petersburski, który można wyrazić w postaci rzutów monetą i pieniędzy, które gracz ma otrzymać, w zależności od wyniku tych rzutów. Filozofowie i matematycy długo dyskutowali o tym, jaka powinna być uczciwa cena za dołączenie do gry. Ile byłbyś gotowy zapłacić za dołączenie do tej działalności? Oto jeden ze sposobów przeglądania scenariusza z St.Petersburga. Odwróć grosz, aż wyląduje na reszce. Całkowita liczba rzutów, n, określa nagrodę, która wynosi 2ⁿ$. Tak więc, jeśli grosz po raz pierwszy wyląduje na ogonach, nagroda wynosi 2¹$ = 2$, a gra się kończy. Jeśli grosz pojawia się po raz pierwszy, zostaje ponownie obrócony. Jeśli pojawi się reszka za drugim razem, nagroda wynosi 2² $, = 4 $, a gra się kończy. I tak dalej. Szczegółowa dyskusja na temat paradoksu tej gry wykracza poza zakres tej książki, ale zgodnie z teorią gry "racjonalny hazardzista" wszedłby do gry wtedy i tylko wtedy, gdy cena wejścia była niższa niż oczekiwana wartość finansowa wypłata. W niektórych analizach . Gra w St. Petersburgu, każda skończona cena wejścia jest niższa niż oczekiwana wartość gry, a racjonalny gracz może chcieć w nią grać, bez względu na to, jak wysokie ustalimy skończoną cenę wejścia. I Peter Bernstein komentuje głębię paradoksu Bernoulliego: " Jego praca jest jednym z najgłębszych dokumentów, jakie kiedykolwiek napisano, nie tylko na temat ryzyka, ale na temat także ludzkie zachowanie. Nacisk Bernoulliego na złożone powiązania między pomiarem a jelitami dotyczy niemal każdego spektrum życia. "

Christian Goldbach (1690-1764), Leonhard Paul Euler (1707-1783)

Czasami najtrudniejsze problemy matematyczne należą do najłatwiejszych i najłatwiejszych do stwierdzenia. W 1742 r. pruski historyk i matematyk Christian Goldbach przypuszczał, że każdą liczbę całkowitą większą niż 5 można zapisać jako sumę trzech liczb pierwszych, takich jak 21 = 11 + 7 + 3. (Liczba pierwsza jest liczbą większą niż ja, na przykład jako 5 lub 13, które można podzielić tylko przez siebie lub 1.) Zgodnie z ponownym wyrażeniem szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera, równoważna hipoteza (zwana hipotezą "silnego" Goldbacha) stwierdza, że wszystkie dodatnie liczby całkowite większe niż 2 można wyrazić jako suma dwóch liczb pierwszych. Aby promować powieść "Wujek Petros" i "Konsekwencja Goldbacha", gigant wydawniczy Faber i Faber zaoferowali nagrodę w wysokości 1 000 000 USD każdemu, kto udowodnił hipotezę Goldbacha między 20 marca 2000 r. a 20 marca 2002 r., ale nagroda nie została odebrana, a przypuszczenie pozostaje otwarte. W 2008 r. Tomas Oliveira e Silva, badacz z University of Aveiro, Portugalia, przeprowadził rozproszone wyszukiwanie komputerowe, które zweryfikowało przypuszczenie do 12 ⋅ 10¹⁷ Oczywiście żadna moc obliczeniowa nie może potwierdzić przypuszczenia dla każdej liczby; matematycy mają zatem nadzieję na prawdziwy dowód słuszności intuicji Goldbacha. W 1966 r. Chiński matematyk Chen Jing-Run poczynił pewne postępy, gdy udowodnił, że każda wystarczająco duża liczba parzysta jest sumą jednej liczby pierwszej, plus liczba, która jest iloczynem co najwyżej dwóch liczb pierwszych. Na przykład 18 jest równe 3 + (3 X 5). W 1995 r. Francuski matematyk Olivier Ramare wykazał, że każda liczba parzysta większa lub równa 4 jest sumą co najwyżej sześciu liczb pierwszych

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799)

Włoska matematyk Maria Agnesi jest autorką Instituzioni analitiche (Analytical Institutions), pierwszego obszernego podręcznika, który obejmował zarówno rachunek różniczkowy, jak i całkowy, oraz pierwszego ocalałego dzieła matematycznego napisanego przez kobietę. Holenderski matematyk Dirk Jan Struik nazwał Agnesi "pierwszą ważną matematyczką od czasów Hypatii (AD piąty wiek)". Agnesi była cudownym dzieckiem, mówiła w co najmniej siedmiu językach w wieku 13 lat. Przez większość swojego życia unikała interakcji społecznych i całkowicie poświęciła się nauce matematyki i religii. Clifford Truesdell pisze: "Poprosiła ojca, by został zakonnicą. Przerażony, że jego najdroższe dziecko może go opuścić, błagał ją, by zmieniła zdanie". Zgodziła się kontynuować życie z ojcem, o ile będzie mogła żyć we względnym odosobnieniu. Publikacja Instituzioni analitiche wywołała sensację w świecie akademickim. Komitet Academie des Sciences w Paryżu napisał: "Zmniejszenie umiejętności wymagało wielu umiejętności i mądrości … do prawie jednolitych metod odkrycia te rozrzucone były wśród dzieł współczesnych matematyków i często przedstawiane metodami bardzo różniącymi się od siebie. Porządek, jasność i precyzja panuje we wszystkich częściach tej pracy … Uważamy ją za najbardziej kompletny i najlepiej wykonany traktat. " Książka zawiera również omówienie krzywej sześciennej znanej obecnie jako Wiedźma Agnesi i wyrażonej jako y= 8a³ / (x² + 4a²). Prezydent Akademii Bolońskiej zaprosił Agnesi do przyjęcia Katedry Mathematyki na Uniwersytecie Bolońskim. Według niektórych relacji nigdy tak naprawdę nie pojechała do Bolonii, ponieważ w tym czasie całkowicie poświęciła się religii i działalności charytatywnej. Niemniej jednak uczyniło ją drugą kobietą, która została profesorem na uniwersytecie; pierwszym była Laura Bassi (1711-1778). Agnesi wydała wszystkie pieniądze na pomoc biednym i zmarła w całości w ubogim domu.

Leonhard Paul Euler (1707-1783), Rene Descartes (1596--1650), Paul Erdös (1913-1996)

Wzór Eulera dla wielościanów jest uważana za jedną z najpiękniejszych formuł w całej matematyce i jedną z pierwszych świetnych formuł topologii - badania kształtów i ich wzajemnych powiązań. Badanie przeprowadzone wśród czytelników Mathematical Intelligencer umieściło formułę jako drugą najpiękniejszą formułę w historii, drugą po Euler e^iπ + 1 = 0, omówioną w opisie Liczby Eulera, e (1727). W 1751 roku szwajcarski matematyk i fizyk Leonhard Euler odkrył, że każdy wypukły wielościan (obiekt o powierzchniach kapelusza i prostych krawędziach), o wierzchołkach V, krawędziach E i ścianach F, spełnia równanie V - E + F = 2. Wielościan jest wypukły, jeśli nie ma wgłębień ani otworów, lub bardziej formalnie, jeśli każdy segment linii łączący punkty wewnętrzne jest całkowicie zawarty we wnętrzu figury. Na przykład powierzchnia sześcianu ma sześć ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków. Wstawiając te wartości do wzoru Eulera, otrzymujemy 6 - 12 + 8 = 12. Dla dwunastościanu z jego 12 ścianami mamy 20 - 30 + 12 = 2. Co ciekawe, około 1639 r. Rene Descartes odkrył pokrewną wielościenną formułę, która może być przekonwertowany na formułę Eulera w kilku matematycznych krokach. Formuła wielościanu została później uogólniona do badania sieci i grafów, aby pomóc matematykom zrozumieć szeroki zakres kształtów z dziurami i w większych wymiarach. Ta formuła ułatwia również wiele praktycznych zastosowań, takich jak pomaganie specjalistom komputerowym w znajdowaniu sposobów ułożenia ścieżek w obwodach elektrycznych, a kosmolodzy zastanawiają się nad modelami kształtu naszego wszechświata. Euler jest drugim po Węgrzech Paulem Erdosem jako najbardziej płodnym matematykiem w historii pod względem liczby publikacji. Niestety Euler oślepł pod koniec życia. Jednak pisarz naukowy Bribsh David Darling zauważa: "wielkość jego twórczości wydawała się odwrotnie proporcjonalna do jakości jego wzroku, ponieważ jego tempo publikacji wzrosło po tym, jak prawie całkowicie stracił wzrok w 1766 roku"

Leonhard Paul Euler (1707-1783)

W 1751 r. Szwajcarski matematyk Leonhard Paul Euler postawił następujący problem pruskiemu matematykowi Christianowi Goldbachowi (1690-1764): Na ile sposobów E_n płaskiego wypukłego wielokąta n boków można podzielić na trójkąty po przekątnych? Lub, mówiąc bardziej nieformalnie: na ile sposobów możesz podzielić wielokątne ciasto na trójkąty, zaczynając od prostych cięć nożem w dół od jednego rogu, a kończąc na innym? Twoje cięcia nie mogą się przecinać. Wzór znaleziony przez Eulera była następująca: E_n = 2 ⋅ 6 ⋅ 10 …… (4n - 10) / (n - 1)! Wielokąt jest wypukły, jeśli dla każdej pary punktów należących do kształtu kształt zawiera cały segment linii prostej łączący dwa punkty. Autor i matematyk Heinrich Dorrie pisze: "Ten problem jest szczególnie interesujący, ponieważ wiąże się z wieloma trudnościami pomimo jego nieszkodliwego wyglądu, a wiele czytelnik odkryje. …" Sam Euler powiedział: Zastosowany przeze mnie proces indukcji był dość pracochłonny ... Na przykład dla kwadratu mamy E₄ = 2, co odpowiada dwóm przekątnym. Dla pięciokąta mamy E₅ = 5. W rzeczywistości wcześniejsi eksperymentatorzy byli skłonni do korzystania z reprezentacji graficznych, aby wyczuć rozwiązanie, ale to podejście wizualne wkrótce staje się trudne do rozwiązania wraz ze wzrostem liczby boków wielokąta. Zanim dojdziemy do 9-stronnego wielokąta, mamy 429 sposobów na podzielenie wielokąta na trójkąty przez przekątne. Problem podziału wieloboków przyciągnął wiele uwagi. W 1758 r. Matematyk CarpathoGerman Johann Andreas Segner (1704-1777) opracował wzór rekurencyjny do określania wartości: E_n = E₂E_n-1 + E₃E_n-2 + … + E_n-1 - E₂ . Formuła rekurencyjna to taka, w której każdy termin sekwencji jest zdefiniowany jako funkcja poprzednich terminów. Co ciekawe, wartości En są ściśle związane z inną klasą liczb zwaną liczbami Catallana (E_n = C_n-1). Liczby Catallana powstają w kombinatoryce, w dziedzinie matematyki związanej z problemami wyboru, układu i działania w systemie skończonym lub dyskretnym.

Abraham de Moivre (1667-1754), Leonhard Paul Euler (1707-1783), Adrien-Marie Legendre (1752-1833)

Aby stworzyć Wycieczki Rycerskie, szachy muszą skakać dokładnie raz na każde pole na szachownicy 8 x 8 podczas pełnej trasy. Różne rodzaje wycieczek rycerskich fascynują matematyków od stuleci. Najwcześniejsze zarejestrowane rozwiązanie dostarczył Abraham de Moivre, francuski matematyk lepiej znany z krzywej rozkładu normalnegoi jego twierdzeń o liczbach zespolonych. W swoim rozwiązaniu rycerz kończy zwiedzanie na kwadracie, który jest daleko od jego pozycji początkowej. Francuski matematyk AdrienMarie Legendre "poprawił" to i znalazł rozwiązanie, w którym pierwszy i ostatni kwadrat są jednym ruchem od siebie, tak więc trasa zamyka się w pojedynczej pętli 64 ruchów rycerza. Mówi się, że taka wycieczka jest reentrantem. Szwajcarski matematyk Leonhard Euler znalazł trasę powrotną, która odwiedza dwie połówki tablicy w całości. Euler jako pierwszy napisał artykuł matematyczny analizujący Wycieczki rycerskie.. Przedstawił artykuł Akademii Nauk w Berlinie w 1759 r., ale ten wpływowy artykuł nie został opublikowany aż do 1776 r. Co ciekawe, w 1759 roku Akademia zaproponowała nagrodę w wysokości 4000 franków za najlepsze wspomnienie z Wycieczek rycerskich, ale nagroda nigdy nie została przyznana, być może dlatego, że Euler był dyrektorem matematyki w berlińskiej Akademii i nie kwalifikował się do nagrody. Henry E. Dudeney przedstawił trasę po sześcianie w swojej książce Amusement in Mathematics, i sądzę, że oparł rozwiązanie (w którym każda twarz jest kolejno zwiedzana) na wcześniejszej pracy francuskiego matematyka Alexandre-Theophile Vandermonde (1735-1796). Odtąd właściwości Wycieczek rycerskich zostały dokładnie zbadane na szachownicach na powierzchniach cylindra, paska Mobius Strip, torusa i butelki Kleina, a nawet w większych wymiarach.

Thomas Bayes (ok. 1702-1761)

Twierdzenie Bayesa, sformułowane przez brytyjskiego matematyka i prezbiteriańskiego księdza Thomasa Bayesa, odgrywa fundamentalną rolę w nauce i można je sformułować prostym wzorem matematycznym stosowanym do obliczania prawdopodobieństw warunkowych. Prawdopodobieństwo warunkowe odnosi się do prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia A, biorąc pod uwagę wystąpienie innego zdarzenia B, zapisanego jako P(A|B). Twierdzenie Bayesa stwierdza: P(A|B)=[P(B|A) x P(A)]/P(B). Tutaj P(A) nazywa się wcześniejszym prawdopodobieństwem A, ponieważ jest to prawdopodobieństwo zdarzenia A bez uwzględnienia niczego, co wiemy o B. P(B|A) to warunkowe prawdopodobieństwo B, biorąc pod uwagę A. P(B) to wcześniejsze prawdopodobieństwo B Wyobraź sobie, że mamy dwa pudełka. Pudełko 1I ma 10 piłek golfowych i 30 piłek bilardowych. Pudełko 2 zawiera po 20 sztuk. Wybierasz losowo pudełko i wyciągasz piłkę. Zakładamy, że równie prawdopodobne jest wybranie piłek. Twoja piłka okazuje się być piłką bilardową. Jak prawdopodobne jest, że wybrałeś Pudełko 1? Innymi słowy, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrałeś Pudełko 1, biorąc pod uwagę, że masz w ręce piłkę bilardową? Zdarzenie A odpowiada Twojemu polu wyboru. Zdarzenie B to wybranie piłki bilardowej. Chcemy obliczyć P(A|B). P(A) wynosi 0,5 lub 50 procent. P(B) to prawdopodobieństwo wybrania piłki bilardowej niezależnie od jakichkolwiek informacji na polach. Jest on obliczany jako suma prawdopodobieństwa otrzymania piłki bilardowej ze skrzynki pomnożona przez prawdopodobieństwo wyboru pudełka. Prawdopodobieństwo wybrania piłki bilardowej z pola I wynosi 0,75. Prawdopodobieństwo wybrania jednego z pola 2 wynosi 0,5. Prawdopodobieństwo uzyskania ogólnej piłki bilardowej wynosi 0,75 x 0,5 + 0,5 x 0,5 = 0,625. P(B|A) lub prawdopodobieństwo otrzymania piłki bilardowej, biorąc pod uwagę, że wybrałeś pole I, wynosi 0,75. Możemy użyć wzoru Bayesa, aby ustalić, że prawdopodobieństwo wybrania przez Ciebie Pudełko 1, czyli P(A|B) = 0,6.

Benjamin Franklin (1706-1790)

Benjamin Franklin był naukowcem, wynalazcą, mężem stanu, drukarzem, filozofem , muzykiem i ekonomistą. W 1769 roku, w liście do kolegi, opisuje Magiczny kwadrat, który stworzył wcześniej w swoim życiu. Jego magiczny kwadrat 8 x 8 jest wypełniony cudownymi symetriami, o których pewnie Ben Franklin prawdopodobnie nie był świadomy. Każdy rząd i kolumna kwadratu ma sumę 260. Połowa każdego rzędu lub kolumny sumuje się do połowy 260. Ponadto każdy z wygiętych wierszy ma sumę 260. Zobacz dwa podświetlone szare kwadraty dla dwóch przykładów wygiętych rzędów. Zobacz kwadraty z grubymi czarnymi ramkami na przykład złamanego wygiętego rzędu (14 + 61 + 64 + 15 + 18 + 33 + 36 + 19), który również wynosi 260. Można znaleźć wiele innych symetrii - na przykład cztery kolejne liczby i cztery środkowe liczby sumują się do 260. Suma liczb w dowolnym kwadracie 2 x 2 wynosi 130, a suma dowolnych czterech liczb ułożonych w równej odległości od środka kwadratu równa się również 130. Po przeliczeniu na liczby binarne, znaleziono jeszcze więcej zaskakujących symetrii. Niestety, pomimo wszystkich cudownych symetrii, główne przekątne nie sumują się do 260, więc nie można tego ściśle zakwalifikować jako magiczny kwadrat zgodnie ze wspólną definicją, która obejmuje sumy przekątne. Nie wiemy, jaką metodą Franklin zbudował swoje kwadraty. Wiele osób próbowało złamać tajemnicę, ale do lat 90. nie można było znaleźć szybkiego przepisu, chociaż Franklin twierdził, że może wygenerować kwadraty tak szybko, jak potrafił napisać: W 1991 roku autor Lalbhai Patel wynalazł metodę konstruowania kwadratów Franklina. Chociaż metoda wydaje się dość długa, Patel wyszkolił się, aby szybko przeprowadzić procedurę. Na magicznym kwadracie Franklina znaleziono tak wiele wspaniałych wzorów, że ten kwadrat stał się metaforą dla obiektów matematycznych zawierających symetrie i inne właściwości, które wciąż odkrywane są długo po śmierci wynalazcy.

Leonhard Paul Euler (1707-1783), Jean Meusnier (1754-1793), Heinrich Ferdinand Scherk (1798-1885)

Wyobraź sobie, że wyjmujesz pierścień z drutu z wody z mydłem. Ponieważ pierścień zawiera błonę mydlaną w kształcie dysku, która ma mniejszą powierzchnię niż inne kształty, które hipotetycznie mogły powstać, matematycy nazywają tą powierzchnię minimalną powierzchnią. Bardziej formalnie, skończona minimalna powierzchnia jest często charakteryzowana jako posiadająca najmniejszy możliwy obszar ograniczony daną zamkniętą krzywą lub krzywymi. Średnia krzywizna powierzchni wynosi zero. Poszukiwanie przez matematyka minimalnych powierzchni i dowodów ich minimalności trwało ponad dwa stulecia. Minimalne powierzchnie z krzywymi ograniczającymi, które skręcają się do trzeciego wymiaru, mogą być zarówno piękne, jak i skomplikowane. W 1744 roku szwajcarski matematyk Leonhard Euler odkrył katenoid, pierwszy przykład minimalnej powierzchni poza zwykłymi przykładami, takimi jak obszary okrągłe. W 1776 r. Francuski geometria Jean Meusnier odkrył minimalną powierzchnię helikoidy. (Meusnier był także generałem wojskowym i projektantem pierwszego śmigłowego balonu w kształcie elipsy do noszenia ludzi). Kolejnej minimalnej powierzchni nie znaleziono aż do 1873 r. Niemiecki matematyk Heinrich Scherk. W tym samym roku belgijski fizyk Joseph Plateau przeprowadził eksperymenty, które doprowadziły go do przypuszczenia, że bańki mydlane zawsze tworzą minimalne powierzchnie. "Problem Plateau" dotyczy matematyki wymaganej do udowodnienia, że to prawda. (Plateau stał się ślepy w wyniku wpatrywania się w słońce przez 25 sekund w eksperymencie dotyczącym fizjologii wzroku). Nowsze przykłady obejmują minimalną powierzchnię Costa, którą po raz pierwszy opisał matematycznie w 1982 r. Brazylijski matematyk Celso Costa. Komputery i grafika komputerowa odgrywają obecnie istotną rolę w pomaganiu matematykom w tworzeniu i wizualizacji minimalnych powierzchni, z których niektóre mogą być dość skomplikowane. Powierzchnie Minimalne mogą pewnego dnia mieć wiele zastosowań w inżynierii materiałowej i nanotechnologii. Na przykład niektóre polimery po zmieszaniu tworzą interfejsy o minimalnej powierzchni. Znajomość kształtów interfejsów może pomóc naukowcom przewidzieć właściwości chemiczne takich mieszanin.

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788)

Nazwane na cześć słynnej z wielu kasyn dzielnicy Monako, metody Monte Carlo odgrywają kluczową rolę w matematyce i nauce oraz wykorzystują losowość w celu rozwiązania problemów, od statystyki reakcji łańcucha nuklearnego po regulację przepływów ruchu. Jedno z najwcześniejszych i najbardziej znanych zastosowań tej metody miało miejsce w XVIII wieku, kiedy francuski przyrodnik i matematyk Comte de Buffon wykazał, że przez kilkakrotne upuszczanie igły na kartkę papieru i liczenie, ile razy igła dotknęła linii, mógł uzyskać oszacowanie wartości stałej matematycznej pi (π = 3,1415…). W najprostszym przypadku wyobraź sobie, że upuszczasz wykałaczkę na podłogę z twardego drewna, a odstępy między liniami podłogi są równe długości wykałaczki. Aby oszacować liczbę pi z kropli wykałaczki, po prostu rozważ liczbę kropli i pomnóż ją przez 2, a następnie podziel przez liczbę przypadków, gdy wykałaczka dotknęła linii. Buffon był człowiekiem o wielu talentach. Jego 36-tomowa Histoire naturelle, generale et Partuliere (Historia naturalna; Ogólna i szczególna) zawiera wszystko, co wiadomo o świecie przyrody i wpłynęło na Charlesa Darwina i teorię ewolucji. Obecnie potężne komputery mogą generować ogromne ilości liczb pseudolosowych na sekundę i pozwalają naukowcom w pełni wykorzystać metody Monte Carlo w celu zrozumienia problemów w ekonomii, fizyce, chemii, prognozowaniu struktury białek, tworzeniu galaktyki, sztucznej inteligencji, terapii przeciwnowotworowej, zapasach prognozowanie, eksploracja szybów naftowych, projektowanie aerodynamicznych kształtów oraz problemy w czystej matematyce, dla których nie są dostępne żadne inne metody. W czasach współczesnych matematycy i fizycy, tacy jak Stanisław Ulam, John von Neumann, Nicholas Metropolis i Enrico Fermi, zwrócili uwagę świata na świat. Fermi zastosował to podejście do badania propemów neutronu. Metody Monte Carlo mają kluczowe znaczenie dla symulacji wymaganych dla Manhattan Project, amerykańskiego programu rozwoju bomby atomowej podczas II wojny światowej.

Leonhard Paul Euler (1707-1783), Gaston Tarry (1843-1913)

Rozważy sześć pułków wojskowych, z których każdy składa się z sześciu oficerów różnych stopni. W 1779 r. Leonhard Euler zapytał, czy możliwe jest rozmieszczenie tych 36 oficerów w układzie kwadratowym 6 x 6, tak aby jeden oficer z każdego z sześciu pułków pojawił się w każdym rzędzie, a jeden z każdego z sześciu stopni pojawił się w każdej kolumnie. W języku matematyki problem ten jest równoznaczny ze znalezieniem dwóch wzajemnie prostopadłych kwadratów łacińskich rzędu sześciu. Euler poprawnie przypuszczał, że nie ma rozwiązania, a francuski matematyk Gaston Tarry udowodnił to w 1901 r. Przez wieki problem doprowadził do znacznych prac w kombinatoryce, w dziedzinie matematyki związanej z wyborem i rozmieszczeniem przedmiotów. Kwadraty łacińskie odgrywają również rolę w kodach korygujących błędy i komunikacji. Kwadrat łaciński składa się z n zestawów liczb, od 1 do n, ułożonych w taki sposób, że żaden wiersz lub kolumna nie zawiera tych samych dwóch liczb. Liczby kwadratów łacińskich rozpoczynających się od rzędu n = 1 wynoszą 1,2,12,576,161,280,812,851,200,61,479,419,904,000, 108 776 032,459,082,956,800 i tak dalej. Mówi się, że para kwadratów łacińskich jest ortogonalna, jeśli pary n² utworzone przez zestawienie dwóch tablic są różne. (Łączenie w sobie odnosi się do łączenia dwóch liczb w celu utworzenia uporządkowanej pary). Euler przypuszczał, że jeśli n = 4k + 2, gdzie k jest dodatnią liczbą całkowitą, to nie istnieje para ortogonalnych n x n kwadratów łacińskich. Ta hipoteza nie została rozstrzygnięta przez ponad sto lat, aż do 1959 r., Kiedy to matematycy Bose, Shikhande i Parker zbudowali parę prostokątnych kwadratów łacińskich 22 x 22. Dziś wiemy, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n istnieje para ortogonalnych n x n kwadratów łacińskich, z wyjątkiem n = 2 i n = 6.

Fujita Kagen (1765-1821)

Tradycja znana jako Sangaku, czyli "japońska geometria świątynna", powstała w japońskim okresie izolacji od Zachodu, mniej więcej w latach 1639-1854. Matematycy, fani, samurajowie, kobiety i dzieci rozwiązali trudne problemy z geometrią i zapisali rozwiązania na tabliczkach. Te kolorowe tabliczki zostały następnie zawieszone pod dachy świątyń. Przetrwało ponad 800 tabliczek, a wiele z nich ma problemy z kołami stycznymi. W 1789 r. Japoński matematyk Fujita Kagen opublikował Shimpeki Sampo (Problemy matematyczne zawieszone przed świątynią), pierwszy zbiór problemów Sangaku. Najstarsza zachowana tabliczka pochodzi z 1683 roku, chociaż inne dokumenty historyczne odnoszą się do przykładów już w 1668 roku. Większość Sangaku dziwnie różni się od typowych problemów z geometrią występujących w podręcznikach, ponieważ miłośnicy Sangaku zwykle mieli obsesję na punkcie kół i elips. Niektóre problemy Sangaku są tak trudne, że fizyk Tony Rothman i pedagog Hidetoshi Fukagawa piszą: "Geometria nowoczesna niezmiennie rozwiązuje je za pomocą zaawansowanych metod, w tym rachunku różniczkowego i afinicznego." Jednak unikając rachunku różniczkowego. Problemy Sangaku były w zasadzie wystarczająco proste, aby dzieci mogły je rozwiązać przy pewnym wysiłku. Chad Boutin pisze: "Być może nie jest zaskakujące, że Sudoku - liczba zagadek, nad którymi wszyscy wydają się pracować w tych dniach - po raz pierwszy stała się popularna w Japonii, zanim rozprzestrzeniła się po oceanie. , kiedy zagorzali entuzjaści posunęli się, aby wrzucić najpiękniejsze rozwiązania geometryczne do precyzyjnie ilustrowanych drewnianych tabliczek, zwanych Sangaku ... "

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Wchodzisz do jaskini z cudownymi stalaktytami wystającymi z sufitu. Można oczekiwać, że istnieje korelacja między długością stalaktytu a jego wiekiem, chociaż związek między tymi dwiema zmiennymi może nie być dokładny. Nieprzewidywalne wahania temperatury i wilgotności prawdopodobnie wpływają na wzrost. Jednak przy założeniu, że istnieją chemiczne lub fizyczne metody szacowania wieku stalaktytu, z pewnością istnieje pewien trend między wiekiem a długością, który pozwala nam dokonywać przybliżonych prognoz. Metoda najmniejszych kwadratów odegrała kluczową rolę w nauce w wyjaśnianiu i wizualizowaniu takich trendów, a dziś metoda jest dostępna w większości statystycznych pakietów komputerowych, które rysują linie lub wygładzają krzywe za pomocą hałaśliwych danych eksperymentalnych. Najmniejsze kwadraty to matematyczna procedura znajdowania krzywej "najlepiej dopasowanej" dla danego zestawu punktów danych poprzez minimalizację sumy kwadratów przesunięć punktów z krzywej. W 1795 roku niemiecki matematyk i naukowiec Carl Friedrich Gauss, w wieku 18 lat, zaczął opracowywać analizę metodą najmniejszych kwadratów. Zademonstrował wartość swojego podejścia w 1801 roku, kiedy przewidział przyszłe położenie asteroidy Ceres. Jako tło włoski astronom Giuseppe Piazzi (1746-1826) odkrył Ceres w 1800 r., Ale później asteroida zniknęła za słońcem i nie mogła zostać przeniesiona. Austriacki astronom Franz Xaver von Zach (1754-1832) zauważył, że "bez inteligentnej pracy i obliczeń doktora Gaussa nie moglibyśmy ponownie znaleźć Ceres". Co ciekawe, Gauss trzymał swoje metody w tajemnicy, aby utrzymać przewagę nad współczesnymi i poprawić swoją reputację. Później w swoim życiu czasami publikował wyniki naukowe jako szyfr, aby zawsze mógł udowodnić, że dokonał różnych odkryć, zanim inni to zrobili. Gauss ostatecznie opublikował swoją tajną metodę najmniejszych kwadratów w 1809 r. w swojej Teorii ruchu ciał niebieskich

Johann Carl Friedrich Ganss (1777-1855)

W 1796 roku, gdy Gauss był jeszcze nastolatkiem, odkrył sposób na zbudowanie regularnego 17-bocznego wielokąta, znanego również jako heptadekagon, przy użyciu prostej linii i cyrkla. Opublikował wynik w swojej monumentalnej pracy z 1801 r., Disquisitiones Arithmeticae (Disquisitiones Arithmetic). Konstrukcja Gaussa była bardzo znacząca, ponieważ od czasu Euklidesa podejmowano jedynie nieudane próby. Przez ponad 1000 lat matematycy umieli konstruować za pomocą cyrkla i prostej, regularne n-gony, w których n było wielokrotnością 3, 5, i potęgami 2. Gauss był w stanie dodać więcej wielokątów do tej listy, a mianowicie tych o największej liczbie boków postaci 2²ⁿ +1, gdzie n jest liczbą całkowitą. Możemy utworzyć listę kilku pierwszych takich liczb: F₀ = 3, F₁ = 5, F₂=17, F₃ = 257 i F₄ = 65 537. (Liczby w tej postaci są znane również jako liczby Fermata i niekoniecznie są pierwsze.) W 1832 roku zbudowano 257-gon. Kiedy był starszy, Gauss nadal uważał swoje 17-gonowe odkrycie za jedno ze swoich największych osiągnięć. 17-gon zostanie umieszczony na jego nagrobku. Według legendy kamieniarz odmówił, stwierdzając, że trudna konstrukcja zasadniczo sprawiłaby, że 17-gon wyglądałby jak koło. Rok 1796 był pomyślny dla Gaussa, kiedy jego pomysły tryskały jak fontanna z węża pożarowego. Oprócz rozwiązania konstrukcji heptadekagonu (30 marca) Gauss wynalazł arytmetykę modułową i przedstawił swoją kwadratową zasadę wzajemności (8 kwietnia) i twierdzenie o liczbie pierwszej (31 maja). Udowodnił, że każda dodatnia liczba całkowita jest reprezentowana jako suma co najwyżej trzech liczb trójkątnych (10 lipca). Odkrył także rozwiązania wielomianów o współczynnikach w polach skończonych (1 października). Jeśli chodzi o heptadekagon, Gauss powiedział, że był "zdumiony", że tak niewiele odkryto w odniesieniu do budowy wielokąta od czasów Euklidesa.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Fundamentalne twierdzenie algebry (FTA) jest wyrażone w kilku formach, z których jedna jest taka, że każdy wielomian stopnia n ≥ 1 , z rzeczywistymi lub złożonymi współczynnikami, ma rzeczywiste lub złożone pierwiastki. Innymi słowy, wielomian P(x) stopnia n ma n wartości x_i (niektóre z nich prawdopodobnie są powtarzane), dla których P(x_i) = 0. Jako tło wielomianowe równania stopnia n mają postać P(x) = a_nxⁿ + a a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0 gdzie a_n ≠ 0. Jako przykład rozważmy kwadratowy wielomian f(x) = x² - 4. Po wykreśleniu krzywa jest parabolą, a jej minimum wynosi x = - 4. Wielomian ma dwa różne rzeczywiste pierwiastki (x = 2 i x = - 2 ), które są graficznie postrzegane jako punkty, w których parabola przecina oś x. Twierdzenie to jest godne uwagi, częściowo ze względu na samą liczbę prób udowodnienia go poprzez historię. Niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss jest zwykle przypisywany pierwszemu dowodowi ITA, odkrytemu w 1797 r. W swojej pracy doktorskiej, opublikowanej w 1799 r., Przedstawił swój pierwszy dowód, który koncentrował się na wielomianach o rzeczywistych współczynnikach, a także na jego sprzeciwach wobec inne poprzednie próby dowodów. Zgodnie z dzisiejszymi standardami dowód Gaussa nie był rygorystycznie kompletny, ponieważ polegał na ciągłości niektórych krzywych, ale była to znacząca poprawa w stosunku do wszystkich poprzednich prób dowodu. Gauss uznał ITA za bardzo ważne, o czym świadczy jego wielokrotny powrót do problemu. Jego czwarty dowód znajduje się w ostatniej pracy, jaką kiedykolwiek napisał, która ukazała się w 1849 r., Dokładnie 50 lat po rozprawie. Należy zauważyć, że Jean-Robert Argand (1768-1822) opublikował rygorystyczny dowód na podstawowe twierdzenie algebry w 1806 r. Dla wielomianów o złożonych współczynnikach. ITA powstaje w wielu obszarach matematyki, a różne dowody obejmują pola, od abstrakcyjnej algebry i złożonej analizy do topologii.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Stephen Hawking pisze: "Kiedy Gauss rozpoczął pracę nad swą epokową Disquisrtlones Arithmeticae (Arithmetic Disquisitions), teoria liczb była jedynie zbiorem izolowanych wyników ... W Disquisitiones wprowadził pojęcie zgodności i czyniąc to zunifikowaną teorią liczb." Gauss opublikował to monumentalne dzieło w wieku 24 lat. Disquisitiones obejmuje arytmetykę modułową, która opiera się na relacjach zgodności. Dwie liczby całkowite p i q to "przystające modulo liczby całkowite s" wtedy i tylko wtedy, gdy (p - q) jest równomiernie podzielne przez s. Taka zgodność jest zapisywana jako p ≡ q (mod s). Za pomocą tej zwartej notacji Gauss ponownie sformułował i udowodnił słynne twierdzenie o kwadratowej wzajemności, które kilka lat wcześniej zostało niekompletnie udowodnione przez francuskiego matematyka AdrienMarie Legendre (1752-1833). Rozważmy dwie różne nieparzyste liczby pierwsze, p i q. Rozważmy stwierdzenia: (1) p jest kwadrat mod q, a (2) q jest kwadratem mod p. Zgodnie z twierdzeniem: jeśli oba p i q są przystające do 3 (mod 4), to dokładnie jeden z (1) i (2) jest prawdziwy; w przeciwnym razie oba (1) i (2) są prawdziwe lub żaden z nich nie jest prawdziwy. (Kwadrat jest liczbą całkowitą, którą można zapisać jako kwadrat jakiejś innej liczby całkowitej, takiej jak 25, która wynosi 5²) Zatem to twierdzenie łączy rozwiązywalność dwóch powiązanych równań kwadratowych w arytmetyce modułowej. Gauss poświęcił większą część swojej książki na dowód tego twierdzenia. Uważał to ukochane twierdzenie o kwadratowej wzajemności za "złote twierdzenie" lub "klejnot arytmetyki", które tak zafascynowały Gaussa, że w ciągu swojego życia przedstawił osiem odrębnych dowodów. Matematyk Leopold Kronecker powiedział: "To naprawdę zdumiewające, że samotny mężczyzna w tak młodym wieku był w stanie [przedstawić tak głębokie i dobrze zorganizowane podejście do zupełnie nowej dyscypliny". W Disquisitiones, podejście Gaussa do dostarczania twierdzeń, a następnie dowodów, następstw i przykładów zostało wykorzystane przez kolejnych autorów. Odkrycia były zarodkiem, z którego rozkwitało dzieło wielu wiodących dziewiętnastowiecznych teoretyków liczb

Joseph Huddart (1741-1816)

Dzisiejszym wspólnym kątomierzem jest instrument służący do konstruowania i mierzenia kątów na płaszczyźnie oraz do rysowania linii pod różnymi kątami. Kątomierz ten przypomina półkolisty dysk oznaczony stopniami, od 0^o do 180^o. W XVII wieku kątomierze zaczęły być używane jako samodzielne przyrządy, a nie jako części innych urządzeń, gdy żeglarze używali ich na mapach oceanicznych. W 1801 r. Joseph Huddart, angielski kapitan marynarki wojennej. wynalazł trójramienny kątomierz do kreślenia pozycji łodzi na mapach nawigacyjnych. Ten rodzaj kątomierza wykorzystuje dwa zewnętrzne ramiona, które mogą obracać się względem nieruchomego ramienia środkowego. Dwa obrotowe ramiona mogą być zaciśnięte, dzięki czemu można je ustawić pod ustalonymi kątami. W 1773 roku Huddart pracował dla Kompanii Wschodnioindyjskiej, żeglując na Wyspie St. Helena na Oceanie Południowoatlantyckim i Bencooleen na Sumatrze. Podczas swojej podróży dokonał szczegółowych badań zachodniego wybrzeża Sumatry. Jego mapa St George′s Channel z 1778 roku, połączenie Morza Irlandzkiego z północą i Oceanem Atlantyckim z południowego zachodu było arcydziełem jasności i dokładności. Oprócz swojej późniejszej sławy jako wynalazcy trójramiennego kątomierza, zasugerował także stosowanie znaków wysokiej wody w londyńskich dokach, wciąż używanych do lat 60. XX wieku. Wynalazł napędzane parą urządzenia do produkcji lin, które wyznaczają standardy jakości przy produkcji lin. W 1916 r. Biuro Hydrograficzne Stanów Zjednoczonych wyjaśniło użycie swojego kątomierza: "Aby wykreślić pozycję, obserwowane są dwa kąty między trzema wybranymi [znanymi obiektami J ustawionymi na instrumencie, które następnie przesuwa się nad wykresem, aż trzy fazowane krawędzie przechodzą odpowiednio i jednocześnie przez trzy obiekty. Środek przyrządu zaznacza wówczas pozycję statku. który może zostać nakłuty na mapie lub zaznaczony ołówkiem przez środkowy otwór. "

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

Szeregi Fouriera są dziś przydatne w niezliczonych aplikacjach, od analizy drgań po przetwarzanie obrazu - praktycznie w każdym polu, w którym ważna jest analiza częstotliwości. Na przykład szereg Fouriera pomaga naukowcom scharakteryzować i lepiej zrozumieć skład chemiczny gwiazd lub sposób, w jaki układ głosowy wytwarza mowę. Zanim francuski matematyk Joseph Fourier odkrył swój słynny szereg, towarzyszył Napoleonowi w jego wyprawie do Egiptu w 1789 roku, gdzie Fourier spędził kilka lat studiując egipskie artefakty. Badania Fouriera nad matematyczną teorią ciepła rozpoczęły się około 1804 r., kiedy wrócił do Francji, a w 1807 r. ukończył swój ważny pamiętnik o propagacji ciepła w ciałach stałych. Jednym z jego zainteresowań była dyfuzja ciepła w różnych kształtach. W przypadku tych problemów badaczom zwykle podaje się temperatury w punktach na powierzchni, a także na jej krawędziach, w czasie t = 0. Fourier wprowadził serię z wyrazami sinus i cosinus w celu znalezienia rozwiązania tego rodzaju problemów. Mówiąc bardziej ogólnie, stwierdził, że dowolna funkcja różniczkowalna może być reprezentowana z dowolną dokładnością przez sumęfunkcji sinus i cosinus, bez względu na to, jak dziwnie może wyglądać funkcja po wykreśleniu. Biografowie Jerome Ravetz i I. Grattan-Guiness zauważają: "Osiągnięcie Fouriera można zrozumieć przez [rozważenie] potężnych narzędzi matematycznych, które wynalazł dla rozwiązań równań, które dały długą serię potomków i wywołały problemy w analizie matematycznej, które bardzo motywowały wiodących prac w tej dziedzinie przez resztę stulecia i później ". Brytyjski fizyk Sir James Jeans (1877-1946) zauważył: "Twierdzenie Fouriera mówi nam, że każda krzywa, bez względu na jej naturę, lub w jaki sposób został pierwotnie uzyskany, może być dokładnie odtworzony poprzez nałożenie wystarczającej liczby prostych krzywych harmonicznych - w skrócie, każdą krzywą można zbudować poprzez ułożenie fal ".

Pierre-Simon, markiz de Laplace (1749-1827)

Pierwszym ważnym traktatem o prawdopodobieństwie łączącym teorię prawdopodobieństwa i rachunek różniczkowy był francuski matematyk i astronom Pierre-Simon Laplace Theorie Analytique des Probabilites (Analytical Theory prawdopodobieństw). Teoretycy prawdopodobieństwa koncentrują się na zjawiskach losowych. Chociaż pojedynczy rzut kostką można uznać za zdarzenie losowe, po wielu powtórzeniach widoczne są pewne wzorce statystyczne, które można badać i wykorzystywać do prognozowania. Pierwsze wydanie Theorie Analytique Laplace'a było poświęcone Napoleonowi Bonaparte i omawia metody znajdowania prawdopodobieństw zdarzeń złożonych na podstawie prawdopodobieństw składowych. Książka omawia również metodę najmniejszych kwadratów i Igła Buffona i rozważa wiele praktycznych zastosowań. Stephen Hawking nazywa Theorie Analytique "arcydziełem" i pisze: "Laplace stwierdził, że ponieważ świat jest zdeterminowany, nie może być żadnych rzeczy. Prawdopodobieństwo skutkuje brakiem naszej wiedzy". Według Laplace'a nic nie byłoby "niepewne" dla wystarczająco zaawansowanego bytu - modelu konceptualnego, który pozostał silny aż do powstania mechaniki kwantowej i teorii chaosu w XX wieku. Aby wyjaśnić, w jaki sposób procesy probabilistyczne mogą dawać przewidywalne wyniki, Laplace prosi czytelników, aby wyobrazili sobie kilka urn ułożonych w CIrcle. Jedna urna zawiera tylko czarne kule, a druga zawiera tylko białe kule. Pozostałe urny mają różne mieszanki kulkowe. Jeśli wycofamy piłkę, umieścimy ją w sąsiedniej urnie i będziemy kontynuować koło, ostatecznie stosunek czarnych do białych kulek będzie w przybliżeniu taki sam we wszystkich urnach. Tutaj Laplace pokazuje, jak losowe "siły naturalne" mogą tworzyć wyniki o przewidywalności i porządku. Laplace pisze: "Zadziwiające jest to, że nauka, która powstała przy rozważaniu gier losowych, powinna stać się najważniejszym przedmiotem ludzkiej wiedzy. Najważniejsze pytania dotyczące życia są dla większości części, naprawdę tylko problemy prawdopodobieństwa. "Inni znani probabiliści to Gerolamo Cardano (1501-1576), Pierre de Fermat (1601-1665), Blaise Pascal (1623-1662) i Andriej Nikłajewicz Kołmogorow (1903-1987).

Książę Rupert z Renu (1619-1682), Pieter Nieuwland (1764-1794)

Problem księcia Ruperta ma długą i fascynującą historię. Książę Rupert był wynalazcą, artystą i żołnierzem. Biegle posługiwał się praktycznie wszystkimi głównymi językami europejskimi i znał doskonale matematykę. Żołnierze bali się dużego pudla, który zabierał ze sobą podczas bitew, wierząc, że ma nadprzyrodzone moce. W 1600 roku książę Rupert zadał słynne geometryczne pytanie: Jaki jest największy drewniany sześcian, który może przejść przez dany sześcian o boku długości jednego cala? A dokładniej, jaki jest rozmiar R krawędzi największego tunelu (o kwadratowym przekroju), który można wykonać przez sześcian bez jego łamania? Dziś wiemy, że odpowiedź to R = 3√2 / 4 = 1.060660…Innymi słowy, sześcian o długości boku R cala (lub mniejszej) może przejść przez sześcian o boku o długości I cala. Książę Rupert wygrał zakład, że można zrobić dziurę w jednym z dwóch jednakowych rozmiarów kostek wystarczająco dużych, aby drugi sześcian mógł się przez nie prześlizgnąć. Wielu uważało, że nie można tego osiągnąć. Chociaż pierwsza publikacja problemu księcia Ruperta została napisana przez Johna Wallisa (1616--1703) w jego 1685 De Algebra Tractatus, rozwiązanie 1.060660 nie było znany do chwili, gdy holenderski matematyk Pieter Nieuwland rozwiązał go ponad sto lat po tym, jak książę Rupert zadał to pytanie. Jego rozwiązanie zostało opublikowane pośmiertnie w 1816 r. przez jego nauczyciela Jana Hendrika van Swindena, który znalazł rozwiązanie Nieuwlanda wśród swoich prac. Jeśli trzymasz kostkę, tak aby jeden przybysz skierował się w twoją stronę, zobaczysz zwykły sześciokąt. Największy kwadrat, który przeciska się przez sześcian, ma powierzchnię, którą można wpisać w ten sześciokąt. Jak informują matematycy Richard Guy i Richard Nowakowski, największa kostka, która może przechodzić przez hipersześcian ma krawędź 1,007434775 … co jest pierwiastkiem kwadratowym z 1,014924 ..., najmniejszym pierwiastkiem z 4x⁴ - 28³ - 7x² + 16x + 16.

Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846)

Niemiecki matematyk Friedrich Bessel, który nie miał formalnego wykształcenia po ukończeniu 4 roku życia, rozwinął funkcje Bessela w 1817 r. Do wykorzystania w swoich badaniach ruchu planet poruszających się pod wzajemną grawitacją. Bessel uogólnił wcześniejsze ustalenia matematyka Daniela Bernoulli (1700-1782). Od czasu odkryć Bessela jego funkcje stały się niezbędnymi narzędziami w szerokim zakresie matematyki i inżynierii. Autor Boris Korenev pisał, "duża liczba różnorodnych problemów dotyczących praktycznie wszystkich najważniejszych dziedzin fizyki matematycznej i różnorodnych problemów technicznych związana jest z funkcjami Bessela. "Rzeczywiście, różne aspekty teorii funkcji Bessela są wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów związanych z przewodzeniem ciepła, hydrodynamiką , dyfuzja, przetwarzanie sygnałów, akustyka, fizyka radiowa i antenowa, wibracje płyt, oscylacje w łańcuchach, naprężenia, które ewoluują w pobliżu pęknięć materiałów, ogólnie propagacja fal oraz fizyka atomowa i jądrowa. W teorii elastyczności funkcje Bessela są przydatne do rozwiązywania licznych problemy przestrzenne wykorzystujące współrzędne sferyczne lub cylindryczne. Funkcje Bessela są rozwiązaniami specyficznych równań różniczkowych, a po wykreśleniu funkcje przypominają falujące, zanikające fale sinusoidalne. Na przykład w przypadku równania falowego obejmującego okrągłą membranę, taką jak głowica bębna, jedna klasa rozwiązań obejmuje funkcje Bessela, a rozwiązanie fali stojącej można wyrazić jako funkcję Bessela, która jest funkcją odległości r od środka do krawędzi membrany. W 2006 r. Naukowcy z japońskiego Akishima Laboratories i Uniwersytetu w Osace oparli się na teorii funkcji Bessela, aby stworzyć urządzenie wykorzystujące fale do rysowania rzeczywistego tekstu i zdjęć na powierzchni wody. Urządzenie o nazwie AMOEBA (Advanced Multiple Organised Experimental Basin) składa się z 50 generatorów fal wodnych otaczających cylindryczny zbiornik o średnicy 1,6 metra i głębokości 30 cm. AMOEBA jest w stanie przeliterować cały alfabet rzymski. Każde zdjęcie lub litera pozostaje na powierzchni wody tylko przez chwilę, ale można je tworzyć kolejno co kilka sekund.

Charles Babbage (1792-1871), Augusta Ada King, hrabina Lovelace (1815-1852)

Charles Babbage był angielskim analitykiem, statystykiem i wynalazcą, który również interesował się tematem cudów religijnych. Kiedyś napisał: "Cuda nie są naruszeniem ustalonych praw, ale… wskazują na istnienie znacznie wyższych praw". Babbage argumentował, że cuda mogą wystąpić w mechanistycznym świecie. Tak jak Babbage mógł sobie wyobrazić programowanie dziwnych zachowań na swoich maszynach liczących, tak Bóg mógł programować podobne nieprawidłowości w naturze. Badając cuda biblijne, zasugerował, że szansa na powstanie człowieka z martwych wynosi 1 na 1012. Babbage jest często uważany za najważniejszego inżyniera matematyka zajmującego się prehistorią komputerów. W szczególności słynie z ogromnego, ręcznie obróconego mechanicznego kalkulatora, wczesnego przodka naszych współczesnych komputerów. Babbage myślał, że urządzenie będzie najbardziej przydatne w tworzeniu tabel matematycznych, ale martwił się błędami, które popełnialiby ludzie, którzy przepisywali wyniki z metalowych kół wyjściowych. Dziś zdajemy sobie sprawę, że Babbage wyprzedził swój wiek o około sto lat i że polityka i technologia jego epoki były nieodpowiednie dla jego wzniosłych marzeń. Silnik różnicowy Babbage'a, rozpoczęty w 1822 r., Ale nigdy nie ukończony, został zaprojektowany do obliczania wartości funkcji wielomianowych przy użyciu około 25 000 części mechanicznych. Miał też plany stworzenia bardziej ogólnego komputera, silnika analitycznego, który mógłby być programowany przy użyciu kart dziurkacza i miał osobne obszary do przechowywania liczb i obliczeń. Esllmates sugeruje, że silnik analityczny zdolny do przechowywania 1000 liczb 50-cyfrowych miałby długość ponad 100 stóp (około 30 metrów). Ada Lovelace, córka angielskiego poety Lorda Byrona, podała specyfikacje programu dla silnika analitycznego. Chociaż Babbage udzielał pomocy Adzie, wielu uważa, że Ady jest pierwszym programistą komputerowym. W 1990 roku powieściopisarze William Gibson i Bruce Sterling napisali The Difference Engine, w którym poprosili czytelników o wyobrażenie sobie konsekwencji mechanicznych komputerów Babbage'a dla społeczeństwa wiktoriańskiego.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

Amerykański matematyk William Waterhouse pisze: "Rachunek w 1800 roku był w dziwnym stanie. Nie było wątpliwości, że było poprawne. Matematycy o wystarczających umiejętnościach i wnikliwości odnieśli sukces od stu lat. Jednak nikt nie potrafił jasno wyjaśnić, dlaczego to zadziałało… .. Potem przyszedł Cauchy. " W swoim życiorysie "Resume des lefons sur Ie calcul infinitesimal" (Resume of Lessons on Infinitesimal Calculus) płodny matematyk Augustin Cauchy przedstawia rygorystyczny rozwój rachunku różniczkowego i współczesnego dowodu na podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego, które elegancko łączy dwie główne gałęzie rachunku rachunek różniczkowy (różniczkowy i całkowy) w jednej strukturze. Cauchy zaczyna swój traktat od jasnej definicji pochodnej. Jego mentor, Francuski matematyk Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) zastanawiał się nad wykresami krzywych i uważał pochodną za styczną do krzywej. Aby ustalić pochodną, Lagrange szukał wzorów pochodnych w razie potrzeby. Stephen Hawking pisze: "Cauchy wykroczył daleko poza Lagrange'a i zdefiniował pochodną f przy x jako granica ilorazu różnicy Δy/Δx = [f(x+1) - f(x)]/i", gdy i zbliża się do zera, co jest naszą współczesną, niegeometryczną definicją pochodnej. Podobnie przez wyjaśnienie pojęcia całka w rachunku całkowym, Cauchy wykazał Podstawowe Twierdzenie Rachunku, które ustanawia sposób, w jaki możemy obliczyć całkę f(x) od x = a do x = b dla dowolnej funkcji ciągłej f. W szczególności, Podstawowe Twierdzenie Rachunku stwierdza, że jeśli f jest funkcją całkowitą w przedziale [a, b], a jeśli H(x) jest całką f{x) od a do x ≤ b, to pochodna H(x) jest identyczna z f(x). Innymi słowy, H′ (x) = f(x). Waterhouse konkluduje: "Cauchy tak naprawdę nie założył nowych fundacji; zmiótł cały kurz, aby odsłonić cały gmach kamienia, który już stał na skale. ... "

August Ferdinand Möbius (1790-1868)

Niemiecki matematyk August Ferdinand Möbius, znany ze swojej jednostronnej pętli zwanej pasmem Mobiusa, również wniósł duży wkład w matematykę za pomocą rachunku barycentrycznego, geometrycznej metody określania punktu jako środka ciężkości niektórych innych punktów, dla których współczynniki lub wagi są przypisane. Możemy myśleć o współrzędnych barycentrycznych Mobiusa (lub środkowych) jako współrzędnych w odniesieniu do trójkąta odniesienia. Współrzędne te są zwykle zapisywane jako trzykrotne liczby, które można wizualizować jako odpowiadające masom umieszczonym na wierzchołkach trójkąta. W ten sposób masy te określają punkt, który jest geometrycznym środkiem masy trzech mas. Nowe narzędzia algebraiczne, opracowane przez Mobiusa w jego książce z 1827 r. Der Barycentrische Calcul (The Barycentric Calculus), od tego czasu mają szerokie zastosowanie. Ta klasyczna książka również omawia powiązane tematy w geometrii analitycznej, takie jak transformacje rzutowe. Słowo barycentryczny pochodzi od greckiego słowa "ciężki" i odnosi się do środka masy. Möbius zrozumiał, że kilka ciężarków ustawionych wzdłuż prostego drążka można zastąpić pojedynczym ciężarem w środku masy drążka. Na podstawie tej prostej zasady skonstruował system matematyczny, w którym współczynniki numeryczne są przypisane do każdego punktu w przestrzeni. Współrzędne barycentryczne są dziś traktowane jako forma współrzędnych ogólnych, które są stosowane w wielu gałęziach matematyki i grafice komputerowej. Wiele zalet współrzędnych barycentrycznych występuje w dziedzinie geometrii rzutowej, która dotyczy incydentów - to znaczy, gdy elementy takie jak linie, płaszczyzny i punkty albo się pokrywają, albo nie. Geometria rzutowa dotyczy również relacji między obiektami i odwzorowaniami, które wynikają z rzutowania obiektów na inną powierzchnię, którą można zwizualizować jako cienie obiektów stałych.

Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski (1792-1856), Janos Bolyai (l802-1860), Georg Friedrich Bernhard Riemann (l826-1866)

Od czasów Euklidesa (ok. 325-270 p.n.e.) tak zwany postulat równoległy wydawał się rozsądnie opisywany, jak działa nasz trójwymiarowy świat. Zgodnie z tym postulatem, biorąc pod uwagę linię prostą i punkt nie na tej linii, istnieje tylko jedna linia prosta przechodząca przez punkt, który nigdy nie przecina linii pierwotnej. Z biegiem czasu sformułowania geometrii nieeuklidesowej, w których ten postulat się nie utrzymuje, miały dramatyczne konsekwencje. Einstein powiedział o geometrii innej niż euklidesowa: "Do tej interpretacji geometrii przywiązuję wielką wagę, ponieważ gdybym się z nią nie zapoznał, nigdy nie byłbym w stanie rozwinąć teorii względności". W rzeczywistości. Ogólna teoria względności Einsteina reprezentuje czasoprzestrzeń jako geometrię nieeuklidesową, w której czasoprzestrzeń faktycznie wypacza się lub wygina w pobliżu ciał grawitacyjnych, takich jak słońce i planety. Można to zobrazować wyobrażając sobie, jak kula do kręgli tonie w gumowym prześcieradle. Jeśli umieścisz marmur w zagłębieniu utworzonym przez rozciągnięty arkusz gumy i popchniesz marmur na boki, to krąży on przez chwilę na kuli do kręgli, jak planeta krążąca wokół Słońca. W 1829 r. rosyjski matematyk Mikołaj Łobaczewski opublikował O zasadach geometrii, w którym wyobrażał sobie idealnie spójną geometrię wynikającą z założenia, że równoległy postulat jest fałszywy. Kilka lat wcześniej węgierski matematyk Janos Bolyai pracował nad podobną nieeuklidesową geometrią, ale jego publikacja została opóźniona do 1932 r. W 1854 r. Niemiecki matematyk Bernhard Riemann uogólnił ustalenia Bolyaia i Łobaczewskiego, pokazując, że możliwe są różne geometrie nieeuklidesowe , biorąc pod uwagę odpowiednią liczbę wymiarów. Riemann zauważył kiedyś: "Wartość geometrii nieeuklidesowej polega na jej zdolności do wyzwolenia nas z uprzednio przyjętych pomysłów w przygotowaniu na czas, gdy eksploracja praw fizycznych może wymagać geometrii innej niż euklidesowa". Jego przewidywania zrealizowano później za pomocą ogólnej teorii względności Einsteina.

August Ferdinand Möbius (1790-1868)

W 1831 r. August Möbius wprowadził swoją egzotyczną funkcję Möbiusa, dziś zapisaną jako μ(n). Aby zrozumieć tę funkcję, wyobraź sobie umieszczenie wszystkich liczb całkowitych w jednej z trzech dużych skrzynek pocztowych. Pierwsza skrzynka pocztowa jest pomalowana dużą cyfrą "0", druga cyfrą "+1." i trzecią cyfrą "-1". W skrzynce pocztowej 0 Möbius umieszcza wielokrotności liczb kwadratowych (innych niż 1), w tym (4, 8 ,9 , 12 , 16, 18 …). Liczba kwadratowa to liczba taka jak 4,9 lub 16, która jest kwadratem innej liczby całkowitej. Na przykład μ(12) = 0, ponieważ 12 jest wielokrotnością liczby kwadratowej 4 i dlatego jest umieszczana w skrzynce pocztowej "0". W skrzynce pocztowej -1 Möbius umieszcza dowolną liczbę, która uwzględnia nieparzystą liczbę różnych liczb pierwszych liczb. Na przykład 5 x 2 x 3 = 30, więc 30 znajduje się na tej liście, ponieważ ma te trzy czynniki pierwsze. Wszystkie liczby pierwsze również znajdują się na tej liście, ponieważ same mają tylko jeden czynnik pierwszy. Zatem μ( 29) = -1 i μ(30) = -1. Prawdopodobieństwo, że liczba spadnie do skrzynki pocztowej -1 okazuje się równe 3/π² - to samo prawdopodobieństwo, co do wpadnięcia do skrzynki pocztowej +1. Przejdźmy dalej do skrzynki pocztowej +1 , w której Möbius umieszcza wszystkie liczby , takie jak 6, ten czynnik w parzystej liczbie różnych liczb pierwszych (2 x 3 = 6). Dla kompletności Möbius umieścił 1 na tym pojemniku. Liczby w tej skrzynce pocztowej obejmują (1, 6, 10, 14, IS, 21,22, …). Pierwszych 20 terminów cudownej funkcji Möbiusa to μ(n) = {1, - 1, - 1, 0, -1, 1, -1, 0 ,0, 1, -1, 0, -1, 1, 1,0, -1,0, -1,0} . Dziwnie, naukowcy znaleźli praktyczne zastosowania funkcji Möbiusa w różnych fizycznych interpretacjach teorii cząstek subatomowych. Funkcja Möbiusa jest również fascynująca, ponieważ prawie wszystko w jej zachowaniu jest nierozwiązane i ponieważ istnieje wiele eleganckich matematycznych tożsamości, które obejmują μ(n).

Evariste Galois (1811-1832)

Francuski matematyk Evariste Calois był odpowiedzialny za teorię Galois, ważną gałąź algebry abstrakcyjnej, i słynął z wkładu w teorię grup, która dotyczy matematycznego badania symetrii. W szczególności w 1832 r. Opracował metodę określania, kiedy ogólne równanie może zostać rozwiązane przez rodniki, tym samym w istocie. dając początek nowoczesnej teorii grup Martin Cardner pisze: "W 1832 r. został zabity strzałem z pistoletu. Nie miał jeszcze 21 lat. Pewne wczesne fragmentaryczne prace wykonano na grupach, ale to Galois stworzył podstawy współczesnej teorii grup i nawet nazwał to, wszystko w długim, smutnym liście, który napisał do przyjaciela w noc poprzedzającą jego pojedynek pistoletowy ". Jednym kluczowym aspektem grupy jest to, że jest to zestaw elementów z operacją, która łączy dowolne dwa jej elementy, tworząc trzeci element w tym zestawie. Weźmy na przykład zestaw liczb całkowitych i operację dodawania, które razem tworzą grupę. Dodanie dwóch liczb całkowitych zawsze daje liczbę całkowitą. Obiekt geometryczny można scharakteryzować za pomocą grupy zwanej grupą symetrii, która określa cechy symetrii obiektu. Ta grupa zawiera zestaw transformacji, które pozostawiają obiekt bez zmian po zastosowaniu. Dzisiaj ważne tematy teorii grup są często ilustrowane uczniom używającym Kostki Rubika. Okoliczności, które doprowadziły do śmierci Calois, nigdy nie zostały w pełni wyjaśnione. Być może jego śmierć wynikła z kłótni o kobietę lub z powodów politycznych. W każdym razie, przygotowując się do końca, spędził noc gorączkowo opisując swoje matematyczne pomysły i "odkrycia". Następnego dnia Calois został trafiony w brzuch. Leżał bezradnie na ziemi. Nie było lekarza, który by mu pomógł, a zwycięzca od niechcenia odszedł, zostawiając Calois wić się w agonii. Jego matematyczna reputacja i dziedzictwo spoczywa na mniej niż 100 stronach genialnie opublikowanego pośmiertnie dzieła.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

Pierwsze oświadczenie o Zasadzie Szufladki zostało wypowiedziane przez niemieckiego matematyka Johanna Dirichleta w 1834 r., Chociaż nazwał je Schubfachprinzip ("Zasada szuflady"). Wyrażenie "Zasada Szuflady" zostało po raz pierwszy użyte w poważnym czasopiśmie matematycznym przez matematyka Raphaela M. Robinsona w 1940. Mówiąc wprost, jeśli mamy m gołębników i n gołębi, możemy być pewni, że co najmniej jeden gołębnik ma więcej niż jednego gołębia, jeśli n > m. To proste stwierdzenie zostało zastosowane w aplikacjach, od kompresji danych komputerowych po problemy obejmujące nieskończone zestawy, których nie można umieścić w korespondencji jeden do jednego. Zasada Szuflady została również uogólniona do zastosowań probabilistycznych, dzięki czemu jeśli n gołębi zostanie losowo umieszczonych w m szufladach z jednakowym prawdopodobieństwem 1/m, to co najmniej jedna szuflada pomieści więcej niż jednego gołębia z prawdopodobieństwem 1- m!/ [(m - n )!mⁿ]. Rozważmy kilka przykładów, które mogą wykazywać nieintuicyjne wyniki. Z powodu zasady szuflady, w Nowym Jorku muszą być co najmniej dwie osoby z taką samą liczbą włosów na głowie. Niech włosy będą reprezentowane jako szuflady, a ludzie jak gołębie. Miasto Nowy Jork ma ponad 8 milionów ludzi, a ludzka głowa ma znacznie mniej niż milion włosów; dlatego co najmniej dwie osoby muszą istnieć z taką samą liczbą włosów na głowie. Papier o wymiarach banknotu dolarowego ma kolor niebieski i czerwony na jednej powierzchni. Czy zawsze można znaleźć dwa punkty tego samego koloru w odległości dokładnie jednego cala od siebie na takiej powierzchni, bez względu na to, jak misternie zabarwiona jest powierzchnia? Aby rozwiązać, narysuj trójkąt równoboczny o krawędziach 1 cala. Traktuj kolory jak szuflady, a wierzchołki trójkąta jak gołębie. Co najmniej dwa z jego wierzchołków muszą być tego samego koloru. Dowodzi to, że dwa punkty tego samego koloru muszą istnieć dokładnie w odległości jednego cala.

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)

Kwaterniony są liczbami czterowymiarowymi opracowanymi w 1843 r. przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona. Od tego czasu kwaterniony są używane do opisania dynamiki ruchu w trzech wymiarach i stosowane w takich dziedzinach, jak grafika komputerowa do rzeczywistości wirtualnej, programowanie gier wideo, przetwarzanie sygnałów, robotyka, bioinformatyka i badania geometrii czasoprzestrzeni. Oprogramowanie lotu promu kosmicznego wykorzystuje kwaterniony do obliczeń nawigacji, nawigacji i kontroli wysokości, ze względu na szybkość, zwartość i niezawodność. Pomimo potencjalnej użyteczności kwaternionów, niektórzy matematycy byli początkowo sceptyczni. Szkocki fizyk William Thomson (1824-1907) napisał: "Kwaterniony przybyły od Hamiltona po tym, jak jego naprawdę dobra robota została wykonana, i choć pięknie pomysłowe, były niezmieszanym złem dla tych, którzy ich w jakikolwiek sposób dotknęli". Z drugiej strony, inżynier i matematyk Oliver Heaviside napisał w 1892 roku: "Wynalazek kwaternionów należy uznać za najbardziej niezwykły wyczyn ludzkiej pomysłowości. Analizy wektorowe, bez kwaternionów, każdy matematyk mógłby znaleźć ... nasze kwaterniony przerodziły się w geniusz". Co ciekawe, Theodore Kaczyński ("Unabomber") napisał skomplikowane traktaty matematyczne o kwaternionach, zanim zaczął szaleństwo zabijania. Kwartiony mogą być reprezentowane w czterech wymiarach przez Q = a₀ + a₁i + a₂j + a₃k, gdzie i, j oraz k są (podobnie jak liczba urojona i) wektorami jednostkowymi w trzech ortogonalnych (prostopadłych) kierunkach i są one prostopadłe do osi liczb rzeczywistych. Aby dodać lub pomnożyć dwa kwaterniony, traktujemy je jako wielomiany w i, i i k, ale stosujemy następujące reguły do obsługi iloczynów : i² = j² =k² = -1 ; ij = - ji = k; jk = - kj = i; i ki = -ik = j. Hamilton mówi nam, że pokroił te formuły w kamień mostu Brougham w Dublinie, idąc razem z żoną, po tym, jak pomysły pojawiły się w mgnieniu oka.

Joseph Liouville (1809-1882), Charles Hermite (1822-1901), Ferdynand von Lindemann (1852-1939)

W 1844 roku francuski matematyk Joseph Liouville rozważył następującą interesującą liczbę: 0.110001000000000000000001000 …, znaną dziś jako stała Liouville. Czy potrafisz odgadnąć jego znaczenie lub jaką zasadę stworzył? Liouville wykazał, że jego niezwykła liczba była transcendentalna, co czyni tę liczbę jedną z pierwszych, która została udowodniona, transcendentalną. Zauważ, że stała ma 1 w każdym miejscu dziesiętnym odpowiadające silni, a zera gdzie indziej. Oznacza to, że 1-nki występuje tylko w 1-szym, 2-gim, 6-tym, 24-tym, 120-tym, 720-tym, itd. miejscu. Liczby transcendentalne są tak egzotyczne, że zostały "odkryte" stosunkowo niedawno w historii i być może znasz tylko jeden z nich, π, a być może liczba Eulera, np. Liczb tych nie można wyrazić jako pierwiastek żadnego równania algebraicznego o współczynnikach wymiernych. Oznacza to na przykład, że π nie może dokładnie spełnić równań takich jak 2x⁴ - 3x² + 7 = 0. Trudne jest udowodnienie, że liczba jest transcendentalna. Francuski matematyk Charles Hermite udowodnił, że e jest transcendentalny w 1873 r., a niemiecki matematyk Ferdinand von Lindemann udowodnił, że π był transcendentalne w 1882 r. W 1874 r. niemiecki matematyk Georg Cantor zaskoczył wielu matematyków, wykazując, że "prawie wszystkie" liczby rzeczywiste są transcendentalne. Tak więc, jeśli potrafisz jakoś włożyć wszystkie liczby do dużego słoika, potrząsnąć słojem i wyciągnąć jedną, byłoby praktycznie pewne, że jest transcendentalna. Jednak pomimo faktu, że liczby transcendentalne są "wszędzie", tylko kilka jest znanych i nazwanych. Na niebie jest wiele gwiazd, ale ile możesz wymienić? Oprócz zajęć matematycznych Liouville interesował się polityką i został wybrany do francuskiego zgromadzenia konstytucyjnego w 1848 r. Po późniejszej porażce wyborczej Liouville popadł w depresję. Jego matematyczne wędrówki przeplatały poetyckie cytaty. Niemniej jednak w ciągu swojego życia Liouville napisał ponad 400 poważnych prac matematycznych.

Eugene Charles Catalan (1814-1894), Preda Mihailescu (ur. 1955)

Zwodniczo proste wyzwania z udziałem liczb całkowitych mogą wprawić w zakłopotanie nawet najbardziej błyskotliwych matematyków. Tak jak w przypadku ostatniego twierdzenia Fermata, mogą minąć stulecia, zanim proste domysły dotyczące liczb całkowitych zostaną udowodnione lub obalone. Niektóre problemy mogą nigdy nie zostać rozwiązane, nawet przy połączonym wysiłku ludzi i komputerów. Aby przygotować scenę dla zrozumienia przypuszczenia Catalana, rozważ kwadraty liczb całkowitych (liczb całkowitych) większe niż 1, to znaczy 4, 9,16,25, ... a także rozważ kolejność kostek, 8, 27, 64 , 125 .... po połączeniu dwóch list i uporządkowaniu ich, otrzymujemy 4,8,9, 16,25,27, 36, .... Zauważ, że 8 (sześcian 2) i 9 ( kwadrat z 3) są kolejnymi liczbami całkowitymi. W 1844 r. Belgijski matematyk Eugene Catalan przypuszczał, że 8 i 9 są jedynymi potęgami liczb całkowitych następujących po sobie! Gdyby istniały inne takie pary, można by je znaleźć, szukając wartości całkowitych, dla których x^p - y^q = 1 jest prawdziwe, oraz wartości x, y, p i q są większe niż 1. Catalan wierzył, że istnieje tylko jedno rozwiązanie: 3² - 2³= 1 . Ta historia przypuszczenia Catalana ma barwną obsadę postaci. Setki lat przed Catalanem Francuz Levi ben Gerson (1288-1 344) - lepiej znany jako Gersonides lub Ralbag- wykazali już bardziej ograniczoną wersję przypuszczenia, mianowicie, że jedynymi potęgami 2 i 3, które różnią się między mną, są 3² i 2³ Ralbag był znanym rabinem, filozofem, matematykiem i talmudystą. Przejdźmy do 1976 roku, kiedy Robert Tijdeman z University of Leiden w Holandii wykazał, że gdyby istniały przykłady innych następujących po sobie potęg, to musiałyby one być skończone. Wreszcie w 2002 roku Preda Mihailescu z Uniwersytetu w Paderbom w Niemczech udowodniła przypuszczenie Catalana.

James Joseph Sylvester (1814-1897), Arthur Cayley (1821-1895)

W 1850 r. Brytyjski matematyk James Sylvester w swojej pracy "O nowej klasie twierdzeń" jako pierwszy użył słowa macierz, odnosząc się do prostokątnego układu lub tablicy elementów, które można dodawać i mnożyć. Macierze są często używane do opisania układu równań liniowych lub po prostu do przedstawienia informacji zależnej od dwóch lub więcej parametrów. Uznanie za zaniżenie i zidentyfikowanie pełnego znaczenia właściwości algebraicznych macierzy przypisuje angielski matematyk Arthur Cayley za późniejszą pracę nad macierzami w 1855 r. Ponieważ Cayley i Sylvester cieszyli się wieloletnią bliską współpracą, często są uważani za wspólnych założycieli teorii macierzy. Chociaż teoria macierzy rozkwitła w połowie XIX wieku, proste koncepcje macierzy sięgają czasów przed narodzinami Chrystusa, kiedy Chińczycy znali Magiczne kwadraty, a także zaczęli stosować metody macierzowe do rozwiązywania równań. W XVI wieku japoński matematyk Seki Kowa (w 1683 r.) I niemiecki matematyk Gottfried Leibniz (w 1693 r.) Również zapoznali się z wczesnym użyciem macierzy. Zarówno Sylvester, jak i Cayley studiowali w Cambridge, ale Sylvester nie kwalifikował się do uzyskania dyplomu, ponieważ był Żydem, chociaż zajął drugie miejsce w egzaminach matematycznych Cambridge. Przed Cambridge. Sylvester uczęszczał do Royal Institution w Liverpoolu, gdzie studenci dręczyli go za swoją religię, co spowodowało, że uciekł do Dublina. Cayley pracował jako prawnik przez ponad dekadę, publikując około 250 artykułów matematycznych. Podczas swojego pobytu w Cambridge opublikował kolejne 650 artykułów. Cayley jako pierwszy wprowadził mnożenie macierzy. Obecnie matryce stosuje się w wielu obszarach, w tym do szyfrowania i deszyfrowania danych, manipulacji obiektami w grafice komputerowej (w tym gier wideo i obrazowania medycznego), rozwiązywania układów równań liniowych, kwantowo-mechanicznych badań struktury atomowej, równowagi ciał sztywnych w fizyce, teoria grafów, teoria gier, modele ekonomiczne i sieci elektryczne.

Francis Guthrie (1831-1899), Kenneth Appel (1932-2013), Wolfgang Haken (ur. 1928)

Twórcy map wierzyli przez wieki, że tylko cztery kolory wystarczają do pokolorowania dowolnej mapy narysowanej na płaszczyźnie, tak że żadne dwa odrębne regiony o wspólnej krawędzi nie są tego samego koloru, chociaż dwa regiony mogą mieć wspólny wierzchołek i mieć ten sam kolor. Dziś wiemy na pewno, że choć niektóre mapy planarne wymagają mniej kolorów, żadna mapa nie wymaga więcej niż czterech. Cztery kolory są wystarczające dla map narysowanych na kulach i walcach. Siedem kolorów wystarcza do namalowania dowolnej mapy na torusie (na powierzchni kształtu pączka). W 1852 r. Matematyk i botanik Francis Guthrie jako pierwszy domyślił się, że cztery kolory muszą wystarczyć, gdy próbował pokolorować mapę hrabstw Anglii. Od czasów Guthrie matematycy na próżno próbowali udowodnić konsekwencje tej pozornie prostej czterokolorowej obserwacji, która pozostała jednym z najbardziej nierozwiązanych problemów w topologii. Wreszcie w 1976 r. Matematykom Kennethowi Appelowi i Wolfgangowi Hakcnowi udało się udowodnić czterokolorowe twierdzenie za pomocą komputera testującego tysiące przypadków, co sprawia, że pierwszym problemem w czystej matematyce jest użycie komputera do stworzenia niezbędnego komponentu dla dowód. Obecnie komputery odgrywają coraz większą rolę w matematyce, pomagając matematykom weryfikować dowody tak skomplikowane, że czasami przeciwstawiają się ludzkiemu zrozumieniu. Twierdzenie o czterech kolorach jest jednym przykładem. Kolejnym jest klasyfikacja skończonych prostych grup zawartych w 10 000-stronicowym projekcie wieloautorskim. Niestety, źle ukierunkowane na ludzi metody zapewniania poprawności dowodu psują się, gdy papier dociera do tysięcy stron. Co zaskakujące, czterokolorowe twierdzenie ma często praktyczne znaczenie dla twórców map i kartografów. Na przykład badanie atlasów w czasie ujawnia brak pilnej chęci zminimalizowania liczby używanych kolorów, a książki o kartografii i historii tworzenia map często używają więcej kolorów, niż jest to konieczne

George Boole (1815-1864)

Najważniejszym dziełem angielskiego matematyka George'a Boole'a było jego opracowanie w 1854 r. "Dochodzenie w sprawie praw myśli, na których oparte są matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństw". Boole był zainteresowany zredukowaniem logiki do prostej algebry obejmującej tylko dwie wielkości, 0 i 1 oraz trzy podstawowe operacje: i, lub, i nie. W czasach współczesnych algebra Boolean ma szerokie zastosowanie w przełączaniu telefonów i projektowaniu modemów komputerowych. Boole postrzegał to dzieło jako "najcenniejszy ... wkład, który wniosłem lub prawdopodobnie wniosę w naukę, oraz rzecz, którą chciałbym, aby w ogóle został zapamiętany później ...... Niestety, Boole zmarł w wieku 49 lat po tym, jak dostał silnej gorączki. Niestety jego żona uznała, że lekarstwo powinno przypominać przyczynę, a ona wylała na niego wiadra z zimną wodą, gdy leżał w łóżku, ponieważ jego choroba została przyspieszona przez przebywanie na zewnątrz zimny deszcz. Matematyk August De Morgan (1806-187) pochwalił jego pracę, mówiąc: "System logiki Boole'a jest tylko jednym z wielu dowodów genialności i cierpliwości połączonych… Że symboliczne procesy algebry, wymyślone jako narzędzia obliczenia numeryczne powinny być kompetentne do wyrażania każdego aktu myślenia oraz do dostarczania gramatyki i słownika wszechstronnego systemu logiki, nie uwierzyłyby, dopóki nie zostanie udowodnione ...". Około siedemdziesiąt lat po śmierci Boole'a, Amerykański matematyk Claude Shannon (1916-2001) został wprowadzony do algebry Boolean, gdy był jeszcze studentem, i pokazał, jak można użyć algebry Boolean do optymalizacji projektowania systemów przełączników routingu telefonicznego. Wykazał również, że obwody z przekaźnikami mogą rozwiązać problemy algebry logicznej. Tak więc Boole, z pomocą Shannona, stanowił jeden z fundamentów naszej epoki cyfrowej.

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)

W 1857 r. Irlandzki matematyk, fizyk i astronom William Hamilton opisał grę Icosian, której celem jest znalezienie ścieżki wzdłuż krawędzi dwunastościanu (wielościanu z 12 ściankami), aby każdy wierzchołek (przybysz) był odwiedzany tylko raz . Dziś w dziedzinie teorii grafów matematycy odnoszą się do ścieżki hamiltonowskiej jako takie, w którym ścieżka odwiedza każdy wierzchołek wykresu dokładnie raz. Cykl hamiltonowski (lub obwód hamiltonowski) wymagany dla gry Icosian oznacza, że ścieżka wraca do punktu początkowego. Brytyjski matematyk Thomas Kirkman (1806-1895) postawił problem gry Icosian bardziej ogólnie: czy na podstawie wykresu wielościanu istnieje cykl, który przebiega przez każdy wierzchołek? Termin lcosian pochodzi od wynalazku Hamiltona pewnego rodzaju algebry zwanej rachunkiem lcosian, opartym na właściwościach symetrii dwudziestościanu. Rozwiązał swoją łamigłówkę za pomocą tej algebry i powiązanych z nią icosians (specjalne rodzaje wektorów). Wszystkie platońskie ciała stałe są hamiltonowskie. W 1974 roku matematyk Frank Rubin opisał skuteczną procedurę wyszukiwania, która może znaleźć niektóre lub wszystkie ścieżki i obwody Hamiltona na wykresach. Londyński producent zabawek kupił prawa do gry Icosian i stworzył układankę z gwoździami na każdym wierzchołku dwunastościanu. Każdy gwóźdź oznaczał duże miasto. Gracz wytyczył swoją ścieżkę, owijając sznurek wokół każdego gwoździa podczas podróży. Zabawka była również sprzedawana w innych formach - na przykład jako płaska tablica z otworami w węzłach dwunastościanu. (Płaski model dwunastościanu można stworzyć, nakłuwając jeden z jego wybiegów i rozciągając go na płasko, tak aby leżał na płaszczyźnie). Niestety, gra nie sprzedała się dobrze, częściowo dlatego, że była wyjątkowo łatwa do rozwiązania. Być może skupienie się Hamiltona na głębokich teoriach zmusiło go do przeoczenia faktu, że próby i błędy wkrótce doprowadzą do rozwiązania!

Jules Antoine Lissajous (1822-1880), Hugh Blackburn (1823-1909)

Hannonograf jest wiktoriańskim urządzeniem artystycznym, które zwykle wykorzystuje tylko dwa wahadła, aby wyznaczyć ścieżki, które można badać zarówno z perspektywy artystycznej, jak i matematycznej. W jednej wersji wahadło porusza długopis. Drugie wahadło przesuwa stół z kartką papieru. Połączony efekt dwóch wahadeł wytwarza skomplikowany ruch, który z powodu tarcia stopniowo zanika do jednego punktu. Każda ścieżka pióra, po każdym obrocie, znajduje się w niewielkiej odległości od ścieżki poprzedniego obrotu, nadając wzorom falisty, przypominający pajęczynę wygląd. Zmieniając względem siebie częstotliwość i fazy wahadła, generowany jest szeroki zakres wzorów. W najprostszej wersji wzory można scharakteryzować jako krzywe Lissajous, które opisują złożony ruch hannonowy i mogą być reprezentowane (przy założeniu braku tarcia) przez krzywe wytworzone przez x(t) = Asin(at + d), y(t) = Bsin(bt), gdzie t jest czasem, a A i B są amplitudami . Stosunek a do b kontroluje częstotliwości względne, a d jest różnicą faz. Ze stosunkowo niewielu parametrów powstaje ogromna liczba ozdobnych krzywych. Pierwsze harmonografy skonstruowano w 1857 r., Kiedy francuski matematyk i fizyk Jules Antoine Lissajous zademonstrował wzory wytwarzane przez dwa kamertony, przymocowane do małych zwierciadeł, które wibrowały przy różnych częstotliwościach. Wiązka światła odbijała się od luster, tworząc skomplikowane zakręty, które zachwycały ogół społeczeństwa. Brytyjskiemu matematykowi i fizykowi, Hugh Blackburnowi, przypisuje się tworzenie najbardziej tradycyjnych wahadłowych wersji harmonografu, a do dziś powstało wiele odmian hannonografów Blackburna. Bardziej złożone harmonografy mogą wykorzystywać dodatkowe wahadła, które się ze sobą zwisają. W mojej powieści The Heaven Virus napotykamy zwariowanego hannonografa obcych z "piórem, który oscyluje na platformie, która oscylowała na innej platformie, która oscylowała na innej platformie, i tak dalej dla dziesięciu różnych platform".

August Ferdinand Möbius (1790--1868)

Niemiecki matematyk August Ferdinand Möbius był nieśmiałym, nietowarzyskim, roztargnionym profesorem, którego najsłynniejszego odkrycia, wstęga Möbiusa, dokonano, gdy miał prawie siedemdziesiąt lat. Aby samodzielnie utworzyć pasek, po prostu połącz dwa końce wstążki dając jeden koniec skrętnie o 180 stopni w stosunku do drugiego końca. Rezultatem jest powierzchnia jednostronna - robak może czołgać się z dowolnego punktu na takiej powierzchni do dowolnego innego punktu bez przekraczania krawędzi. Spróbuj pokolorować pasek Möbiusa kredką. Nie można pokolorować jednej strony na czerwono, a drugą na zielono, ponieważ pasek ma tylko jedną stronę. Wiele lat po śmierci Möbiusa wzrosła popularność i zastosowania paska, i to on stał się integralną częścią matematyki, magii, nauki, sztuki, inżynierii, literatury i muzyki. Pasek Möbius jest wszechobecnym symbolem recyklingu, gdzie reprezentuje proces przekształcania odpadów w przydatne zasoby. Dziś wstęga Möbiusa jest wszędzie, od cząsteczek i metalowych rzeźb po znaczki pocztowe, literaturę, patenty technologiczne, struktury architektoniczne i modele całego naszego wszechświata. August Möbius jednocześnie odkrył swój słynny pas ze współczesnym uczonym, niemieckim matematykiem Johannem Benedictem Listingiem (1808--1882). Wydaje się jednak, że Möbius posunął tę koncepcję nieco dalej niż Listing, ponieważ Möbius bliżej zbadał niektóre z niezwykłych właściwości tego paska. Pasek Möbiusa to pierwsza jednostronna powierzchnia odkryta i zbadana przez ludzi. Wydaje się zbyt daleko posunięte, że nikt nie opisał właściwości powierzchni jednostronnych do połowy XIX wieku, ale historia nie odnotowała takich obserwacji. Biorąc pod uwagę, że pasek Möbiusa jest często pierwszą i jedyną ekspozycją szerokiej publiczności na badania topologii - nauki o kształtach geometrycznych i ich relacjach

Hamnet Holditch (1800-1867)

Narysuj gładką, zamkniętą, wypukłą krzywą C₁. Umieść cięciwę o stałej długości wewnątrz krzywej C₁ i pozwól, aby cięciwa przesunęła się wewnątrz krzywej, tak aby dwa końce cięciwy zawsze dotykały C₁. (Można to sobie wyobrazić jako przesuwanie drążka po powierzchni kałuży, która ma kształt krzywej C₁) Oznacz punkt na drążku, aby podzielił drążek na dwie części długości p i q. Podczas przesuwania drążka punkt kreśli nową zamkniętą krzywą Cz₂ w pierwotnej krzywej. Zakładając, że C₁ jest ukształtowany w taki sposób, że drążek może faktycznie ominąć C₁ raz, twierdzenie Holditcha stwierdza, że obszar między krzywymi C₁ i C₂ "niech będzie πpq. Co ciekawe, obszar ten jest całkowicie niezależny od kształtu C₁ Matematycy zachwycali się twierdzeniem Holditcha od ponad stu lat. Na przykład w 1988 r. Brytyjski matematyk Mark Cooker napisał: "Dwie rzeczy natychmiast mnie zaskoczyły. Po pierwsze, fonnula dla obszaru jest niezależna od wielkości danej krzywej C₁I. Po drugie, [równanie dla powierzchni jest obszarem elipsy półosi p i q. ale w twierdzeniu nie ma elips! Twierdzenie to zostało opublikowane przez wielebnego Hamneta Holditcha w 1858 roku. Holditch był prezesem Caius College w Cambridge w połowie XIX wieku. Krzywa Holditcha C₂ dla okręgu C₁ o promieniu R to kolejne koło o promieniu r = √R²-pq

Georg Freidrich Bernhard Riemann (1826-1866)

Wiele badań matematycznych wskazuje, że "dowód hipotezy Riemanna" jest najważniejszym otwartym pytaniem w matematyce. Dowód obejmuje funkcję zeta, którą można przedstawić za pomocą skomplikowanej krzywej, która jest użyteczna w teorii liczb do badania właściwości liczb pierwszych. Zapisana jako ζ(x), funkcja został pierwotnie zdefiniowany jako nieskończona suma ζ(x) = 1 + (1/2)^xx+ (1/4)^x + … itd. Gdy x = 1, ta seria nie ma sumy skończonej. Dla wartości x większych niż 1, seria sumuje się do liczby skończonej. Jeśli x jest mniejsze niż 1, suma jest ponownie nieskończona. Pełna funkcja zeta, zbadana i omówiona w literaturze, jest bardziej skomplikowaną funkcją, która jest równoważna tej serii dla wartości x większych niż 1, ale ma skończone wartości dla dowolnej liczby rzeczywistej lub zespolonej, z wyjątkiem sytuacji, gdy część rzeczywista jest równa do 1. Wiemy, że funkcja jest równa zero, gdy x wynosi -2, - 4, -6, ... i że funkcja ma nieskończoną liczbę zerowych wartości dla zbioru liczb zespolonych. którego rzeczywista część wynosi od zera do jednego, ale nie wiemy dokładnie, jakie liczby zespolone występują w tych zerach. Matematyk Georg Bernhard Riemann wysunął przypuszczenie, że te zera występują dla liczb zespolonych, których rzeczywista część wynosi 1/2. Chociaż istnieją liczne dowody liczbowe przemawiające za tym przypuszczeniem, wciąż nie są one udowodnione. Dowód hipotezy Riemanna miałby głębokie konsekwencje dla teorii liczb pierwszych i dla naszego zrozumienia właściwości liczb zespolonych. O dziwo, fizycy mogli odkryć tajemniczy związek między fizyką kwantową a teorią liczb poprzez badania hipotezy Riemanna. Obecnie ponad 11 000 ochotników na całym świecie pracuje nad hipotezą Riemanna, używając rozproszonego pakietu oprogramowania komputerowego w Zetagrid.net do wyszukiwania zer funkcji zeta Riemanna. Ponad 1 miliard zer dla funkcji zeta jest obliczanych każdego dnia.

Eugenio Beltrami (1835-1899)

Pseudosfera to geometryczny obiekt, który przypomina dwa muzyczne rogi sklejone ze sobą na brzegach. "Ustniki" dwóch rogów znajdują się na końcach dwóch nieskończenie długich ogonów, jakby miały zostać wysadzone tylko przez wszechmocnych bogów. Ten szczególny kształt został szczegółowo omówiony w artykule z 1868 r. "Esej o interpretacji geometrii nieeuklidesowej" autorstwa włoskiego matematyka Eugenio Beltramiego, słynącego z pracy w geometrii i fizyce. Aby wytworzyć powierzchnię, krzywa zwana tractrix jest obracana wokół jej asymptoty. Podczas gdy zwykła kula ma właściwość o nazwie pozytywnej krzywizny wszędzie na swojej powierzchni, pseudosfera ma stałą krzywiznę ujemną, co oznacza, że można ją uważać za utrzymującą stałą wklęsłość na całej powierzchni (z wyjątkiem jej środkowego wierzchołka). Zatem kula jest zamkniętą powierzchnią ze skończonym obszarem, podczas gdy pseudosfera jest otwartą powierzchnią z nieliniowym obszarem. David Darling, brytyjski pisarz naukowy, pisze: "W rzeczywistości, chociaż płaszczyzna dwuwymiarowa i pseudosfera są nieliniowe, pseudosfera ma więcej miejsca! Jednym ze sposobów myślenia o tym jest to, że pseudosfera jest bardziej nieskończona niż płaszczyzna. " Ujemna krzywizna pseudosfery wymaga, aby kąty trójkąta narysowanego na jej powierzchni sumowały się poniżej 180^o. Geometria pseudosfery nazywa się hiperboliczną, a niektórzy astronomowie w przeszłości sugerowali, że cały nasz wszechświat można opisać za pomocą geometrii hiperbolicznej o właściwościach pseudosfery. Pseudosfera ma znaczenie historyczne, ponieważ była jednym z pierwszych modeli przestrzeni nieeuklidesowej. Zainteresowania Beltrami sięgały daleko poza matematykę. Jego czterotomowe dzieło Opere Matematiche omawia optykę, termodynamikę, elastyczność, magnetyzm i elektryczność. Beltrami był członkiem Accademia dei Lmcei, pełniąc funkcję prezesa akademii naukowej w 1898 r. Został wybrany do Senatu Włoch na rok przed śmiercią.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897)

Na początku XIX wieku matematycy często myśleli o funkcji ciągłej f(x) jako posiadającej pochodną (unikalną linię styczną), którą można określić wzdłuż większości punktów na krzywej. W 1872 r. Niemiecki matematyk Karl Weierstrass oszołomił kolegów matematyków z Akademii Berlińskiej, udowadniając, że takie myślenie jest fałszywe. Jego funkcję, która była ciągła wszędzie, ale nigdzie nie rózniczkowalna (posiadająca pochodną), została zdefiniowana przez f(x) = Σa^kcos (b^kπx), gdzie suma wynosi od k = 0 do ∞. Tutaj a jest liczbą rzeczywistą z zakresu 0 < a < 1, b jest nieparzystą liczbą całkowitą dodatnią, a ab > (1 + 3π/2). Symbol sumowania Σ wskazuje, że funkcja jest zbudowana z nieskończonej liczby funkcji trygonometrycznych, aby utworzyć gęsto zagnieżdżoną strukturę oscylacyjną. Oczywiście matematycy doskonale zdawali sobie sprawę z tego, że funkcje mogą nie być rozróżnialne w kilku kłopotliwych punktach, takich jak dno odwróconego kształtu klina określonego przez f(x) = |x|, który nie ma pochodnej przy x = 0. Jednak po Weierstrassie, matematycy, którzy zademonstrowali krzywą nigdzie-różniczkowalną, byli w rozterce. Matematyk Charles Hermite napisał do Thomasa Stieltjesa w 1893 r. "J odwrócił się ze strachem i przerażeniem od żałosnej plagi ciągłych funkcji, które nie mają pochodnych. …" , W 1875 r. Paul du Bois-Reymond opublikował funkcję Weierstrass, czyniąc ją pierwszą opublikowaną funkcją tego rodzaju. Dwa lata wcześniej przekazał szkic artykułu Weierstrassowi do przeczytania (chociaż szkic zawierał inną funkcję f(x) = Σsin(aⁿx)/bⁿ, z (a/b) > 11 dla k = 0 do ∞, który został zmieniony przed opublikowaniem artykułu.) Podobnie jak inne kształty fraktalne, funkcja Weierstrass wyświetla rosnące szczegóły ze stopniowym powiększaniem. Inni matematycy, tacy jako czeski matematyk Bernard Bolzano i niemiecki matematyk Bernhard Riemann pracowali nad podobnymi (niepublikowanymi) konstrukcjami odpowiednio w 1830 i 1861 r. Innym przykładem ciągłej wszędzie, ale nigdzie różniczkowej krzywej jest fraktalna krzywa Kocha.

Louis Gros (ok. 1837 - 1907)

Baguenaudier to jedna z najstarszych znanych łamigłówek mechanicznych. W 1901 r. Angielski matematyk Henry E. Dudeney zauważył: "Z pewnością nie ma domu bez tej fascynującej, historycznej i pouczającej układanki". Baguenaudier ma na celu usunięcie wszystkich pierścieni ze sztywnej poziomej pętli. W pierwszym ruchu możliwe jest usunięcie jednego lub dwóch pierścieni z jednego końca drutu. Cała procedura jest skomplikowana, ponieważ pierścienie muszą zostać ponownie założone na pętlę z drutu, aby usunąć inne pierścienie, a procedura jest powtarzana wiele razy. Okazuje się, że minimalna wymagana liczba ruchów to (2ⁿ⁺¹ - 2)/3, jeśli liczba pierścieni n jest parzysta, i (2ⁿ⁺¹ - 1)/3, jeśli n jest nieparzysta. Martin Gardner pisze: "Dwadzieścia pięć pierścieni wymagają 22 369 621 kroków, zakładając, że wykwalifikowany operator może wykonać 50 kroków na minutę, mógłby to zrobić rozwiązać zagadkę ... za nieco ponad dwa lata". Według legendy, puzzle zostały wymyślone przez chińskiego generała Chu-ko Liang (181-234 n.e.), aby utrzymać żonę zajętą, gdy był na wojnie. W 1872 r. Louis Gros, francuski sędzia, wykazał wyraźny związek między tymi pierścieniami a liczbami binarnymi w swojej książeczce Theorie du Baguenodier (pisownia, którą wolał). Każdy pierścień może być reprezentowany przez cyfrę binarną: I dla włączenia i 0 dla wyłączenia. W szczególności Gros wykazał, że jeśli pierścienie były w zestawie znanych stanów, możliwe było obliczenie liczby binarnej, która wskazywałaby dokładnie, ile więcej kroków jest niezbędnych i wystarczających do rozwiązania zagadki. Prace Gros obejmowały jeden z pierwszych przykładów tego, co IS obecnie nazywa Szarym Kodem, w którym dwie kolejne liczby binarne różnią się tylko jedną cyfrą. W rzeczywistości informatyk Donald Knuth napisał, że Gros był "prawdziwym wynalazcą szarego kodu binarnego", który jest dziś szeroko stosowany w celu ułatwienia korekcji błędów w komunikacji cyfrowej.

Sofia Kowalewska(1850-1891)

Rosyjska matematyk Sofia Kowalewska wniosła cenny wkład w teorię równań różniczkowych i była pierwszą kobietą w historii, która otrzymała doktorat z matematyki. Podobnie jak większość innych geniuszy matematyki, Sofia zakochała się w matematyce w bardzo młodym wieku. W swojej autobiografii napisała: "Znaczenie tych pojęć, których naturalnie jeszcze nie rozumiałem, ale działały one na moją wyobraźnię, wzbudzając we mnie szacunek dla matematyki jako wzniosłej i tajemniczej nauki, która otwiera się na jej inicjację nowego świata cudów niedostępne dla zwykłych śmiertelników ". Kiedy Sofia miała 11 lata ściany jej sypialni pokryte były matematycznymi notatkami z wykładów Michaiła Ostrogradskiego na temat analizy różniczkowej i całkowej. W 1874 r. Kowalewska otrzymała doktorat summa cum laude z Uniwersytetu w Gottingen za pracę nad równaniami różniczkowymi cząstkowymi, całkami abelowymi i strukturą pierścieni Saturna. Jednak pomimo tego doktoratu i entuzjastycznych listów polecających od matematyka Karla Weierstrassa, Kovalevskaya przez lata nie była w stanie uzyskać stanowiska akademickiego, ponieważ była kobietą. Jednak w końcu zaczęła wykładać na uniwersytecie w Sztokholmie w Szwecji w 1884 r. W tym samym roku została powołana na pięcioletnią profesurę. W 1888 r. Paryska akademia nauk przyznała jej specjalną nagrodę za teoretyczne leczenie wirujących ciał stałych. Kowalevska zasługuje również na miejsce w historii matematyki, ponieważ była pierwszą rosyjską matematyczką o nadzwyczajnym znaczeniu, trzecią kobietą w historii, która została profesorem w Europie, poza Laurą Bassi (1711-1778) i Marią Agnesi (I71S-1799) - i pierwszą kobietą, która w dowolnym miejscu zajmuje katedrę uniwersytecką z matematyki. Osiągnęła te triumfy pomimo ostrego oporu. Na przykład jej ojciec zabronił jej studiowania matematyki, ale potajemnie uczyła się w nocy, gdy słynne rosyjskie kobiety nie mogły mieszkać bez rodzin bez pisemnej zgody ojca; w związku z tym została zmuszona do zawarcia małżeństwa, aby mogła wyjechać za granicę w celu dalszego kształcenia. Później w życiu napisała: "Nie można być matematykiem bez bycia poetą w duszy".

Noyes Palmer Chapman (1811-1889)

Chociaż Piętnastka nie jest poważnym kamieniem milowym, jak wiele innych naszych wpisów, wywołało takie poruszenie wśród publiczności, że warto o tym wspomnieć z przyczyn historycznych. Dziś możesz kupić wariant układanki z 15 kwadratami (kafelkami) i jednym wolnym miejscem w ramce lub pudełku 4 x 4. Na początku kwadraty kolejno zawierają liczby od 1 do 15, a następnie odstęp. W wersji układanki w Cyclopedii Sama Loyda z 1914 r. W konfiguracji początkowej odwrócono 14 i 15. Celem Loyda było "przesuwanie" kwadratów w górę, w dół, w prawo i w lewo, aby dojść do sekwencji od 1 do 15 (z 14 i 15 zamienionymi miejscami). W Cyclopedia Loyd twierdzi, że za rozwiązanie zaoferowano nagrodę w wysokości 1000 USD; Niestety, nie można rozwiązać zagadki z tej pozycji początkowej. Oryginalna wersja gry, opracowana w 1874 roku przez nowojorskiego postmistrza Noyesa Palmera Chapmana, odniosła natychmiastowy sukces w 1880 roku, podobnie jak kostka Rubika 100 lat później. Początkowo płytki były luźne, a gracz umieszczał je losowo, a następnie próbował rozwiązać. Zaczynając od losowych konfiguracji, zagadkę można rozwiązać tylko w 50 procentach przypadków! Od tego czasu matematycy dokładnie określili, które wstępne układy płytek mogą prowadzić do rozwiązań. Niemiecki matematyk W. Ahrens zauważył: "Piętnastka układała się w Stanach Zjednoczonych; szybko się rozprzestrzeniła, a dzięki niezliczonej liczbie oddanych graczy, których podbiła, stała się plagą". Co ciekawe, supergwiazda szachów Bobby Fischer był ekspertem w rozwiązywaniu łamigłówek w mniej niż 30 sekund, jeśli zaczęło się od dowolnej możliwej do rozwiązania konfiguracji.

Georg Cantor (1845-1918)

Niemiecki matematyk Georg Cantor założył nowozesną teorię zbiorów i wprowadził zadziwiającą koncepcję liczb pozaskończonych, których można użyć do oznaczenia względnych "rozmiarów" nieskończonej kolekcji obiektów. Najmniejsza liczba pozaskończona nazywa się aleph-zero, zapisana jako ℵ₀, która liczy liczbę całkowitą. Jeśli liczba całkowita jest nieskończona (dla członków ℵ₀), czy istnieją jeszcze wyższe poziomy nieskończoności? Okazuje się, że chociaż istnieje nieskończona liczba liczb całkowitych, liczb wymiernych (liczb, które można wyrazić jako ułamki) i liczb niewymiernych (takich jak pierwiastek kwadratowy z 2, których nie można wyrazić jako ułamek), nieskończona liczba niewymiernych jest w pewnym sensie większa niż nieskończona liczba racjonalnych lub liczb całkowitych. Podobnie, istnieje więcej liczb rzeczywistych (w tym liczb wymiernych i niewymiernych) niż liczb całkowitych. Szokujące koncepcje Cantora dotyczące nieskończoności spotkały się z powszechną krytyką - co prawdopodobnie przyczyniło się do napadów głębokiej depresji i licznych instytucjonalizacji Cantora, zanim zostały zaakceptowane jako podstawowa teoria. Cantor utożsamił także z Bogiem swoją koncepcję Absolutnej Nieskończoności, która wykraczała poza liczby nieskończone. Napisał: "Nie żywię wątpliwości co do prawd transfinitów. Które rozpoznałem z pomocą Boga i które w swojej różnorodności studiowałem przez ponad dwadzieścia lat". W 1884 r. Cantor napisał do szwedzkiego matematyka Gosty Mittag-Lefflera, wyjaśniając, że nie był twórcą swojego nowego dzieła, a jedynie reporterem. Bóg dostarczył inspiracji, pozostawiając Cantora odpowiedzialnym jedynie za organizację i styl jego dokumentów. Cantor powiedział, że wiedział, że transfinity są prawdziwe, ponieważ "Bóg tak mi powiedział", a to zmniejszyłoby moc Boga, gdyby Bóg stworzył tylko skończone liczby. Matematyk David Hilbert opisał pracę Cantora jako "najlepszy produkt geniuszu matematycznego i jednego o najwyższych osiągnięciach wyłącznie intelektualnej działalności człowieka ".

Franz Reuleaux (1829-1905)

Trójkąt Reuleaux (RT) jest jednym z przykładów szerokiej klasy odkryć geometrycznych, takich jak Wstęga Möbiusa, które nie znalazły wielu praktycznych zastosowań aż do stosunkowo późnego rozwoju intelektualnego ludzkości. Dopiero około 1875 r., kiedy wybitny inżynier mechanik niemiecki, Franz Reuleaux, omawiał słynny zakrzywiony trójkąt, zaczął znajdować wiele zastosowań. Chociaż Reuleaux nie był pierwszym, który narysował i rozważył kształt utworzony z przecięcia trzech kół na obrzeżach trójkąta równobocznego, był pierwszym, który zademonstrował jego właściwości stałej szerokości, i jako pierwszy zastosował trójkąt w wielu rzeczywistych światowe mechanizmy. Budowa trójkąta jest tak prosta, że nowi badacze zastanawiali się, dlaczego nikt przed Reuleaux nie wykorzystał jej zastosowania. Kształt jest bliskim krewnym koła ze względu na jego stałą szerokość, co oznacza, że odległość między dwoma przeciwnymi punktami jest zawsze taka sama. Różne patenty technologiczne koncentrują się na wiertłach, które wycinają kwadratowe otwory za pomocą RT. Na początku pojęcie wiertła, które tworzy prawie kwadratowe otwory, jest sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem. Jak obrotowe wiertło może wyciąć coś oprócz okrągłego otworu? Ale takie wiertła istnieją .RT pojawia się również w patentach na inne wiertła, a także na nowe butelki, wałki, puszki po napojach, świece, obrotowe półki, skrzynie biegów, silniki obrotowe i szafki. Wielu matematyków badało trójkąt Reuleaux, więc wiemy dużo o jego właściwościach. Na przykład jego powierzchnia wynosi A = 1/2(π-√3)r², a obszar wiercony wiertłem RT obejmuje 0,9877003907 ... powierzchni rzeczywistego kwadratu. Mała różnica występuje, ponieważ wiertło Reuleaux tworzy kwadrat z bardzo lekko zaokrąglonymi narożnikami.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768--1830), William Thomson, Baron Kelvin of Largs (1824-1907)

Na początku 1800 roku francuski matematyk Joseph Fourier stwierdził, że każdą funkcję różniczkowalną można przedstawić z dowolną dokładnością sumą funkcji sinus i cosinus, bez względu na to, jak skomplikowana jest ta funkcja. Na przykład funkcję okresową f(x) można przedstawić za pomocą sumy A_n⋅ sin (nx) + B_n⋅cos(nx) dla amplitud A_n i B_n. Analizator harmonicznych jest fizycznym urządzeniem do określania współczynników A_n i B_n. W 1876 r. Lord Kelvin, brytyjski fizyk matematyczny, jako pierwszy wynalazł analizator harmonicznych, służący do analizy śladów krzywych związanych z obserwacjami pływów oceanicznych. Papier z krzywą zainteresowania jest owinięty wokół głównego cylindra. podążać za krzywą, a następnie określa się pozycje różnych podskładników, aby uzyskać pożądane współczynniki. Kelvin pisze, że "maszyna kinematyczna" przewiduje nie tylko "czasy i wysokości wysokiej wody, ale głębokości wody w dowolnym momencie, pokazując je ciągłą krzywą z …wyprzedzeniem". Ponieważ przypływy zależą od położenia słońca, księżyca, obrotu ziemi, kształtu linii brzegowej i profilu dna morskiego, mogą być dość złożone. W 1894 r. , niemiecki matematyk Olaus Henrici (1840-1918 ) zaprojektował analizator harmonicznych do ustalania składowych harmonicznych złożonych fal dźwiękowych, takich jak te pochodzące z instrumentów muzycznych. W urządzeniu zastosowano kilka kół pasowych i szklanych kul połączonych z tarczami pomiarowymi, które dały fazę i amplitudy 10 składowych harmonicznych Fouriera. W 1909 r. Niemiecki inżynier Otto Mader wynalazł analizator harmonicznych, który wykorzystywał koła zębate i wskaźnik do śledzenia krzywej; różne biegi odpowiadały lewej harmonicznej. Analizator harmonicznych Montgomery′ego z 1938 r. stosował optyczne i fotoelektryczne środki do określania zawartości krzywej harmonicznej. H. C. Montgomery z Bell Laboratories napisał, że urządzenie "jest specjalnie przystosowane do analizy mowy i muzyki, ponieważ pochodzi bezpośrednio od konwencjonalnego typu ścieżki dźwiękowej na filmie".

James Ritty (1836--1918)

Trudno sobie wyobrazić, jak sklepy detaliczne mogłyby działać skutecznie, zanim istniały kasy fiskalne. Przez dziesięciolecia kasy stały się coraz bardziej wyrafinowane i działały również jako środki zapobiegające kradzieży. Nie jest przesadą stwierdzenie, że stały się jedną z głównych mechanizujących transformacji epoki przemysłowej. Pierwsza kasa została wynaleziona w 1879 roku przez Jamesa Ritty′ego. Ritty otworzył swój pierwszy salon w Dayton w stanie Ohio w 1871 roku, określając siebie mianem "dilera czystych whisky, szlachetnych win i cygar". Największym wyzwaniem dla Ritty były jego pracownicy, którzy czasami potajemnie chowali pieniądze otrzymane od klientów. Podczas rejsu statkiem parowym Ritty studiował mechanizm, który liczył liczbę obrotów śmigła statku, i zaczął wyobrażać sobie podobne mechanizmy, które można wykorzystać do rejestrowania transakcji gotówkowych. Wczesne maszyny Ritty miały dwa rzędy klawiszy, z których każdy odpowiadał nominałowi pieniędzy od pięciu centów do jednego dolara. Naciśnięcie klawiszy obróciło wał, który przesunął wewnętrzny licznik. Opatentował swój projekt w 1879 r. Jako "Niesprawiedliwy kasjer Rilly". Rilly wkrótce sprzedał swoją kasę fiskalną sprzedawcy o imieniu Jacob H. Eckert, a w 1884 r. Eckert sprzedał firmę Johnowi H. Pattersonowi, który przemianował firmę na National Cash Register Company. Z małego ziarna Ritty wyrosła nowoczesna kasa fiskalna. Patterson dodał rolki papieru do rejestrowania transakcji za pomocą dziurkaczy. Kiedy transakcja została zakończona, na kasie zabrzmiał dzwonek, a kwota pieniężna była reprezentowana na dużej tarczy. W 1906 roku wynalazca Charles F. Kettering zaprojektował kasę z silnikiem elektrycznym. W 1974 r. National Cash Register Company przekształciło się w NCR Corp. Dziś funkcjonalność kasy fiskalnej wykracza poza najśmielsze marzenie Ritty, ponieważ to maszyny ze znacznikami czasu, pobieranie cen z baz danych i obliczanie odpowiednich kwot podatku, różnych stawek dla preferowanych klientów oraz potrąceń za pozycje sprzedaży.

John Venn (1834-1923)

W 1880 r. John Venn, brytyjski filozof i duchowny w Kościele anglikańskim, opracował schemat wizualizacji elementów, zbiorów i relacji logicznych. Diagram Venna zwykle zawiera okrągłe obszary reprezentujące grupy przedmiotów o wspólnych właściwościach.



Na przykład we wszechświecie wszystkich prawdziwych i legendarnych stworzeń (prostokąt na pierwszej ilustracji) obszar H reprezentuje ludzi, obszar W - skrzydlate stworzenia, a obszar A - anioły. Rzut oka na diagram pokazuje, że (I) Wszystkie anioły są skrzydlatymi stworzeniami (obszar A leży całkowicie w obszarze W); (2) Żaden człowiek nie jest skrzydlatym stworzeniem (regiony Hand Ware nie przecinają się); oraz (3) Żaden człowiek nie jest aniołem (obszary H i A nie przecinają się). Jest to przedstawienie podstawowej zasady logiki - mianowicie, że ze stwierdzeń "wszystko A jest W" i "nie ma H jest W", z tego wynika, że "nie H jest A" Wniosek jest oczywisty, gdy spojrzymy na koła w diagram. Zastosowania tego rodzaju diagramów w logice były używane przed Vennem - na przykład przez matematyków Gottfrieda Leibniza i Leonharda Eulera - ale Venn był pierwszym, który kompleksowo je przestudiował, zgrupował i uogólnił ich użycie. W rzeczywistości Venn walczył z uogólniając symetryczne diagramy do wizualizacji większej liczby zestawów z przecinającymi się obszarami, ale za pomocą elips osiągnął tylko 4 zestawy. Minął wiek, więc Branko Grunbaum, matematyk z University of Washington, pokazał, że obrotowo symetryczne diagramy Venna można wykonać z 5 przystających elipsy. Druga ilustracja pokazuje jeden z wielu różnych schematów symetrycznych dla 5 zestawów. Matematycy stopniowo zdawali sobie sprawę, że schematy symetryczne obrotowo można rysować tylko z liczbami pierwszymi płatków. Jednak symetryczne diagramy etyczne z 7 płatkami były tak trudne do znalezienia, że matematycy początkowo wątpili w ich istnienie. W 2001 roku matematyk Peter Hamburger i artysta Edit Hepp skonstruowali przykład dla II płatków, pokazany na przeciwnej stronie.

Simon Newcomb (1835-1909), Frank Benford (1883-1948)

Prawo Benforda, zwane również zjawiskiem prawem pierwszej liczby lub wiodącej liczby, stwierdza, że na różnych listach liczb cyfra I ma tendencję do występowania w skrajnej lewej pozycji z prawdopodobieństwem około 30 procent, znacznie większym niż oczekiwane 11.1. Procentowy wynik, który wystąpiłby, gdyby każda cyfra wystąpiła z prawdopodobieństwem mniejszym niż 9. Prawo Benforda może być przestrzegane, na przykład, w tabelach zawierających populacje, wskaźniki śmiertelności, ceny akcji, statystyki baseballu oraz obszar rzek i jezior. Wyjaśnienia tego zjawiska są bardzo nowe. Prawo Benforda nosi imię dr Franka Benforda, fizyka z General Electric , który opublikowała swoją pracę w 1938 r., Chociaż zostało odkryte wcześniej przez matematyka i astronoma Simona Newcomba w 1881 r. strony logarytmów z liczbami rozpoczynającymi się od cyfry mówi się, że są brudniejsze i bardziej zużyte niż inne strony, ponieważ liczba 1 występuje jako pierwsza cyfra około 30 procent częściej niż jakikolwiek inny. W wielu rodzajach danych Benford ustalił, że prawdopodobieństwo dowolnej liczby n od 1 do 9 jako pierwszej cyfry wynosi log₁₀(1 + 1/n). Nawet ciąg Fibonacciego - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … - jest zgodna z prawem Benforda. Liczby Fibonacciego znacznie częściej zaczynają się od "1" niż jakakolwiek inna cyfra. Wydaje się, że prawo Benforda ma zastosowanie do wszelkich danych zgodnych z "prawem władzy". Na przykład duże jeziora są rzadkie, jeziora średniej wielkości są bardziej powszechne, a małe jeziora są jeszcze bardziej powszechne. Podobnie, 11 liczb Fibonacciego występuje w zakresie 1-100, ale tylko jeden w kolejnych trzech zakresach 100 (101-200,201-300,301-400). Prawo Benforda było często wykorzystywane do wykrywania oszustw. Na przykład użytkownicy rachunków mogą czasami wykorzystywać prawo do wykrywania fałszywych deklaracji podatkowych, w których występowanie cyfr nie jest zgodne z tym, czego zgodnie z prawem Benforda można się naturalnie spodziewać.

Felix Klein (1849-1925)

Butelka Klein, po raz pierwszy opisana w 1882 r. przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina, jest przedmiotem, w którym elastyczna szyjka butelki opada z powrotem w butelkę, tworząc kształt bez wnętrza i na zewnątrz. Ta butelka jest powiązana z paskiem Mobiusa i teoretycznie może być utworzona przez sklejenie dwóch pasków Mobiusa razem wzdłuż ich krawędzi. Jedna droga do zbudowanie niedoskonałego modelu fizycznego butelki Kleina w naszym wszechświecie 3-D polega na tym, aby spotkała się na małej, okrągłej krzywej. Potrzebne są cztery wymiary, aby stworzyć prawdziwą butelkę Kleina bez samo-skrzyżowań. Wyobraź sobie swoją frustrację, jeśli próbujesz pomalować tylko zewnętrzną stronę butelki Kleina. Zaczynasz malować na czymś, co wydaje się być bulwiastą "zewnętrzną" powierzchnią i schodzisz po wąskiej szyi. Obiekt 4-0 nie przecina się, co pozwala kontynuować podążanie za szyją, która jest teraz "wewnątrz" butelki. Gdy szyja otwiera się, aby ponownie dołączyć do bulwiastej powierzchni, okazuje się, że malujesz teraz w butelce. Gdyby nasz wszechświat kształtował się jak butelka Kleina, moglibyśmy znaleźć ścieżki, które sprawiłyby, że nasze ciała odwróciłyby się po powrocie po podróży, tak że na przykład nasze serca byłyby po prawej stronie naszego ciała. Wraz z Centrum Kingbridge w Toronto i Killdee Scientific Glass astronom Cliff Stoll stworzył największy na świecie model szklanej butelki Klein. Butelka Kingin Klein ma około 43 cali (1,1 metra) wysokości i 20 cali (50 centymetrów) średnicy. i jest wykonany z 33 funtów (15 kilogramów) przezroczystego szkła Pyrex. Ze względu na szczególne właściwości butelki Kleina, matematycy i entuzjaści puzzli studiują szachy i labirynty rozgrywane na powierzchniach butelek Klein. Gdy narysowano mapę na butelce Kleina, potrzeba sześciu różnych kolorów, aby zapewnić, że żadne obszary graniczne nie będą miały tego samego koloru.

Francois Edouard Anatole Lucas (1842-1891)

Wieża z Hanoi zaintrygowała świat, odkąd została wynaleziona przez francuskiego matematyka Edouarda Lucasa w 1883 roku i sprzedana jako zabawka. Ta matematyczna łamigłówka składa się z kilku dysków o różnych rozmiarach, które wsuwają się na jeden z trzech kołków. Dyski są początkowo układane w stos na jednym kołku w kolejności wielkości, z najmniejszym dyskiem u góry. Podczas gry można przenosić jeden dysk na inny kołek, usuwając górny dysk z dowolnego stosu i umieszczając go na szczycie dowolnego innego stosu. Dysku nie można umieścić na mniejszym dysku. Celem jest przeniesienie całego stosu początkowego (często z ośmioma dyskami) na inny kołek. Minimalna liczba ruchów okazuje się wynosić 2ⁿ - 1 I, gdzie n to liczba dysków. Oryginalna gra została zainspirowana legendarną Indian Tower of Brahma, która zatrudniała 64 złote dyski. Kapłani Brahmy ciągle poruszali te dyski, przy użyciu tych samych zasad, co w Wieży Hanoi. Po zakończeniu ostatniego ruchu układanki świat się skończy. Pamiętaj, że jeśli kapłani będą mogli przenosić dyski w tempie 1 na sekundę, wówczas 2⁶⁴ - lub 18 446,744,073,709,551,615 ruchów wymagałoby około 585 miliardów lat - wiele razy więcej niż obecny szacowany wiek naszego wszechświata. Istnieją proste algorytmy dla rozwiązań obejmujących trzy pegi, a gra jest często używana w klasach programowania komputerowego do nauczania algorytmów rekurencyjnych. Jednak optymalne rozwiązanie dla problem Wieży Hanoi z czterema lub więcej kołkami jest nadal nieznany. Matematycy uważają tę zagadkę za intrygującą ze względu na jej związki z innymi obszarami matematyki, w tym Gray Codes i znajdowanie ścieżek hamiltonowskich na n-hipersześcianie.

Edwin Abbott Abbott (1838-1926)

Ponad sto lat temu Edwin Abbott Abbott - duchowny i dyrektor szkoły w wiktoriańskiej Anglii - napisał wpływową książkę opisującą interakcje między stworzeniami z dostępem do różnych wymiarów przestrzennych. Książka jest nadal popularna wśród studentów matematyki i uważana za przydatną lekturę dla każdego, kto studiuje związki między takimi wymiarami. Abbott zachęcił czytelników, aby otworzyli swoje umysły na nowe sposoby postrzegania. Flatland opisał rasę dwuwymiarowych stworzeń, żyjących w płaskiej płaszczyźnie, zupełnie nieświadomy istnienia wokół siebie wyższego wymiaru. Gdybyśmy byli w stanie spojrzeć w dół na dwuwymiarowy świat, bylibyśmy w stanie zobaczyć wnętrze każdej struktury naraz. Istota z dostępem do czwartego wymiaru przestrzennego mogła zobaczyć wnętrze naszego ciała i usunąć guz bez penetracji skóry. Flatlanderzy mogą nie zdawać sobie sprawy z tego, że stanąłeś kilka cali nad ich planarnym światem, rejestrując wszystkie wydarzenia z ich życia. Jeśli chcesz usunąć Flatlandera z więzienia, możesz go podnieść "do góry" i złożyć go w innym miejscu w Flatland. Ten akt wydawałby się cudowny dla Flatlandera, który nawet nie miałby tego słowa w swoim słownictwie. Dzisiaj komputerowe projekcje graficzne obiektów 4-D przybliżają nas o krok do zjawisk wielowymiarowych, ale nawet najbardziej błyskotliwi matematycy często nie są w stanie uchwycić czwartego wymiaru, podobnie jak kwadratowy bohater Flatland miał problemy ze zrozumieniem trzeciego wymiaru. W jednej z najbardziej emocjonalnych scen Flatlandu dwuwymiarowy bohater staje w obliczu zmieniających się kształtów trójwymiarowej istoty, która przechodzi przez Flatland. Kwadrat może zobaczyć tylko przekroje stworzenia. Abbott uważał, że badanie czwartego wymiaru przestrzennego jest ważne w rozwijaniu naszej wyobraźni, zwiększaniu szacunku dla wszechświata i zwiększaniu naszej pokory, być może pierwsze kroki w jakiejkolwiek próbie lepszego zrozumienia natury rzeczywistości lub dostrzeżenia boskości

Charles Howard Hinton (1853-1907)

Nie znam żadnego przedmiotu w matematyce, który zaintrygowałby zarówno dzieci, jak i dorosłych, jak idea czwartego wymiaru, kierunku przestrzennego odmiennego od wszystkich kierunków naszej codziennej trójwymiarowej przestrzeni. Teologowie spekulują, że życie pozagrobowe, niebo, piekło, anioły i nasze dusze mogą przebywać w czwartym wymiarze. Matematycy i fizycy często używają czwartego wymiaru w swoich obliczeniach. Jest to część ważnych teorii opisujących samą tkankę naszego wszechświata. Tesseract jest czterowymiarowym analogiem zwykłej kostki. Termin hipersześcian jest używany bardziej ogólnie w odniesieniu do analogów kostki w innych wymiarach. Tak jak sześcian może zostać zwizualizowany poprzez przeciągnięcie kwadratu do trzeciego wymiaru i obserwowanie kształtu, który kwadrat śledzi w przestrzeni, tesseract jest wytwarzany przez ślad sześcianu przesuwającego się do czwartego wymiaru. Chociaż trudno jest wyobrazić sobie przesunięcie sześcianu na odległość w kierunku prostopadłym do wszystkich trzech jego osi, grafika komputerowa często pomaga matematykom rozwinąć lepszą intuicję dla obiektów wielowymiarowych. Zauważ, że sześcian jest ograniczony kwadratowymi fuksami, a tesseract sześciennymi fuksami. Możemy zapisać liczbę narożników, krawędzi, otworów i brył dla tego rodzaju obiektów o wyższych wymiarach. Słowo tesseract zostało wymyślone i użyte po raz pierwszy w 1888 r. Przez brytyjskiego matematyka Charlesa Howarda Hintona w jego książce Nowa era myśli. Hinton, bigamista, był również wściekły na swój zestaw kolorowych kostek, które, jak twierdził, mogłyby być wykorzystane do pomocy ludziom w wizualizacji czwartego wymiaru. Kiedy używano ich na seansach, uważano, że kostki Hinton pomagają ludziom dostrzec duchy zmarłych członków rodziny.

Giuseppe Peano (1858-1932)

Dzieci w wieku szkolnym znają proste reguły arytmetyczne liczenia, dodawania i mnożenia, ale skąd się biorą te najprostsze reguły i skąd wiemy, że są poprawne? Włoski matematyk Giuseppe Peano znał pięć aksjomatów lub założeń Euklidesa, które położyły podwaliny pod geometrię, a Peano był zainteresowany stworzeniem tego samego rodzaju podstaw dla arytmetyki i teorii liczb. Pięć aksjomatów Peano obejmuje nieujemne liczby całkowite i można je określić jako: 1) 0 jest liczbą; 2) Następcą dowolnej liczby jest liczba; 3) Jeśli n i m są liczbami i jeśli ich następcy są równi, to n i m są równe; 4) 0 nie jest następcą żadnej liczby; oraz 5) Jeśli S jest zbiorem liczb zawierających 0 i jeśli następca dowolnej liczby w S jest również w S, wówczas S zawiera wszystkie liczby. Piąty aksjomat Peano pozwala matematykom ustalić, czy właściwość jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieujemnych. Aby to osiągnąć, najpierw musimy pokazać, że 0 ma właściwość. Następnie musimy pokazać, że dla dowolnej liczby i, jeśli i ma właściwość, oznacza to, że i + 1 również ma tę właściwość. Metafora pomaga. Wyobraź sobie nieskończoną linię zapałek, prawie wzruszające. Jeśli chcemy, aby wszystkie się paliły, pierwsza zapałka musi się zapalić, a każda zapałka w linii musi być wystarczająco blisko, aby mogła się zapalić. Jeśli jedna zapałka na linii ma zbyt dużą separację, ogień ustaje. Za pomocą aksjomatów Peano możemy zbudować system arytmetyczny, który obejmuje nieskończony zestaw liczb. Aksjomaty stanowią podstawę naszego systemu liczbowego i pomagają matematykom konstruować inne systemy liczbowe stosowane w nowoczesnej matematyce. Peano po raz pierwszy przedstawił swoje aksjomaty w swojej 1889 Arithmetices principia, nova methodo exposita (Zasady arytmetyki, przedstawione nową metodą).

Giuseppe Peano (1858-1932)

W 1890 roku włoski matematyk Giuseppe Peano przedstawił jeden z pierwszych przykładów krzywej wypełniającej przestrzeń. David Darling, brytyjski pisarz naukowy, nazywa to odkrycie "trzęsieniem ziemi związanym z tradycyjną strukturą matematyki". Omawiając tę nową klasę krzywych, rosyjski matematyk Naum Wilenkin napisał, że "wszystko było w ruinie, że wszystkie podstawowe pojęcia matematyczne straciły na znaczeniu". Termin Krzywa Peano jest często używany jako synonim krzywej wypełniającej spację, oraz ,że takie krzywe mogą często być tworzone przez iteracyjny proces, który ostatecznie tworzy zygzakowatą linię, która pokrywa całą przestrzeń, w której się znajduje. Martin Gardner pisze: "Krzywe Peano były głębokim szokiem dla matematyków. Ich ścieżki wydają się być jednowymiarowe, ale na granicy zajmują dwuwymiarowy obszar. Czy powinny być nazywane krzywymi? Co gorsza, krzywe Peano można narysować tak łatwo aby wypełnić kostki i hipersześciany ... "Krzywe Peano są ciągłe, ale jak granica płatka śniegu Kocha lub funkcji Weierstrassa, żaden punkt na krzywej nie ma charakterystycznej stycznej. Krzywe wypełniające przestrzeń mają wymiar Hausdorffa wynoszący 2. Krzywe wypełniające przestrzeń miały praktyczne zastosowania i sugerowały efektywne trasy do odwiedzenia podczas odwiedzania wielu miast. Na przykład John J. Bartholdi III, profesor w Szkole Inżynierii Przemysłowej i Systemowej w Georgia Institute of Technology, wykorzystał krzywe Peano do zbudowania systemu routingu dla organizacji, która dostarcza biednym setki posiłków i kieruje krew dostawa przez Amerykański Czerwony Krzyż do szpitali. Ponieważ lokalizatory dostarczania są zwykle skupione wokół obszarów miejskich, użycie wypełniających przestrzeń krzywych Bartholdigo daje bardzo dobre sugestie trasowania, ponieważ krzywe odwiedzają wszystkie lokalizacje w regionie mapy przed przejściem do innego regionu. Naukowcy eksperymentowali również z krzywymi wypełniania przestrzeni dla celowania broni, ponieważ można zastosować technikę matematyczną, dzięki czemu działa ona bardzo skutecznie na komputerze wysyłanym na orbitę wokół Ziemi.

Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919), Arthur Moritz Schonflies (1853-1928), William Barlow (1845-1934)

Wyrażenie "grupy tapet" odnosi się do sposobów, w jakie płaszczyzna może być kafelkowana, dzięki czemu powstały wzór powtarza się w nieskończoność w dwóch wymiarach. Istnieje siedemnaście wzorów tapet, z których każdy jest identyfikowany przez symetrie, takie jak te obejmujące tłumaczenia (na przykład przesunięcie lub przesunięcie) i rotację. Wybitny rosyjski krystalograf E. S. Fiodorow odkrył i sklasyfikował te wzory w 1891 r. Wzory te były również badane niezależnie przez niemieckiego matematyka A. M. Schonfliesa i angielskiego krystalografa Williama Barlowa. Trzynaście z tych wzorów (formalnie znanych jako izometria) obejmuje pewną symetrię obrotową, podczas gdy cztery nie. Pięć pokazuje sześciokątne symetrie. Dwanaście pokazuje prostokąt symetrie. Maron Gardner pisze: "Istnieje siedemnaście różnych grup symetrii, które wykazują wszystkie zasadniczo różne sposoby powtarzania wzorów w nieskończoność w dwóch wymiarach. Elementy tych grup są po prostu operacjami wykonywanymi na jednym podstawowym wzorze: ślizganie się wzdłuż płaszczyzny. Obracanie lub odwrócenie lustra. Siedemnaście grup symetrii ma ogromne znaczenie w badaniu struktury kryształu". Geometria H. S. M. Coxeter zauważył, że sztuka wypełniania samolotu powtarzalnym wzorem osiągnęła swój szczyt w XIII-wiecznej Hiszpanii, gdzie Maurowie Maurowie wykorzystali wszystkie 17 grup w swoich pięknych dekoracjach pałacu i fortecy Alhambra. Ponieważ niektóre tradycje islamskie zniechęcały do wykorzystywania wizerunków ludzi w dziełach sztuki, symetryczne wzory tapet stały się szczególnie atrakcyjne jako dekoracje. Pałac Alhambra w Granadzie zawiera skomplikowane arabeskowe wzory, które zdobią płytki , tynki i rzeźby w drewnie. Wizyta holenderskiego artysty M. C. Eschera (1898--1972) w pałacu Alhambra wpłynęła na jego własną sztukę, która często jest pełna symetrii. Escher powiedział kiedyś, że jego wycieczki do Alhambry były "najbogatszym źródłem inspiracji, jakie kiedykolwiek wykorzystałem". Escher próbował "ulepszyć" dzieła Maurów, wykorzystując geometryczne siatki jako podstawę swoich szkiców, które następnie nałożył na projekty zwierząt