Wprowadzenie do liczb p-adycznych i analizy p-adycznej

CZĘŚĆ I : Kongruencje i równania modularne

Niech n ∈ Z (zazwyczaj będziemy mieli n > 0). Definiujemy binarną relację przez
Definicja 1.1 . Jeśli x,y ∈ Z ,wtedy x y jeśli i tylko jeśli n | (x-y). Jest to często zapisywane x ≡ y (mod n) lub x ≡ y (n).
Zauważ ,że kiedy n = 0, x y jeśli i tylko jeśli x = y, więc w tym przypadku jest tak naprawdę równością.
Założenie 1.2 Związek jest relacją równoważności na Z
Dowód. Niech x,y,z ∈ Z .Wyraźnie jest zwrotne ponieważ n | (x-x) = 0. Jest symetryczne ponieważ jeśli n |(x-y) wtedy x - y = kn dla pewnego k ∈ Z, zatem y - x = (-k)n a więc n |(y-x) .Dla przechodniości założymy ,że n | (x-y) i n|(y-z); wtedy ponieważ x-z = (x-y) + (y-z) mamy n | (x-z).
Oznaczmy klasę równoważności x ∈ Z przez [x]n lub tylko [x] jeśli n jest niezrozumiałe; użyjemy też x^ do tego jeśli wartość n jest jasna z kontekstu. Z definicji
[x]n = {y ∈ Z: y x } = {y ∈ Z: y = x + kn dla pewnego k ∈ Z}
i jest dokładnie |n| takich klas reszt, mianowicie
[0]n,[1]n,...,[n-1]n
Oczywiście możemy zastąpić tych reprezentantów przez innych
Definicja 1.3. Zbiór wszystkich klas reszt Z modulo n to
Z/n = {[x]n : x = 0,1,...,n-1}
Jeśli n = 0 interpretujemy Z/0 jako Z. Rozważmy funkcję
πn : Z → Z/n; πn(x) = [x]n.
Spełnia również
πn-1(α) = {x ∈ Z : x ∈ α}
Możemy zdefiniować dodawanie i mnożenie na Z/n wzorem

które są dobrze postrzegane jako dobrze zdefiniowane tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów x,y. Podamy bezpośredni dowód następnego wyniku.
Twierdzenie 1.4 : Zbiór Z/n z działaniami i jest pierścieniem przemiennym a funkcja πn :Z → Z/n jest homomorfizmem pierścienia który jest surjektywny i ma jądro
kerπn = [0n] = {x ∈ Z:x0}
Teraz rozważmy strukturę pierścienia Z/n. Zero to 0^ = [0]n a jedność to 1^ = [1]n. Możemy również spytać o dzielnik jedności i dzielnik zera. Poniżej, niech R będzie pierścienie przemiennym z jednością 1.
Definicja1.5 Element u ∈ R jest jednością jeśli istnieje v ∈ R spełniające
uv = vu = 1
Takie v jest konieczne jednoznacznie i jest nazywane inwersją u i zwykle jest zapisywane u-1
Definicja 1.6 z ∈ R jest dzielnikiem zera jeśli istnieje co najmniej jedno w ∈ R przy w ≠ 0 i zw = 0.Może być wiele takich w dla każdego dzielnika zera z.
Zauważmy ,że dowolny pierścień 0 jest zawsze dzielnikiem zera ponieważ 1*0 = 0 = 0*1
Przykład 1.7 . Niech n = 6; wtedy Z/6 = {0^,1^,...5^}. Jedności to 1^,5^ przy 1^-1 = 1^ a 5^-1 = 5^ ponieważ 52 = 251. Dzielnikami zera są 0^,2^,3^,4^ ponieważ 2^ 3^ - 0^. Twierdzenie 1.8. Niech n > 0. Wtedy Z/n jest sumą rozłączną
Z/n = {jedności} ∪ {dzielniki zera}
gdzie {jedności} jest zbiorem jedności w Z/n a {dzielniki zera} zbiorem dzielników zera. Co więcej
a)z^ jest dzielnikiem zera jeśli i tylko jeśli gcd(z,n) > 1
b) u^ jest jednością jeśli i tylko jeśli gcd(u,n) = 1
Dowód. Jeśli h = gcd(x,n) > 1 mamy x = x0h a n = n0h więc
n0x 0
Zatem x^ jest dzielnikiem zera w Z/n. Udowodnijmy b). Najpierw załóżmy ,że u^ jest jednością; niech v^ = u^-1 .Załóżmy ,że gcd(u,n) > 1 .Wtedy uv 1 a wiec dla pewnego całkowitego k
uv - 1 = kn
ale wtedy gcd(u,n) | 1, co jest absurdem. Więc gcd(u,n) = 1. Jeśli gcd(u,n) = 1 musimy zademonstrować ,że u^ jest jednością. Aby to zrobić musimy użyć algorytmu Euklidesa.
Przypomnienie 1.9 [Właściwość Euklidesa dla liczb całkowitych]. Niech a,b ∈ Z przy b ≠ 0; wtedy istnieje jednoznaczne q.r ∈ Z dla którego a = qb + r przy 0 ≤ r < |b| .Z tego możemy wydedukować
Twierdzenie 1.10 (Algorytm Euklidesa). Niech a,b ∈ Z wtedy istnieją jednoznaczne sekwencje liczb całkowitych qi, ri, spełanijące
a = q1b + r1
r0 = b = q2r1 + r2
r1 = q3r2 + r3
. . . 0 ≠ rN-1 = qN+1rN
gdzie mamy 0 ≤ ri < ri-1 dla każdego i. Co więcej, mamy rN = gcd(a,b) a wtedy przez zastąpienie wsteczne odpowiednich s,t ∈ Z możemy zapisać
rN = sa + tb
Przykład 1.11. Jeśli a = 6, b = 5, wtedy r0 = 5 i mamy
6 = 1*5 + 1 , więc q1 = 1, r1 = 1
5 = 5*1, więc q2 = 5, r2 = 0
Dlatego też mamy gcd(6,5) = 1 i możemy zapisać 1 = 1*6 + (-1) * 5
teraz wracamy do dowodu Twierdzenia 1.8. Używając algorytmu Euklidesa, możemy zapisać su+tn=1 dla odpowiednio s,t ∈ Z. Ale wtedy su -1, wiec u^ jest jednością w Z/n. To dowodzi części b). Ale mamy również część a0, a ponieważ dzielnik zera z^ nie może być jednością zatem musimy mieć gcd(z,n) > 1. Twierdzenie 1.8 pozwala nam na określenie liczby jedności i dzielników zera w Z/n. Mamy już |Z/n| = n
Definicja 1.12. |(Z/n)x| rzędu (Z/n)x. Z Twierdzenia 1.8, liczba ta równa się liczbie liczb całkowitych 0,1,2,...,n-1, które nie mają wspólnego współczynnika z n. Funkcja φ jest znana jako funkcja φ Eulera.
Przykład 1.13 . n=6: |Z/6| = 6 a zatem jednościami są 1^, 5^, stąd φ(6) = 2.
Przykład 1.14. n = 12: |Z/12| = 12 a jednościami sa 1^,5^,7^,11^, zatem φ(12) = 4
Generalnie, φ(n) jest dość złożoną funkcją n, jednak, w tym przypadku gdzie n = p, liczba pierwsza, odpowiedź jest prostsza.
Przykład 1.15 .Niech p będzie liczbą pierwszą (tj. p = 2,3,5,7,11,...). Wtedy jedynie nietrywialne współczynniki z p jest takim samym p φ(p) = p-1. Możemy powiedzieć więcej: rozważmy potęgę p, powiedzmy pr z r > 0. Wtedy liczby całkowite z listy 0,1,2,...,pr - 1, które mają współczynnik odpowiednio z pr są dokładnie tymi z postaci kp dla 0 ≤ k ≤ pr-1 - 1, stąd jest ich pr-1. Tak więc mamy φ(pr) = pr-1(p-1)
Przykład 1.16. Kiedy p = 2, mamy grupę (Z/2)px = {1^}, (Z/2p2)px = {1^,3^} ≅ Z/2, (Z/2p3)px = {1^,3^,5^,7^} ≅ Z/2 x Z/2 , i generalnie
(Z/2pr+1)px ≅ Z/2 x Z/2pr-1
dla dowolnego r ≥1. Tu pierwszym składnikiem sumy jest {±1^} a drugi może być uznany jako <3^>. Teraz dla ogólnego n mamy:
n=p1r1p2r2...psrs
gdzie każde i , pi jest liczbą pierwszą z
2 ≤ p1 < p2 < ... < ps
a ri ≥ 1. Wtedy liczby pi,ri są jednoznacznie określone przez n. Możemy podzielić Z/n na kopie Z/piri, z której każda jest prostsza do zrozumienia
Twierdzenie 1.17. Jest jednoznacznie izomorfizm pierścienia
Φ:Z/n ≅ Z/p1r1 x Z/p2r2 x ... x Z/psrs
i izomorfizm grup
Φx: (Z/n)x ≅ (Z/p1r1)x x (Z/p2r2)x x ... x (Z/psrs)x
Zatem mamy
φ(n) = φ(p1r1)φ(p2r2)...φ(psrs)
Dowód. Niech a,b > 0 będą liczbami względnie pierwszymi (tj. gcd(a,b) = 1). Wykażemy ,że jest izomorfizm pierścienia
Ψ:Z/ab ≅ Z/a x Z/b
Z Twierdzenia 1.10 ,jest u,v ∈ Z, takie ,że ua + vb = 1. Łatwo jest sprawdzić ,że
gcd(a,v) = 1 = gcd(b,u)
Definiujemy funkcję
Ψ:Z/ab → Z/a x Z/b ; Ψ([x]ab) = ([x]a, [x]b)
Łatwo zobaczyć homomorfizm pierścienia. Zauważ ,że
|Z/ab| = ab =|Z.a||Z/b| = |Z/a x Z/b|
a więc pokazuje ,że Ψ jest izomorfizmem, wydaje się pokazywać ,że jest onto .Niech ([y]a, [z]b) ∈ Z/a x Z/b. Musimy znaleźć x ∈ Z takie ,że Ψ([x]ab) = ([y]a, [z]b). Teraz ustawiamy x = vby + uaz; wtedy
x = (1- ua)y + uaz y
x = vby + (1-vb)z y
zatem mamy Ψ([x]ab) = ([y]a ,[z]b). Dal udowodnienia wyniku dla ogólnego n kontynuujemy przez indukcję na s
Przykład 1.8. Rozważmy przypadek n = 120 .Wtedy 120 = 8*3*5 = 23 * 3 * 5 a więc Twierdzenie prowadzi do tego ,że
Z/120 ≅ Z/8 x Z/3 x Z/5
Zweryfikujemy to. Najpierw zapiszemy 120 = 24 * 5. Wtedy gcd(24,5) = 1 ponieważ
24 = 4*5 + 4 ⇒ 4 = 24-4*5 i 5 = 4 + 1 ⇒ 1 = 5 - 4
skąd
1 = 5 * 5 - 24
Dlatego też możemy wsiąść a = 24, b =5, u = -1, v =5 w dowodzie Twierdzenia. Zatem mamy izomorfizm pierścienia
Ψ1:Z/120 → Z/24 x Z/5 ; Ψ1([25y -24z]120) = ([y]24, [z]5) , jak zbudowano w powyższym dowodzie. Następnie musimy powtórzyć tą procedurę dla pierścienia Z/24. Tu mamy
8 = 2*3 + 2 ⇒ 2 = 8 -2*3 i 3 = 2+1 ⇒ 1 = 3-2,
więc
gcd(8,3) = 1 = (-8)+3*3
Zatem jest izomorfizm pierścienia
Ψ2:Z/24 → Z/8 x Z/3 ; Ψ2([9x -8y]24) = ([x]8, [y]3)
i możemy oczywiście połączyć te dwa izomorfizmy aby uzyskać trzeci, mianowicie
Ψ:Z/120 → Z/8 x Z/3 x Z/5; ; Ψ([25(9x-8y) - 24z]120) = ([x]8, [y]3, [z]5)
Zauważ ,że mamy
Ψ-1([1]8,[1]3,[1]5) = [1]120
co jest zawsze w przypadku tej procedury>
Teraz przeniesiemy się do rozważenia tematu równania nad Z/n. Rozważmy następujący przykład
Przykład 1.19. Niech a,b ∈ Z przy n > 0. Wtedy
(1.1)     ax b
jest liniowym modularnym równanie lub liniową kongruencją nad Z. Jesteśmy zainteresowani w znalezieniu wszystkich rozwiązań równania 1.1 w Z, nie tylko jednego rozwiązania. Jeśli u ∈ Z ma właściwość ,że au b, wtedy u jest rozwiązaniem; ale wtedy liczby całkowitej w postaci u + kn , k ∈ są również rozwiązaniami. Zauważ ,że jest ich nieskończona liczba. Ale każde takie rozwiązanie daje tą samą kalsę kongruencji [u + kn]n = [u]n. Możemy również rozważyć
(1.2)     [a]nX = [b]n
jako równanie liniowe nad Z/n. Tym razem poszukamy rozwiązań równania 1.2 w Z/n a ponieważ samo Z/n jest skończone, jest tylko skończona liczba rozwiązań. Dozwolona liczba całkowita rozwiązań u z (1.1) daje rozwiązanie [u]n z 1.2; faktycznie wiele rozwiązań 1.1 daje to samo rozwiązanie 1.2. Rozwiązanie [v]n 1.2 generuje zbiór
[v]n = {v + kn : k ∈Z}
rozwiązań 1.1, więc jest faktycznie równoważnikiem tych dwóch problemów. Teraz spróbujmy rozwiązać 1.2, tj. spróbujemy znaleźć wszystkie rozwiązania w Z/n.Są dwa przypadki :
1) element [a]n ∈ Z/n jest jednością
2) element [a]n ∈ Z/n jest dzielnikiem zera
W przypadku (1) , niech [c]n = [a]n-1 będzie odwrotnością [a]n. Wtedy możemy pomnożyć 1.2 przez [c]n dla uzyskania
X = [bc]n
które ma dokładnie te same rozwiązania co 1.2 (dlaczego?). Co więcej, jest dokładnie jedno takie rozwiązania, mianowicie[bc]n!. Więc mamy całkowicie rozwiązane równanie 1.2 i znalezione ,że X = [bc]n jako jednoznaczne rozwiązanie w Z/n. Co nam to mówi o 1.1? Jest z pewnością nieskończenie rozwiązań, mianowicie, liczby całkowite w postaci bc + kn , k ∈ Z. Ale dane rozwiązanie u musi spełniać [u]n = [bc]n w Z/n, stąd u bc a więc u jest tej postaci. Więc rozwiązania 1.1 są dokładnie liczbami całkowitymi tej postaci. Tak więc w przypadku 1 i 2 mamy dokładnie jedno rozwiązanie w Z/n
X = [a]n-1[b]n
a 1.1 wtedy ma liczby całkowite cb+kn jako rozwiązania. W przypadku 2 mogą być rozwiązania 1.2 lub w ogóle. Na przykład równanie
nx 1
może mieć tylko rozwiązanie w Z jeśli n = 1. Jest również możliwość wielokrotnych rozwiązań w Z/n, jak pokazano przez przykład
2x 4
Są tu dwa rozwiązania 2^, 8^,. Zauważ ,że ta kongruencja może również być rozwiązana przez zredukowanie do
x 2
ponieważ jeśli 2(x-2) 0 ,wtedy x-2 , co jest przykładem przypadku 1. Więc jeśli [a]n nie jest jednością ,gubiona jest również jednoznaczność jak również gwarancja dowolnego rozwiązania. Możemy ogólniej rozważyć system równań liniowych


gdzie spróbujemy znaleźć wszystkie liczby całkowite x ∈ Z które równocześnie spełniają te kongruencje. Główny wynik w tej sytuacji jest co następuje:
Twierdzenie 1.20 (Chińskie twierdzenia o resztach). Niech n1,n2,...,nk będzie ciągiem względnie pierwszych liczb całkowitych, a1,a2,...,ak ciągiem liczb całkowitych spełniających gcd(ai,ni) = 1 a b1,b2,...,bk ciągiem liczb całkowitych. Wtedy system równoczesnych równań liniowych kongruencji


ma nieskończoną liczbę rozwiązań x ∈ Z które formują jednoznaczna klase kongruencji
[x]n1n2...nk ∈ Z/n1n2...nk
Dowód. Dowód używa izomorfizmu
Z/ab ≅ Z/a x Z/b
dla gcd(a,b) = 1 jak udowodniono w Twierdzeniu 1.17, razem z indukcją na k
Przykład 1.21. Rozważmy system


Ponieważ


ten system jest równoważny


Rozwiązanie pierwszych dwóch równań w Z/6, uzyskujemy jednoznaczne rozwiązanie x 3. Rozwiązując równoczesną parę kongruencji


uzyskujemy jednoznaczne rozwiązanie


w Z/30.
Twierdzenie 1.17 jest często używane do rozwiązywania równań wielomianowych modulo n, przez podział n na iloczyn potęg liczb pierwszych, powiedzmy n = p1r1p1r2...pdrd, a potem rozwiązania modulo pkrk dla każdego k.
Twierdzenie 1.22. Niech n = p1r1p2r2...pdrd, gdzie pk są różnymi liczbami pierwszymi przy każdym rk ≥ 1. Niech f(X) ∈ Z[X] będzie wielomianem ze współczynnikami całkowitymi. wtedy równanie
f(x) 0
ma rozwiązanie jeśli i tylko jeśli równania


wszystkie mają rozwiązania. Co więcej, każda sekwencja rozwiązań w Z/pkrk tego ostatniego daje jednoznaczne rozwiązanie x ∈ Z/n z f(x) 0 spełnia


Przykład 1.23. Rozwiążemy x2 - 1 0
Mamy 24 = 8*3, więc spróbujemy rozwiązać parę równań kongruencji


przy x1 ∈ Z/8, x2 ∈Z/3. Teraz wyraźnymi rozwiązaniami pierwszego równania są ; dla drugiego mamy . Łącząc to z użyciem Twierdzenia 1.17, uzyskujemy
x 1,5,7,11,13,17,19,23
Morał tego jest taki ,że tylko musimy się martwić o Z/pr gdzie p jest liczbą pierwszą. . Teraz rozważmy ten przypadek szczegółowiej. Po pierwsze przestudiujemy przypadek r = 1. Teraz Z/p jest polem, tj. każdym niezerowy element ma inwersję. Potem mamy:
Twierdzenie 1.24. Niech K będzie polem, a f(X) ∈ K[X] będzie wielomianem ze współczynnikami w K. Wtedy dla α ∈ K
f(α) = 0 ⇔ f(X) = (X - α)g(X) dla pewnego g(X) ∈ K[X]
Dowód. Jest to standardowy wynik w podstawowej teorii pierścienia.
Twierdzenie 1.25. Przy hipotetycznym Twierdzeniu 1.24, zakładamy ,że d = deg f. Wtedy f(X) ma najwyżej d różnych pierwiastków w K.
Jako szczególnych przypadek, rozważmy pole Z/p, gdzie p jest liczbą pierwszą, a wielomian
Xp - X , Xp-1 - 1^ ∈ Z/p[X]
Twierdzenie 1.26 (Twierdzenie Fermata) .Dla dowolnego a^ ∈ Z/p, albo a^ = 0^ albo (a^)p-1 = 1^ (w drugim przypadku a^ jest a(p-1)tym pierwiastkiem z 1).Zatem
Xp - X = X(X-1^)(X-2^)...(X-(p-1)^)
Twierdzenie 1.27 (Twierdzenie Wilsona). Dla dowolnej liczby pierwszej p mamy
(p-1)! ≡ -1 (mod p)
Twierdzenie 1.28 (Twierdzenie o pierwiastku pierwotnym Gaussa). Dla dowolnej liczby pierwszej p, grupa (Z/p) jest cykliczna rzędu p-1. Zatem istnieje element a^ ∈ Z/p rzędu p-1
Dowód na to wykorzystuje na przykład twierdzenie struktury dla skończenie generowanych grup abelowych. Generator (Z/p)x jest nazywany pierwiastkiem pierwotnym modulo p i jest dokładnie φ(p-1) w Z/p)x. Przykład 1.29 Weźmy p = 7. Wtedy φ(6) = φ(2)φ(3) = 2, więc sa dwa pierwiastki pierwotne modulo 7. Mamy


zatem 3^ jest jednym pierwiastkiem pierwotnym , drugim musi być 35^ = 5^
Zaletą pracy z polem K jest to ,że cała podstawowa algebra liniowa działa również nad K. Na przykład, możemy rozwiązać system równoważnych równań liniowych w zwykły sposób przez eliminację Gaussa.
Przykład 1.30. Weźmy p = 11 i rozwiążmy system równoważnych równań


tj, znajdujemy wszystkie rozwiązania z x,y,z ∈ Z/11
Tu możemy pomnożyć pierwsze równanie przez 3^-1 = 4^, uzyskując


potem odejmujemy dwukrotnie od drugiego


i wiemy ,że stopień tego systemu to 2. Ogólne rozwiązanie to


dla t ∈ Z
Teraz rozważmy wielomian f(X) ∈ Z[X] ,


Załóżmy ,że chcemy rozwiązać równanie


dla pewnego r ≥ 1 i załóżmy, że już mamy rozwiązanie x1 ∈ Z który działa modulo p, tj. mamy


Możemy znaleźć liczbę całkowitą x2 takie ,że


a ? Bardziej ogólnie, chcielibyśmy znaleźć liczbę całkowitą xr taką ,że


a ? Takie xr jest nazywane podniesieniem x1 modulo pr
Przykład 1.32. Weźmy p = 5 i f(X) = X2 + 1. Wtedy są dwa różne pierwiastki pierwotne modulo 5, mianowicie 2^,3^. Spróbujmy znaleźć pierwiastek modulo 25 i zgadzając się z 2 modulo 5. Spróbujemy 2 +5t, gdzie t = 0,1,...,4. Wtedy musimy


lub równoważnie


co ma rozwiązanie


Przykład 1.32 Uzyskanie podniesienia 2,3 modulo 625
Kolejny wynik jest najprostszą wersją tego do czego odnosimy się jako lematu Hensela. W różnych formach jest to ważny wynik, którego dowód jest inspirowany dowodem Newtona z analizy numerycznej.
Twierdzenie 1.33 (lemat Hensela: wersja pierwsza). Niech f(X) = &Sigmak=0dakXk ∈ Z[X] i załóżmy ,że x ∈ Z jest pierwiastkiem z f modulo ps (przy s ≥ 1) i ,że f′(x) jest jednostką modulo p. Wtedy jest jednoznaczny pierwiastek x′^ ∈ Z/ps+1 spełnia , co więcej x′ jest podane wzorem


gdzie u ∈ Z spełnia , tj. u jest inwersją dl af′(x) modulo p
Dowód. Mamy


więc jest takie u ∈ .Teraz rozważmy wielomian f(x+Tps) ∈ Z[T]. Wtedy
f(x+Tps) ≡ f(x) + f′(x)tps + ... (mod p2s)
Łatwe wyliczenie pokazuje ,że


Przykład 1.34. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą i niech f(X) = Xp-1 -1. Wtedy z Twierdzenia 1.28 mamy dokładnie p-1 różnych (p-1)pierwszych pierwiastków 1 modulo p; niech α = a^ ∈ Z/p będzie jednym z nich. Wtedy a więc f′(α) ≠ 0 i możemy zastosować Twierdzenie 1.33. Zatem jest jednoznaczne podniesienie a modulo p2, powiedzmy a2, zgodne z a1 a modulo p. Więc funkcja redukcji
ρ1 : (Z/p2)x → (Z/p)x; ρ1(b^)= b^
musi być homomorfizmem grupy. Dla takiego α1 = α istnieje jednoznaczny element α2 ∈ Z/p2 spełniający α2p-1 = 1 i dlatego grupa (Z/p2)x zawiera jednoznaczną podgrupę cykliczna rzędu p-1, którą ρ1 odwzorowuje izomorficznie do (Z/p)x/ Jak pokazaliśmy wcześniej |Z/p2| ma rząd (p-1)p, to oznacza ,że jest izomorfizm grupy
(Z/p2)x ≅ (Z/p)x x Z/p
przez standardowy wynik na grupach abelowych. Możemy powtórzyć ten proces do zbudowania jednoznacznej sekwencji liczb całkowitych a1,a1,.... spełniające i Możemy również wydedukować ,że redukcja homomorfizmów
ρk:(Z/pk+1)x → (Z/pk)x
jest cała onto i jest izomorfizmami
(Z/pk+1)x ≅ (Z/p)x x Z/pk
Przypadek p = 2 jest podobny, tylko tym razem mamy pojedynczy pierwiastek z X2-1 - 1 modulo 2 i uzyskujemy izomorfizmy
(Z/2)x = 0, (Z/4)x ≅ Z/2, (Z/2s)x ≅ Z/2s-2 jeśli s ≥ 2
Jest również możliwe do wykonania przykładów obejmujący systemy wielu zmiennych równań równoważnych używając bardziej ogólnej wersji lematu Hensela
Twierdzenie 1.35 (Lemat Hensela : wiele zmiennych i funkcje). Niech
fj(X1,X2,...,Xn) ∈ Z[X1,X2,...,Xn]
dla 1 ≤ j ≤ m będzie zbiorem wielomianów i zbiór f = (fj). Niech a = (a1,...,an) ∈Zn będzie rozwiązaniem f modulo pk .Załóżmy ,że macierz pochodna
Df(a) = (∂fj/∂Xi * (a))
ma pełny zakres kiedy jest rozpatrywana jako macierz zdefiniowana nad Z/p .Wtedy mamy rozwiązanie a′ = (a′1,...,a′n) ∈ Zn z f modulo pk+1 spełniających
Przykład 1.36. Dla każdej z wartości k = 1,2,3 , rozwiąż system równoważnych


. W końcu ustanowimy wersję lematu Hensela, który stosuje się w nieco bardziej ogólnych warunkach niż powyższe i będą miały znaczenie później
Twierdzenie 1.37 (Lemat Hensela: wersja ogólna). Niech f(X) ∈ Z[X] , r ≥ i a ∈ Z, spełniające równania


Wtedy istnieje a′ ∈ Z takie ,że



CZĘŚĆ II : Norma p-adyczna i liczby p-adyczne

Niech R będzie pierścieniem z jednością 1 = 1R.
Definicja 2.1 Funkcja
N:R → R+ = {r∈R:r ≥ 0}
jest nazywana normą w R jeśli poniższe jest prawdziwe:
(Na) N(x) = 0 jeśli i tylko jeśli x = 0;
(Nb) N(xy) = N(x)N(y) ∀x,y ∈R
(Nc) N(x+y) ≤ N(x) + N(y) ∀ x,y ∈R
(Nc) jest nazywane nierównością trójkąta .Norma N jest nazywana nie-archimedesową jeśli (Nc) może być zastąpiona przez silniejszą instrukcją , ultarmetryczna nierówność:
(Nd) N(x+y) ≤ max{N(x),N(y)} ∀ x,y ∈ R
Jeśli (Nd) nie jest prawdziwe wtedy norma N jest nazywana archimedesową
Ćwiczenie: Wykaż ,że dla nie-archimedesowej N, (Nd) można wzmocnić do :
(Nd′) N(x+y) ≤ max{N(x),N(y)} ∀x,y ∈ R z równością jeśli N(x) ≠ N(y)
Przykład 2.2 (i) Niech R ⊆ C będzie podpierścieniem liczb zespolonych C. Wtedy ustawienie N(x) = |x|, zazwyczaj wartość absolutna, daje normę na R. W szczególności, stosuje się to do przypadków R = Z,Q,R,C. TA norma jest archimedesowa z powodu nierówności
|1+1| = 2 > |1| = 1
(ii)Niech
C(I) = {f:I → : f ciągła}
gdzie I = [0,1] jest przedziałem jednostkowym. Wtedy funkcja |f|(x) = |f(x)| jest ciągła dla dowolnego f ∈ C(I) a zatem przez podstawową analizę
∃xf ∈ I takie ,że |f|(xf) = sup{|f|(x) : x ∈ I}
Zatem możemy zdefiniować funkcję:
N:C(I) → R+; N(f) = |f|(xf),
co okazuje się być normą archimedesową na C(I), zazwyczaj nazywaną normą supremum. Działa to na zastąpienie I przez zbiór zwarty X ⊆ C
Rozważmy przypadek R = Q, pierścienia liczb wymiernych a/b, gdzie a,b ∈ Z i b ≠ 0
Definicja 2.3. Jeśli 0 ≠ x ∈ Z, p-adic porządkowe (lub waluacja) z x to
ordp x = max{r:pr|x} ≥ 0
Dla a/b ∈ Q, p-adic porządkowy z a/b
ordp a/b = ordpa - ordpb
Zauważ ,że we wszystkich przypadkach, ordp daje liczbę całkowitą i ,że dla wymiernego a/b, wartość ordp a/b jest dobrze zdefiniowana tj. jeśli a/b = a′ / b′ wtedy
ordpa - ordpb = ordpa′ - ordpb′
Wprowadzimy również konwencję, że ordp0 = ∞ Twierdzenie 2.4 .Jeśli x,y ∈ Q, , ordp ma następujące właściwości:
a) ordp x = ∞ jeśli i tylko jeśli x = 0
b) ordp(xy) = ordpx + ordpy
c) ordp(x+y) ≥ min{ordpx, ordpy} z równością jeśli ordpx ≠ ordpy
Dowód. a) i b) są łatwe i pozostawiamy je czytelnikowi; zajmiemy się c). Niech x,y będą niezerowymi liczbami wymiernymi. Zapiszemy
x = pr a/b i y = ps c/d
gdzie a,b,c,d ∈ Z z p | a,b,c,d i r,s ∈ Z. Teraz jeśli r = s , mamy
x+y=pr(a/b+ c/d) = pr * (ad+bc)/bd
przy danym ordp(x+y) ≥ r ponieważ p | bd
Teraz załóżmy ,że r ≠ s ,s > r. Wtedy
x+y = pr (a/b + ps-r c/d) = pr*(ad+ps-r bc)/bd
Zauważmy ,że s-r > 0 i p | ad, wtedy
ordp(x+y) = r = min{ordpx,ordpy}.
Argument dla tego przypadku gdzie co najmniej jeden wyraz jest zerem zostawiamy jako ćwiczenie.
Definicja 2.5. Dla x ∈ Q, niech norma p-adyczna z x będzie dana przez


Twierdzenie 2.6 .Funkcja | |p: Q → R+ ma właściwości
a) |x|p = 0 jeśli i tylko jeśli x = 0;
b) |xy|p = |x|p|y|p; c) |x+y|p ≤ max{|x|p,|y|p} z równością jeśli |x|p ≠ |y|p
Zatem | |p jest normą niearchimedesową na Q
Dowód. Wynika to łatwo z Twierdzenia 2.4.
Teraz rozważmy normę ogólną N w pierścieniu R.
Definicja 2.7. Odległość między x,y ∈R w odniesieniu do N to
dN(x,y) = N(x-y) ∈ R+
Łatwo wynika z właściwości normy ,że
(Da) dN(x,y) = 0 jeśli i tylko jeśli x = y
(Db) dN(x,y) = dN(y,x) ∀x,y ∈ R
(Dc) dN(x,y) ≤ dN(x,z) + dN(z,y) jeśli z∈ R jest trzecim elementem.
Co więcej ,jeśli N jest nie-archimedesowe, wtedy druga właściwość jest zastępowana przez
(Dd) dN(x,y) ≤ max{dN(x,z), dN(z,y)} z równością jeśli dN(x,z) ≠ dN(z,y)
Twierdzenie 2.8 (Zasada trójkąta równoramiennego).Niech N będzie normą nie-archimedesową w pierścieniu R. Niech x,y,z ∈ R będą takie ,że dN(x,y) ≠ dN(x,z).Wtedy
dN(x,z) = max{dN(x,y),dN(x,z)}
Zatem, każdy trójkąt jest równoramienny w świecie nie-archimedesowym.
Dowód. Używamy powyższego (Dd)
Teraz niech ann ≥ 1 będzie ciągiem elementów z R, pierścienia z normą N.
Definicja 2.9. Sekwencja an dąży do granicy a ∈ R odnośnie do N jeśli
∀ > 0∃M ∈ N takie ,że n > M ⇒ N(a - an) = dN(a,an) < ε Użyjemy notacji


Definicja 2.10. Sekwencja (an)jest Cauche′ w odniesieniu do N jeśli
∀ε > 0∃M ∈ N takie ,że m,n > M ⇒ N(am - an) = dN(am,an) < ε Twierdzenie 2.11 Jeśli istnieje , wtedy (an) jest Cauche′go w odniesieniu do N
Dowód. Niech a = .Wtedy możemy znaleźć M1 takie ,że
n > M1 ⇒ N(a-an) < ε / 2
Jeśli m,n > M1, wtedy N(a-amn) < ε/2 i N(a-an) < ε/2, zatem uzyskujemy
N(am-an) = N(((am-a) + ((a-an)) ≤ N(am-an) + N(a-an) < ε/2 + ε/2 = ε
wykorzystując nierówności z (Nc)
Ćwiczenie: Wykaż ,że w przypadku kiedy N jest nie-archimedesowe, nierówność
N(am - an) < ε/2
utrzymuje się w tym dowodzie. Rozważmy przypadek R = Q, liczb wymiernych, z normą p-adyczną | |p.
Przykład 2.12. Weźmy sekwencje a,sub>n = 1 + p + p2 + ... + pn-1. wtedy mamy
|an+k - a n|p = |pn + pn+1+...+pn+k-1|pp = 1/pn
Dla każdego ε > 0, możemy wybrać M dla którego pM ≥ 1/ε, więc jeśli n > M, mamy |an+k - an|p < 1/pM ≤ ε
To pokazuje, że (an) jest Cauchy′ego. faktycznie, ta sekwencja ma granicę w odniesieniu do ||p. Weźmy a = 1/(1-p) ∈ Q; wtedy mamy an = (pn -1)/(p-1), zatem
|an - 1/(1-p)|p = |pn/(p-1)|p = 1/pn.
Więc dla ε > 0 mamy
|an - 1/(1-p)|p < ε
ilekroć n > M.Zapiszemy w miejsce .Więc w ostatnim przykładzie mamy


Ponownie rozważmy ogólną normę N w R.
Definicja 2.13. Sekwencja (an) jest nazywana ciągiem pustym jeśli


Oczywiście, zakłada do istnienie granicy! Łatwo zobaczyć równoważność tego faktu ,że w liczbach rzeczywistych ze zwykłą normą ||;


Przykład 2.14. W pierścieniu Q razem z normą p-adyczną ||p, mamy an = pn. Wtedy
|pn|p = 1/pn → 0 ponieważ n → ∞ więc .Zatem ta sekwencja jest zerowa w odniesieniu do normy p-adycznej.
Przykład 2.15. Użyjemy tej samej normy jak w Przykładzie 2.14 z an = (1+p)pn - 1.Wtedy dla n = 1


ponieważ 1 ≤ k ≤ p-1


Zatem |a1|p = 1/p2. Dla ogólnego n, przejdziemy przez indukcję na n, i wykażemy ,że
|an|p = 1 / pn+1
Zatem widać ,że przy n → ∞ |an|p → 0, więc ta sekwencja jest zerowa w odniesieniu do normy p-adycznej ||p.
Przykład 2.16. R = Q,N = ||, zwykła norma. Rozważmy ciąg (an), której n-ty wyraz jest dziesiętnym rozwinięciem √2 nie jest liczbą wymierną chociaż jest rzeczywistą, ale (an) jest ciągiem Cauchy′ego. Ostatni przykład pokazuje ,że mogą być luki w pierścieniu unormowany,. tj. granica sekwencji Cauchy′ego nie istnieje. Liczby rzeczywiste mogą być traktowane jak liczby wymierne ze wszystkimi zaginionymi granicami wstawionymi. Rozwiniemy ten pomysł dalej. Niech R będzie pierścieniem z normą N, Definiujemy poniższe dwa zbiory
CS(R,N) = zbiór sekwencji Cauchy′ego w R w odniesieniu do N
Null(R,N) = zbiór pustych sekwencji w R w odniesieniu do N
Więc elementy CS(R,S) są sekwencjami Cauchy′ego (an) w R ,a elementy Null(R,N) są pustymi sekwencjami (an).Zauważmy ,że Możemy dodawać i mnożyć elementy CS(R,N) używając wzoru
(an) + (Bn) = (an + bn) , (an) x (bn) = (anbn)
ponieważ łatwo jest sprawdzić ,że te operacje binarne są funkcjami postaci
+,x: CD(R,N) x CS(R,N) → CS(R,N)
Uwaga: Elementy 0CS = (0), 1CS = (1R) razem z tymi działaniami przekształcają CS(R,N) na pierścień (przemienny jeśli jest R) z zerami 0CS i jedności 1CS. Co więcej, podzbiór Null(R,N) jest ideałem dwustronnym CS(R,N), ponieważ jeśli (an) ∈ CS(R,N) a (bn) ∈ Null(R,N), wtedy
(anbn),(bnan) ∈ Null(R,N)
co można zobaczyć przez wyliczenie i
Możemy potem zdefiniować pierścień ilorazowy CS(R,N) / Null(R,N); jest ot nazywane zakończeniem R w odniesieniu do normy N, i jest oznaczana przez lub tylko jeśli norma jest wyraźna. Zapisujemy {an} dla warstwy sekwencji Cauchy′ego (an). Zero i jedność są to oczywiście odpowiednio {0R} i {1R}. Norma N może być rozszerzona do jak pokazuje poniższy ważny wynik
Twierdzenie 2.17. Pierścień ma sumę + i iloczyn x dane przez
{an} + {bn} = {an + bn} , {an} x {bn} = {anbn}
i jest przemienny jeśli jest R. Co więcej, jest jednoznaczna norma N^ na spełniająca N^({a}) = N(a) dla stałej sekwencji Cauchy′ego (an) = (a) z a ∈ R; ta norma jest definiowana przez:


przy granicy w liczbach rzeczywistych R. W końcu N^ jest nie-archimedesowa jeśli i tylko jeśli jest N
Dowód. Najpierw zweryfikujemy ,że N^ jest normą. Niech {an} ∈R^. Powinniśmy sprawdzić że definicja N^({an}) ma sens. Dla każdego ε > 0 mamy M takie ,że jeśli m,n > M wtedy N(am,an) < ε. Aby przejść dalej musimy użyć nierówności
Uwaga:
|N(x) - N(y)| ≤ N(x-y) dla wszystkich x,y ∈R
Dowód. Z (Nc)
N(x) = N((x-y)+y) ≤ N(x-y) + N(y)
implikuje
N(x) - N(y) ≤ N(x-y)
Podobnie
N(y) - N(x) ≤ N(y-x)
Ponieważ N(-z) = N(z) dla wszystkich z ∈ R (dlaczego?), mamy
|N(x)-N(y)| ≤ N(x-y)
Ten wynik mówi nam ,że dla ε > 0 jest M dla którego jeśli m,n > M mamy
|N(am) - N(an)| < ε
co pokazuje ,że ta sekwencja liczb rzeczywistych (N(an)) jest ciągiem Cauchy′ego w odniesieniu do zwykłej normy ||. Z podstawowej analizy wiemy ,że ma granicę


Zatem jest M′ takie ,że M′ < n implikuje ,że
|l - N(an)| < ε
Więc pokazujemy ,że


jest zdefiniowane. Mamy


udowadniając (Nc). Również ,przy danych {an} i {bn} mamy


co udowadnia (Nb). W końcu


co daje (Nc). Zatem N^ jest z pewnością normą. Musimy jeszcze wykazać ,że jeśli N jest nie-archimedesowa, wtedy jest N^. Użyjemy poniższego ważnego lematu
Lemat 2.18. Niech R będzie pierścieniem z nie-archimedesową normą N. Załóżmy ,że (an) jest ciągiem Cauchy′ego i ,że b ∈ R ma właściwość taką ,że . Wtedy jest M takie ,że flagi wszystkich m,n > M
N(am - b) = N(an - b)
więc sekwencja liczb rzeczywistych (N(an - b)) jest ostatecznie stała. W szczególności, jeśli(an) nie jest ciągiem zerową, wtedy sekwencja (N(an)) jest ostatecznie stała.
Dowód. Zauważ ,że
|N(am - b) - N(an - b)| ≤ N(am - an)
więc (N(an - b)) jest Cauchy′ego w R. Niech l = limn→∞N(an - b);zauważ również ,że l > 0. Zatem istnieje M1 takie ,że n > M1 implikuje
N(an - b) > l/2
Również istnieje M2 takie ,że m,n > M2 implikuje
N(am - an) < l/2
ponieważ (an) jest Cuachy′ego w odniesieniu do N. Teraz weźmy M = max{M1,M2} i rozważmy m,n > M. Wtedy
N(am - b) = N ((an) - b) + (am - an)) = max{N(an - b), N(am - an)} = N(an - b)
ponieważ N(an - b) > l/2 i N(am - an) < l/2
Wróćmy do dowodu Twierdzenia 2.17. Niech {an},{bn} mają właściwość
N^({am}) ≠ N^({bn})
możemy założyć ,że żadna z nich nie jest {0}ponieważ w przeciwnym razie nierówność w (Nd) jest trywialna do sprawdzenia. Z lematu przy b = 0 możemy znaleźć liczby całkowite M′ , M″ takie ,że
n > M′ ⇒ N(an) = N^({an})
i n > M′ ⇒ N(bn) = N^({bn})
Zatem dla n > max{M′,M″} mamy


To udowadnia (Nd) dla N^ i kończy dowód Twierdzenia 2.17.
Definicja 2.19. Pierścień z normą N jest skończony w odniesieniu do normy N jeśli każda sekwencja Cauchy′ego ma granicę w R w odniesieniu do N
Przykład 2.20. Pierścień liczb rzeczywistych jest skończony w odniesieniu do zwykłej normy ||.
Definicja 2.21. Niech R będzie pierścieniem z normą N, i niech X ⊆ R; wtedy X jest gęste w R jeśli każdy element R jest granicą (w odniesieniu do N) elementów X.
Twierdzenie 2.22. Niech R będzie pierścieniem z normą N. Wtedy R^ jest skończone w odniesieniu do N^. Co więcej, R może być identyfikowane z gęstością podpierścienia R^.
Dowód. Najpierw zaobserwujmy ,że dla a ∈ R, stała sekwencja (an) = (a) jest Cauchy′ego a więc uzyskujemy element {a} w R^; to pozwala nam osadzić R jako podpierścień R^ (jest to konieczne dla zweryfikowania ,że inkluzja R R^ zachowuje sumy i iloczyny). Zidentyfikujemy R jego własnym obrazem bez dalszego komentarza; zatem często użyjemy a ∈ R dla oznaczenia elementy {a} ∈ R^. Łatwo jest sprawdzić ,że jeśli (an) jest ciągiem Cauchy′ego w R w odniesieniu do N, wtedy (an) jest również ciągiem Cauchy′ego w R^ w odniesieniu do N^. Oczywiście można nie mieć granicy w R, ale jest zawsze ma granicę w R^ , mianowicie element {(an)} z definicji R^. Teraz załóżmy ,że (αn) jest ciągiem Cauch′ergo w R^ w odniesieniu do normy N^. Wtedy musimy wykazać ,że jest element α ∈ R^ dla którego
(2.1)


Zauważ ,że każde αm jest faktycznie klasą równoważną sekwencji Cauchy′ego (amn) w R w odniesieniu do normy N ,zatem jeśli rozważamy każde amn jako element R^ jak powyżej, możemy zapisać
(2.2)


Musimy skonstruować ciąg Cauchy′ego (cn) w R w odniesieniu do N takie, że


Wtedy α = {cn} jest wymaganą granicą (αn). Teraz dla każdego , z równania (2.2) jest Mm takie ,że kiedy n > Mm
N^(αm - amn) < 1/m
Dla każdego m teraz wybieramy liczbę całkowitą k(m) > Mm ; możemy nawet założyć , że te liczby całkowite są ściśle rosnące, zatem
k(1) < k(2) < ... Definiujemy naszą ciąg (cn) przez ustawienie cn = ank(n), Musimy wykazać ,że ma wymagane właściwości
Lemat 2.23. (cn) jest ciągiem Cauchy′ego w odniesieniu do N a zatem N^
Dowód. Niech ε 0. Ponieważ (αn) jest ciągiem Cauchy′ego jest M′ takie ,że jeśli n1,n2 > M′ wtedy
N^(αn1 - αn2) < ε/3
zatem


Jeśli teraz wybierzemy M| - ma{M′,3/ε}, wtedy dla n1,n2 > M, mamy
N^(cn1 - cn2) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε
a więć sekwencja (cn) jest rzeczywiście Cauchy′ego
Lemat 2.24
Dowód. Niech ε > 0. Wtedy oznaczamy {cn} przez γ, mamy


Następnie wybieramy M″ tak ,że M″ ≥ 2/ε i kiedy n1,n2 > M″ wtedy
N(an1k(n1) - an2k(n2))< ε/2
Więc dla m,n > M″ mamy
N(amk(m) - ank(n)) + N^((amk(m) - αm)< ε/2+ε/2 = ε
Stąd widzimy ,że
N^(γ-αm) < ε ∀m > M″
Lematy 2.23 i 2.24 kończą dowód Twierdzenia 2.22 Teraz skupimy się na przypadku R = Q wyposażonym w normę p-adyczną N = ||p dla liczby pierwszej p.
Definicja 2.25. Pierścień liczb p-adycznych jest skończeniem Q^ z Q w odniesieniu do N = ||p; będziemy go oznaczać Qp, Norma na Qp będzie oznaczona ||p
Definicja 2.26 Jednostką dyskową wokół 0 ∈ Qp jest zbiór liczb całkowitych p-adycznych
Zp = {α ∈ Qp : |α|p ≤ 1}
Twierdzenie 2.27. Zbiór liczb całkowitych p-adycznych Zp jest podpierścieniem z Qp. Każdy element z Zp jest granicą sekwencji (nieujemnych) liczb całkowitych i odwrotnie, każda sekwencja Cauchy′ego w Q składająca się z liczb całkowitych ma granicę w Zp.
Dowód. Niech α, β ∈ Zp. Wtedy
|α + β|p ≤ max{|α|p , |β|p} ≤ 1
a zatem α + β ∈ Zp. Podobnie, αβ ∈ Zp przez (Nb). Zatem Zp jest podpierścieniem z Qp. Z definicji Qp mamy to ,że jeśli α ∈ Zp, wtedy α = {an} przy an ∈ Q a sekwencja (an) będzie ciągiem Cauchy′ego. Z lematu 2.18, wiemy ,że dla pewnego M, jeśli n > M wtedy |an|p = c dla pewnej stałej c ∈ Q. Ale wtedy mamy |α|p c a więc c≤ 1. Więc bez utraty ogólności, możemy założyć ,że |an|p ≤ 1 dla wszystkich n. Teraz zapiszemy an = rn/sn przy rn,sn ∈ Z i sn ≠ 0.Wtedy możemy założyć ponieważ ordprn - ordpsn ≥ 0. Ale to oznacza ,że dla każdego m możemy rozwiązać równanie w Z, więc niech umn ∈ Z spełnia . Możemy nawet założyć ,ze 1 ≤ unm ≤ pm -1 przez dodanie wielokrotności pm w razie potrzeby. Zatem dla każdego m mamy
|snunm - 1| ≤ 1/pm
Wtedy znajdujemy dla każdego m
|rn / sn - rnunm|p = |rn(1-snunm) / sn|p ≤ 1/pm
Teraz dla każdego m , jest km dla którego
|α - akm|p < 1/pm
dlatego


Stąd


wykazując ,że α jest granicą nieujemnych liczb całkowitych. Teraz opiszemy elementy Qp wyraźniej, używając p-adycznego rozwinięcia cyfry. Zaczniemy od elementów Zp. Więc przypuśćmy ,że α ∈ Zp. Z Twierdzenia 2.27 wiemy ,że jest liczba całkowita α0 spełniający warunek
0 - α|p < 1 , 0 ≤ α0 ≤ (p-1)
Liczba całkowita p-adyczna α - α0 ma normę ≤ 1/p a więc liczba p-adyczna (α - α0)/p jest w Zp/ Powtarzając ostatni krok, uzyskujemy liczbę całkowitą α1 spełniająca
|α - (α0 + α1p)|p < 1/p, 0 ≤ α1 ≤ (p-1)
Ponownie to powtarzając, znajdujemy ciąg liczb całkowitych αn dla której
|α-(α0 + α1p+...+αnpn)|p < 1/pn , 0 ≤ αn ≤ (p-1)
Sekwencja (βn) dla której
βn = α0 + α1p + ... + αnpn
jest ciągiem Cauchy′ego w odniesieniu do ||p. Co więcej jego granicą jest α ponieważ
|α - βn|p < 1/pn
Więc mamy rozwinięcie
α = α0 + α1p + α2p2+...
przypominające dziesiętne rozwinięcie liczby rzeczywistej ale z możliwie nieskończenie wiele dodatnimi potęgami p. Jest to (standardowe) rozwinięcie p-adyczne α ∈ Zp a αn są znane jako (standardowe) cyfry p-adyczne. Ma jedną subtelną różnicę w stosunku do rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej, mianowiocie jest jednoznaczne. Aby to zobaczyć, załóżmy ,że
α = α′0 + α′1p + α′2p2 + ...
jest drugim takim rozwinięciem z właściwościami pierwszego. Niech d będzie pierwszą liczbą całkowitą dla której αd ≠ α′d. Wtedy możemy założyć bez zgubienia ogólności ,że αd < α′d i stąd 1 ≤ α′d - αd ≤ (p-1).Jeśli
β′n = α′0 + α′1p + ... + α′npn
wtedy
β′d - βd = (α′d - αd)pd
stąd
|β′d - βd|p = 1/pd
Zauważmy ,że


co wyraźnie przeczy ostatniemu równaniu. Więc nie ma takich istniejących d i jest tylko jedno takie rozwinięcie. Teraz niech α ∈ Qp będzie liczbą p-adyczną. Jeśli |α|p ≤ 1, widzimy już jak znaleźć jej rozwinięcie p-adyczne. Jeśli |α|p > 1 ,załóżmy |α|p = pk przy k > 0. Rozważmy β = pkα , który ma |β|p = 1; to ma rozwinięcie p-adyczne
β = β0 + β1p + β2p2+...
Wtedy


przy 0 ≤ βn ≤ (p-1) dla każdego n. Nasze omówienie doprowadziło nas do ważnego wyniku.
Twierdzenie 2.28 .Każda liczba p-adyczna α ∈ Qpma jednoznaczne rozwinięcie p-adyczne


przy αn ∈ Z i 0 ≤ αn ≤(p-1). Dalej α ∈ Zp jeśli i tylko jeśli α-r = 0 kiedy r > 0.
Możemy wykonać arytmetykę w Qp w podobny sposób jak jest to robione w R z rozwinięciem dziesiętnym.
Przykład 2.29 Znajdź
(1/3 + 2 + 2*3 + 0*32 + 2*33 + ...) + (2/32 + 0/3 + 1 + 2*3 + 1*32 + 1*33 + ...)
Chodzi o to ,aby zacząć od lewej do prawej . Zatem jeśli odpowiedź jest
α= a-2 / 32 + a-1/3 + a0 + a3 + ... wtedy


a więc


gdzie 1 jest przenoszone z wyrazu 30. Kontynuując otrzymujemy


a więc otrzymujemy
α = 2/32 + 1/3 + 0 + 2*3 + 2*32 + 0*33 +... jako suma wewnątrz wyrazu 3-adycznej normy mniejszej niż 1/33.
Zauważ ,że rozwinięcie p-adyczne liczby p-adycznej jest jednoznaczne, podczas gdy rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej nie musi. Na przykład
0.999.... = 1.0000... = 1
Twierdzenie 2.30 .Niech R będzie polem z normą N. Wtedy R^ jest polem. W szczególności ,Qp jest polem.
Dowód. Niech {an} będzie elementem R^, nie równym {0}. Wtedy N^({an}) ≠ 0. Wstawiamy


Wtedy jest M takie ,że n >M implikuje ,że N(an) > l(2) (dlaczego?), więc dla takich n mamy an ≠ 0. Więc ewentualnie an ma inwersję w R. Teraz zdefiniujemy ciąg (bn) w R przez bn = 1 jeśli n ≤ M a bn = an-1 jeśli n > M/ Zatem ten ciąg jest Cauchy′ego i


co implikuje ,że
{an}{bn} = {1}
Zatem {an} ma inwersję {bn} w R^.

CZĘŚĆ III : Podstawy analizy p-adycznej

W tej części zajmiemy się podstawową analizą p-adyczną , w tym pojęciami takimi jak zbieżność ciągów i szeregów, ciągłościami i innymi tematami znanymi z elementarnej analizy rzeczywistej, ale w kontekście liczb p-adycznych Qp z normą p-adyczną ||p. Niech α = {an} ∈ Qp. Z Części II wiemy ,że dla pewnego M
|α|p| = 1/pordpaM
co jest calkowitą potęgą p. Tak więc dla t ∈ Z, nierówność w postaci
|α|p < 1/pt
jest równoważna |α|p ≤ 1/pt+1
Niech (α|n) będzie ciągiem w Qp
Twierdzenie 3.1. (αp) jest ciągiem Cauchy′ego w Qp jeśli i tylko jeśli (αn+1 - αn) jest a zerowym ciągiem
Następnie rozważymy szereg w Qp. Załóżmy ,że (αn) jest ciągiem w Qp. Dla każdego n możemy rozważyć n-tą sumę częściową szeregu Σαn
sn = αp + α2 + ... + αn
Definicja 3.2 Jeśli ciąg (sn) w Qp ma granicę


mówimy ,że szereg Σαn jest zbieżny do granicy S i zapisujemy


S jest nazywane sumą szeregu Σαn .Jeśli szereg nie ma granicy mówimy ,że jest rozbieżny
Przykład 3.3 Biorąc αn = npn mamy


i
sn+1 - sn = (n+1)pn+1
To ma normę


która wyraźnie dąży do 0 ponieważ n → ∞ w liczbach rzeczywistych. Z Twierdzenia 3.1 (sn) jest ciągiem Cauchy′ego i dlatego ma granicę w Qp. W analizie rzeczywistej, są szeregi które się zbiegają ale nie są absolutnie zbieżne. Na przykład, szereg Σ(-1)n/n zbiega się do =ln2 aleΣ1/2 jest rozbieżny. Nasz kolejny wynik pokazuje ,że to nie może się zdarzyć w Qp
Twierdzenie 3.4. Szereg Σαn w Qp jest zbieżny jeśli i tylko jeśli (αn) jest ciągiem zerowym.
Dowód. Jeśli Σαn jest zbieżny, wtedy z Twierdzenia 3.1 ciąg sum częściowych (sn) jest Cauchy′ego ponieważ
sn+1 - sn = αn
jest ciągiem zerowym. Odwrotnie, jeśli (αn) jest zerowy, wtedy z Twierdzenia 3.1 widzimy ,że ciąg (sn) jest Cauchy′ego a zatem zbieżny. Aby sprawdzić zbieżność szeregu Σαn w Qp wystarczy wyśledzić czy


Oznacza to ,że zbieżność szeregów w Qp jest generalnie dużo łatwiejsza do działania niż zbieżności szeregów w liczbach rzeczywistych lub zespolonych
Przykład 3.5 Szereg Σpn jest zbieżny ponieważ w R mamy
|pn|p = 1/pn → 0
Faktycznie


Przykład 3.6. Szereg Σ1/n jest rozbieżny w Qp ponieważ na przykład podciąg
βn = /np+1
ciągu (1/n) ma |βn|p = 1 dla każdego n
Jako szczególny typ szeregu możemy rozważyć szereg potęgowy (w jednej zmiennej x). Niech x ∈ Qp i niech (αn) będzie ciągiem. Wtedy mamy szereg Σαnxn. W analizie rzeczywistej możemy śledzić dla której wartości z jest zbieżny lub rozbieżny
Przykład 3.7. Weźmy αn = 1 dla wszystkich n. Wtedy


Więc ten szereg jest zbieżny jeśli i tylko jeśli |x|p < 1. Oczywiście ,w R szereg Σxn jest zbieżny jeśli |x| < , rozbieżny jeśli |x| > 1, rozbieżny do +∞ jeśli x = 1 i oscyluje wokół 0 i -1 jeśli x = -1.
Przykład 3.8. Dla szeregów Σnxn , mamy
|nxn|p = |n|p|xn|p ≤ |x|pn
co zmierza do 0 w R jeśli |x|p < 1. Więc ten szereg z pewnością jest zbieżny dla każdego takiego x. Podobnie jak w analizie rzeczywistej, możemy zdefiniować pojęcie promienia zbieżności dla szeregów potęgowych w Qp. Z powodów technicznych musimy uzyskać odpowiednią definicję. Najpierw musimy przypomnieć sobie z analizy rzeczywistej granicę górną (lim sup) ciągu liczb rzeczywistych
Definicja 3.9. Liczba rzeczywista l jest granicą górną ciągu liczb rzeczywistych (an) jeśli spełnione są poniższe warunki
(LS1) Dla liczby rzeczywistej ε > 0,
∃M1 ∈ N takie ,że n > M1 ⇒ l + ε1 > an
(LS2) Dla liczby rzeczywistej ε2 > 0 i liczby naturalnej M2
∃m > M2 takie ,że am > l - ε2
Zapiszemy


jeśli taka liczba rzeczywista istnieje. Jeśli nie istnieje, wtedy zapisujemy


Jest to standard ,że jeśli ciąg (an) jest zbieżny wtedy lim sup an istnieje i


W praktyce daje to użyteczną metodę obliczania lim sup an w wielu przypadkach

CZĘŚĆ IV : Topologia Qp

Omówimy teraz funkcje ciągłe w Qp i tematy pokrewne. Zaczniemy do wprowadzenia pewnych notacji topologicznych
Niech α ∈ Qp i δ > 0 będzie liczbą rzeczywistą
Definicja 4.1. Dysk otwarty o środku przy α o promieniu δ to
D(α;δ) = {γ ∈ Qp : |γ-α|p < δ}
Zamknięty dysk przy α o promieniu δ to


Wyraźnie


Taka notacja jest podobna w liczbach rzeczywistych i zespolonych.
Twierdzenie 4.2. Niech β ∈ D(α,δ). Wtedy
D(&betal;δ) = D(αδ)
Zatem każdy element D(αδ) jest środkiem. Podobnie jeśli β′ ∈ , wtedy


Dowód. Jest to konsekwencją faktu ,że norma p-adyczna jest nie-archimedesowa. Niech γ ∈ D(α;δ) wtedy


Zatem D(α;δ) ⊆ D(β;δ). Podobnie możemy wykazać ,że D(β;δ) ⊆ D(α;δ) i dlatego te dwa zbiory są równe. Podobny argument działa w przypadku dysków zamkniętych. Niech X ⊆ Qp (np. X = Zp)
Definicja 4.3 Zbiór
D(α;δ) = D(α;δ) ∩ X
jest otwartą kulą w X o promieniu δ w X skupioną w α Podobnie


jest zamkniętą kulą w X o promieniu δ skupioną w α
Teraz zdefiniujemy funkcję ciągłą. Niech f:X → Qp będzie funkcją
Definicja 4.4 Powiedzmy ,że f jest ciągła przy α ∈ jeśli 0∃δ > 0 takie ,że γ ∈ D(α ; δ) ⇒ f(γ) ∈D(f(α);ε)
Jeśli f jest ciągła w każdym punkcie w X wtedy mówimy ,że jest ciągła w X.
Przykład 4.5. Niech f(x) = γ0 + γ1x + ... + γdxd przy γk ∈ Qp będzie funkcją wielomianową. Wtedy jak w analizie rzeczywistej jest ciągła w każdym punkcie. Aby to zobaczyć, możemy użyć starego dowodu z ||p w miejsce }}, lub poniższej wersji p-adycznej
Pokażmy ,że f jest ciągła przy α Wtedy


Jeśli równie założymy ,że |x|p < |α|p , wtedy


dla wystarczająco dużego B ∈ R, faktycznie musi być co najmniej tak duża jak wszystkie liczby |an-1γn|p przy 1 ≤ n ≤ d. Ale jeśli ε > 0 (i bez straty na ogólności, ε < |α|p) możemy wsiąść δ = ε/B. Jeśli |x - α|p < δ, teraz mamy
|f(x) - f(α)|p < ε
Przykład 4.6. Niech szereg potęgowy Σαnxn ma promień zbieżności r > 0. Wtedy funkcja f:D(0;r) → Qp dla której


jest ciągła. Jest też tak ,że sumy i iloczyny funkcji ciąłych są ciągłe jak w analizie rzeczywistej To co sprawia ,że analizy p-adyczne różnią się od analizy rzeczywistej jest istnienie nietrywialnych lokalnych stałych funkcji, które teraz omówimy. Po pierwsze przypomnijmy to z analizy rzeczywistej
Przypomnienie 4.7. Niech f:(a,b) → R będzie funkcją ciągła. Załóżmy ,że dla każdego x ∈ (a,b) jest t > 0 takie ,że (x-t,x+t) ⊆ (a,b)i f jest stałą w (x-t,x+t) tj. f jest stała lokalnie. wtedy f jest stałą w (a,b). Myślimy od (a,b) jak o dysku o promieniu (b-a)/2 i środku przy (a+b/2).To sugeruje poniższa definicja Qp
Definicja 4.8. Niech f:X → Qp będzie funkcja gdzie X ⊆ .Wtedy f jest lokalną stała w X jeśli dla każdego α ∈ X, jest liczbą rzeczywistą δα takie ,że f jest stała na otwartym dysku DX(α;δα). Ta uwaga implikuje ,że nie ma ciekawych przykładów lokalnych stałych funkcji na otwartych przedziałach w R; jednakże , jest to fałszywe w Qp.
Przykład 4.9. Niech X = Zp, liczby p-adyczne. Z Twierdzenia 2.28 zmieńmy ,że dla α ∈ Zp, jest rozwinięciem p-adyczne
α = α0 + α1p + ... + αnpn+....,
gdzie αn ∈ Z i 0 ≤ αn ≤ (p-1). Rozważmy funkcję
fn:Zp → Zp; fn(α) = αn, które są zdefiniowane dla wszystkich n ≥ 0. Stwierdzamy ,że są lokalne stałe. Aby to zobaczyć ,zauważ ,że fn nie zmienia się jeśli zastąpimy α przez β przy |β - α|p < 1/pn; zatem fn jest lokalną stałą. Możemy rozszerzyć ten przykład na funkcje fn : Qp → Qp dla n ∈ Z ponieważ dla dowolnego α ∈ Qp mamy rozwinięcie
α = α-rp-r + ... + α0 + α1p + ... + αnpn + ....
i możemy ustawić fn(α)= αn we wszystkich przypadkach; są to jeszcze lokalne funkcje stałe w Qp. Jeden ważny fakt o takich funkcjach jest taki ,że są one ciągłe. Twierdzenie 4.0 Niech f:X → Qp będzie lokalną stała w X. Wtedy f jest ciągłą w X.
Dowód. Przy danym α ∈ X a ε > 0, weźmy δ = δα a wtedy f jest stała w DX(α;δα). Wynik jest również prawdziwy w R.
Przykład 4.11. Rozważmy zbiór Y = D(0;1) ⊆ Qp. Wtedy możemy zdefiniować funkcję charakterystyczną X,


Jest to wyraźną stałą w Zp ponieważ jest stałą w każdym otwartym dysku D(k;1) przy 0 ≤ k ≤ (p-1) a to wyczerpuje elementy Zp. Może być to powtarzane dla każdej otwartej piłki D(α;δ) przy δ 0. Innym przykładem są funkcje Teichmüllera. Wymaga to pewnej pracy dla zdefiniowania. Zdefiniujemy ciąg funkcji z właściwościami ustanowionym w kolejnym wyniku.
Twierdzenie 4.12. Jest jednoznaczny ciąg lokalnych stałych, zatem ciągłych, funkcji ωn:Zp → Qp spełniających
(T1) ωn(α)p = ωn(α) dla n ≥ 0;
(T2)
Dowód. Najpierw zdefiniujemy charakter Teichmüllera ω:Zp → Qp który będzie równy ω0. Niech α ∈ Zp; wtedy ciąg (αpn) jest ciągiem p-adycznych liczb całkowitych i twierdzimy ,że ma granicę. Aby to zobaczyć, wykażemy ,że jest ciągiem Cauchy′ego i użyjemy faktu ,że Qp jest skończone. Z Twierdzenia 2.28, α ma jednoznaczne rozwinięcie p-adyczne
α = α0 + α1p + α2p2 + ...
przy αk ∈ Z a 0 ≤ αk ≤ (p-1). W szczególności
}α - α0|p < 1
Z Twierdzenia Fermata 1.26, w Z mamy


zatem |α0p - α0| < 1. Ale daje to


używając tego faktu ,że |αkα0p-1-k|p < 1/pn
Oczywiście jest to prawdziwe dla n = 0 ,z powyższego. Załóżmy prawdę dla n. Wtedy
αpn+1 = αpn + β
gdzie |β|p < 1/pn. Podniesienie do potęgi p daje


gdzie wszystkie wyrazy z wyjątkiem pierwszego w ostatniej linii mamy ||p mniejsze niż 1/pn+1. Zastosowanie normy p-adycznej daję pożądany wynik dla n+1. Teraz rozważmy αpn .Wtedy


Oczywiście różnica αpn+1 - αpn jest pustym ciągiem i z Twierdzenia 3.1 ciąg (αpn) jest ciągiem Cauchy′ego
Teraz zdefiniujemy funkcję (charakter) Teichmüllera


Ta funkcja spełnia
|α - ω(α)|p , ω(α)p = ω(α)
Ta nierówność wynika z równania 4.12 i równania z faktu ,że


Teraz ustawiamy ω0(α) = ω(α) i definiujemy ωn przez rekurencje używając


Dla α ∈ Zp, rozwinięcie
α = ω0(α) + ω1(α)p + ... + ωnpn+...
jest nazywane rozwinięciem Teichmüllera α a ωn(α) są nazywane cyframi Teichmüllera α. To rozwinięcie jest częśto używane w miejsce innych rozwinięć p-adycznych. Jedne powód jest taki ,że funkcja ω jest multiplikatywna. Zsumujemy właściwości ω w kolejnym Twierdzeniu
Twierdzenie 4.13. Funkcja ω:Zp → Qp jest lokalną stała i spełnia warunki
ω(αβ) = ω(α)ω(β)
|ω(α + β) - ω(α) - ω(β)|p < 1
Co więcej, obraz tej funkcji składa się dokładnie z p elementów Zp, mianowicie p różnych pierwiastków wielomianu Xp - X
Dowód. Część multiplikatywna wynika z tej definicji, podczas gdy wynik addytywny jest łatwym ćwiczeniem z nierównością ultrametryczną. Dla obrazu ω, przypomnijmy sobie ,że różne liczby na liście 0,1,2,...,p-1 spełnia
|r - s|p = 1
Jeśli r ≠ s , wtedy
|ω(r) - ω(s)|p = 1
Zatem, obraz funkcji ω ma co najmniej p różnych elementów, z których wszystkich są pierwiastkami Qp z Xp - X. Ponieważ Qp jest polem, nie ma więcej niż p tych pierwiastków, Więc jeśli współczynniki wielomianu jak
Xp -X = X(X-ω(1))(X-ω(2))...(X-ω(p-1))
i p pierwiastków jest tylko elementami w obrazie ω.
Przykład 4.14. Dla liczby pierwszej p = 2, pierwiastki X2 - x to 0,1. Faktycznie rozwinięcie Teichmüllera jest tylko rozwinięciem p-adycznym omówionym w Części II.
Przykład 4.15. Dla liczby pierwszej p = 3, pierwiastki z X3 - X to 0,±1. Więc zastępujemy użycie 2 w rozwinięciu p-adycznym, przez -1. Rozważmy przykład. Ustawiamy α = 1/5, mamy a więc ω(5) = -1 ponieważ
|5-(-1)|3 < 1
Zatem ω(1/5) = -1 również, więc ω0(1/5) = -1. Teraz rozważmy
(1/5)- (-1)/ 3 = 6/15 = 2/5
i zauważmy ,że , zatem ω1(1/5) = ω(2/5) = 1. Następnie rozważmy
(2/5) - 1/3 = -3/15 = -1/5
dając ω2(1/5) = ω(-1/5) = 1 .Zatem
/5 = (-1) + 1*3 + 1*32+...
gdzie zatrzymamy się na wyrazie 32 i zignorujemy wyrazy 3-normy mniejsze niż 1/32.
Przykład 4.16. Jeśli p = 5, są trzy pierwiastki z X5 - X w Z, mianowicie 0, ±1 i dwa więcej w Z5 ale nie w Z. Innymi słowy, (Z/5)x = <2^> jako grupa. Zatem, weźmy ω(2) = γ, będącego generatorem grupy (5-1) = 4-tego pierwiastka z 21 w Z5. Więc pierwiastki z X5 - X w Z5 to
ω(0) = 0, ω(1) = 1, ω(2) = γ, ω(3) = γ2, ω(4) = γ3
Załóżmy ,że życzymy sobie znaleźć rozwinięcie Teichmüllera z 3 do wyrazu 52. Wtedy najpierw musimy znaleźć liczbę całkowita która przybliża γ wewnątrz 5-normy mniejszą niż 1/52 .Więc spróbujmy znaleźć element Z/53 która zgadza się z 2 modulo 5 i jest pierwiastkiem . Użyjemy do tego lematu Hensela. Mamy pierwiastek X4 - 1 modulo 5,mianowicie 2 .Ustawiamy f(X) = X4-1 i zauważmy ,że f′(X) = 4X3. Teraz


i możemy wsiąść u = 3.Wtedy jest pierwiastkiem z f(X) modulo 25. Powtarzając to uzyskujemy


co jest pierwiastkiem wielomianu modulo 125. Ta metoda zawsze działa i jest uzależniona od lematu Hensela
Twierdzenie 4.17 (Lemat Hensela). Niech f(X) ∈ Zp[X] będzie wielomianem i niech α ∈ Zp będzie liczba p-adyczną dla której
|f(α)|p < 1
Definiujemy ciąg w Qp przez ustawienie α0 = α i generalnie
αn+1 = αn - (f′(α))-1f(αn)
Wtedy każdy αn jest w Zp a co więcej
|f(αn)|p < 1/pn
Zatem ciąg (αn) jest Cauchy′eo w odniesieniu do ||p i


Przykład 4.18. Niech f(X) = Xp-1 - 1. Wtedy z naszego wcześniejszego omawiania ω wiemy ,że jest (p-1) pierwiastków z 1 w Zp. Załóżmy ,że mamy α takich ,że |α - γ|p < 1 dla jednego z tych pierwiastków γ. Poprzez proste obliczenie normy, |f(α)|p < 1. Możemy przyjąć określony ciąg w (3-15) zbieżny do pierwiastka f(X), tj. (p-1)-tego pierwiastka z 1 w Zp. Teraz udowodnimy inny ogólny fakt o lokalnych funkcjach stałych w Zp
Twierdzenie 4.19. Niech f:Zp → Qp będzie lokalnie stała. Wtedy zbiór
f(Zp) = im f = {f(α): α ∈ Zp}
jest skończony.
Dowód. Dla każdego α ∈ Zp amy liczbę rzeczywistą δα > 0 taką ,że f jest stała na otwartym dysku D(α;δα). Możemy założyć bez utraty ogólności ,że
δα = 1/pdα
a więc f(nα) = f(α) .Z (3-10) również mamy
D(α;δα) = D(nαα)
Możemy faktycznie założyć ,że nα spełnia
0 ≤ nα ≤ pdα+1 -1
ponieważ dodanie wielu pdα+1 do nα nie zmienia otwartego dysku D(nαα)
Wiemy ,że


a f jest stała w każdym z tych otwartych dysków. Ale teraz dla każdego k mamy


Teraz weźmy
δ = max{dk:0 ≤ k ≤ pd0+1 -1}
i zauważmy ,że dla każdego k w zakresie 0 ≤ k ≤ pd0+1 , mamy f lokalnie stała na dysku D(k;1/pδ).Zatem


a f jest stała na każdym z tych dysków ale jest tylko skończona ich liczba, obraz f jest skończonym zbiorem
f(Zp) = {f(k):0 ≤ k ≤ pδ}
To dowodzi wyniku
Twierdzenie 4.20. (Zwięzłość Zp). Niech A ⊆ Zp a dla każdego α ∈ A niech δα > będzie liczbą rzeczywistą. Jeśli


wtedy jest skończony podzbiór A′ ⊆ A taki ,że


Podobny wynik otrzymamy dla każdego zamkniętego dysku gdzie t ≥ 0 jest liczbą rzeczywistą. Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie. Faktycznie te dwa wyniki są równoważne w tym sensie ,że każdy implikuje drugi.
Twierdzenie 4.21. (Zwięzłość sekwencyjna Zp). Niech (αn) będzie ciągiem w Zp. Wtedy jest cią zbieżny z(αn).tj, ciąg (βn) gdzie βn = αs(n) przy s:N → N to monotoniczny ciąg rosnący i zbieżny. Podobny wynik uzyskamy dla każdego z zamkniętych dysków gdzie t ≥ 0 jest liczbą rzeczywistą
Dowód. Mamy


zatem, dla jednej z liczb 1 ≤ k ≤ p, powiedzmy a1, dysk D(a1; 1) ma αn ∈ D(a1;1) dla nieskończenie wielu wartości n. Wtedy


i ponownie dla jednej z liczb 1 ≤ k ≤ p2, powiedzmy a2, mamy αn ∈ D(a2; 1/p) dla nieskończenie wielu wartości n. Kontynuując w ten sposób mamy cią liczb naturalnych an dla których D(an; 1/pn-1) zawiera αm dla nieskończenie wielu wartości m. Co więcej dla każdego n
D(an;1/pn-1) ⊆ D(an;1/pn)
Teraz dla każdego n ≥ 1, wybieramy s(n) tak ,że αs(n) ∈D(an;1/pn-1).Możemy nawet założyć ,że s(n) < s(n+1) dla wszystkich n. Zatem mamy podciąg (βn) przy βn = αs(n) któremu musimy wykazać ,że ma granicę. Ale zauważmy ,że
n+1 - βn|p < 1/pn
ponieważ oba z nich są w D(an+1;1/pn).Zatem ciąg (βn) jest pusty i dlatego ma granice w Zp.
Przypomnijmy sobie pojęcie ciągłości jednostajnej:
Definicja 4.22.Niech f:X → Qp będzie funkcją. Wtedy f jest ciągła jednostajnie w X jeśli ∀ε > 0∃δ > 0 takie ,że ∀αβ ∈ X przy |α - β|p < δ wtedy |f(α) - f(β)|p < ε
Oczywiście jeśli f jest ciągła jednostajnie w X wtedy jest ciągła w X. W analizie rzeczywistej lub zespolonej, funkcja ciągła w dziedzinie zwartej jest ciągła jednostajnie. Jest to również prawda p-adycznie.
Twierdzenie 4.23. Niech t > 0, α ∈ Qp i będzie funkcją ciągłą. Wtedy f jest ciągła jednostajnie.
Podobnie mamy pojęcie ograniczoności
Definicja 4.24. Niech f:X → Qp będzie funkcją. Wtedy f jest ograniczona w X jeśli
∃b ∈ R takie ,że ∀x ∈ X, |f(x)|p ≤ b
Ponownie jesteśmy zaznajamiani z faktem ,że funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest ograniczona
Twierdzenie 4.25. Niech będzie funkcją ciągłą. Wtedy f jest ograniczona, tj, jest a b ∈ R takie ,że dla wszystkich
Dowód jest zmodyfikowaną wersją tego z analizy klasycznej
Teraz rozważmy przypadek funkcji ciągłej f:Zp → Qp .Z Twierdzenia 4.20, Zp jest zwarta, więc z Twierdzenia 4.25 f jest ograniczona. Wtedy zbiór
Bf = {b ∈ R: ∀α ∈ Zp, |f(α)|p ≤ b}
nie jest pusty. Oczywiście Bf ⊆ R+, zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych. Ponieważ Bf jest ograniczone od dołu przez 0, ten zbiór ma kres dolny, inf Bf ≥ 0 .Łatwo teraz wykazać ,że
sup{|f(α)|p : α ∈ Zp} = inf Bf
Zapiszemy bf dla tej wspólnej wartości
Twierdzenie 4.26. Niech f:Zp → Qp będzie funkcją ciągłą. Wtedy istnieje α0 ∈ Zp takie ,że bf = |f(α0)|p.
Dowód. Dla wszystkich α ∈ Zp mamy |f(α|p ≤ bf. Z definicji kresu górnego wiemy ,że dla dowolnego ε > 0, weźmiemy α ∈Zp takie ,że
|f(α)|p > bf - 1/n
i rozważmy ciąg (α) w Zp.Z Twierdzenia 4.21, jest zbieżny podciąg (βn) = (αs(n)) z (αn), gdzie możemy założyć ,że s(n) < s(n+1) .Niech


Wtedy dla każdego n mamy
bf ≥ |f(αs(n))|p > bf - 1/s(n)
a więc
|f(αs(n))|p → bf jeśli n → ∞. Ponieważ


przez wynik użyty w dowodzie Twierdzenia 2.17, mamy bf = |f(α′)|p
Definicja 4.27. Niech f:Zp & rarr; Qp będzie ciągła. Normą kresu górnego f jest ||f||p = bf
Rozważmy zbiór wszystkich funkcji ciągłych f:Zp →Qp
C(Zp) = {f:Zp & rarr; Qp : f ciągła}
To jest pierścień z operacjami punktowego dodawania i mnożenia i z funkcjami stałymi 0,1 jako zerem i jednością. Funkcja || ||p :C(Zp) → R+ jest rzeczywiście normą nie-archimedesową na C(Zp).
Twierdzenie 4.28. C(Zp) jest pierścieniem z normą nie-archimedesową || ||p. Co więcej, C(Zp) jest skończony w odniesieniu do tej normy. Przypomnijmy sobie teraz notację rozwinięcia Fouriera funkcji ciągłej f:[a,b] → R; to jest szeregu zbieżnego w postaci


który jest zbieżny jednostajnie do f(x). W analizie p-adycznej jest analogiczne rozwinięci funkcji ciągłej używające funkcji współczynnika dwumianowego


Przypomnijmy ,że są to funkcje ciągłe Cn : Zp → Qp , które w rzeczywistości odwzorowują Zp na nią samą
Twierdzenie 4.29 Niech f ∈C(Zp). Wtedy jest jednoznaczny ciąg pusty (αn) w Qp taki ,że szereg


jest zbieżny do f(x) dla każdego x ∈ Zp. Co więcej, ta zbieżność jest jednostajna w tym sensie ,że ciąg funkcji


jest ciągiem Cauchy′ego zbieżnym do f w odniesieniu do || ||p Rozwinięcie w tym wyniku jest nazywane rozwinięciem Mahlera f a współczynniki αn są współczynnikami Mahlera z f. Musimy zrozumieć jak określać te współczynniki. Rozważmy poniższy ciąg funkcji f[n] : Zp → Qp:


f[n] jest nazywana funkcją różnicową z f
Twierdzenie 4.30. Współczynniki Mahlera są dane przez
αn = f[n](0) (n ≥ 0)
Dowód.(Szkic) Rozważmy
f(0) = ΣαnCn(0) = α0
Teraz z trójkąta Pascala
Cn(x+1) - Cn(x) = Cn-1(x)
Wtedy


i powtarzając to uzyskujemy


Zatem mamy żądany wzór:
f[m](0) = αm
Główna część dowodu Twierdzenia 4/29 skupiała się na udowodnieniu ,że αn → 0 a my nie podaliśmy tego tu. Funkcje Cn mają taką właściwość ,że (4.2) ||Cn||p = 1
Zauważmy ,że już mamy |Cn(α)|p ≤ 1 jeśli α ∈ Zp. Biorąc α = n , dostajemy Cn(n) = 1. Oczywiście to znaczy ,że szereg ΣαnCn(α) jest bieżny jeśli i tylko jeśli αn → 0.
Przykład 4.31.Rozważmy przypadek p = 3 i funkcji f(x) = x3. Wtedy:


a dla n > 3
f[n](x) = 0, f[n](0) = 0
Więc mamy
x3 = C1(x) + 3C2(x) + 6C3(x)
Faktycznie dla funkcji wielomianowej stopnia d, rozwinięcie Mahlera jest trywialne poza wyrazem w Cd
Następujący wzór dla tych αn może być udowodniony przez indukcję w n
(4.3)


Przykład 4.32. Weźmy p = 2 i funkcję ciągłą f:Z2 & rarr; Q2 daną przez
f(n) = (-1)n jeśli n ∈ Z
Wtedy
f[0](0) = 1, f[1](0) = 0, f[2](0) = -1
i ogólnie


Dlatego też


Oczywiście jest tylko szereg binomialny dla (1-2)x w Q2

CZĘŚĆ V : p-adyczna algebraiczna teoria liczb

W tej części omówimy skończone unormowane pole Cp zawierające Qp jako subpole i mające właściwość taką, że każdy wielomian f(X) ∈Cp[X] ma pierwiastek w Cp; norma | |p ogranicza się do zwykłych norm w Qp i jest nie-archimedesowa. Faktycznie, Cp jest najmniejszym takim polem unormowanym, w tym sensie ,że dowolne inne z takimi właściwościami zawierające cp jest podpolem. Zacznijmy od rozpatrzenia pierwiastków wielomianu nad Qp .Niech f(X) ∈ Qp[X]. Wtedy generalnie f nie musi mieć żadnego pierwiastka w Qp.
Przykład 5.1 Dla liczby pierwszej p, rozważmy wielomian X2 - p. Jeśli α ∈ Qp był pierwiastkiem wtedy będziemy mieć α2 = p a więc |α|p2 = 1/p. Ale wiemy ,że norma liczby p-adycznej musi mieć postać 1/pk przy k ∈ Z, więc ponieważ |α|p = p1-/2 daje nam to sprzeczność.
Twierdzenie 5.2. Istnieje pole Qpalg zawierające Qp jako podpole i mające następujące właściwości:
a) każde α ∈ Qpalg jest algebraiczne nad Qp
b) każdy wielomian f(X) ∈ Qpalg[X] ma pierwiastek w Qpalg
Co więcej, norma | |p w Qp rozszerzona do jednoznacznej nie-archimedesowej normy N na Qpalg spełnia
N(α) = |α|p
gdzie α ∈ Qp ; to rozwinięcie jest dane przez
N(α) = |minQp,α(0)|p1/d
gdzie d = degQp(α) = minQp,α(X)
Oznaczmy przez | | p normę na Qpalg podaną w Twierdzeniu 5.2
Spójrzmy na pewne elementy Qpalg
Twierdzenie 5.3. Niech r = a/b będzie dodatnią liczba wymierną gdzie a,b są liczbami względnie pierwszymi. Wtedy wielomian Xb - pa ∈ Qp[X] jest niedrukowalny nad Qp. Dowolny pierwiastek α ∈ Qpalg ma normę |α|p = p-a/b
. Dowód jest specjalnym przypadkiem testu Eisensteina.
Następstwo 5.4. Jeśli r = a/b nie jest liczbą całkowitą, wtedy żaden z pierwiastków Xb - pa w Qpalg nie jest w Qp.
Dowód. Mamy |α|p = p-a/b które nie jest całkowitą potęga p. Ale z Części II wiemy ,że wszystkie elementy Qp mają normy , które są całkowitymi potęgami p, stąd α ∉ Qp
Twierdzenie 5.5 (Test(kryterium Eisensteina)). Niech wielomian
f(X) = Xd + αd-1Xd-1 + α1X + α0 ∈ Zp[X]
spełnia
a) dla każdego k w zakresie 0 ≤ k ≤ d-1 ,|αk|p < 1;
b) |α0|p = 1/p
Wtedy f(X) jest nieredukowalna nad Qp
Przykład 5.6. Rozważmy wielomian
f1(X) = Xp-1 + Xp-2 + ... + X + 1
Zauważmy ,że
Xp - 1 = (X-1)f1(X)
a więc f1(X )jest wielomianem którego pierwiastki są wszystkie pierwotnymi p-tymi pierwiastkami z 1. Teraz rozważmy wielomian g1(X) = f1(X+1).Wtedy


Każdy binomialny współczynnik


dla 1 ≤ k ≤ p-1 jest podzielny przez p; również


zatem nie jest podzielny przez p2. Z testu Eisensteina, g1(X) jest nieredukowalne nad Qp i można łatwo wykazać ,że f1(X) jest nieredukowalne. Zatem pierwiastki pierwotne z 1 w Qpalg są pierwiastkami nieredukowalnego wielomianu f1(X) i mają stopień (p-1) nad Qp. Jeśli ζp jest pierwiastkiem z f1(X), wtedy |ζp|p = 1. Pozostałe pierwiastki są postaci ζpr z 1 ≤ r ≤ p-1. Pierwiastki g1 mają postać ζpr - 1 dla 1 ≤ r ≤ p-1 i g1(0) = p więc
pr - 1|p = p-1/(p-1)
Ten przykład można uogólnić
Twierdzenie 5.7. Niech d ≥ 1. Wtedy wielomian
fd(X) = f1(Xpd-1)
jest nieredukowalny nad Qp a jego pierwiastki są pd - tymi pierwiastkami pierwotnymi z 1 w Qpalg. Jeśli ζpd jest takim pierwiastkiem pierwotnym, dowolny inny ma postać ζpdk gdzie 1 ≤ k ≤ pd - 1 a k nie jest podzielne przez p. Co więcej, mamy


Dowód. Jest to udowodnione przez zastosowanie testu Eisensteina dla wielomianu
gd(X) = fd(X+1)
, który spełnia wymagane warunki i ma gd(0) = p.
Następstwo 5.8. Jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, wtedy jedynie p-ta potęga pierwiastka z 1 w Qp jest samym 1. Jeśli p = 2, jedyne pierwiastki kwadratowe z 1 w Q2 to ±1. Aco z innym pierwiastkami z 1? Wiemy już ,że wszystkie (p-1)-sze pierwiastki z 1 są w Qp; rozważmy d-ty pierwiastek z dla dowolnego s > 1 niepodzielnego przez p. Zaczniemy od rozważenia przypadku gdzie d ma postać d = pr -1
Twierdzenie 5.9. Dla każdego r ≥ 1, pierwiastek pierwotny (pr - 1)-ty z 1, powiedzmy ζ ,ma stopień r nad Qp i ma wielomian minimalny


Co więcej, |ζ|p = |ζ - 1|p = 1
Teraz załóżmy ,że d jest liczbą naturalną nie podzielną przez p a ξ jest dowolnym d-tym pierwiastkiem z 1. Wtedy dla pewnego m mamy


oznaczając najmniejsze takie m większe niż 0 przez md.Wtedy dla (pmd - 1)-tego pierwiastka pierwotnego z 1, ζpmd-1 możemy przyjąć


gdzie t jest liczba całkowita względnie pierwszą do (pmd -1)/md. Używamy faktu ,że grupa pierwiastków Xn - 1 w Qpalg jest zawsze cykliczna a podstawowej teorii pól. Z tego można również wydedukować
Twierdzenie 5.10. Niech d > 0 będzie liczbą naturalną nie podzielną przez p. Wtedy dowolny pierwiastek pierwotny d-ty z 1, ξ, ma stopień nad Qp podzielny przez md. Ponadto
|ξ|p = 1 , |ξ - 1|p = 1
Następstwo 5.11. ξ ∈ Qp jeśli i tylko jeśli md = 1
Twierdzenie 5.12. Niech ξ ∈ Qpalg będzie pierwiastkiem pierwotnym d-tym z 1. Niech d = d0pt gdzie d0 nie jest podzielne przez p. Wtedy ξ ∈ Qp jeśli i tylko jeśli jeden z poniższych warunków jest spełniony:
a) p jest nieparzyste, t = 0 a md = 1 , lub b) p =2 a d =2
Definicja 5.13. Niech α ∈ Qpalg .Wtedy α jest rozwidlone jeśli |α|p nie jest całkowita potęgą p, w przeciwnym razie jest nierozgałęziony. Niech e(α) będzie najmniejszą dodatnią liczbą naturalną ,taką ,że αe(α) jest nierozgałęzione; wtedy e(α) jest nazywane rozgałęzieniem stopnia α
Przykład 5.14. Niech π będzie pierwiastkiem kwadratowym p. Widzieliśmy wcześniej, że |π|p = p-1/2, zatem π jest rozgałęźne. Faktycznie e(α) = 2. Ten przykład uogólnia w oczywisty sposób pierwiastki wielomianów Xb - pa. Teraz rozważmy Qpalg razem z normą | |p w świetle Części II. Rozsądne jest spytać czy każdy ciąg Cauchy′ego w Qpalg ma granicę w odniesieniu do | |p
Twierdzenie 5.15. Są ciągi Cauchy′ego w Qpalg w odniesieniu do | |p, które nie mają granic. Zatem ,Qpalg nie jest skończone w odniesieniu do | |p. Możemy sformować skończony Qpalg i powiązać go z normą, oznaczając


Twierdzenie 5.16. Jeśli α ∈ Cp , wtedy
|α|p = 1/pt
gdzie t ∈ Q
Dowód. Wiemy ,że to prawda dla α ∈ Qpalg. Z Części II, jeśli


przy αn ∈ Qpalg, wtedy dla wystarczająco dużego n
|α|p = |αn|p
Następnie, możemy spytać czy analogiczne fundamentalne twierdzenie algebry znajduje się w Cp
Twierdzenie 5.17. Cp jest zamknięte algebraicznie w tym sensie ,że każdy niezerowy wielomian f(X) ∈ Cp[X] ma pierwiastek w Cp. Cp jest skończone w odniesieniu do normy | |p. Oczywiście musimy teraz uzyskać skończone unormowane pole zawierające Qp, które jest algebraicznie zamknięte w jest to analogia p-adyczna liczb zespolonych. Pomocne jest porównanie łańcuchów pól:
Q ⊆ R ⊆ C, Q ⊆ Qp ⊆ Qpalg ⊆ Cp,
które są ciągami pól jakie musimy zbudować aby osiągnąć pola C i Cp w rzeczywistym i p-adycznym świecie. Pole Cp jest podstawą właściwej analizy p-adycznej i odgrywa ważną rolę w Teorii Liczb i coraz bardziej w innych częściach Matematyki. Ograniczymy się do kilku prostych obserwacji odnośnie Cp. Rozważmy szereg potęgowy Σαnxn gdzie αn ∈ Cp. Wtedy możemy zdefiniować promień zbieżności dokładnie jak w Części III, używając wzoru
r = 1/lim sup |αn|p1/n
Twierdzenie 5.18. Szeregi Σαnxn są zbieżne jeśli |x|p < r i rozbieżne jeśli |x|p > r, gdzie r jest promieniem zbieżności .Jeśli dla pewnego x0 takiego ,że |x0|p = r szeregi Σαnx0n są zbieżne (lub rozbieżne) wtedy Σαnxn są zbieżne (lub rozbieżne) dla wszystkich x przy |x|p = r
Przykład 5.19 Rozważmy szereg logarytmiczny


omawiany w Części III. Wykażemy ,że r = 1 dla tego przykładu. Rozważmy co się stanie kiedy x = ζp,pierwiastek pierwotny z 1. Wtedy |ζp - 1|p = p1/(p-1) , więc logpp) jest zdefiniowany. Teraz przez wzór na mnożenie dla tego szeregu
logp((ζp)p) = plogpp),
a zatem
plogpp) = logp(1) = 0
Zatem logpp) = 0. Podobnie, dla dowolnego pierwiastka pierwotnego pn - tego z 1, powiedzmy ζpn) mamy logppn) określone i równe 0.
Przykład 5.20. Rozważmy szereg wykładniczy


W Części III , promień zbieżności był pokazany jako p-1/(p-1) .Załóżmy ,że α ∈ Cp przy |α|p = p-1/(p-1) .Wtedy


Rozważając wyrazy w postaci αpn / (pn!) uzyskujemy


, co jest rozbieżne do +∞ jeśli n → ∞/ Więc szeregi Σαn/n! są rozbieżne kiedy |α|p = p-1/(p-1). w Cp mamy jednostkę dysku
Op = {α ∈ Cp : |α|p ≤; 1}
Twierdzenie 5.21. Podzbiór Op ⊆ Cp jest podpierścieniem
Dowód używa nierówności ultrametrycznej i zasadniczo jest taka sama jak ta dla Zp ⊆ Cp. Kończymy jeszcze jedną wersją Lematu Hensela, tym razem zaadaptowaną do użycia w Cp
Twierdzenie 5.22 (Lemat Hensela: wersja Cp).NIech f(X) ∈ Op[X] .Załóżmy ,że α ∈ Op i d ≥ 0 jest liczbą naturalną spełniającą dwa warunki


Ustawiamy α1 = α - f(α)f′(α)-1 , mamy