Podróżnik W Czasie

Krótka opowieść H. G. Wellsa "Maszyna Czasu", niekwestionowane arcydzieło science fiction, nie była pierwszą historią o wehikule czasu. To wyróżnienie należy do "The Clock That Went Backward", pionierskiej, ale przeciętnej powieści Edwarda Mitchella, redaktora New York Sun. Został opublikowany anonimowo w Sun 18 września 1881 roku, siedem lat przed młodym Wellsem (miał tylko 22 lata) napisał pierwszą wersję swojej słynnej historii. Opowieść Mitchella została tak szybko zapomniana, że fani science fiction nawet nie wiedzieli o jej istnieniu, dopóki Sam Moskowitz nie przedrukowywał jej w swojej antologii opowiadań Mitchella, The Crystal Man (1973). Nikt też nie zwrócił uwagi na fantazję Wellsa, gdy został zsekularyzowany w 1888 roku w The Science Schools Journal pod straszliwym tytułem "The Chronic Argonauts". Wells sam wstydził się tej niezręcznie napisanej opowieści, że zerwał ją po trzech częściach i później zniszczył wszystkie kopie, które mógł znaleźć. Całkowicie przepisana wersja "The Time Traveler's Story" została zsekwencjonowana w The New Review, począwszy od 1894 roku. Kiedy ukazała się jako książka w 1895 roku, przyniosła natychmiastową sławę Wellsowi. Jednym z wielu niezwykłych aspektów noweli Wellsa jest wstęp, w którym Podróżnik w czasie (jego nazwisko nie zostało ujawnione, ale w pierwszej wersji Wellsa nazywał się Dr Nebo-gipfel) wyjaśnia teorię leżącą u podstaw jego wynalazku. Czas to czwarty wymiar. Natychmiastowa kostka nie może istnieć. Sześcian, który widzimy, jest w każdej chwili przekrojem "stałego i niezmiennego" czterowymiarowego sześcianu mającego długość, szerokość, grubość i czas trwania. "Nie ma różnicy między czasem a jakimkolwiek z trzech wymiarów przestrzeni - mówi Podróżnik w Czasie - tylko że nasza świadomość porusza się wzdłuż niego." Gdybyśmy mogli spojrzeć na osobę spoza naszej czasoprzestrzeni (sposób, w jaki historia człowiek jest postrzegana przez Wieczność w "Końcu wieczności" Izaaka Asimowa lub przez Tralfamadorians w "Rzeźni numer 5" Kurta Vonneguta), ujrzymy przeszłość tej osoby, teraźniejszość i przyszłość naraz, tak jak w 3-przestrzeni, którą widzimy wszystkie części falistej linii, która śledzi na wykresie czasowym jednowymiarowe przestrzenne ruchy rtęci w barometrze. Czytając te uwagi dzisiaj, można by przypuszczać, że Wells był zapoznany z wielkim dziełem Hermanna Minkowskiego, polegającego na uporządkowaniu szczególnej teorii względności Einsteina. Linia, wzdłuż której nasza świadomość się czołga, jest oczywiście naszą "linią światową": linią, która śledzi nasze ruchy w przestrzeni trójwymiarowej na czterowymiarowym wykresie czasoprzestrzennym Minkowskiego. (My World Line to tytuł autobiografii George'a Gamow.) Ale historia Wellsa pojawiła się w ostatecznej formie dziesięć lat przed opublikowaniem przez Einsteina jego pierwszej pracy na temat względności! Kiedy Wells napisał swoją historię, uważał teorie Podróżnika w Czasach za niewiele więcej niż metafizyczną chustkę, zaprojektowaną, by uczynić swoją fantazję bardziej prawdopodobną. Kilka dziesięcioleci później fizycy zabierali się z taką chęcią i z najwyższą powagą. Pojęcie absolutnego czasu kosmicznego, z absolutną jednoczesnością między odległymi zdarzeniami, zostało wymiecione z fizyki przez równania Einsteina. Praktycznie wszyscy fizycy zgadzają się, że jeśli astronauta miałby udać się do odległej gwiazdy i z powrotem, poruszając się z prędkością zbliżoną do prędkości światła, teoretycznie mógłby podróżować tysiące lat w przyszłość Ziemi. Kurt Gödel skonstruował rotacyjny model kosmologiczny, w którym można zasadniczo podróżować do dowolnego punktu zarówno w przeszłości, jak i przyszłości świata, chociaż podróż do przeszłości jest wykluczona fizycznie. W 1965 roku Richard P. Feynman otrzymał nagrodę Nobla za swoje czasoprzestrzenne podejście do mechaniki kwantowej, w której antycząstki są postrzegane jako cząstki chwilowo przechodzące w przeszłość. Setki opowiadań science-fiction zostały napisane na temat podróży w czasie, wiele z nich podnoszących pytania o czas i przyczynowość, które są tak głębokie, jak czasem zabawne. Aby podać najbardziej wyświechtany przykład, załóżmy, że wróciłeś do ostatniego miesiąca i strzeliłeś sobie w głowę. Nie tylko wiesz przed wyjazdem, że nic takiego się nie wydarzyło, ale zakładając, że w jakiś sposób mógłbyś zamordować swoje wcześniejsze ja, jakże istniejesz w przyszłym miesiącu, żeby wyruszyć w podróż? "First Time Machine" Fredricego Browna otwiera się z dr Graingerem wystawiającym swoją maszynę dla trzech przyjaciół. Jeden z nich używa urządzenia, aby cofnąć się o sześćdziesiąt lat i zabija znienawidzonego dziadka, gdy ten był młodym człowiekiem. Historia kończy się sześćdziesiąt lat później, kiedy dr Grainger pokazuje swoją maszynę czasu dwóm przyjaciołom. Nie można sądzić, że logiczne sprzeczności pojawiają się tylko wtedy, gdy ludzie podróżują w czasie. Transport wszystkiego może prowadzić do paradoksu. Jest o tym w opowiadaniu Wellsa. Kiedy Podróżnik w Czasie wysyła mały model swojej maszyny do przeszłości lub przyszłości (nie wie, który), jego goście wyrażają dwa zastrzeżenia. Jeśli wehikuł czasu poszedł w przyszłość, dlaczego nie widzą go teraz, poruszając się wzdłuż linii światowej? Jeśli poszedł w przeszłość, dlaczego nie wiać go, zanim Podróżnik w Czasie wprowadzić go do pokoju? Jeden z gości sugeruje, że być może model porusza się tak szybko, że staje się niewidoczny, jak szprychy obracającego się koła. Ale co się stanie, jeśli obiekt przemieszczania się w czasie przestanie się poruszać? Jeśli nie masz pamięci sześcianu na stole w poniedziałek, jak możesz wysłać np. Z powrotem do poniedziałkowej wersji we wtorek? A jeśli we wtorek pójdziesz w przyszłość, postaw sześcian na stole w środę, a potem wróć do wtorku, co stanie się w środę, jeśli we wtorek zniszczysz kostkę? Obiekty przenoszone w czasie do przodu i do tyłu są źródłem niekończącego się zamieszania w niektórych opowiadaniach science-fiction. Sam Mines kiedyś podsumował płot swojej własnej opowieści "Znajdź rzeźbiarza" w następujący sposób: "Naukowiec zbudował wehikuł czasu, idzie o 500 lat w przyszłość, znajduje posąg upamiętniający podróżnika po raz pierwszy. wracając do swoich czasów, a potem jest ustawiony na jego cześć, widzisz tu haczyk? Musiał on zostać ustawiony w swoim czasie, tak aby czekał na niego, kiedy udał się w przyszłość, aby go znaleźć. Musiał udać się w przyszłość, aby go przywrócić, aby mógł zostać ustawiony w swoim czasie, gdzieś brakuje fragmentu cyklu. Wspaniały przykład tego, jak powstaje paradoks, nawet gdy nic więcej nie powraca w czasie, jest domniemaniem, że tachiony, cząstki poruszające się szybciej niż światło, mogą faktycznie istnieć. Teoria względności nie wyklucza, że wszystko, co porusza się szybciej niż światło, cofnie się w czasie. To właśnie zainspirowało A. H. Reginalda Bullera, kanadyjskiego botanika, do napisania jego często cytowanego limeryka: Była tam młoda dama o imieniu Bright Kto podróżował znacznie szybciej niż światło. Zaczęła pewnego dnia we względny sposób, I wróciliśmy poprzedniej nocy. Tachionów, o ile istnieją, wyraźnie nie można wykorzystać do komunikacji. GA Benford, DL Book i WA Newcomb (z "paradoksu Newcomba"), mają zganionych fizyków, którzy szukają tachionów, by przeoczyć to . W "The Tachyonic Antitelephone" zwracają oni uwagę, że pewne metody patrzenia na tachiony są oparte na interakcjach, które umożliwiają teoretycznie komunikację tachionów. Przypuśćmy, że fizyk Jones na ziemi jest w łączności z tachjonicznymi antytelefonem z fizykiem Alphą w innej galaktyce. Zawarli następującą umowę. Kiedy Alpha otrzyma wiadomość od Jonesa, odpowie natychmiast. Jones obiecuje wysłać wiadomość do Alphy o godzinie trzeciej, jeśli i tylko wtedy, gdy nie otrzyma wiadomości od Alphy do pierwszej. Czy widzisz trudność? Obie wiadomości cofają się w czasie. Jeśli Jones wysyła wiadomość o trzeciej, odpowiedź Alfy może dotrzeć do niego przed pierwszą. "Wtedy", jak mówią autorzy, "wymiana wiadomości będzie miała miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy nie nastąpi ... prawdziwa (...) sprzeczność!". Duże sumy pieniędzy już spłynęły, zdaniem autorów, w próbach wykrywania tachionów metodami, które implikują tachioniczną komunikację, a zatem są skazane na niepowodzenie. Dylatacja czasu w teorii względności, podróże w czasie w kosmosie Godela i ponownie zorientowany czas w oglądaniu antycząstek Feynmana są tak ostrożnie zabezpieczone przez inne prawa, że sprzeczności nie mogą powstać. W większości opowieści o okresie czasu, paradoksy omija się, pomijając wszelkie incydenty, które wywołałyby paradoks. W niektórych opowiadaniach jednak wyraźnie pojawiają się logiczne sprzeczności. Kiedy to robią, autor może pozostawić ich paradoksalnie, aby skłonić umysł czytelnika lub spróbować uciec od paradoksu, dokonując mądrych przypuszczeń. Przed omówieniem sposobów unikania paradoksów, należy krótko wspomnieć o tym, co można nazwać historiami z pseudo-podróżami w czasie, w których nie ma możliwości sprzeczności. Na przykład nie może być paradoksu, jeśli ktoś po prostu obserwuje przeszłość, ale nie współdziała z nią. Elektroniczna maszyna w filmie Eric Temple Bell "Przed świtem", który wydobywa ruchome obrazy przeszłości z odbitek pozostawionych przez światło na starożytnych skałach, jest wolna od jakiegokolwiek paradoksu, jak oglądanie kasety wideo ze starego programu telewizyjnego. Paradoks nie może powstać, jeśli dana osoba podróżuje w przyszłość, przechodząc do zawieszonej animacji, takiej jak Rip van Winkle, lub Woody Allen w swoim filmie "Śpiący", lub podkładów w takich powieściach, jak "Popatrzenie w tył" Edwarda Bellamy'ego czy "Wrzaski" Wellsa. . Żaden paradoks nie może powstać, jeśli marzy się o przeszłości (tak jak w przypadku Marka Twaina "A Connecticut Yankee" na dworze Króla Artura, czy w filmie Peggy Sue Got Married z 1986 r.) Lub idzie do przodu w reinkarnacji, lub mieszka przez jakiś czas w galaktycea, w której zmiana jest tak powolna w stosunku do czasu ziemskiego, że kiedy powraca, minęły wieki na ziemi. Ale kiedy ktoś faktycznie podróżuje do przeszłości lub przyszłości, współdziałając z nią i powraca, powstają ogromne trudności. W niektórych ograniczonych sytuacjach można uniknąć paradoksu, przywołując "blokowy wszechświat Minkowskiego", w którym cała historia jest zamrożona jakby monstrualnym czasoprzestrzennym wykresem, na którym wszystkie linie świata są wieczne i niezmienne. Z tego deterministycznego punktu widzenia można pozwolić na pewne rodzaje podróży w czasie w obu kierunkach, chociaż trzeba za to zapłacić wysoką cenę. Hans Reichenbach, w pogmatwanej dyskusji w Filozofii czasu i przestrzeni, ujął to w ten sposób: Czy linia światowa danej osoby może "zapętlić się" w tym sensie, że zwraca mu do miejsca w czasoprzestrzeni, miejsca bardzo bliskiego miejscu, w którym niegdyś był i gdzie między dwoma spotkaniami pojawia się jakaś interakcja, taka jak mowa? Reichenbach twierdzi, że nie można tego wykluczyć z powodów logicznych; można go wykluczyć jedynie z tego powodu, że musielibyśmy zrezygnować z dwóch aksjomatów silnie potwierdzonych doświadczeniem: (1) Osoba jest wyjątkową osobą, która zachowuje swoją tożsamość w miarę starzenia się, oraz (2) osobę. linia światowa jest uporządkowana liniowo, więc to, co uważa za "teraz", jest zawsze unikalnym miejscem wzdłuż linii. (Reichenbach o tym nie wspomina, ale musielibyśmy zrezygnować z pojęcia wolnej woli). Jeśli chcemy zrezygnować z tych rzeczy - mówi Reichenbach - możemy sobie wyobrazić bez paradoksów pewne rodzaje pętli w linii świata danej osoby. . Przykład powtarzalnej pętli Reichenbacha jest następujący. Pewnego dnia spotykasz mężczyznę, który wygląda dokładnie tak samo jak ty, ale jest starszy. Mówi ci, że jest twoją starszą osobą, która cofnęła się w czasie. Myślisz, że jest szalony i idzie dalej. Wiele lat później odkrywasz, jak cofnąć się w czasie. Odwiedzasz swoje młodsze ja. Jesteś zmuszony powiedzieć mu dokładnie, co powiedział ci starszy duplikat, gdy byłeś młodszy. Oczywiście, on myśli, że jesteś szalony. Rozdzielasz się. Każdy z was prowadzi normalne życie, aż nadejdzie dzień, kiedy wasze starsze ja przeminie w czasie. Hilary Putnam w "To niekoniecznie tak" argumentuje w podobny sposób, że takie światowe pętle nie muszą być sprzeczne. Rysuje wykres Feynmana (patrz rysunek 1)



, na którym produkcja pary cząstek i niszczenie pary są zastępowane przez produkcję pary osobowej i anihilację pary. Linia zygzakowata to światowa linia podróżnika w czasie, Smitha. W czasie t2 wraca do li. rozmawia ze swoim młodszym sobą, wtedy nadal prowadzi normę! życie. Jak by obserwowało kogoś, kto ma normę na świecie? Wystarczy umieścić linijkę w dolnej części wykresu, jej krawędź jest równoległa do osi przestrzennej i przesuwać ją powoli w górę. W t0 widzisz młodego Smitha. W chwili, gdy starszy Smith nagle zmaterializował się w tym samym pokoju wraz z anty-Smithem, który siedzi w swoim wehikule czasu i żył do tyłu. (Jeśli on pali, widzisz jego papierosa, ale wydłuża się do całego papierosa, i tak dalej.) Być może dwaj przyszli Smiths rozmawiają. W końcu, w t2, młody Smith, wsteczny Smith i maszyna do ruchu wstecznego zanikają. Starszy Smith i jego starsza machina czasu są nadal w drodze. Fakt, że możemy narysować diagram tych wydarzeń w czasie i czasie, dowodzi, że są one logicznie spójne. To prawda, że są spójne, ale zauważ, że scenariusz Putnama, podobnie jak scenariusz Reichenbacha, wiąże się z tak słabą interakcją między Smithami, że unika głębszych sprzeczności, które pojawiają się w fikcji z podróży w czasie. Co się dzieje, jeśli starszy Smith zabija młodszego Smitha? Czy Putnam uprzejmie dostarczy wykres Feynmana? Jest tylko jedno dobre wyjście, a pisarze science-fiction stosują go od ponad pół wieku. Według Sama Moskowitza urządzenie to zostało po raz pierwszy wyraźnie zastosowane do rozwiązania paradoksów w czasie podróży Davida R. Danielsa w "Gałęziach czasu", opowieści, która pojawiła się w Wonder Stories w 1934 roku. Idea podstawowa jest tak prosta, jak fantastyczna. Ludzie mogą podróżować do dowolnego punktu w przyszłości swojego wszechświata, bez żadnych komplikacji, ale w chwili, gdy wkraczają w przeszłość, wszechświat dzieli się na dwa równoległe światy, każdy z własną ścieżką czasową. Wzdłuż jednej ścieżki toczy się świat, jakby nie było pętli. Wzdłuż innego utworu obraca się nowo utworzony wszechświat, którego historia została na stałe zmieniona. Kiedy mówię "nowo stworzony", mówię oczywiście z punktu widzenia świadomości podróżnika w czasie. Dla obserwatora w, powiedzmy, piątym wymiarze światowa linia wędrowca po prostu przełącza się z jednego continuum czasoprzestrzennego na inny, na wykresie, który przedstawia wszystkie wszechświaty rozgałęzione jak drzewo w metauniwersji. Ścieżki czasu rozwidlenia pojawiają się w wielu sztukach, powieściach i opowiadaniach nie-naukowych pisarzy jonów. J. B. Priestley używa go w popularnej sztuce Dangerous Corner, podobnie jak wcześniej uczynił to Lord Dunsany w swojej sztuce. Mark Twain omawia je w Tajemniczy nieznajomy. Jorge Luis Borges gra z nim w jego "Garden of Forking Paths". Ale to autorzy science-fiction zaostrzyli i opracowali tę koncepcję. Zobaczmy, jak to działa. Przypuśćmy, że powrócisz do czasów Napoleona we Wszechświecie 1 i zamordujesz go. Świat rozwidla się. Jesteś teraz we Wszechświecie 2. Jeśli chcesz, możesz wrócić do teraźniejszości Wszechświata 2, wszechświata, w którym Napoleon został w tajemniczy sposób zamordowany. Jak bardzo ten świat różni się od starego? Czy znajdziesz tam duplikat? Może. Może nie. Niektóre historie zakładają, że najdrobniejsza zmiana w przeszłości wprowadzi nowe łańcuchy, które miałyby efekt zwielokrotnienia i spowodowałyby ogromne zmiany historyczne. Inne przypuszczenia zakładają, że hitorię są zdominowane przez tak potężne ogólne siły, że nawet poważne zmiany w przeszłości zanikałyby, a przyszłość wkrótce byłaby bardzo podobna. W "Grzbiecie grzmotu" Raya Bradbury'ego Eckels powraca do starożytnej epoki geologicznej pod ścisłymi środkami ostrożności, aby zapobiec poważnym zmianom w przeszłości. Na przykład nosi maskę tlenową, aby zapobiec tworzeniu się drobnoustrojów przez żywe życie. Ale Eckels narusza zakaz i krokowo podchodzi do żywego motyla. Kiedy wraca do teraźniejszości, zauważa subtelne zmiany w biurze firmy, która zorganizowała jego podróż. Został zabity za nielegalną zmianę przyszłości. Setki innych opowiadań fantastyki i pisarzy science-fiction odmieniło wariacje na ten temat. Jednym z najsmutniejszych jest "Zagubiony" lorda Dunsany'ego (w Czwartej Księdze Jorkena, 1948). Człowiek podróżuje do swojej przeszłości, za sprawą orientalnego uroku, aby naprawić stare błędy. Oczywiście to zmienia historię. Kiedy wraca do teraźniejszości, brakuje mu żony i domu. "Lost! Lost!" on płacze. "Nie cofaj się przez lata, próbując coś zmienić, nawet nie chcesz ... I pamiętaj, że cała Droga Mleczna jest łatwiejsza do pokonania niż czas, pośród których strasznych lat straciłem . " Łatwo zauważyć, że w takich metakosmosach rozgałęziających się ścieżek czasowych nie można wygenerować paradoksu. Przyszłość nie stanowi problemu. Jeśli wyruszysz w przyszłym tygodniu, po prostu znikniesz na tydzień i pojawi się w przyszłości we wcześniejszym tygodniu niż byłbyś. Ale jeśli wrócisz i zamordujesz się w swoim łóżeczku, wszechświat usłużnie się rozdzieli. Wszechświat 1 postępuje jak poprzednio, znikając z niego, gdy dorośniesz i powrócisz. Być może zdarza się to wielokrotnie, każdy cykl tworzy dwa nowe światy. Być może zdarza się tylko raz. Kto wie? W każdym razie, Wszechświat 2 z tobą i ołowianym dzieckiem w nim toczy się dalej. Nie jesteś unicestwiony przez swój czyn, ponieważ teraz jesteś kosmitą z Wszechświata 1 żyjącego we Wszechświecie 2. W takim metakosmosie (jak pisało wielu pisarzy science-fiction) łatwe jest tworzenie duplikatów samego siebie. Możesz spędzić rok w Uniwersum 1, mieszkać przez rok z sobą we Wszechświecie 2, a następnie wrócić za rok odwiedzić dwie repliki siebie we Wszechświecie 3. Oczywiście, powtarzając takie pętle, możesz stworzyć tyle replik siebie jak chcesz. Są to oryginalne repliki, a nie pseudo-repliki, jak w scenariuszach Reichenbacha i Putnama. Każdy ma swoją niezależną linię światową. Historia może stać się niezwykle chaotyczna, ale istnieje jeden rodzaj zdarzeń, które nigdy nie mogą wystąpić: logicznie sprzeczny. Ta wizja metakosmosu zawierającego rozgałęzione światy może wydawać się szalona, ale szanujący się fizycy potraktowali to bardzo poważnie. Hugh Everett III Ph.D. we "Względny stan formulacji mechaniki kwantowej "(Reviews of Modern Fizyki 29, lipiec 1957, s. 454-462) opisuje metatorię, w której wszechświat w każdej mikrosystemowej gałęzi rozgałęzia się na niezliczone równoległe światy, z których każda jest możliwą kombinacją mikroeventów, może występować jako wynik niepewności w skali mikro. W dalszej części artykułu znajduje się korzystna ocena Johna A. Wheelera, w której wskazuje on, że klasyczni fizycy na początku tak samo czuli się niekomfortowo z radykalnymi pojęciami ogólnej teorii względności. "Jeśli istnieją nieskończone wszechświaty", napisał Fredric Brown w "What Mad Universe", wówczas muszą istnieć wszystkie możliwe kombinacje, a wtedy gdzieś wszystko musi być prawdą ... Istnieje wszechświat, w którym Huckleberry Finn jest prawdziwą osobą, robiącą Ddokładnie to, co Mark Twain opisał mu jako istotę, faktycznie istnieje nieskończona liczba wszechświatów, w których Huckleberry Fin robi każdą możliwą wariację tego, co Mark Twain mógł opisać jako robiący ... I nieskończone wszechświaty, w których stany istnienia są takie, że nie będziemy mieli słów ani myśli, aby je opisać lub wyobrazić. " Co się stanie, jeśli wszechświat nigdy się nie rozwidli? Przypuśćmy, że istnieje tylko jeden świat, ten, w którym wszystkie linie świata są uporządkowane liniowo, a obiekty zachowują swoją tożsamość, niech przyjdą, co mogą. Brown rozważa tę możliwość w swojej historii "Eksperyment". Profesor Johnson trzyma mosiężny sześcian w dłoni. Jest sześć minut do trzeciej. Dokładnie o trzeciej, mówi on swoim kolegom, umieści kostkę na platformie maszyny czasu i wyśle ją pięć minut w przeszłość. "Dlatego" - zauważa - "sześcian przed pięcioma minutami znika z mojej ręki i pojawia się na platformie, pięć minut, zanim ją tam umieściłem." "Jak więc możesz go tam umieścić?" zapytał jeden z jego kolegów. "Kiedy moja ręka się zbliży, zniknie z platformy i pojawi się w mojej ręce, aby ją tam umieścić." Po pięciu minutach do trzech kostka znika z dłoni profesora Johnsona i pojawia się na platformie, po pięciu minutach odesłanej przez jego przyszłą akcję umieszczania kostki na platformie o trzeciej. "Pięć minut, zanim go tam umieściłem, tam jest!" "Ale", mówi zmarszczony kolega, "co jeśli teraz, gdy pojawił się już pięć minut przed umieszczeniem go tam, powinieneś zmienić zdanie i nie umieszczać go tam o trzeciej godzinie? czy to jakiś paradoks jakiegoś rodzaju? " Profesor Johnson uważa, że to interesujący pomysł. Aby zobaczyć, co się dzieje, nie umieszcza kostki na platformie o trzeciej. Nie ma paradoksu. Sześcian pozostaje. Ale cały wszechświat, w tym profesor Johnson, jego koledzy i wehikuł czasu, znika. UZUPEŁNIENIE J. A. Lindon, brytyjski pisarz komiksowy, wysłał mi swoją kontynuację limeryka o Pannie Bright: Kiedy ją przesłuchali, odpowiedziała panna Bright, "Byłem tam, kiedy wróciłem do domu tej nocy; Spałem więc ze sobą, Jak dwa buty na półce, Uzbrojeni krewni nie powinni być ciasni! " Ned Block napisał, że słyszał następującą niebieską wersję od studenta w M.I.T .: Była młoda para o imieniu Bright Kto mógłby kochać się znacznie szybciej niż światło. Zaczęli pewnego dnia W względny sposób I przyszedł poprzedniej nocy. Wielu czytelników zwróciło uwagę na dwie trudności, które mogą wynikać z podróży w czasie w obu kierunkach. Jeśli podróżni pozostaną w tym samym miejscu w czasoprzestrzeni, w stosunku do wszechświata, ziemia nie będzie już tam, gdzie była. Mogą znaleźć się w pustej przestrzeni lub w czymś solidnym. W tym drugim przypadku, czy ciało stałe powstrzymałoby ich przed przybyciem? Czy jeden czy drugi zostanie odepchnięty na bok? Czy nastąpi eksplozja? Druga trudność to termodynamika. Po odejściu podróżnika w czasie wszechświat straci trochę energii masowej. Kiedy przybywa, wszechświat odzyskuje tę samą kwotę. W czasie przerwy między odejściem a przybyciem wszechświat wydawałby się naruszać prawo zachowania energii masowej. Wspomniałem pokrótce, co teraz nazywa się "interpretacją wielu światów" QM (mechaniki kwantowej). Najlepszym odnośnikiem jest zbiór dokumentów z 1973 r. Na ten temat, opracowany przez Bryce'a DeWitt'a i Neila Grahama. Zakładając, że wszechświat nieustannie dzieli się na miliardy równoległych światów, interpretacja ta stanowi ucieczkę od indeterminizmu kopenhaskiej interpretacji QM, jak również od wielu paradoksów, które ją nękają. Niektórzy fizycy, którzy popierają interpretację wielu światów, argumentowali, że niezliczone duplikaty jaźni i równoległych światów wytwarzanych przez rozwidlające się ścieżki nie są "rzeczywistymi", lecz jedynie artefaktami tej teorii. W interpretacji wielu światów teoria zapada się w dziwny sposób mówienia tych samych rzeczy, które mówi się w interpretacji kopenhaskiej. Sam Everett, w swojej oryginalnej tezie z 1957 r., dodał na dowód ten słynny przypis: W odpowiedzi na reprint tego artykułu niektórzy korespondenci podnieśli kwestię "przejścia od możliwości do rzeczywistych", argumentując, że w "rzeczywistości" jest - jak nasza doświadczenie świadczy o braku podziału stanów obserwatora, tak że w rzeczywistości może istnieć tylko jedna gałąź, ponieważ ten punkt może się zdarzyć innym czytelnikom, co wyjaśnia wyjaśnienie: cała kwestia przejścia od "możliwego" do "faktycznego" jest zajmiemy się teorią w bardzo prosty sposób - nie ma takiego przejścia, ani taka przemiana nie jest konieczna, aby teoria była zgodna z naszym doświadczeniem. Z punktu widzenia teorii wszystkie elementy superpozycji (wszystkie "gałęzie") ") są" rzeczywiste ", żadne bardziej" realne "niż pozostałe, nie trzeba przypuszczać, że wszystkie poza jednym są w jakiś sposób zniszczone, ponieważ wszystkie oddzielne elementy superpozycji indywidualnie podporządkowują się równaniu falowemu z całkowitą obojętnością wobec obecność lub nieobecność ("rzeczywistość" lub nie) jakichkolwiek innych elementów. Ten całkowity brak efektu jednej gałęzi na drugiej oznacza również, że żaden obserwator nigdy nie będzie świadomy żadnego "rozszczepienia" procesu. Argumenty, że światowy obraz przedstawiony przez tę teorię jest sprzeczny z doświadczeniem, ponieważ nie jesteśmy świadomi jakiegokolwiek odgałęzienia, są jak krytyka teorii Kopernika, że ruchliwość ziemi jako rzeczywistego faktu fizycznego jest niezgodna ze zdroworozsądkową interpretacją natury, ponieważ nie odczuwamy takiego ruchu. W obu przypadkach argument kończy się niepowodzeniem, gdy zostanie wykazane, że sama teoria przewiduje, że nasze doświadczenie będzie tym, czym jest w istocie. (W przypadku Kopernika było dodanie fizyki newtonowskiej musi być w stanie wykazać, że mieszkańcy Ziemi byliby nieświadomi jakiegokolwiek ruchu ziemi.) Interpretację wielu światów nazwano piękną teorią, której nikt nie może uwierzyć. Niemniej jednak wielu czołowych fizyków rzeczywiście zaakceptowało, że nadal to robi - swoją niesamowitą różnorodność logicznie możliwych światów. Tutaj jest DeWitt broniąc go w "Mechanika kwantowa i rzeczywistość", artykuł z 1970 roku przedrukowany w zbiorze, który redagował u Grahama: przeszkodą w podejmowaniu tak wysokiego obrazu rzeczy jest oczywiście to, że zmusza nas do wiary w rzeczywistość wszystkich równoczesne światy. . . w każdym z nich pomiar przyniósł inny wynik. Niemniej jednak to właśnie twórcy teorii mieliby nam wierzyć. . . . Wszechświat ten konsekwentnie dzieli się na olbrzymią liczbę gałęzi, wszystkie wynikające z pomiarów podobnych interakcji między miriadami składników. Co więcej, każda kwantowa przemiana zachodząca na każdą gwiazdę, w każdej galaktyce, w każdym odległym zakątku wszechświata dzieli nasz lokalny świat na Ziemi na miriady kopii samego siebie. Ciągle pamiętam szok, którego doświadczyłem przy pierwszym spotkaniu z wielowymiarową koncepcją. Idea 10100+ nieznacznie niedoskonałych kopii samego siebie, ciągle dzielące się na kolejne kopie, które ostatecznie stają się nierozpoznawalne, niełatwo pogodzić ze zdrowym rozsądkiem. Chociaż John Wheeler początkowo wspierał interpretację wielu światów, od tego czasu porzucił ją. Cytuję z pierwszego rozdziału jego Granic Czasu (Centrum Fizyki Teoretycznej, 1978): Pomyślna teza Everetta jest pouczająca, zgadzamy się. Raz zasubskrybowaliśmy to. Z perspektywy czasu wygląda jednak na zły ślad. Po pierwsze, to sformułowanie mechaniki kwantowej oczernia kwant. Od początku zaprzecza, że kwantowy charakter natury jest jakąkolwiek wskazówką dla planu fizyki. Weź ten hamiltonian dla świata, który hamiltonian lub jakikolwiek inny hamiltonian, mówi to sformułowanie. Jestem zasadą zbyt wspaniałomyślną, by dbać o to, lub dlaczego w ogóle powinien być jakiś hamiltonian. Dajesz mi wszystko, co chcesz, a ja oddaję ci wiele światów. Nie szukaj mi pomocy w zrozumieniu tego wszechświata. Po drugie, jego nieskończenie wiele nieobserwowalnych światów powoduje duży ładunek metafizycznego bagażu. Wydaje się, że przeciwstawiają się żądaniom Mendelejewa co do właściwej teorii naukowej, która powinna "narazić się na zniszczenie". Wigner, Weizsacker i Wheeler zgłosili zastrzeżenia bardziej szczegółowo, ale także w dość odmiennych terminach, do interpretacji mechaniki kwantowej w stosunku do stanu lub wielu światów. Jest ciężko aby nazwij każdego, kto pojmuje to jako sposób na utrzymanie determinizmu. W artykule zatytułowanym "Obrotowe cylindry i możliwość globalnego naruszenia przyczyn" fizyk Frank Tipler podniósł teoretyczną możliwość skonstruowania maszyny, która umożliwiłaby przejście do przodu lub do tyłu w czasie. (Tipler jest jednym z niewielu entuzjastów interpretacji wielu światów oraz współautorem kontrowersyjnej książki The Anthropic Cosmological Principle, Oxford University Press, 1986). Wychodząc z rotującego kosmosu Godela i niedawnych prac nad czasoprzestrzennymi patologiami otaczającymi czarne dziury, Tipler wyobraża sobie masywny cylinder, nieskończenie długi i obracający się tak szybko, że jego powierzchnia porusza się szybciej niż połowa prędkości światła. Czas w pobliżu cylindra byłby tak zniekształcony, że według obliczeń Tiplera astronauci mogliby krążyć wokół cylindra, poruszając się lub obracając, i podróżując w przeszłość lub przyszłość. Tipler zastanawiał się, czy taka maszyna może zostać zbudowana z cylindrem o skończonej długości i masie, ale później doszła do wniosku, że takiego urządzenia nie można skonstruować przy użyciu znanych form materii i siły. Takie wątpliwości nie przeszkadzały Poulowi Andersonowi używać cylindra Tiplera do podróży w czasie w jego powieści "Awatar", ani też nie powstrzymały Roberta Forwarda przed napisaniem "Jak zbudować maszynę czasu" (Omni, May 1980). "Znamy już teorię", komentowali Omni nad artykułem do tyłu Forward: "Wszystko, co jest potrzebne, to zaawansowana inżynieria". Zamykam dwiema perłami mądrości "Profesor" Irwin Corey: "Przeszłość jest już za nami, a przyszłość jest przed nami".

Liczby heksagonalne i gwiazdy

Starożytni greccy matematycy, w szczególności pitagorejczycy, byli zachwyceni liczbami figuratywnymi: liczbami, które można przedstawić, układając punkty w regularne wzory na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Wśród płaskich liczb figuratywnych najczęściej badanymi były liczby wielokątne. Rysunek poniżej pokazuje pierwsze cztery liczby wielokątne - trójkątne, kwadratowe, pięciokątne i sześciokątny - są zbudowane jako częściowe sumy prostych postępów arytmetycznych. Liczby trójstronne są częściowymi sumami liczb zliczających 1 + 2 + 3 + 4 +. . . . Liczby kwadratowe tworzone są przez kolejne dodawanie kolejnych liczb nieparzystych 1 + 3 + 5 + 7 +. . . . Numery pięciokątne pochodzą od progresji 1 + 4 + 7 + 10 +. . .a liczby heksagonalne z progresji 1 + 5 + 9 + 13 +. . . . Odpowiednie różnice wynoszą 1, 2, 3 ,. . . . Badanie liczb figuratywnych należy do gałęzi teorii liczb zwanej analizą diofantyczną, która ma związek ze znalezieniem rozwiązań całkowitych równania. Ogromny wysiłek poczynili wielcy pionierzy teorii liczb w badaniu właściwości liczb wielokątnych.




Zacznijmy od klasycznego problemu, który rozwiązał Leonhard Euler w 1730 roku. Jak znaleźć wszystkie liczby, które są zarówno kwadratowe, jak i trójkątne? Wzór na n-tą liczbę trójkątną to 1/2(n2 + n). Jeśli to wyrażenie jest również kwadratowe, mamy równanie Diofantyczne (n2 + n) = m2. Poznanie techniki rozwiązania tego równania jest doskonałym wprowadzeniem do analizy diofantycznej. Początkowym krokiem jest manipulowanie równaniem, aby uzyskać prostsze równanie, które będzie kluczem do rozwiązania. Jednym ze sposobów, aby to zrobić jest: 1. Wyraź równanie jako n2 + n = 2m2. 2. Pomnóż każdą stronę przez 4: 4n2 + 4n = 8m2. 3. Dodaj po 1 do każdej strony: 4n2 + 4n + 1 = 8m2+ 1. 4. Rozłóż na czynniki (2n + 1) (2n + 1) = 2 (4m2) + 1. 5. Niech y = (2n + 1) i x = 2m. 6. Zastąp tymi wyrazami w poprzednim równaniu , co daje y2 = 2x2 + 1. Jest to najprostsza forma tego, co nazywa się równaniem Pella, o którym więcej poniżej. Jeśli znajdziemy dla niego rozwiązanie całkowite, możemy z łatwością pracować wstecz, aby znaleźć wartości całkowite dla n i m w oryginalnym równaniu. Standardowym algorytmem do łamania równania Pella jest wyrażenie pierwiastka kwadratowego ze współczynnikiem x (w tym przypadku 2) jako frakcji ciągłej, następnie eksploracja jego zbieżności dla wartości x i y, które spełniają Pella. Technika jest zbyt zaangażowana, aby to wyjaśnić. Okazuje się, że ilekroć współczynnik nie jest kwadratem, Pell ma nieskończoną ilość rozwiązań. Ponieważ 2 nie jest kwadratem, istnieje nieskończoność kwadratowych trójkątów. Sekwencja rozpoczyna się od 1, 36, 1225, 41616, 1413721,. . . . Rekurencyjna procedura kontynuacji tej sekwencji polega na pomnożeniu ostatniego kwadratowego trójkąta przez 34, odjęciu poprzedniego kwadratu trójkąta, a następnie dodaniu 2. Nierekursywna formuła dla n-tego trójkąta prostokątnego to



Liczby niewymierne w formule mogą prowadzić do przypuszczenia, że konieczne jest zaokrąglanie w górę lub w dół, ale tak nie jest. Wzór jest dokładny. Zastąp każdą dodatnią liczbę całkowitą dla n, a irracjonaliści zostaną porzuceni, aby dać całkowitą wartość wyrażenia. Zaskakujące jest, jak często problem znalezienia tej formuły pojawia się w działach problemowych czasopism matematycznych, mimo że wykazano, że formuła wraca do Eulera. Trójkąty kwadratowe mają wiele niezwykłych właściwości. Jednym z najbardziej zaskakujących jest to, że gdy stosuje się prosty algorytm, każdy kwadratowy trójkąt daje boki całkowitego trójkąta prostokątnego z jednym bokeim dokładnie o jedną jednostkę dłuższą niż drugi. Niech boki trójkąta prostokątnego to x i x + 1 oraz przeciwprostokątną z. Niech v będzie pierwiastkiem kwadratowym z kwadratowego trójkąta a u jego bokiem, gdy będzie reprezentowany jako trójkąt. Procedura polega jedynie na rozwiązaniu tych dwóch równoczesnych równań: u = z - x - 1 v = 1(2x + 1 - z) Na przykład, jeśli weźmiemy drugi kwadratowy trójkąt, 36, to v = 6, u = 8. Powyższe równania podają wartość x 20 i wartość z 29. Trójkątk pitagorejski zatem wynosi 20, 21, 29. Gdybyśmy użyli pierwszego trójkąta kwadratowego, 1, algorytm zapewniłby znany trójkąt prostokątny 3,4,5. Trzeci kwadratowy trójkąt daje trójkę 119, 120, 169. W ten sposób wszystkie trójkąty pitagorejskie z kolejnymi odcinkami można uzyskać od kwadratowych trójkątów i oczywiście możemy przejść w drugą stronę i wyprowadzić wszystkie kwadratowe trójkąty z następujących po sobie etapach trójkąta pitagorejskiego. Prosta procedura lub jeden jej odpowiednik wyjaśnia, w jaki sposób Beiler był w stanie skonstruować swoją tablicę z pierwszych 100 trójkątów pitagorejskich z kolejnymi nogami. Taki 100-ty trójkąt ma nogi, z których każda wyraża się liczbą siedemdziesięciu dziewięciu cyfr. Żaden trójkąt pitagorejski nie może mieć równych nóg, ale ta monstrualność jest tak zbliżona do równania, że - jak pokazuje graficznie Beiler - jeśli jej mniejsza noga ma długość jednego roku świetlnego, druga noga byłaby dłuższa o tyle nieskończenie małą, że różnica między dwie nogi byłyby miliony razy mniejsze niż średnica protonu. Przechodzimy teraz do dwóch planarnych liczb figuratywnych, które nie są wielokątne w klasycznym sensie. Pierwsze w przeszłości otrzymywało skąpą uwagę. Drugi, o ile mi wiadomo, nie był wcześniej uznawany za liczbę figuratywną. Jeśli rozmieszczamy punkty, jak pokazano na rysunku 3, mamy tak zwane wyśrodkowane liczby sześciokątne, aby je porównać z tradycyjnymi liczbami generowanymi przez wierzchołki.



Nazwijmy je skrótem "heksy". Jak pokazuje ilustracja na pierwszy rzut oka, formuła dla n-tego heksa to 3n(n - 1) + 1. Jest to suma trzech rombów, po obu stronach n i (n - I) plus jeden punkt w środek. Rysunek 4 pokazuje, że heks to także suma sześciu trójkątów plus punkt centralny.



Sekwencja zaczyna się 1,7,19,37,61,91,127,169. . . . Procedurę rekursywną należy pomnożyć przez 2, odjąć poprzednią liczbę i dodać 6. Załóżmy, że tworzymy piramidę sześciokątną monet, zaczynając od heksa, który ma 100 monet na boku. Oprócz tego kładziemy na boku sześciokąt 99 monet, potem jeden z 98 itd., Aż w końcu zakrywamy piramidę pojedynczą monetą na centralnym stosie. Piramida ma 100 warstw wysokości. Ile jest w nim monet? Aby odpowiedzieć na to, musimy znać wzór na sumę pierwszych n-heksów. Odpowiedź jest nieoczekiwanie prosta. To jest n3. W piramidzie heksadecymalnej znajduje się zatem 1003 = 1 000 000 monet. Z tej formuły wynika, że każdy heks jest różnicą między dwoma kolejnymi sześcianami. Możemy to zademonstrować elegancko, budując sześcian, powiedzmy 5 X 5 X 5, z jednostek kostki. Usuń jedną kostkę (pierwszy hex) z górnego rogu. Pozostawia otwór 1 X 1 X 1. Wokół tej dziury znajduje się siedem sześcianów (drugi heks). Usunięcie tych siedmiu liści tworzy sześcienny otwór 2 x 2 x 2. Wokół tej dziury znajduje się dziewiętnaście sześcianów (trzeci heks). Usunięcie dziewiętnastu sześcianów pozostawia sześcienny otwór 3 X 3 X 3 i tak dalej



Oprócz heksa I, pierwszy trójkątny hex to 91, a pierwszy kwadratowy hex to 169. Czytelnicy, którzy znają technikę Pelliana mogą cieszyć się poszukiwaniem procedur rekursywnych, które wygenerują każdą z tych nieskończonych sekwencji liczb i ich nierekursywnych formuł. Pellian dla kwadratowych heksów to 3x2 + 1 = y2, który jest rozwiązywany przez znalezienie zbieżności kontynuowanej frakcji dla pierwiastka kwadratowego z 3. Następny kwadratowy kwadrat po 169 wynosi 32761, a następny 6355441. Czy są heksy, które są zarówno kwadratowe, jak i trójkątne? Czy jest sześciokątny sześciokąt? Ściśle powiązane z heksami są liczby, których wcześniej nie widziałem, jako figury, chociaż często postrzega się je jako wzory otworów drenażowych i dziury na solniczkach i pieprznikach. Miłośnicy gier znają je jako wzory desek do gry w chińskie warcaby. Nazwijmy je liczbami "gwiazdowymi". Rysunek 6 pokazuje pierwsze cztery gwiazdy, a Figura 7 to "zobacz" dowód formuły dla n-tej gwiazdy.





Najwyraźniej gwiazda składa się z sześciu rombów, każdy n przez (n - 1) plus punkt centralny, lub 6n (n - 1) + 1. Gwiazda jest również sumą dwunastu trójkątów plus punkt centralny, jak pokazano na Rysunku 8.



Sekwencja gwiazd zaczyna się od 13,33,73,121,181,253,337,433,541. . . . Dodanie 12n do n-tej gwiazdy daje następną gwiazdę. Heks zawiera sześć trójkątów. Dodanie sześciu kolejnych trójkątów do sześciu boków tworzy gwiazdę; w konsekwencji każda liczba szesnastkowa staje się liczbą gwiazdową, jeśli ją podwoimy i odejmiemy 1. Pierwsze n gwiazdek sumują się do 2n3 - n. Czy ta suma jest zawsze kwadratem? Tak, ale tylko wtedy, gdy n = 1 lub 169. Zostało to ustalone w 1973 roku przez Johna Harrisa, na podstawie wyników opisanych przez Louisa J. Mordella jego równań diofantycznych. Pierwsza trójkątna gwiazda po 1 to 253. Procedura rekurencyjna polega na pomnożeniu gwiazdy trójkątnej przez 194, dodaniu 60 i odjęciu poprzedniej trójkątnej gwiazdy. Nieskończona sekwencja rozpoczyna się 1, 253, 49141, 9533161, 1849384153. . . . Nierekursywna formuła dla n-tej trójkątnej gwiazdy to



Pierwsza kwadratowa gwiazda po 1 to 121. Jest to liczba dziur na standardowej chińskiej szachownicy. Procedura rekursywna polega na pomnożeniu gwiazdy kwadratowej przez 98, odejmij poprzednią gwiazdę kwadratową i dodaj 24. Nieskończona sekwencja rozpoczyna się 1, 121, 11881, 1164241, 114083761 ,… Dla czytelników, którym zależy na rozwiązaniu równania dla gwiazd kwadratowych, 6n (n - 1) + 1 = m2, powiem tylko tyle, że zmniejsza się to do rozwiązania 2x2 + 1 = 3y2, gdzie x jest pierwiastkiem kwadratowym kwadratu gwiazdy. Można go rozwiązać, odnajdując alternatywne zbieżności pierwiastka kwadratowego z 4. Nierekursywny wzór ekstraktu dla n-tej kwadratowej gwiazdy jest



Jedną z najbardziej niezwykłych właściwości gwiazd kwadratowych jest to, że zapewniają prosty algorytm do tworzenia każdej liczby, która może być wyrażona jako suma dwóch kolejnych kwadratów, a także jako suma trzech kolejnych kwadratów. Najmniejsza taka liczba to 365 (liczba dni w roku), która wynosi 132 + 142, a także równa się 102 + 112 + 122. Procedura polega po prostu na wzięciu dowolnej gwiazdki kwadratowej większej niż 1, potrójnej i dodaniu 2 Najmniejsza kwadratowa gwiazda większa od 1 to 121. Trzy razy 121, plus 2, to 365. Następna gwiazda kwadratowa, 11881, prowadzi do liczby 35645, która równa się 1332 + 1342, a także jest równa 1082 + 1092 + 1102. Trzeci Przypadek to 3(1164241) + 2 = 3492725 = 13212 + 13222 = 10782 + 10792 + 10802. W każdym przypadku środkowy okres trypletu kolejnych kwadratów jest oryginalną gwiazdą kwadratową. Jest to przyjemne ćwiczenie, nie wymagające specjalnych umiejętności w teorii liczb, aby pokazać, że algorytm zawsze działa. Czy czytelnik może znaleźć prosty dowód? Nie mogłem znaleźć żadnej dyskusji o gwiazdach jako takich, chociaż ich formuła pojawia się w związku z wieloma problemami z diofantą. Można zgłaszać wszelkie pytania dotyczące gwiazd, które mogą być łatwe lub trudne do udzielenia odpowiedzi. Nie wiem na przykład, czy istnieją gwiazdy, które są zarówno kwadratowe, jak i trójkątne. Ponieważ cyfrowy korzeń gwiazdy to 1 lub 4, a cyfrowy korzeń trójkąta musi wynosić 1,3,6 lub 9, możemy powiedzieć, że kwadratowa gwiazda trójkątna musi mieć cyfrowy pierwiastek równy 1, ale to nie jest zbyt pomocne. Ogólne równanie Pella, klucz do tak dużej ilości tego rodzaju analizy liczb, to ax2 + 1 = y2, gdzie a jest dodatnią liczbą całkowitą. Ma nieskończoność pozytywnych integralnych rozwiązań dla x i y, chyba że a jest kwadratem, w którym to przypadku nie ma rozwiązań. Jak widzieliśmy, kiedy a = 2, mamy klucz do znalezienia kwadratowych trójkątów, a kiedy a = 3, klucz do znalezienia kwadratowych heksów. Równanie zostało omyłkowo nazwane Johnem Pellem, teoretykiem numer siedemnastego wieku, z powodu fałszywego wrażenia ze strony Eulera. Pell nie miał nic wspólnego z tym równaniem. Był znany z wczesnych Greków i Hindusów, ale Pierre Fermat jako pierwszy zaproponował zaawansowane prace nad nim, a ogólne rozwiązanie uzyskał John Wallis i inni. Klasycznym odniesieniem jest Równanie Pella autorstwa E. E. Whitforda.

ODPOWIEDZI

Problem polegał na tym, aby udowodnić, że jeśli liczba gwiazdowa zostanie pomnożona przez 3, a 2 zostanie dodane, wynikiem jest liczba, która może być wyrażona jako suma dwóch kolejnych kwadratów, a także jako suma trzech kolejnych kwadratów. Jak wyjaśniono, kwadratowe gwiazdy są liczbami postaci 6n (n - 1) + 1 = m2, gdzie n i m są dodatnie liczby całkowite. Jeśli lewa strona, która definiuje gwiazdę, jest mnożona przez 3, a 2 jest dodawana, wynikiem jest 18n (n - 1) + 3 + 2 = 18n2 - 18n + 5. Wyrażenie jest równe sumie dwóch następujących po sobie kwadraty: (3n - 1) 2 + (3n - 2)2. Jeśli prawa strona równania, które definiuje kwadrat, jest mnożona przez 3, a 2 to dodany, wynik to 3m2 + 2. Jest to suma trzech kolejnych kwadratów (m -1) 2 + m2 + (m + 1) 2

UZUPEŁNIENIE

Zapytałem, czy liczba szesnastkowa może być zarówno trójkątna, jak i kwadratowa. Odpowiedź brzmi: tylko numer szesnastkowy 1. Dowód podał Charles M. Grinstead, matematyk z Swarthmore College, w artykule "O metodzie rozwiązywania klasy równań diofantycznych" . Zapytałem także, czy heks może być sześcianem. David Chess, Sin Hitotumatu i Wesley Johnson byli pierwszymi, którzy powiedzieli, jak łatwo można wykazać, że odpowiedź brzmi "nie". Każdy heks, jak wyjaśniłem, jest różnicą między dwoma kolejnymi sześcianami. Pytanie zatem jest takie samo, jak pytanie, czy formuła (x + I)3 - x3 = y3 ma integralne rozwiązanie. Kiedy jest to napisane x3 + y3 = (x + 1) 3 widzimy od razu, że jest to przypadek ostatniego twierdzenia Fermata, gdy wykładniki to 3. To dawno temu udowodniono, że nie ma żadnego integralnego rozwiązania Harvey J. Hindin, w Dzienniku $ Matematyka rekreacyjna pokazała, że problem określania wszystkich liczb, które są zarówno heksami, jak i gwiazdami, jest równoważny z zadaniem określenia, kiedy jedna liczba trójkątna jest dwa razy inna, a także tym samym, co znalezienie pitagorejskich potrójnych x, y, z, tak, że y = x + 1. Tabela w jego artykule zawiera pierwsze dziesięć gwiazdowych heksów, nieskończoną sekwencję, która zaczyna się od 1, 37, 1261, 42841 ... Hindin wyliczył pierwsze 15 000 gwiazd i heksów. John Harris wskazał w liście, że każda gwiazda ma cyfrowy pierwiastek (jego wartość modulo 9) 1 lub 4, i że ostatnia para cyfr musi wynosić 01,21, 411,61,81, 13,33,53,73,93 lub 37. Wyklucza to tylko jeden numer gwiazdki zawierający cyfry od 1 do 9 tylko raz (taka liczba ma cyfrowy korzeń 9), a także dowolną gwiazdę "powtórzenia cyfry" składającą się w całości z powtórzeń tej samej cyfry. Harris pokazał także, że każda para kolejnych gwiazd jest względnie pierwsza, a każdy główny dzielnik gwiazdy jest o jeden lub jeden mniej niż wielokrotność 12. Kilku czytelników napisało, że wczesne nieoficjalne flagi Stanów Zjednoczonych miały trzynaście gwiazd (dla oryginalne trzynaście stanów) ułożonych w formację gwiazd. Zauważ też, że ten wzór jest po zielonej stronie dolara, tuż nad orłem.

Tangramy I

Jedna z najstarszych dziedzin matematyki rekreacyjnej ma do czynienia z zagadkami układanek Płaszczyzny lub bryły są pocięte na różne kawałki, a problem polega na dopasowaniu kawałków do siebie, aby stworzyć oryginalną figurę lub jakąś inną figurę. Wyjątkową rekreacją tego typu od czasów renesansu jest chińska gra logiczna znana jako tangramy. Chociaż tangramy i układanki mają powierzchowne podobieństwo, są one biegunami osobnymi w rodzaju wyzwań, które oferują. Jak wskazuje Ronald C. Reads, typowa układanka składa się z setek nieregularnie ukształtowanych elementów, które pasują do siebie niesprawiedliwie w jeden sposób, aby stworzyć duży wzór. Niewielkie umiejętności są wymagane, tylko czas i cierpliwość. Tangramy mają tylko siedem części, zwanych tanami. Mają one najprostsze możliwe kształty i są używane do tworzenia nieskończonej różnorodności tangramów. Tworząc te figury, istnieje duże zapotrzebowanie na geometryczną intuicję i zdolności artystyczne. Tan uzyskuje się poprzez podzielenie kwadratu w celu wytworzenia dwóch dużych trójkątów, trójkąta średniej wielkości, dwóch małych trójkątów, kwadratu i romboidalnego

.

Zwróć uwagę, że wszystkie rogi są wielokrotnościami 45 stopni. Jeśli bok kwadratowej opalenizny jest brany jako jedność, strona każdej opalenizny ma jedną z czterech długości: 1,2, √2 i 2√2. "Na początku jesteśmy zdumieni niezręcznością kształtu ... z którym mamy się spodziewać tak wiele", napisał Loyd, amerykański ekspert od łamigłówek. "Liczba 7 jest uporczywą siłą podstawową, której nie można podzielić na symetryczne połówki, a formy geometryczne (z ostrymi kątami) wykluczają możliwość odmiany, krzywych lub linii wdzięku". Po dłuższej pracy z tanami, zaczyna się jednak doceniać subtelną elegancję rozbioru i bogactwo jego kombinatorycznych możliwości. Od czasu do czasu wprowadzano na rynek wszelkiego rodzaju warianty, naśladując tangramy, ale nikt nie zbliżył się nawet do popularności tangramów. Podobnie jak w przypadku origami, to właśnie prostota materiału i jego pozorna niezdolność do artystycznego wykorzystania stanowią sedno jego uroku. Sztuka tangramu przypada w przybliżeniu na trzy główne kategorie:
I. Poszukiwanie jednego lub więcej sposobów na stworzenie danego tangramu lub na elegancki dowód niemożliwości utworzenia tangramu.
2. Znalezienie sposobów przedstawienia, z maksymalnym kunsztem lub humorem, lub obu, sylwetki zwierząt, postaci ludzkich i innych rozpoznawalnych obiektów.
3. Rozwiązywanie różnorodnych problemów w kombinatorycznej geometrii, które stawia siedem tanów.
Wiele książek, a nawet kilka encyklopedii, deklaruje, że gra tangram ma około 4000 lat. Chińczycy zabawiali się nim przez kilka tysięcy lat. To jest całkowicie błędne. Człowiekiem odpowiedzialnym za mit jest sam Sam Loyd. W 1903 roku, kiedy Loyd miał sześćdziesiąt jeden lat i był u szczytu sławy, opublikował małą książkę (obecnie niezwykle rzadką), zatytułowaną "Ósma księga Tan". Żadna zachodnia książka o tangramach nie była bardziej oryginalna ani wpływowa. Oprócz setek doskonałych nowych postaci, Loyd wymyślił nieprzyzwoitą legendę o pochodzeniu rozrywki. To była największa mistyfikacja w historii zagadek, a liczba inteligentnych ludzi, którzy ją przyjęli, rywalizuje z liczbą uczonych, którzy przyjęli fałszywą historię wanny H. L. Menckena.
"Według zmarłego profesora Challenora," napisał Loyd, "którego pośmiertne papiery znalazły się w posiadaniu pisarza, siedem książek Tangramów, zawierających po tysiąc wzorów, było znanych w Chinach ponad 4000 lat temu. Książki są tak rzadkie, że profesor Challenor mówi, że podczas czterdziestoletniego pobytu w Chinach udało mu się tylko zobaczyć doskonałe wydania pierwszego i siódmego tomu, z zabłąkanymi fragmentami drugiego. W związku z tym można wspomnieć, że część jednej z książek, wydrukowanych w złotym liściu na pergaminie, znaleziono w Pekinie przez angielskiego żołnierza, który sprzedał go za 300 funtów kolekcjonerowi chińskich antyków, który łaskawie dostarczył część najpiękniejsze projekty przedstawione w tej pracy. " Według Loyda, Tan był legendarnym chińskim pisarzem, który był czczony jako bóstwo. Ułożył wzory w swoich siedmiu książkach, aby wyświetlić siedem etapów ewolucji ziemi. Jego tangramy zaczynają się od symbolicznych reprezentacji chaosu i zasady yin-yang. Po nich następują prymitywne formy życia, następnie postaci przechodzą ewolucyjne drzewo przez ryby, ptaki i zwierzęta do rasy ludzkiej. Rozproszone po drodze tangramy ludzkich artefaktów, takich jak narzędzia, meble, ubrania i architektura. Loyd wstawia uwagi Konfucjusza, filozofa zwanego Choofootze, komentatora Li Hung Chang i jego mitycznego profesora Challenora. Chang jest cytowany jako mówiący, że poznał wszystkie liczby w siedmiu książkach Tana zanim mógł mówić. I są odniesienia do "dobrze znanego" chińskiego powiedzonka o "głupcu, który napisze ósmą księgę Tan". Wszystko to, oczywiście, było czystą mistyfikacją. Kiedy Henry Ernest Dudeney, brytyjski odpowiednik Loyda, napisał artykuł o tangramach dla The Strand Magazine, potwornie powtórzył legendarną historię Loyda. To wzbudziło ciekawość sir Jamesa Murraya, wybitnego leksykografa i redaktora Oxford English Dictionary, który przeprowadził badania przez jednego z jego synów, a następnie nauczał na chińskim uniwersytecie. Orientalni uczeni nigdy nie słyszeli o Tan ani nawet o słowach tangramy. "Gra"Murray poinformował Dudeneya, "jest znana w Chinach jako ch'i ch'iao t'u, co oznacza "plan siedmioma pomysłami" lub, mniej dosłownie"sprytna łamigłówka złożona z siedmiu elementów. Murray nie mógł znaleźć żadnego zapisu słowa tangram wcześniej niż w słowniku Webstera z 1864 roku. Zostało wymyślone około roku 1850, jak domyślił się Murray, przez Amerykanina, który prawdopodobnie połączył tang, kantońskie słowo oznaczające "chiński", z popularnym sufiksem -gram, jak w anagramie lub kryptogramie. Inna teoria na temat tej nazwy została ostatnio rozwinięta przez Petera Van Note we wstępie do przedwojennej powieści Loyda o Dover. Chińskie rodziny żyjące na statkach nazywają się tanka, a tan to chińskie słowo oznaczające prostytutkę. Amerykańscy żeglarze, uczeni łamigłówki przez dziewczyny tanka, mogli nazwać ją tangramami - zagadką prostytutek. Kiedy Dudeney zrelacjonował opinie Murraya w Amusements in Mathematics, mógł świadomie dodać własnego mistyfikatora. Amerykański korespondent, jak pisze Dudeney, powiedział mu, że jest właścicielem chińskiego zestawu tan z masy perłowej z towarzyszącą mu książeczką z papieru ryżowego składającą się z ponad 300 figurek. Korespondent był zaintrygowany tajemniczym napisem na pierwszej stronie, który powiedział, że próbował tłumaczyć, ale żaden Chińczyk, któremu go pokazał, nie był skłonny lub w stanie go przeczytać. Dudeney powtórzył napis i poprosił czytelnika o pomoc. Nie wiemy, jaka była odpowiedź na tę prośbę, ale Read, który jest właścicielem kopii tej samej broszury, nie miał trudności z wyjaśnieniem tajemnicy. Napis jest niczym więcej jak podpisem pod tangramami dwóch mężczyzn. Podpis brzmi: "Dwaj mężczyźni stoją naprzeciw siebie i piją, co pokazuje wszechstronność siedmioelementowej układanki". Nikt nie wie, kiedy powstały tangramy. Najwcześniejszą znaną referencją jest książka wydana w Chinach w 1803 roku. Jej tytuł, The Collected Volume of Tops of the Seven-Piece Puzzle, sugeruje wcześniejsze książki. Większość uczonych uważa, że gra powstała w Chinach około 1800 roku, stała się orientalną grą , a następnie szybko rozprzestrzeniła się na Zachód. Najwcześniejsze zachodnie książki, jak czytamy w Read, były niczym więcej niż kopiami chińskich broszur z papieru ryżowego. Zachodnie książki nawet skopiowały błędy na chińskich ilustracjach. Jedna z najwcześniejszych angielskich książek o tangramach, pierwotnie należących do Charlesa Lutwidge′a Dodgsona (lepiej znanego jako Lewis Carroll), weszła w posiadanie Dudeneya. Nazywa się "The Fashionable Chinese Puzzle" i po raz pierwszy został opublikowany w Nowym Jorku w 1817 roku. Dudeney cytuje z niego fragment stwierdzający, że gra była faworytem "byłego cesarza Napoleona, który teraz znajduje się w stanie osłabienia i żyje na emeryturze, przepuszcza wiele godzin dziennie, wykorzystując swoją cierpliwość i pomysłowość. " To również jest niewspierane oświadczenie, niewątpliwie fałszywe. Układanka jest uważana przez Loyda za ulubienicę Johna Quincy'ego Adamsa i Gustave'a Dorta, chociaż nie znam żadnej podstawy dla żadnego twierdzenia. Wiemy, że Edgar Allan Poe cieszył się grą, ponieważ jego importowany zestaw rzeźbionych kości słoniowych jest własnością przez Bibliotekę Publiczną w Nowym Jorku. Anonimowa praca francuska Recueil des Plus Jolie Jeux de Societe może być tłumaczeniem angielskiej książki Dodgsona lub odwrotnie. Nie widziałem żadnej kopii. 1817 Amerykańska książka nosi tytułowy chiński trangram filozoficzno-matematyczny. "Trangam" to staroangielskie słowo oznaczające bibelot, zabawkę lub puzzle. Samuel Johnson zapisał go jako "trangram", a pisownia przetrwała w późniejszych słownikach. Czy anonimowy autor książki wskrzesił przestarzałe słowo, które później ewoluowało do "tangram", czy też błędnie pisał "tangram", słowo już używane? Jedna powieść kryminalna, The Chinese Nail Murders autorstwa holenderskiego dyplomaty i orientalisty Roberta Van Gulika, jest utkana wokół zestawu tangramowych wzorców. Delikatna filigranowa rzeźba jest charakterystyczny dla starej chińskiej opalenizny z kości słoniowej. Zauważ, że kawałki pakują się w kwadratowe pudełko w dwóch warstwach. Dwie warstwy są kwadratami jednakowej wielkości, więc odłożenie opalenizny jest zagadką samą w sobie. W dziewiętnastowiecznych Chinach, gdzie tangramy cieszyły się popularnością wśród dorosłych (obecnie uważa się je za rozrywkę dziecięcą na Dalekim Wschodzie), kawałki zostały wykonane w wielu rozmiarach i z wielu różnych materiałów. Naczynia, pudełka lakiernicze, a nawet małe stoły miały kształty opalenizny. Tyle o tle historycznym. Przejdźmy teraz do pierwszej z trzech kategorii zabawy tangram: rozwiązywania danych liczbowych. Na rysunku

.

pokazano kilkanaście interesujących kształtów, na których czytelnik jest zaproszony do wypróbowania swoich umiejętności. Każdy wymaga wszystkich siedmiu elementów. Romboidalna, jedyna asymetryczna opalenizna może być umieszczona z obu stron w górę. Jedna cyfra na ilustracji nie jest możliwa. Czy czytelnik może to zidentyfikować i udowodnić, że jest niemożliwa? Sparowane tangramy na rysunku są przykładami uroczych paradoksów wprowadzonych przez Loyda.

.

(Pierwsze trzy pary zostały wymyślone przez Loyda, czwarta para została wymyślona przez Dudeneya.) Chociaż figura po prawej stronie w każdym przypadku wydaje się być dokładnie taka sama jak jej partnera, z wyjątkiem brakującej części, każda z nich składa się ze wszystkich siedmiu opala! Tangramy na rysunku nie są przeznaczone jako wzory do rozwiązania, ale jako ilustracje drugiej kategorii gry:

.

tworzenie artystycznych i zabawnych zdjęć. (Wyznaję odpowiedzialność za karykaturę Nixona.) "Jedną niezwykłą rzeczą w ... obrazach Tangrama - pisał Dudeney - jest to, że sugerują wyobraźni tak wiele, że tak naprawdę tam nie ma. Kto na przykład może wyglądać. . . w Lady Belinda. . . bezzwłocznie czując wyniosłą ekspresję. . . ? Następnie spójrz ponownie na bociana i zobacz, jak sugeruje się umysłowi, że noga jest rzeczywiście znacznie smuklejsza niż jakikolwiek z użytych kawałków. To naprawdę jest złudzenie optyczne. Znowu zauważmy w przypadku jachtu, że opuszczając ten mały punkt kątowy na górze, sugerowany jest cały maszt. Jeśli umieścisz swoje tangramy na białym papierze, aby się nie dotknęły, w niektórych przypadkach efekt jest poprawiony przez białe linie; w innych przypadkach jest niemal zniszczone."Można zmieszać dwa lub więcej zestawów opalenizny do tworzenia bardziej skomplikowanych figur. Zgadzam się jednak z Readem, gdy pisze: "Z czternastoma utworami, z którymi można się pobawić, nie można nie poczuć, że powinno być możliwe uzyskanie rozsądnego podobieństwa niemal wszystkiego. W związku z tym poczucie osiągnięć, które otrzymuje na produkcji rozpoznawalną krowę, żaglowiec, ludzką postać, lub co ty, z zaledwie siedmiu sztuk, jest dość brakuje."Połączenie dwóch powiązanych Tangramów, każdy wykonany z siedmiu tanów, to inna sprawa. Cztery klasyczne przykłady, wszystko wymyślił przez Loyd, to kobieta pcha wózek, biegacz są oznaczone na zewnątrz na płycie głównej, dwóch indyjskich Braves, a człowiek z taczką

.

Należy zauważyć, że człowiek i taczki są identycznymi Tangramami z wyjątkiem orientacji. Trzecia kategoria tangramu , rozwiązywanie problemów kombinatorycznych jest najciekawsze dla matematyków. Było kilka niezwykłych rzeczy wniesionych do tej dziedziny przez Reada, specjalistę w dziedzinie teorii grafów na Uniwersytecie w Waterloo oraz przez E. S. Deutscha, informatyka z P. S. Ross and Partners w Toronto. Niektóre z ich wyników zostaną przedstawione w następnej części. Aby zaostrzyć apetyt czytelnika, oto dwa problemy, które będą opisane później
1. Ile różnych wypukłych wielokątów można uformować za pomocą siedmiu tanów? Na rysunkach nie może być żadnych "okien". Rotacje i odbicia nie są, jak to jest w zwyczaju, uważane za różne. Ponieważ wszystkie trójkątne wielokąty są wypukłe, a nie można wykonać żadnego wypukłego wielokąta z czterech stron za pomocą wszystkich siedmiu opalenizn, odpowiedź na to pytanie również podaje liczbę trój- i czterobocznych wielokątów. Łatwo zauważyć, że możliwy jest tylko jeden trójkąt (ponieważ rogi muszą być wielokrotnością 45 stopni, trójkąt musi być prawym równoramiennym jednym), ale znalezienie wszystkich wyższych wypukłych wielokątów jest nieco trudne.
2. Jak wiele różnych wielokątów może być tworzonych?

Tangramy II

W tej części rozważamy pewne nietrywialne problemy kombinatoryczne przedstawione przez siedem tanów. Pytanie, które pojawia się od razu, brzmi: Ile stron może mieć tangram utworzony ze wszystkich siedmiu tanów? Chociaż odpowiedź jest oczywista, wydaje się, że po raz pierwszy stwierdził ją Harry Lindgren w swoim artykule "Tangrams" z 1968 roku. W ten sposób Ronald C. Read, matematyk z University of Waterloo, przekazuje nam długotrwały komunikat, z którego będę głośno cytował: "Tangramy mają 23 boki między nimi, tak aby taki tangram (po lewej stronie) na rysunku poniżej) będzie miało wyraźnie tę liczbę boków, z drugiej strony tangramy z kawałkami złączonymi tylko na rogu są matematycznie nieinteresujące ... "Zróbmy regułę, Read proponuje, że tangram musi mieć obwód topologicznie odpowiednik okręgu, to znaczy, nie może się przecinać. Czytaj nazywa te "właściwe tangramy". Ile stron może mieć odpowiednia tangram? Znowu odpowiedź brzmi: dwadzieścia trzy. Dowód jest dostarczony przez postać kłaniającego się mężczyznę pokazanego po prawej stronie na rysunku



i przez prawie nieskończone inne przykłady. Odpowiednie tangramy zawierają ważny podzbiór, który Read nazywa "przytulnymi tangramami". Aby zrozumieć znaczenie przytulności, narysuj linie na wszystkich tanach (z wyjątkiem dwóch małych trójkątów), aby utworzyć szesnaście identycznych trójkątów równoramiennych z jednostkowymi nogami



Przytulny tangram jest odpowiednim tangramem uformowanym w taki sposób, że gdy dwa tany stykają się ze sobą, boki małych trójkątów w prawo pasują dokładnie, od nóg do nóg lub przeciwprostokątnych do przeciwprostokątnych. Wszystkie wypukłe tangramy są przytulne, podobnie jak wiele tradycyjnych figurek



Nawiasem mówiąc, nadprzyrodzona cecha charakterystyczna jest technologią na Wschodzie, gdzie wymiary domów, mebli i tak dalej są raczej wielokrotnościami długości podstawowej. Mówi się, że japoński przemysł budowlany jest jednym z najbardziej wydajnych na świecie, ponieważ tarcica japońska jest standaryzowana w długościach, które są wielokrotnościami podstawowej długości "maty". Poza dopasowaniem dopasowania, Read dodaje jeszcze dwa ograniczenia: Przytulny tangram musi być po prostu podłączony (wszystko w jednym kawałku), i nie może być żadnych wewnętrznych otworów, w tym otworów, które dotykają obwodu w jednym lub więcej pojedynczych punktów. Dogodne jest rysowanie wygodnych tangramów na papierze milimetrowym, aby wszystkie integralne krawędzie znajdowały się na ortogonalnych elementach macierzy. Wszystkie przekątne brzegi będą wówczas wielokrotnościami i &radi;2 i dlatego irracjonalny. To sugerowało bardzo ładny problem: ile przytulnych tangramów ma wszystkie strony nieracjonalne? Taki tangram, gdyby został nakreślony na papierze milimetrowym, miałby wszystkie strony po przekątnej. Tany między nimi mają w sumie trzydzieści segmentów bocznych, Read kontynuuje, ale "kiedy umieszczamy dwa kawałki razem, dwie strony, które się przylegają, są tracone na obwodzie i może się zdarzyć, że stracimy więcej niż dwa. wynikowy tangram powinien być połączony, musi być co najmniej sześć linii, wzdłuż których łączą się dwie części, dlatego nie możemy uniknąć utraty 12 segmentów, dlatego całkowita liczba segmentów na zewnątrz nie może być większa niż 18. Każda strona przytulnej tangram składa się z co najmniej jednego segmentu, zatem całkowita liczba boków również nie może mieć przekroczyć wartości 18. "Pies na Rysunku dowodzi, że Przytulny tangram może mieć maksymalną liczbę boków. Liczba właściwych tangramów oczywistych jest nieskończona. Musisz tylko zauważyć, że dwa tany mogą przylgnąć do nieskończonej liczby pozycji. Jeśli pytanie ogranicza się do pewnych przedmiotów tangramu, pojawiają się interesujące problemy w wyliczaniu kombinatorycznym. Na przykład ile wypukłych tangramów tam jest? Wypukły tangram to wielokąt, w którym wszystkie kąty narożne są mniejsze niż 180 stopni. To, że istnieje tylko trzynaście zostało udowodnione w 1942 r. Przez Fu Tsiang Wanga i Chuan-Chiha Hsiunga w "54 Twierdzeniu o Tangramie" w The American Mathematical Monthly. Trzynaście pokazano na rysunku poniżej.

Jeżeli lustrzane obrazy są liczone jako różne wypukłe tangramy, to jest osiemnaście, osiemnaście wypukłych tangramów pojawia się w chińskich książkach tangram z rozwiązaniami pokazującymi, że wszystko może być wykonane bez obracania asymetrycznych romboidalnych tanów (linie wewnętrzne są pominięte na ilustracji, na wypadek gdyby niektórzy czytelnicy mogli ciesz się ich rozwiązywaniem.) Trzynaście wypukłych tangramów zawiera wszystkie trój- i czteroboczne wielokąty, które można wykonać za pomocą siedmiu elementów. Jak stwierdzono w poprzednim rozdziale, czworokąty bez wypukłości nie są możliwe. (Możesz to udowodnić? Wskazówka: Cztery wewnętrzne kąty takiej czterościennej figury musiałyby mieć trzy kąty 45 stopni i jedną 225 stopni, a figura musiałaby składać się z szesnastu równoramiennych trójkątów zgodnych z małą trójkątną opalenizną.) Pięcioboczne wielokąty, wykonane z tanów, mogą być niekształtne. Ile pięciokątów, wypukłych i nie wypukłych, zapytał Lindgren, można zrobić z siedmioma tanami.



Można się teraz zastanawiać, ile wielokątów ma tangram mający sześć boków lub siedem lub więcej, ale (jak zauważa Read), na to pytanie można łatwo odpowiedzieć. Dla n = 6 do 23 istnieje nieskończoność wieloboków n-bocznych. Wystarczy rzucić okiem na pentagon 28 na rysunku , aby zobaczyć, że przesuwając duży trójkąt po lewej stronie wzdłuż przeciwprostokątnej drugiego dużego trójkąta, można utworzyć nieskończoność sześciokątów. Ile jest przytulnych sześciokątów? Chociaż jest to liczba skończona, o ile mi wiadomo, liczba ta nie została jeszcze ustalona. Jest oczywiście tylko skończona liczba wygodnych tangramów, ale dokładna liczba (Read nazywa to przytulnym numerem) również nie jest znana. Read opracował genialną procedurę, za pomocą której można zaprogramować komputer, aby zliczyć liczbę, ale szacuje, że jest on w zasięgu milionów, a żaden taki program nie został jeszcze napisany. Niestety, szczegóły procedury Read′s są zbyt skomplikowane, aby je tutaj podać. Prostszy problem, przy użyciu dokładnie tej samej procedury, został jednak rozwiązany. Read definiuje minitangram jako utworzony z pięciu elementów, które pozostają po opuszczeniu dwóch dużych trójkątów. Problem ze znalezieniem wszystkich wygodnych minitangramów jest o wiele prostszy niż znalezienie wszystkich wygodnych tangramów, które Read był w stanie napisać program komputerowy, aby go rozwiązać i odpowiednio go uruchomić, minikomputera z University of Waterloo. Zajęło to tylko pół godziny, a licznik wynosił 951. Komputer był podłączony do terminalu, tak że rysował wszystkie minitangramy. Programy czytające są przeznaczone tylko do wyliczenia, a nie do rozwiązywania pojedynczych tangramów. Czy można napisać program, który sprawdzi każdą tangram i wyszuka przynajmniej jedno rozwiązanie? Tak, taki program został opracowany i opublikowany przez E. S. Deutsch, informatyka. Teoretycznie możliwe jest napisanie programu, który będzie systematycznie badał wszystkie możliwe sposoby, w jakie tanowie pasują do danej tangramu, a następnie drukuje wszystkie rozwiązania, ale złożoność takiego programu jest tak wielka, że nikt go jeszcze nie próbował. Program Deutsch nie jest tego typu. Jest heurystyczny, co oznacza, że chodzi o rozwiązanie tangramu w taki sam sposób, jak robi to człowiek: poprzez zastosowanie serii próbnych testów, zbadanie sprzężenia zwrotnego, cofnięcie i ponowne próbowanie, gdy nie znaleziono żadnego rozwiązania, dopóki nie odkryje rozwiązania lub nie poddaje się. Program rzadko kończy się niepowodzeniem, przyjmując średni czas około dwóch sekund, aby rozwiązać tangram. Program rozpoczyna się od zbadania obwodu tangramu, zwracając uwagę na długości krawędzi i kąty w każdym rogu. Następnie próbuje oddzielić tangram na dwa lub więcej subtangramy. Na przykład, jeśli dwie porcje tangramu spotykają się w jednym miejscu, każda porcja jest wyraźnie oddzielnym tangramem. Jeśli, powiedzmy, królik ma dwa uszy utworzone przez dwa małe trójkąty, każde ucho spotyka głowę w jednym punkcie, program natychmiast identyfikuje dwa kawałki, usuwa je i wchodzi do pracy na subtangram, który pozostaje. Jeśli tangram nie ma porcji spotykanych w punktach, program bada sposoby dzielenia go na subtangramy poprzez rozciąganie krawędzi od rogu do figury. W wielu przypadkach wewnętrzne przedłużenie krawędzi wyraźnie dzieli tangram na subtangramy; w innych przypadkach rozszerzenie jest tylko możliwą linią podziału. Po wstępnej eksploracji programu, stosuje on serię testów heurystycznych, dopóki nie znajdzie sposobu na dopasowanie opalenizny do subtangramu lub ewentualnego subtangramu. Po znalezieniu dopasowania, subtangram zostaje wyodrębniony, a program zmienia się w to, co pozostaje. Testy są uszeregowane w kolejności ich skuteczności, tak aby najsilniejsze testy można było zastosować najpierw, następnie następne najsilniejsze i tak dalej. Jeśli nie zostanie osiągnięte żadne rozwiązanie, program cofa się i zaczyna od drugiego testu. Nieco podobny program został opracowany w 1972 roku przez Ejvind Lynninga, duńskiego studenta pracującego z Jacques′em Cohenem, fizykiem z Brandeis University. Tangramy e są, z oczywistych względów, zwykle trudniejsze do rozwiązania (przez osobę lub komputer) niż nieliczne figury, a trudność ma tendencję do wzrostu, ponieważ liczba boków maleje. Można by przypuszczać, że wzór z tylko jednym rozwiązaniem byłby trudniejszy do rozwiązania niż jeden z wieloma, ale tak nie jest. Wzór, w którym opalenizna dotyka tylko punktów, ma tylko jedno rozwiązanie, ale jest to od razu oczywiste i istnieją wzory z dużą liczbą rozwiązań, które należą do najtrudniejszych. Budowa tangramów z "dziurami" podnosi wiele ciekawe nowe problemy. Nie jest trudno utworzyć kwadratowy otwór w obszarze 4 lub trójkątny otwór w obszarze 2, który nie dotyka granicy, lub dwa trójkątne otwory w obszarach 1 i 3, które nie dotykają się wzajemnie lub granicy
>


("dotyk" obejmuje dotykanie w jednym punkcie). Czy czytelnik może znaleźć sposób na wykonanie dokładnie dwóch otworów, z których każdy ma kwadrat 1 x 1, które nie stykają się ze sobą ani z obwodem? Albo dwie dziury, pod tymi samymi zastrzeżeniami, jeden trójkąt i jeden kwadrat, każdy o powierzchni 17 Nie są to trudne zadania, ale oto dwa kolejne, które sobie postawiłem i znalazłem o wiele trudniej: (1) Zrób tylko trzy otwory, dwa trójkątne i jeden kwadrat, które nie dotykają się wzajemnie ani granicy. (2) Tworzą tylko trzy otwory, dwa prostokątne i jeden trójkątny, które nie dotykają się wzajemnie ani granicy. Najwyraźniej nie jest możliwe, aby trzy otwory tego typu były prostokątne lub wszystkie trójkątne, lub dwa trójkątne otwory, każdy o powierzchni 1. "Problem z farmą" to kolejny problem z nierozwiązaną dziurą. Jaka jest największa dziura nie dotykająca granicy, która może znajdować się wewnątrz tangramu? Rozwiązaniem jest limit, który nie może zostać osiągnięty, ale można podejść tak blisko, jak sobie życzysz. (Najlepsze, co mogę uzyskać, jest limit 10.985+.) Ile boków może mieć pojedynczy otwór, który jest po prostu połączony i nie dotyka granicy? Maksymalnie na pewno jest trzynaście. Jaka jest największa "farma" nie dotykająca granicy kwadratowej? Prostokątny? Kolejnym niezbadanym rodzajem problemu tangram jest znalezienie sposobu na przekształcenie jednego tangramu w drugi przy jak najmniejszej liczbie ruchów. Ruch polega na zmianie położenia zestawu jednego lub więcej opalenizny bez naruszania wzoru zestawu. Na przykład duży kwadratowy tangram można zmienić na duży trójkąt lub duży romboid w jednym ruchu lub na prostokąt 2 X 4 w trzech ruchach. Jak zauważa Read w swojej książce, kwadrat można zmienić na 3 x 3 kwadrat z brakującym narożnikiem 1 X 1 w zaledwie dwóch ruchach. Kolejnym obszarem gry tangram otwartej na eksplorację jest tworzenie konkurencyjnych gier, które wykorzystują jeden lub więcej zestawy tanów. Jedyną grą tangram, jaką widziałem w książkach, jest gra towarzyska, polegająca na rozdawaniu każdemu gościowi zestawu tanów i przyznawaniu nagród tym, którzy jako pierwsi wykonają serię wyświetlanych wzorów. Ta koncepcja przytulności sugeruje różnorodność gier dwuosobowych. Oto trzy, które przyszło mi do głowy. Przy ich graniu dobrym planem jest zaznaczenie środka długich krawędzi, aby ułatwić dokładne dopasowanie tan.
1. Przytul się. Rozpocznij od tana tworzących duży trójkąt, kwadrat lub dowolne czterostronne ruchy alternatywne. Ruch polega na zmianie pozycji pojedynczego tana, aby utworzyć nowy, przytulny tangram, który ma więcej boków niż poprzedni. Pierwszy gracz, który nie może wykonać ruchu, przegrywa.
2. Zanurz się. To samo, co powyżej, z tym wyjątkiem, że początkowy tangram jest osiemnastobocznym, przytulnym tangramem, a każdy ruch musi zmniejszać liczbę boków. Podobnie jak w poprzedniej grze, nie można przesuwać elementu, który opuszcza lub tworzy dziurę lub dzieli figurę na części, które dotykają tylko punktów. Obie gry kończą się szybko. Bo przytulny tangram musi mieć najmniej trzy strony i nie więcej niż osiemnaście, gra nie może trwać dłużej niż piętnaście ruchów. Możliwe są gry, w których odbywa się pełne piętnaście ruchów.
3. Przytul się w górę iw dół. Zacznij od dziesięcio- lub jedenaście stronnego, przytulnego tangramu. Jeden gracz musi zwiększyć liczbę boków przy każdym zagraniu, a drugi musi zmniejszyć liczbę. Ten sam kawałek nie może być przenoszony dwa razy z rzędu. Każdy gracz przechowuje zapis swoich wzrostów i spadków, a pierwszy zdobywa 30 wygranych. Jeśli gracz nie może się ruszyć, przegrywa. Jeśli gracz z wyższej półki zdobędzie osiemnastokierunkowy tangram, wygrywa. Jeśli gracz w dół robi cztero- lub trójstronną tangram, wygrywa. Ta gra trwa znacznie dłużej niż dwie pozostałe i często przynosi nieoczekiwane zwroty. Jeden z graczy może zdobyć się daleko, zdobywając punkty, aby odkryć, tuż przed tym, jak spodziewa się wygranej, że żaden ruch nie jest dostępny.
We wszystkich trzech grach dobrze jest prowadzić rejestr liczby stron, ponieważ łatwo jest zapomnieć o liczbie, a czas jest tracony przez wielokrotne liczenie. Tablica cribbage to wygodne urządzenie nie tylko do rejestrowania liczby stron, ale także do utrzymywania wyniku w grze up-and-down

ODPOWIEDZI

Rozwiązania problemów z czterema otworami przedstawiono na rysunku



U góry po lewej na ilustracji znajduje się sposób na wykonanie dwóch kwadratowych otworów w jednostce. W prawym górnym rogu znajdują się dwie dziury, jedna kwadratowa jednostka, a druga trójkątny obszar I. Po lewej na dole ilustracji znajduje się sposób wykonania kwadratowego otworu i dwóch trójkątnych otworów. (Dopasowanie jest bardzo zbliżone, przeciwprosta górnego trójkąta jest dłuższa niż długość, którą musi rozciągać się tylko o 121 +.) Po prawej na dole znajdują się dwa prostokątne otwory i jeden trójkątny otwór. Read udowodnił, że tangram, który jest przytulny, z wyjątkiem jednej lub więcej dziur, nie może mieć więcej niż jeden otwór, jeśli otwory nie dotykają się wzajemnie lub granicy. Najmniejszy możliwy otwór jest równy małej trójkątnej opaleniznie. Bez względu na to, jak dwa takie otwory są umieszczone tak, aby się nie dotykały, wymagane jest co najmniej siedemnaście trójkątów, aby odizolować je od granicy tangramu. Ponieważ siedem opalenizny składa się z szesnastu takich trójkątów, ukończenie wymaganego tangramu jest niemożliwe. W przypadku nieistniejących tangramów wydaje się, że nie więcej niż trzy dziury nie dotykają się wzajemnie lub granica jest możliwa. Kwadrat jest jedynym przytulnym tangramem z wszystkimi jego stronami irracjonalnymi. Oto jak Read potwierdza to. Jak wyjaśniłem w poprzedniej sekcji, niewymierny tangram narysowany na papierze milimetrowym z prostopadłym prostokątem jednostkowym zorientowanym prostopadle miałby wszystkie jego krawędzie z 45-stopniowymi kątami z liniami matrycy. Wszystkie rogi wyraźnie muszą wynosić 90 stopni lub 270 stopni. Ponieważ każda strona jest wielokrotnością √2, a całkowita powierzchnia wynosi 8, wynika z tego, że każdy irracjonalny, przytulny tangram będzie tetrominem złożonym z czterech kwadratów, każdy z boku. Jest pięć tetrominów. Jeden z nich, kwadrat, wiemy, że można uformować. Każdy z pozostałych czterech jest łatwo niemożliwy, umieszczając kwadratową opaleniznę w każdej z trzech możliwych pozycji



a następnie odkrywanie sposobów uzupełniania - tetromino. Pierwsze tetromino jest wykluczone natychmiast, ponieważ nie ma sposobu na umieszczenie dwóch dużych trójkątów. W pozostałych trzech przypadkach dla każdej pozycji kwadratowej opalenizny istnieją najwyżej cztery sposoby na umieszczenie dwóch dużych trójkątów. W każdym przypadku, po umieszczeniu kwadratu i dwóch dużych trójkątów, nie ma miejsca na romboida. Zatem kwadrat jest jedynym możliwym irracjonalnym przytulnym tangramem. Moje rozwiązanie problemu farmy, z limitem 10,985 +, pokazano na rysunku

Tytuł książki tłumaczy się jako Pomysłowe kawałki Sei Shonagon. (Sei Shonagon była damą dworska z końca dziesiątego i początku jedenastego stulecia, która napisała słynną książkę Pillow.) Nie ma nic o autorze, który używa pseudonimu Ganrei-Ken. Jest wysoce nieprawdopodobne, aby Sei Shonagon znał zagadkę. Shigeo Takagi, magik z Tokio, był na tyle uprzejmy, że przysłał mi kserokopię tej rzadkiej książki. W przeciwieństwie do chińskich tanów, kawałki Shonagon utworzą kwadrat na dwa różne sposoby. Czy możesz znaleźć drugi wzór? Kawałki będą również tworzyć kwadrat z centralnym kwadratowym otworem w tej samej orientacji. Przy chińskich opałach nie można umieścić kwadratowej dziury w dowolnym miejscu na dużym placu. Richard Reiss, profesor angielskiego na Southeastern Massachusetts University, wysłał dobry dowód na to, że nie można wykonać czterobocznego non-wypukłego wielokąta ze wszystkimi siedmioma chińskimi tanami . Peter Van Note zaproponował następujące trzy zadania w oparciu o utworzenie dwóch przystających replik tanu:
1. Możliwe jest wykonanie jednego dużego kwadratu. Użyj siedmiu elementów, aby utworzyć dwa przystające małe kwadraty.
2. Możliwy jest duży trójkąt równoramienny. Użyj siedmiu elementów, aby utworzyć dwa przystające równoramienne trójkąty równoramienne.
3. Możliwe jest duże romb. Van Note nie mógł tego udowodnić, ale jest przekonany, że te siedem elementów nie może utworzyć dwóch zgodnych rombów.
John H. Conway napisał z Cambridge University, by przedstawić interesujący, nierozwiązany problem. Jakie byłyby kształty "optymalnego" zestawu tanków, czyli siedmiu wypukłych wielokątów, które utworzą największą liczbę wyraźnych wypukłych wielokątów?



Rysunek pochodzi z cudownej książki Joosta Elffersa i Michaela Schuyta. Wzór wykonany jest z tradycyjnej chińskiej opalenizny. Karl Fulves, autor wielu książek o magii, przedstawił następującą sugestię dla zabawnej sztuczki. Potajemnie dodajesz do zestawu opala się trzeci mały trójkąt. Uczyń człowieka stopami, używając wzoru pokazanego po prawej stronie i dodatkowego trójkąta dla stóp. Teraz używaj sztuczek, aby "zniknąć" w jednym z małych trójkątów (lub po prostu włożyć go do kieszeni), a następnie uformuj mężczyznę stopą, używając wzoru po lewej stronie. Jeśli nikt nie zadał sobie trudu policzenia sztuk, wydaje się, że zaginiony kawałek wrócił tajemniczo. Podobne sztuczki można oczywiście wykonywać z innymi paradoksalnymi parami. Przygotowano kilka propozycji użycia dwóch zestawów tangramów do gry planszowej podobnej do gry pentomino Solomona W. Golomb′a. Twórca gier Sidney Sackson zaleca szachownicę 6 X 6, której kwadraty mają rozmiar kwadratowej opalenizny. Każdy z dwóch graczy ma zestaw siedmiu opalenizny. Gracze po kolei umieszczają na desce opaleniznę, gdziekolwiek chcą, pod warunkiem, że rogi tan opadają na punkty kraty planszy. Osoba niezdolna do postawienia tana traci. Możliwe są różne warianty reguł, a większe plansze mogą być używane dla więcej niż dwóch graczy.

Paradoksy Nieprzechodnie

Ilekroć relacja R, która odnosi się do xRy i yRz, dotyczy także xRz, mówi się, że relacja jest przechodnia. Na przykład "mniej niż" jest przechodni wśród wszystkich liczb rzeczywistych. Jeśli 2 jest mniejsze niż 71, a pierwiastek kwadratowy z 3 jest mniejszy niż 2, możemy być pewni, że pierwiastek kwadratowy z 3 jest mniejszy niż n. Równość również jest przechodnia: ifa = bib = c, a następnie a = c. W życiu codziennym takie relacje jak "wcześniejszy niż", "cięższy niż", "wyższy niż", "wewnątrz" i setki innych są przechodnie. Łatwo jest myśleć o relacjach, które nie są przechodnie. Jeśli A jest ojcem B i B jest ojcem C, nigdy nie jest prawdą, że A jest ojcem C. Jeśli A kocha B, a B kocha C, to nie wynika z tego, że A uwielbia C. Gry familijne obfitują w zasady przechodnie (jeśli poker A bije B i B bije C, następnie A bije C), ale niektóre gry mają zasady nieprzechodnie (lub nieprzechodnie). Rozważmy grę dla dzieci, w której, według liczby trzech, jedna z nich symbolizuje "kamień" rozciąga dwa palce na "nożyczki" lub wszystkie palce na "papier". Kamień niszczy nożyczki, nożyczki wycinają papier i papierowe okładki. W tej grze zwycięska relacja jest nieprzechodnia. Czasami w matematyce, szczególnie w teorii prawdopodobieństwa i teorii decyzyjnej, dochodzi się do relacji, która ma być przechodnia, ale tak naprawdę nie jest. Jeśli nieprzechodnia jest tak sprzeczna z intuicją, że zdumiewa umysł, mamy coś, co nazywa się nieprzechodnim paradoksem. Najstarszym i najbardziej znanym paradoksem tego typu jest paradoks głosowania, nazywany czasem paradoksem Arrowa po Kenneth′ie J. Arrow, ze względu na jego kluczową rolę w twierdzeniu "niemożności" Arrowa, za który w roku 1972 otrzymał nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii. Wybór i indywidualne wartości, Arrow określił pięć warunków, które prawie wszyscy zgadzają się, są niezbędne dla demokracji, w której decyzje społeczne opierają się na indywidualnych preferencjach wyrażanych przez głosowanie. Arrow udowodnił, że pięć warunków jest logicznie niespójnych. Nie jest możliwe opracowanie systemu głosowania, który w niektórych przypadkach nie naruszy co najmniej jednego z pięciu podstawowych warunków. Krótko mówiąc, doskonałe demokratyczne głosowanie system jest w zasadzie niemożliwy. Jak to ujął Paul A. Samuelson: "Okazuje się, że poszukiwania wspaniałych umysłów nagranej historii dla idealnej demokracji są poszukiwaniem chimery, logicznej samozaprzeczalności ... "Teraz uczeni na całym świecie. świat - w matematyce, polityce, filozofii i ekonomii - próbują ocalić to, co może zostać uratowane przed dewastującym odkryciem Arrow, a mianowicie polityce matematycznej, na czym polega twierdzenie Kurta Godla o niemożności udowodnienia konsekwencji logiki matematycznej. Zbliżmy się do paradoksu głosowania, rozważając najpierw zasadniczą wadę naszego obecnego systemu wybierania urzędników. Często sprawuje on urząd człowieka, któremu większość głosujących nie lubi, ale który podąża za nim entuzjastyczna mniejszość. Załóżmy, że 40 procent wyborców jest entuzjastycznymi zwolennikami kandydata A. Opozycja dzieli się na 30 procent dla B i 30 procent dla C. A jest wybierany, mimo że 60 procent głosujących go nie lubi. Jedną z popularnych propozycji unikania takich skutków głosowania podzielonego jest umożliwienie wyborcom uszeregowania wszystkich kandydatów według ich preferencji. Niestety może to również powodować irracjonalne decyzje. Matryca na rysunku 26 (po lewej) przedstawia osławiony paradoks głosowania w jego najprostszej postaci.



Górny rząd pokazuje, że jedna trzecia wyborców preferuje kandydatów A, B i C w kolejności ABC. W środkowym rzędzie widać, że kolejny trzeci szereguje je BCA, a dolny wiersz pokazuje, że pozostały trzeci szereguje je jako CAB. Zbadaj dokładnie matrycę, a przekonasz się, że gdy kandydaci są w parach, nieprzechodnia staje na czele. Dwie trzecie wyborców preferuje A do B, dwie trzecie wolą B na C, a dwie trzecie wolą C na A. Jeśli A wystąpiłoby przeciwko B, A wygrałoby. Jeśli B wystąpi przeciwko C, B wygra. Jeśli C wystartuje przeciwko A, wygrywa C. Zastępcze propozycje dla mężczyzn i widzisz, jak łatwo partia będąca w mocy może podjąć decyzję, po prostu przez wybór parujących propozycji, które zostaną najpierw poddane pod głosowanie. Paradoks został uznany przez markiza de Condorcet i inne w końcu XVIII wieku i jest znany we Francji jako efekt Condorcet. Lewis Carroll, który napisał kilka broszur podczas głosowania, odkrył go ponownie. Większość wczesnych zwolenników proporcjonalnej reprezentacji byli całkowicie nieświadomi tej pięty Achillesa; paradoks nie został w pełni uznany przez teoretyków politycznych aż do połowy lat czterdziestych, kiedy Duncan Black, walijski ekonomista, odkrył je ponownie w związku z jego monumentalną pracą nad decyzją komisji do zrobienie. Dziś eksperci nie są zgodni co do tego, która z pięciu warunków Arrowa powinna zostać porzucona w poszukiwaniu najlepszego systemu głosowania. Zaskakującym wyjściem, zalecanym przez wielu teoretyków decyzji, jest to, że gdy pojawia się impas, "dyktator" jest wybierany losowo, aby go złamać. Coś bliskiego temu rozwiązaniu faktycznie powstaje w niektórych demokracjach, na przykład w Anglii, gdzie monarcha konstytucyjny (wybrany przypadkowo w tym sensie, że linia nie gwarantuje żadnych specjalnych uprzedzeń) ma ściśle ograniczoną moc do przełamywania impasu w pewnych ekstremalnych warunkach. Paradoks głosowania może pojawić się w każdej sytuacji, w której należy podjąć decyzję pomiędzy dwiema alternatywami z zestawu trzech lub więcej. Załóżmy, że A, B i C to trzej mężczyźni, którzy jednocześnie proponowali małżeństwo z dziewczyną. Rzędy matrycy do paradoksu głosowania można wykorzystać do pokazania, w jaki sposób ocenia je pod względem trzech cech, które uważa za najważniejsze, np. Inteligencji, atrakcyjności fizycznej i dochodu. Bieda dziewczyna, ubrana przez pary, odkrywa, że preferuje od A do B, B do C i C do A. Łatwo jest dostrzec, jak mogą powstać podobne konflikty w związku z wyborem pracy, gdzie można spędzić wakacje i tak dalej. Paul R. Halmos zasugerował kiedyś wspaniałą interpretację matrycy. Niech A, B i C oznaczają szarlotkę, ciasto z jagodami i ciasto wiśniowe. Pewna restauracja oferuje tylko dwie z nich przy danym posiłku. Wiersze pokazują, w jaki sposób klient plasuje placki w odniesieniu do trzech właściwości, np. Smaku, świeżości i wielkości plasterka. Jest całkowicie racjonalne, mówi Halmos, aby klient wolał szarlotkę od borówki, czereśni po wiśnie i od czereśni po jabłko. W swoich "Przygodach Matematyka" Stanisław Ulam mówi o odkryciu nietransformatywności takich preferencji, gdy miał osiem lub dziewięć lat, a później uświadamiając sobie, że uniemożliwiło to klasyfikację wielkich matematyków w liniowym porządku względnych zasług. Badacze różnią się, jak często nieprzechodnie porządki, takie jak ten, pojawiają się w codziennym życiu, ale niektóre ostatnie badania z psychologii i ekonomii wskazują, że są one powszechniejsze, niż można by przypuszczać. Istnieją nawet doniesienia o eksperymentach ze szczurami pokazujące, że w pewnych warunkach wybory z bólu poszczególnych szczurów są nieprzechodnie. Podobne paradoksy pojawiają się w turniejach round-robin pomiędzy drużynami. Załóżmy, że dziewięciu tenisistek ma zdolność do rangowania według numerów od 1 do 9, przy czym najlepszy gracz otrzymuje liczbę 9, a najgorszą liczbę 1. Matryca na rysunku 26 (po prawej) to znany magiczny kwadrat rzędu 3. Niech wiersze A, B i C wskazują, w jaki sposób dziewięciu graczy jest podzielonych na trzy zespoły, z których każdy zawiera zespół. W turniejach round-robin pomiędzy drużynami, gdzie każdy członek jednej drużyny gra raz przeciwko każdemu członkowi innych, zakładaj, że silniejszy gracz zawsze wygrywa. Okazuje się, że drużyna A pokonuje B, B pokonuje C, a C pokonuje A, w każdym przypadku przez pięć gier do czterech. Nie można powiedzieć, która drużyna jest najsilniejsza. Ta sama nietranssekcyjność obowiązuje, jeśli kolumny D, E i F macierzy są zespołami. Wiele paradoksów tego typu było wspólnie badanych przez Leo Moser i J. W. Moon. Niektóre z paradoksów Moser-Moon leżą u podstaw uderzających i mało znanych zakładów frajerów. Na przykład, niech każdy rząd (lub każda kolumna) matrycy magiczno-kwadratowej rzędu 3 będzie zbiorem kart do gry, na przykład as, 6 i 8 kier dla zestawu A, 3,5 i 7 pik. dla zestawu B oraz 2,4 i 9 trefl dla C. Każdy zestaw jest wybierany losowo i umieszczany zakryty na stole. Przyssawka może dobrać kartę z dowolnego zestawu, a następnie dobrać kartę z innego zestawu



Wysoka karta wygrywa. Łatwo jest udowodnić, że bez względu na to, z czego ustawi się frajer, możesz wybrać zestaw, który da ci wygrywające szanse od pięciu do czterech. Set A pokonuje B, B pokonuje C, a C pokonuje A. Ofiara może nawet mieć prawo do decydowania za każdym razem, czy wygrywa wysoka, czy niska karta. Jeśli wygrywasz niską kartę, po prostu wybierz zwycięski stos w odniesieniu do nieprzechodniego okręgu, który idzie w drugą stronę. Dobrym sposobem na grę jest użycie zestawów kart z trzech talii o różnych kolorach. Pakiet dziewięciu kart tasuje się za każdym razem, a następnie dzieli się przez trzy zestawy. Oszustwo jest oczywiście izomorficzne z paradoksem tenisa turniejowego. W wielu innych prostych grach hazardowych przeważa nietrucyjność. W niektórych przypadkach, takich jak top zaprojektowany przez Andrew Lenarda



nietrwałość jest łatwa do zrozumienia. Dolna część blatu jest stała, ale górny dysk obraca się. Każdy z dwóch graczy wybiera inną strzałkę, wierzch jest obrócony (w dowolnym kierunku), a osoba, której strzałka wskazuje na sekcję o najwyższym numerze, wygrywa. Bity B, B wygrywają C i C pokonują A, w każdym przypadku z prawdopodobieństwem dwa do jednego. W zestawie czterech kart bingo zaprojektowanych przez Donalda E. Knutha



, nieprzechodnia jest sprytnie ukryta. Dwóch graczy wybiera kartę bingo. Liczby od 1 do 6 losowane są losowo bez wymiany, tak jak w standardowym bingo. Jeśli wywoływany numer znajduje się na karcie, jest oznaczony przez komponent bean. Pierwszy gracz, który ukończył poziomy rząd, wygrywa. Tutaj, oczywiście, liczby są po prostu symbolami; mogą być zastąpione przez dowolny zestaw . Pierwszy gracz, który ukończył poziomy rząd, wygrywa. Tutaj liczby są oczywiście tylko symbolami; można je zastąpić dowolnym zestawem sześciu różnych symboli. Zostawiam to czytelnikowi, aby określić prawdopodobieństwa, które pokazują, że karta A bije B, B pokonuje C, bije D, a D pobudza A. Gra jest przechodnią z trzema graczami, ale szanse na wygraną dla czterech możliwych trioli są zaskakujące. Jedną z najbardziej niewiarygodnych sytuacji dotyczących nieprzechodni, odkrytych (odpowiednio) przez matematyka o nazwisku Walter Penney, problem z Journal of Recreational Mathematics. Nie jest dobrze znana, a większość matematyków po prostu nie może w to uwierzyć, kiedy po raz pierwszy o tym usłyszeli. Jest to z pewnością jeden z najlepszych ze wszystkich zakładów frajerów. Można go zagrać za pomocą pensa lub jako zakład boczny na czerwone i czarne koło ruletki lub w sytuacji, w której dwie alternatywy są losowane równymi liczbami nieparzystymi. Zakładamy, że użyta zostanie moneta pensowa. Jeśli jest odwrócony trzy razy, jest osiem równie prawdopodobnych wyników: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH i TTT. Jeden gracz wybiera jedną z tych trójek, a drugi gracz wybiera inną. Pens jest następnie odwracane wielokrotnie, aż jeden z wybranych triolek pojawi się jako bieg i wygrywa grę. Na przykład, jeśli wybranymi trojaczkami są HHT i THT, a flipy to THHHT, ostatnie trzy obroty pokazują, że wygrał HHT. W skrócie, pierwszy triplet, który pojawia się jako bieg, wygrywa. Można założyć, że jedna trójka jest tak samo prawdopodobna, jak pierwsza, ale dopiero po chwili zdaje sobie sprawę, że tak nie jest nawet z dubletami. Rozważmy dublety: HH, HT, TH i TT. HHand HTare jednakowo. Najprawdopodobniej pojawi się pierwszy, ponieważ po pojawieniu się pierwszego H, równie prawdopodobne jest po nim H jak i T. Taki sam argument pokazuje, że TT i TH są równe. Z powodu symetrii, HH = TT i HT = TH. TH bije HH z prawdopodobieństwem trzy do jednego, a HT bije TT z takim samym prawdopodobieństwem. Rozważmy HT i TT. TT jest zawsze poprzedzona przez HT, chyba że TT pojawia się na pierwszych dwóch rzutach. Dzieje się tak na dłuższą metę tylko raz na cztery razy, a więc prawdopodobieństwo, że HT pokona TT, wynosi 3/4. Rysunek pokazuje prawdopodobieństwo, że B, drugi gracz, wygra dla wszystkich par dubletów.



Kiedy zwracamy się do trójki, sytuacja staje się o wiele bardziej zaskakująca. Ponieważ nie ma znaczenia, która strona monety jest przeznaczona na głowy, wiemy, że HHH = T T T, TTH = HHT, HTH = THT, i tak dalej. Kiedy jednak analizujemy prawdopodobieństwa dla nierównych par, odkrywamy, że gra nie jest przechodnia. Bez względu na to, jaką trójkę wybierze pierwszy gracz, drugi gracz może wybrać lepszą. Rysunek poniższy podaje prawdopodobieństwo, że B, drugi gracz, pokonuje A dla wszystkich możliwych par.



. Aby znaleźć najlepszą odpowiedź B na triadę wybraną przez A, znajdź tryplet A na górze, idź w dół kolumny, aż osiągniesz prawdopodobieństwo (pokazane na szaro), a następnie przesuń się w lewo wzdłuż rzędu do trójki B po lewej stronie. Zauważ, że prawdopodobieństwo wygranej B jest, w najgorszym razie, 2/3 (lub szansa na dwa do jednego) i może wynosić nawet 7/8 (lub siedem do jednego). Szanse na siedem do jednego są łatwe do zrozumienia. Rozważmy THH i HHH. Jeśli HHH pojawia się po raz pierwszy poza początkiem, musi być poprzedzone znakiem T, co oznacza, że THH pojawił się wcześniej. HHH wygrywa zatem tylko wtedy, gdy pojawia się na pierwsze trzy obroty. Najwyraźniej dzieje się tak tylko raz na osiem rzutów. Barry Wolk z Uniwersytetu w Manitobie odkrył dziwną regułę określania najlepszego tripletu. Niech X będzie pierwszym tripletem wybranym. Przekształć go na liczbę binarną, zmieniając każde H na zero, a każde T na 1. Podziel liczbę przez 2, zaokrąglij w dół iloraz do najbliższej liczby całkowitej, pomnóż przez 5 i dodaj 4. Wyrażamy wynik binarnie, a następnie konwertujemy ostatnie trzy cyfry z powrotem na H i T. Nieprzeniesienie zachowuje się dla wszystkich wyższych n-krotek. Tabela dostarczona przez Wolka podaje zwycięskie prawdopodobieństwa dla B we wszystkich możliwych par ćwiartek



. Podobnie jak poprzednie dwa wykresy i wykresy dla wszystkich wyższych n-krotek, macierz jest symetryczna względem środka. Górny prawy kwadrant to dolny lewy kwadrant do góry nogami, a to samo dotyczy lewego górnego i prawego dolnego kwadrantu. Prawdopodobieństwa uzyskania najlepszych odpowiedzi B na A są wyświetlane na szaro. Podczas badania tych postaci Wolk odkrył inny rodzaj anomalii, zaskakujący jak nietransfekcyjność. Ma to związek z tzw. czasami oczekiwania. Czas oczekiwania na n-tuplet jest średnią liczbą rzutów, w długim okresie, aż pojawi się określona n-krotka. Im dłużej czekasz na autobus, tym krótszy staje się oczekiwany czas oczekiwania. Pens jednak nie ma pamięci, więc czas oczekiwania na n-tuplet jest niezależny od wszystkich poprzednich odwrotności. Czas oczekiwania na H i T wynosi 2. Dla dubletów czas oczekiwania wynosi 4 dla HT i TH, a 6 dla HH i TT. Dla tripletów czas oczekiwania wynosi 8 dla HHT, HTT, THH i TTH; 10 dla HTH i THT, a 14 dla HHH i TTT. Nic z tego nie jest sprzeczne z tym, co wiemy o tym, która trójka z pary prawdopodobnie pokaże jako pierwsza. W przypadku czworokątów pojawiają się jednak sprzeczności z sześcioma parami. Na przykład, THTH ma czas oczekiwania 20 i HTHH czas oczekiwania 18 lat. Jednak THTH jest bardziej prawdopodobne, aby pojawić się przed HTHH z prawdopodobieństwem 9/14, lub dobrze ponad pół. Innymi słowy, zdarzenie, które jest rzadsze w dłuższej perspektywie, prawdopodobnie nastąpi przed częstszym wydarzeniem. Nie ma tu logicznej sprzeczności, ale pokazuje, że "średni czas oczekiwania" ma szczególne właściwości. Istnieje wiele sposobów na obliczenie prawdopodobieństwa, że jedna n-tuplet poprzedzi drugą. Możesz to zrobić, sumując nieskończone serie, rysując schematy drzew, za pomocą technik rekursywnych, które produkują zbiory równań liniowych i tak dalej. Jedną z najdziwniejszych i najbardziej wydajnych technik opracował John Horton Conway z University of Cambridge. Nie mam pojęcia, dlaczego to działa. Po prostu wyłudza odpowiedź jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki, jak wiele innych algorytmów Conwaya. Kluczem do procedury Conwaya jest obliczenie czterech liczb binarnych, które Conway nazywa liczbami wiodącymi. Niech A będzie oznaczać 7-kołpakowy HHTHHHT i B dla THHTHHH. Chcemy określić prawdopodobieństwo pobicia B. Aby to zrobić, napisz A powyżej A, B powyżej B, A powyżej B i B powyżej A



. Powyżej górnej tuplet każdej pary liczba binarna jest konstruowana w następujący sposób. Weź pod uwagę pierwszą parę, AA. Spójrz na pierwszą literę górnej czopki i zadaj sobie pytanie, czy siedem liter zaczynających się od pierwszej odpowiada dokładnie siedmiu pierwszym literom poniżej. Oczywiście, że tak, więc kładziemy 1 powyżej pierwszej litery. Następnie spójrz na drugą literę górnej czapki i zapytaj, czy sześć liter, zaczynając od tej, odpowiada pierwszej szóstce litery poniżej. Najwyraźniej tak nie jest, więc ustawiliśmy zero powyżej drugiej litery. Czy pięć liter rozpoczynających się od trzeciej litery górnej tupy odpowiada pierwszym pięciu literom niższej tufletki? Nie, tak więc ten list również wynosi zero. Czwarta litera otrzymuje kolejne zero. Kiedy sprawdzamy piątą literę A, widzimy, że HHT odpowiada trzem literom niższego A, więc piąta litera otrzymuje 1. Litery szóstej i siedem każda otrzymują zero. "A wiodący numer" lub AA, jest 1000100, w którym każdy 1 odpowiada odpowiedzi tak, każde zero do nie. Tłumaczenie 1000100 z binarnego na dziesiętny daje nam 68 jako wiodącą liczbę dla AA. Rysunek pokazuje wyniki tej procedury przy obliczaniu liczb wiodących AA, BB, AB i BA. Ilekroć n-krotka jest porównywany z samym sobą, pierwsza cyfra numeru wiodącego musi oczywiście wynosić 1. W porównaniu z inną krotką pierwszą cyfrę może, ale nie musi, 1. Szanse na korzyść B pokonują A są podane przez stosunek AA - AB: BB - BA. W tym przypadku 68: 1: 64 - 35 = 67: 29. Jako ćwiczenie, czytelnik może spróbować obliczyć szanse na korzyść THH pokonując HHH. Cztery wiodące liczby będą AA = 7, BB = 4, AB = 0 i BA = 3. Podłączenie ich do formuły, AA - AB: BB - BA daje szanse 7 - 0: 4 - 3, lub siedem do jeden, zgodnie z oczekiwaniami. Algorytm działa równie dobrze na krotkach o nierównych długościach, pod warunkiem, że mniejsza paczka nie jest zawarta w większym. Jeśli na przykład A = HH i B = HHT, A wygrywa z prawdopodobieństwem 1. Kończę z problem autorstwa Davida L. Silvermana, który jako pierwszy wprowadził paradoks Penneya w dziale problemów, który następnie zredagował dla Dziennika Matematyki Rekreacyjnej. Czytelnik powinien mieć małe trudności z rozwiązaniem tego algorytmu Gonwaya. TTHH ma czas oczekiwania 16, a HHH ma czas oczekiwania równy 14. Które z tych krotek najprawdopodobniej pojawią się pierwsze i z jakim prawdopodobieństwem?

ODPOWIEDZI

Który wzór głów i ogonów, TTHH lub HHH, jest bardziej prawdopodobne, że pojawi się jako pierwszy, gdy pensa jest wielokrotnie odwracana? Stosując algorytm Johna Hortona Conwaya, stwierdzamy, że TTHH prawdopodobnie poprzedza HHH prawdopodobieństwem 7/12 lub prawdopodobieństwem od siedmiu do pięciu. Niektóre czworaczki pokonują trojaczki o jeszcze większych szansach. Na przykład THHH poprzedza HHH z prawdopodobieństwem 718 lub prawdopodobieństwem siedmiu do jednego. Łatwo to zobaczyć. HHH musi być poprzedzone przez T, chyba że jest to pierwsza trójka serii. Oczywiście, prawdopodobieństwo tego wynosi 118. Czas oczekiwania na TTHH i THHH wynosi 16, w porównaniu z czasem oczekiwania wynoszącym 14 dla HHH. Oba przypadki kwadratu i trypletu wykazują zatem paradoks mniej prawdopodobnego zdarzenia, które wystąpiło przed bardziej prawdopodobnym zdarzeniem z prawdopodobieństwem przekraczającym 1/2.

UZUPEŁNIENIE

Wielu czytelników odkryło, że zasada Barry′ego Wolka, polegająca na wybraniu najlepszej trójki B do pokonania trypletu A, jest równoznaczna z umieszczeniem przed A uzupełnienia jej następnego do ostatniego symbolu, a następnie odrzucenia ostatniego symbolu. Ponad połowa tych korespondentów stwierdziła, że metoda sprawdza się również w przypadku czworogów, z wyjątkiem dwóch, w których ręka T występuje naprzemiennie. W takich przypadkach symbol umieszczony przed A jest taki sam jak jego następny. Od października 1974 roku, kiedy ten rozdział po raz pierwszy pojawił się w Scientific American, opublikowano wiele artykułów, które udowadniają algorytm Conwaya i podają procedury wybierania najlepszego n-tupletu dla wszystkich wartości n. Dwa ważne wczesne artykuły są cytowane w bibliografii. Artykuł autorstwa Guibasa i Odlyzko daje dwadzieścia sześć odniesień. Czytelnicy David Sachs i Bryce Hurst zauważyli, że "wiodąca liczba" Conwaya, gdy n-tuplet jest porównywany z samym sobą, automatycznie daje czas oczekiwania na przejęcie przez tuplet. Po prostu podwaj liczbę wiodącą. Starożytni chińscy filozofowie (jak mi powiedziano) podzielili materię na pięć kategorii, które tworzą nieprzechodni cykl: drewno rodzi ogień, ogień na ziemię, ziemia do metalu, metal do wody i woda do drewna. Opowieść science-fiction Rudy′ego Ruckera pt. "Spacetime Donuts" (Unearth, Lato 1978) opiera się na znacznie dziwaczniejszej nieprzechodnie teorii. Jeśli przejdziesz w dół skali, do kilku kroków poniżej elektronów, wrócisz do galaktyk tego samego wszechświata, który teraz zajmujemy. Idź w górę o kilka stopni poza nasze galaktyki i wróć do cząstek elementarnych - nie większych, ale tych samych cząsteczek, które tworzą nasze gwiazdy. Słowo "materia" traci wszelkie znaczenie. David Silverman zaproponował dwuosobową grę, którą nazwał "ślepym Penney-ante". Opiera się na nieprzechodnie trojaczkach w rzucie rzutu monetą. Każdy gracz jednocześnie wybiera trójkę, nie znając wyboru przeciwnika. Trójka, która pokazuje pierwsze wygrane. Jaka jest najlepsza strategia gracza? To nie jest łatwy problem. Pełne rozwiązanie, oparte na macierzy 8 X 8, podano w The College Mathematics Journal jako odpowiedź na Problem 299

Kombinatoryka i karty

Nie ma końca robieniu matematycznych sztuczek, łamigłówek i innych zabaw z kartami do gry. W tej części przyglądamy się nowym problemom z kartami i grami, z naciskiem na to, w jaki sposób prowadzą one do istotnych obszarów teorii kombinatorycznej. Rozważmy następujący kombinatoryczny sposób udramatyzowania ważnego twierdzenia liczbowego. Usuń wszystkie karty jednego koloru (powiedzmy pik) z talii i ułóż je w kolejności od asa do króla. (jopek, królowa i król, odpowiednio, reprezentują 11,12 i 13). Połóżcie je zakryte od asa po lewej stronie. Następująca procedura toczenia jest teraz stosowana, zaczynając po lewej stronie w każdym kroku i przejście w prawo:

1. Odwróć każdą kartę.

2. Odwróć co drugą kartę. (Karty 2,4,6,8,10 i Q są obrócone w dół).

3. Odwróć co trzecią kartę.

4. Kontynuuj w ten sposób, obracając co czwartą kartę, co piątą kartę itd., Aż odwrócisz tylko ostatnią kartę.

Sprawdź rząd. Zauważ, że wszystkie karty oprócz asa, 4 i 9 są zakryte, jak pokazano na Rysunku 34. Te wartości to numery kwadratowe.



Czy to jest wypadek? Czy jest to autentyczna wskazówka ogólnej zasady? Dobrym ćwiczeniem w klasie jest przygotowanie 100 małych kart o numerach od 1 do 100, postawienie ich z powrotem w porządku szeregowym na półce tablicy i zastosowanie procedury przewracania. Oczywiście, na mecie jedynymi widocznymi cyframi będą kwadraty: 1,4,9,16,25,36,49,64,81 i 100. To też duże pobieranie próbek jest przypadkowe. Następnym krokiem jest udowodnienie, że niezależnie od wielkości pokładu, tylko kwadraty przetrwają procedurę toczenia. Prosty dach wprowadza jeden z najstarszych i najbardziej podstawowych twierdzeń liczbowych: Dodatnia liczba całkowita ma nieparzystą liczbę dzielników (dzielniki zawierają 1 i samą liczbę), wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest kwadratem. Łatwo to zobaczyć. Większość dzielników liczby występuje w parach. Rozważmy 72. Najmniejszy dzielnik, 1, przechodzi w liczbę 72 razy, dając parę 1 i 72. Następny większy dzielnik, 2, przechodzi w liczbę 36 razy, dając parę 2 i 36. Podobnie, 72 = 3 X 24 = 4 X 18 = 6 X 12 = 8 X 9. Jedynym dzielnikiem liczby, która nie jest sparowana z inną liczbą, jest dzielnik, który jest pierwiastkiem kwadratowym. W związku z tym wszystkie nieścisłości mają parzystą liczbę dzielników, a wszystkie kwadraty mają nieparzystą liczbę dzielników. Jak to ma zastosowanie do rzędu kart? Rozważmy osiem pik w pierwszym przykładzie zwrócenia karty. Ponieważ 8 nie jest kwadratem, ma parzystą liczbę dzielników: 1,2,4,8. Zostanie on przekręcony cztery razy: po obróceniu każdej karty, każdej drugiej karty, każdej czwartej karty i każdej ósmej karty. Parzysta liczba zakrętów zastosowana do zakrytej karty pozostawi tę kartę zakryta. Ponieważ każda karta niekwadratowa zostanie obrócona nawet kilka razy, na koniec zostanie zakryta. Jedyne karty, które są odwracane nieparzystokrotnie i leżą odkrytą, to karty z nieparzystą liczbą dzielników, a mianowicie kwadratów. Czy istnieje lepszy sposób na utrwalenie tego podstawowego twierdzenia o liczbie w pamięci licealnego ucznia, niż gdyby był on świadkiem takiej demonstracji? Zobaczmy, jak można wykorzystać karty do modelowania problemu kombinatorycznego, który kiedyś opisał D. H. Lehmer w następujący sposób. Pan Smith zarządza motelem. Składa się z n pokoi w prostym rzędzie. Brak wolnych miejsc. Smith jest psychologiem, który planuje przyjrzeć się skutkom reorganizacji swoich gości na wszystkie możliwe sposoby. Każdego ranka daje im nową permutację. Pogoda jest nieszczęśliwa, pada prawie codziennie. Aby zminimalizować odczuwany przez gości dyskomfort, każde codzienne przegrupowanie jest dokonywane przez wymianę mieszkańców dwóch sąsiednich pokoi. Czy istnieje prosty algorytm, który będzie przebiegał przez wszystkie możliwe układy, przełączając sąsiednich użytkowników na każdym etapie? Problem łatwo modeluje się za pomocą kart. Rząd pików od asa do króla odpowiada trzynastokondygnacyjnemu motelowi. Liczba permutacji n elementów to silnia n. Naszym problemem jest wymiana dwóch sąsiednich kart na każdym kroku i przeprowadzanie każdej możliwej permutacji w zaledwie (n! - 1) krokach. (Odejmujemy 1 od n! Ponieważ zaczynamy od jednej permutacji na stole.) Taki algorytm ma ważne zastosowania w informatyce. Wiele problemów wymaga komputera, aby przejść przez wszystkie permutacje n elementów, a jeśli można to zrobić, wymieniając sąsiednie pary, następuje znaczna redukcja czasu komputera. Okazuje się, że jest do tego prosty, piękny algorytm; prowadzi do najszybszego sposobu, w jaki komputer może permutować n elementów. Pierwszym odkrył go Hugo Steinhaus, polski matematyk. Stanowi rozwiązanie problemu liczydła na stronie 49 jego "Stu problemów z elementarnej matematyki", opublikowanych po raz pierwszy w Polsce w 1958 r. We wczesnych latach 60. XX w. Procedura została na nowo odkryta niemal w tym samym czasie przez H.F Trottera i Selmera M. z których każdy opublikował je osobno. Rozwiązanie problemu dla trzynastu kart wymagałoby 13! - 1 = 6.227.020.799 kroków (możesz zobaczyć, dlaczego pożądany jest szybki algorytm komputerowy); stąd zacznijmy od mniejszych zestawów. Łatwo jest znaleźć rozwiązanie dla trzech kart, ale cztery karty przedstawiają trudności. Poza tym, chcemy nie tylko rozwiązania dla określonej liczby elementów, ale ogólnej metody, która będzie miała zastosowanie do każdej liczby. Przy dwóch kartach (n = 2) rozwiązanie jest trywialne



. Po prostu przenieś dwójkę z prawej na lewą. Dla n = 3 podajemy każdą z powyższych permutacji trzy razy: 12,12,12; 21,21,21. Cyfra 3 jest teraz dodawana do listy za pomocą procedury skręcania (patrz rysunek B). Te 3 zaczynają się na prawo od pierwszej permutacji, splatają się w lewo przez serię, pauzują raz po lewej, a następnie wracają do końca po prawej stronie ostatecznej permutacji. Generuje to serie 123, 132, 312, 321, 231 i 213. Jeśli zaczniesz od asa, dwójki i trójki na stole i przebiegniesz przez serię, zobaczysz, że każda permutacja pochodzi od poprzedniej przez przełączanie dwóch sąsiednich kart. Dla n = 4 każda permutacja serii dla n = 3 jest powtarzana czterokrotnie. (Zawsze używasz powtórzeń serii dla n - 1.) Następnie dodaje się cyfrę 4, przesuwając ją w lewo i w prawo, tak jak poprzednio (patrz rysunek C). Algorytm można zdefiniować za pomocą nierekursywnej formuły, ale wyjaśniona właśnie procedura rekurencyjna jest łatwiejsza do zrozumienia. Problem z definiowaniem procedury dla dowolnego n jest taki, że kiedy karta tkania zatrzymuje się z każdej strony, pozycja pary, która ma być przełączana, zmienia się w ciekawy sposób. Podana tu procedura jest oczywiście rekursywna, ponieważ dla każdego n, musimy skorzystać z wyników uzyskanych dla (n - 1). Działa dla wszystkich wyższych n. Dla n = 5 otrzymujemy 5! = 120 permutacji, począwszy od 12345,12354,12534,15234,51234, 51243,15243,. . . , a kończąc na 21345. Zauważ, że przełącznik pierwszych dwóch cyfr ostatecznej permutacji da pierwszą permutację. Dotyczy to wszystkich n. Procedura jest cykliczna, przywracając pierwotną sekwencję w jeszcze jednym kroku. Zwróć uwagę, że po n! / 2 krokach karty są w odwrotnej kolejności. Jestem wdzięczny Donaldowi E. Knuth za ten sposób wyświetlania procedury rekurencyjnej, jak również za historię algorytmu. W nadchodzącym czwartym tomie jego wspaniałej serii o sztuce programowania komputerowego omówi algorytm i pokaże, w jaki sposób jego "tablica inwersji" jest odpowiednikiem tzw. Odzwierciedlonego kodu Graya z mieszanymi podstawami. Problem jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego "problemu motelowego", który z kolei jest szczególnym przypadkiem, który Lehmer nazywa "problemem podróżujących-włamywaczy". Kilka lat temu John Horton Conway z University of Cambridge wynalazł szereg problemów z kartami i gier opartych na technice permutacji zestawu elementów poprzez odwrócenie kolejności podzbiorów według różnych zasad. Weź, na przykład, trzynaście pik z talii, potasuj talię i przytrzymaj go w lewej ręce. Zwróć uwagę na wartość najwyższej karty (nazwijmy ją górną kartą) pakietu. Powiedzmy, że to 9. Zadzwoń pod numer lub do siebie, a następnie za pomocą prawego kciuka przesuń dziewięć kart z opakowania po jednej na prawą rękę. Powoduje to automatyczne odwrócenie kolejności dziewięciu kart. Teraz umieść pakiet dziewięciu kart na wierzchu kart w lewej ręce. Nowa karta jest odkryta na wierzchu. Zanotuj jego wartość, wywołaj ją i powtórz tę samą procedurę. Innymi słowy, jeśli n jest wartością najwyższej karty, zawsze odliczasz n kart, które odwracają ich kolejność i zamieniają je na wierzch. Gra kończy się, gdy na wierzchu pojawi się as, ponieważ as tworzy "jedną pętlę" polegającą na wielokrotnym odliczaniu asa i jego wymianie. Czy gra zawsze musi kończyć się wywołaniem asa? Tak, chociaż może to zająć trochę czasu. Nie można wejść w pętlę przed wywołaniem asa. Jeśli gra trwa wystarczająco długo, bez wezwania asa, może zostać powołany król. Jeśli tak się stanie, następna zmiana kart stawia króla na dole. Gdy król jest na dnie, nie ma mowy, aby mógł opuścić. W miarę trwania gry królowa może zostać w końcu wezwana. Jeśli tak się stanie, królowa idzie na dwunastą pozycję od góry, tuż nad królem, i zostaje tam. Poprzez matematyczną indukcję to samo musi stać się z waletem, potem z 10 i tak dalej (każda karta idzie do pozycji odpowiadającej jej karta może zostać wywołana tylko raz po ostatnim pojawieniu się wszystkich wyższych kart. Ogólna forma gry obejmuje jeden lub więcej pakietów po n kart. Nazywa się k-swops, jeśli zostanie wywołana karta kth od góry. Wywołany numer podaje liczbę kart, które mają być policzone i zastąpione na górze. Nazywane jest to k-spadkami, jeśli postępuje się zgodnie z tą samą procedurą, a odwrócony zestaw przechodzi na dno. Gdy jest tylko jeden pakiet, a k równa się 1 (najwyższa karta), a liczone karty są na wierzchu, Conway wywołuje topswopy w grze. To jest ta gra, którą przeanalizowaliśmy. Ta sama gra z liczonymi kartami na dole nazywa się topdrops. W topdrops jest wywoływana najwyższa karta, karty są liczone, a odwrócony zestaw jest umieszczany na dole. Topdrops jest mniej interesujący niż topswops. Zaczynasz od razu pętlą, która może być długa lub krótka i która może zawierać lub nie zawierać asa. Kiedy jest jeden pakiet, a k równa się n (dolna karta), gra jest botswops lub botdrops, w zależności od tego, czy policzono zestaw idzie na górze lub na dole. Botswops jest nudna. Jeśli grasz z trzynastoma pikami, a król nie znajduje się na samym dole, jesteś natychmiast w pętli z dwiema kartami. Załóżmy, że dolna karta to 4. Pozostaje tam, podczas gdy ty wielokrotnie odwracasz cztery karty na wierzchu. Jeśli król jest na dole, idzie na samą górę i znajdujesz się w podobnej podwójnej pętli opartej na nowej dolnej karcie. Botdrops (wywołaj dolną kartę, policz i umieść odwrócony zestaw na dole) jest bardziej interesujący. Jeśli grasz to przez jakiś czas, pisze Conway, możesz przekonać się, że zawsze zawiera pętle w KQKQKQ. . . sekwencja, ale nie zawsze tak jest. W rzadkich przypadkach możliwe są inne pętle. (Czy możesz go znaleźć?) W tej grze, tak jak we wszystkich innych, zaczynasz, oczywiście, od przetasowanej paczki. Gdy gra zostanie rozszerzona na dwóch lub więcej graczy, każdy z pakietem, będzie trudniej przeanalizować. Załóżmy na przykład, że dwóch graczy ma po trzynaście pakietów. Jeden ma pik, inne serca. Grają topswopy w następujący sposób. Każdy tasuje swój pakiet. Gracz A sprawdza swoją najwyższą kartę, następnie B odlicza ten numer ze swojego pakietu i zastępuje odwrócone karty na górze swojego pakietu. B teraz sprawdza swoją najwyższą kartę, A liczy i zastępuje odwrócone karty na swoim pakiecie. Trwa to z graczami na zmianę. Jest to osobliwy fakt, powiada Conway, że jak tylko zostanie wywołany as, połączenia rozpoczynają się od asa, następnie sekwencji, a potem znowu asa (albo tego samego asa, albo drugiego), potem ta sama sekwencja powtarza się w odwrotnej kolejności. Na przykład, pierwszy zwany as może wygenerować następującą pętlę: 1 - 3 - 2 - 6 - 4 - 1 - 4 - 6 - 2 - 3 - 1. Zwróć uwagę, że sekwencja pomiędzy pierwszymi dwoma połączeniami jest odwrotnością sekwencja między rozmowami drugiego i trzeciego asa. Jest to nieudowodnione przypuszczenie (lub gdy ostatnio usłyszałem od Conwaya), że w topowych rozgrywkach dwumeczowych zawsze jest sprawdzany as. Nie wiadomo, czy gra może zakończyć się pętlą bez asa, choć wiadomo, że jeśli pętla zawiera asa, zawiera ją tylko dwa razy. Nie należy przypuszczać, że te gry karciane Conway są banalne. Zajmują się teorią ustalonych permutacji i nie tylko mogą dostarczyć głębokich twierdzeń, ale także mogą mieć wpływ na praktyczne problemy, które pojawiają się w pozornie niepowiązanych dziedzinach. Podsumowuję trzema nietypowymi kombinatorycznymi problemami z kartami. Pierwszy jest niezwykle trudny, drugi łatwy, ale elegancki, a trzeci trudny.

1. Problem Langforda. Problem kombinatoryczny, po raz pierwszy postawiony przez C. Dudleya Langforda, nad którym można pracować z zestawem kart zawierających dublety wartości od 1 do n. Kiedy problem rozszerza się na trójki, najmniejsza wartość n, dla której znane jest rozwiązanie, wynosi 9. Oto zadanie. Usuń z talii wszystkie karty trzech kolorów, które mają wartość asa do 9. Postaraj się ułożyć te dwadzieścia siedem kart w pojedynczym wierszu, aby spełnić następujące zastrzeżenie. Między pierwszymi dwiema kartami każdej wartości k znajduje się dokładnie k kart, a pomiędzy drugą a trzecią kartą każdej wartości k również są dokładnie k karty. Na przykład pomiędzy pierwszą a drugą siódemką musi być tylko siedem kart, nie licząc dwóch siódemek. Podobnie, siedem kart oddziela drugie i trzecie 7. Reguła dotyczy każdej wartości od 1 do 9

2. Problem Silverman. David L. Silverman jest wynalazcą tej układanki. Usuń pik i kier z talii. Połóż piki odkryte w rzędzie w kolejności od asa po lewej i króla po prawej. Pod każdym pikiem należy umieścić kartę kiera , tak aby suma dwóch kart była liczbą kwadratową. Wykaż, że rozwiązanie jest wyjątkowe.

3. Problem Ransoma . Oto w jaki sposób Ransom pokazuje swoją łamigłówkę przyjaciołom-magom. Pięć kart umieszczonych jest w rzędzie, jak pokazano na Rysunku 36.



Wszystkie karty z powrotem, są kolorowe lub czarne. Czy wszystkie karty z kolorowymi plecami jokerów? Problem polega nie na odpowiedzi na pytanie, ale na określeniu minimalnej liczby kart, które należy odwrócić, aby odpowiedzieć na to pytanie. Innymi słowy, zakładając każdą możliwą odmianę ukrytych boków kart (każdy joker może mieć kolor czarny lub kolorowy, karta z widocznym kolorowym tyłem może lub nie być jokerem itd.), ile kart trzeba odwrócić, zanim będzie można odpowiedzieć na pytanie: "Czy wszystkie karty z kolorowymi plecami są jokerami ?" Jest to problem dezorientujący i wymagający ostrożnego wnioskowania. Istnieje zaskoczenie w rozwiązaniu, które jest ściśle związane ze starym dowcipem o trzech profesorach w pociągu w Szkocji. Przez okno widzą czarną owcę. "Jakie to interesujące", mówi astronom. "Wszystkie owce w Szkocji są czarne." "Całkowicie nieuzasadnione wnioskowanie" - odpowiada fizyk. "Możemy wyciągnąć tylko wniosek, że niektóre owce w Szkocji są czarne." "Korekta" - mówi logik. "Przynajmniej jedna owca w Szkocji jest czarna co najmniej po jednej stronie."

ODPOWIEDZI

Na trzy kombinatoryczne problemy odpowiedziano w następujący sposób:

1. Karty od 1 do 9, w trzech kolorach, należy ułożyć w rzędzie, tak aby dla każdej wartości karty k, tylko k karty znajdowały się pomiędzy pierwszą a drugą kartą o wartości k oraz między drugą a trzecią kartą o wartości k. Nie licząc odwrotności, istnieją trzy rozwiązania:

Trzecie rozwiązanie znaleziono bez pomocy komputerowej w 1966 roku przez Eugene'a, Levine'a, obecnie matematyka na Uniwersytecie Adelphi. Został opublikowany w 1968 roku. Levine udowadnia, że rozwiązanie dla trójek istnieje tylko wtedy, gdy n, najwyższa wartość karty, ma cyfrowy pierwiastek z 1, 8 lub 9 (to znaczy, gdy n równa się -1, 0 lub 1 , modulo 9), i że 9 jest najmniejszym n, które ma rozwiązanie. Levine znalazł rozwiązania dla kolejnych wyższych przypadków n = 10, 17, 18 i 19, i przypuszczał, że istnieją rozwiązania dla wszystkich wyższych wartości spełniających jego warunek. D. P. Roselle i T. C. Thomasson, Jr., pisząc o problemie w 1971 roku, opisali wyniki komputerowe, które potwierdzają, że nie ma rozwiązania dla n = 8, i wymyślili to samo rozwiązanie dla n = 9, które znalazł Levine. Wyczerpujące wyszukiwanie komputera dla n = 9 i n = 10 zostało wykonane przez G. Barona, który zgłosił swoje wyniki na konferencji dotyczącej kombinatoryki przeprowadzonej na Węgrzech w 1969 r. Znalazł trzy rozwiązania dla n = 9 i pięć rozwiązań dla n = 10 Żadne rozwiązanie nie zostało znalezione dla tego problemu, jeśli istnieją więcej niż trzy duplikaty każdej wartości.
2. Rozwiązanie problemu Davida L. Silvermana polegającego na powiązaniu każdego łopata z sercem tak, aby suma par była kwadratowa wynosi: 1 - 8, 2 -2, 3 -K, 4 Q, 5 -J, 6- 10 , 7-9 8-1,9-7, 10 -6, J-5, Q-4, K-3. Jako że Silverman zaobserwował że, 9,10 i J muszą być sparowane z 7, 6 i 5. To ustanawia sześć par. Ponieważ używane były cyfry 6, 3 pary tylko z K. Od 5 lat zostały użyte tylko 4 pary z Q. Pozostałe trzy luki są wypełniane tylko w jeden sposób, co potwierdza wyjątkowość rozwiązania. 3. Problem Toma Ransoma wymagał minimalnej liczby kart, w zestawie pięciu, które należy odwrócić, aby odpowiedzieć na pytanie: Czy wszyscy gracze w karty są w kolorze? Opublikuj karty na rysunku od A do E. Oczywiście D musi zostać obrócone, aby zobaczyć, czy jest to dżoker, a E musi zostać obrócone, aby zobaczyć, czy ma kolorowe plecy. Daje to cztery możliwości:

1. D jest jokerme, a E ma czarne plecy.

2. D jest jokerem, a E ma kolorowe plecy.

3. D nie jest jokerem, a E ma czarne plecy.

4. D nie jest jokerem, E ma kolorowe plecy.

W przypadkach 2,3 i 4 odpowiedź na pytanie brzmi: nie. Nie trzeba już obracać kart. W przypadku 1 odpowiedź brzmi "tak", ale potrzeba więcej myślenia, aby uświadomić sobie, że obrócenie pozostałych trzech kart nie może zaprzeczyć tej odpowiedzi. B jest nieistotny, ponieważ ma czarne plecy. Nie ma też znaczenia widok z jokera . Plecy Jokera są czarne, nie ma w nim udziału. Jeśli jest kolorowy, odpowiedź brzmi "tak". Większość ludzi patrzących na rzeczywisty rząd kart ma tak przytłaczające pragnienie, aby zobaczyć plecy dżokeja, na które zwykle odpowiadają: A, C, D, E. Można zatem wyciągnąć wniosek, że obrót D i E wystarczy, aby odpowiedzieć na pytanie . Nie jest! Przypomnij historię o ostrożnym logistą, który zaobserwował czarną owcę w Szkocji i doszedł do wniosku, że przynajmniej jedna owca w Szkocji jest czarna co najmniej z jednej strony? Kiedy ktoś myśli, że rozwiązał problem, Ransom odwraca kartę B, aby odkryć, że jej druga strona jest kolorowa od tyłu! To oczywiście sprzeczne z odpowiedzią ayes. Prawidłowe rozwiązanie polega zatem na tym, że karta B, jak również karty D i E muszą zostać odwrócone. Ransom ma drugi "kicker", sugerowany przez jego przyjaciela P. Howarda Lyonsa. Aby osoba pracująca nad problemem nie zapominała o dokładnym sformułowaniu pytania ("Czy wszyscy są jokery z kolorowymi kartami?"), Ransom zapisuje je na karcie pliku, która jest umieszczona nad rzędem kart. Tę kartę należy również obrócić, aby ustalić, czy jej tył jest kolorowy czy czarny!

UZUPEŁNIENIE

W kombinatorycznych problemach z kartami do gry powstawały niezapomniane listy od czytelników, którzy analizowali i rozszerzali problemy. Alan Hadsell i Stoddard Vandersteel wspólnie użyli minikomputera, aby uogólnić problem Davida L. Silvermana. Gdy najwyższa wartość karty nie przekracza 13, istnieją tylko rozwiązania dla n = 3,5,8,9, 10, 12 i 13, a każde rozwiązanie jest unikalne. Od 14 do 31 wszystkie wartości n mają wiele rozwiązań. Podają, że liczba rozwiązań, zaczynając od n = 14, wynosi 2,4,3,2,5,15,21,66,37,51,144,263, 601, 1333,2119,2154,2189,3280 ,. . .

. Angeloo Papaikonomou, bioinżynier n a Wolnym Uniwersytecie w Amsterdamie, po zbadaniu ogólnego problemu dotyczącego kwadratów, zwrócił się do ogólnego problemu, gdy kostki są zastępowane przez kwadraty. Zaskoczyło go, że na każde rozwiązalne rozwiązanie jest wyjątkowe. Seria rozwiązywalnych n zaczyna 7, 19,26,37,44,56,63,. . . . Papaikonomou znalazł prostą procedurę rekursywną, która daje tę serię i konstruuje rozwiązania. Roland Silver z San Cristobal, N.M., badający botlety w cyklach, odkrył, dlaczego gra kończy się zwykle w pętli z królem. Nie ma innych 2-cykli i żaden z 3 i 4. Mimo że istnieje 5 cykli, prawdopodobieństwo wejścia w jedno jest niskie. Na przykład, jeśli pakiet odkryty, odczyt z dołu, zaczyna się od 10, J, 2 , 3 i ma asa na wierzchu, rekordy w pięciokrotnej pętli botdrop Herbert S. Wilf z University of Pennsylvania zgłosił wspaniałe odkrycie dotyczące topswops, które stanowi dowód skończonej gry. Karta znajduje się w "pozycji naturalnej", jeśli jej wartość jest taka sama jak jej pozycja w pakiecie. Na przykład, jeśli pakiet odkryte, czytanie z góry, jest 7, 2 , J , 8, 5. K . 6 , A , 9 , 10, 3 , Q, 4

w naturalnej pozycji znajduje się pięć kart (2,5,9,10, Q). Jeśli przyjmujemy te wartości jako potęgę dwóch, możemy stworzyć to, co nazywam liczbą Wilfa: 22 + 2 ′ + 29 + 21 + 212 = 5668. Po każdym ruchu w górę, liczba Wilfów musi wzrosnąć. "Powodem, dla którego liczba ta rośnie", pisze Wilf, "jest to, że karty, które znajdowały się w naturalnej pozycji i które znajdowały się zbyt daleko w talii, aby mogły zostać osiągnięte przez operację odwrócenia, nadal będą w naturalnej pozycji" Karty, które biorą udział w odwróceniu, są mniej jasne, z wyjątkiem jednej rzeczy: karty, która była na górze, zanim ruch będzie w naturalnej pozycji po ruchu, a jej potęga dwóch jest wystarczająco duża, aby zagłuszyć wszelkie zmiany z kart powyżej niej (Siła dwojga jest większa niż suma wszystkich wcześniejszych potęg dwojga przez dokładnie jedną jednostkę, fakt, który jest podstawą liczenia binarnego.) "Ponieważ liczby rosną równomiernie, ale nie mogą przekroczyć 16 382, wynika to z tego , że gra musi się zatrzymać po najwyżej tylu ruchach. Nieco bardziej uważne badanie pokazuje, że w przypadku gry z n kartami nie można wykonać więcej niż 2 "-" ruchów. " Rodzi to ciekawe nierozwiązane pytanie: Jaki układ z trzynastu kart zapewnia najdłuższą możliwą grę topswops? Prostsza, czterokartowa wersja zagadki Toma Ransoma, bez żartu Ransoma o użyciu tego, co magowie nazywają kartą dwustronną, była przedmiotem badań psychologów. Jest to rozważane, na przykład, w The Psychology of Reasoning, Peter Wason i Philip Johnson-Laird. Reakcja na ujawnienie, że karta może być dwustronna, jest ogromnie zróżnicowana. Jay Snyder rozpoczął list: "Zaczekaj chwilę, przytrzymaj, punkt porządku, nie tak szybko, chwileczkę, proszę, odejdź, stary." Stover przesłał do Wasona na University College London zestaw pięciu przyklejonych kart do analizy. Kiedy Wason został później poinformowany o tym, co by znalazł, gdyby zdjął karty, by sprawdzić ich spody, otworzył następny list, "Mea culpa!" Kilku czytelników uznało sformułowanie problemu za niejednoznaczne co do znaczenia "minimalnej liczby kart" do obrócenia. Problem polega na określeniu minimalnego zestawu kart, które po ich odwróceniu będą we wszystkich możliwych przypadkach zagwarantować poprawną odpowiedź na pytanie: Czy wszystkie karty z czerwonymi oparciami są jokery? (Problem najlepiej przedstawić kartami, które mogą mieć czerwone lub niebieskie plecy.) Jeśli nie będziemy mieli wątpliwości, czy nasza odpowiedź jest poprawna, oczywiście możemy odpowiedzieć na pytanie, nie odwracając kart. W niektórych przypadkach obraca jedną kartę zagwarantuje poprawną odpowiedź. To, czego chcemy, to najmniejszy zestaw, który zapewni poprawną odpowiedź we wszystkich przypadkach.

Maszyny do robienia muzyki



Istnieje trywialny sens, w którym każde dzieło sztuki jest kombinacją skończonej liczby elementów dyskretnych. Nie tylko to, dokładne połączenie elementów można wyrazić za pomocą sekwencji cyfr lub, jeśli tak, przez jedną ogromną liczbę. Rozważmy wiersz. Przypisz oddzielne cyfry do każdej litery alfabetu, do każdego znaku interpunkcyjnego i tak dalej. Do oddzielenia liczb można użyć pewnej cyfry, np. Zero. Jest oczywiste, że jeden długi ciąg cyfr może wyrazić wiersz. Jeśli książki ogromnej biblioteki zawierają wszystkie możliwe kombinacje słów i znaków interpunkcyjnych, tak jak w słynnej opowieści Jorge Luisa Borgesa "Biblioteka Babel", to gdzieś w zbiorach znajduje się każdy wiersz napisany lub napisany. Wyobraź sobie te wiersze zakodowane jako cyfrowe sekwencje i indeksowane. Gdyby ktoś miał wystarczająco dużo czasu, miliardy na miliardy lat, można by znaleźć dowolny określony wielki wiersz. Czy istnieją algorytmy, dzięki którym można znaleźć wspaniały, jeszcze nie napisany wiersz? Rozważ obraz. Rzuć płótno w matrycę drobnych komórek. Dokładny kolor każdej komórki jest łatwo kodowany przez liczbę. Skanowanie komórek daje łańcuch liczb, który wyraża obraz. Ponieważ liczby nie ulegają rozkładowi, obraz można ponownie utworzyć, o ile zachowana jest sekwencja numerów. Przyszłe komputery będą w stanie odtworzyć obraz bardziej przypominający oryginał niż sam oryginał, ponieważ po kilku dekadach oryginał będzie fizycznie. uległy w pewnym stopniu pogorszeniu. Jeśli ogromne muzeum sztuki zawiera każdą kombinację kolorowych komórek dla matryc nie przekraczających pewnej wielkości, gdzieś w tym monstrualnym muzeum powiesisz każde zdjęcie, które kiedykolwiek zostało namalowane lub które można pomalować. Czy istnieją algorytmy, dzięki którym komputer mógłby przeszukiwać listę numerów kodów muzeum i identyfikować sekwencję wspaniałego obrazu jeszcze nie namalowany? Zastanów się nad symfonią. Jest to fantastycznie złożona mieszanka dyskretności i ciągłości; skrzypce lub puzon slajdów mogą poruszać się ciągle w górę iw dół skali, ale fortepian nie może wytwarzać ćwierćtonów. Wiemy jednak z analizy Fouriera, że cały dźwięk symfonii od początku do końca można przedstawić za pomocą pojedynczej krzywej na oscyloskopie. "Ta krzywa", napisał Sir James Jeans w Science and Music (Dover, 1968), "jest symfonią mniej więcej, a symfonia będzie brzmiała szlachetnie lub tandetnie, muzycznie lub surowo, dopracowana lub wulgarna, zgodnie z jakością tej krzywej . " Na Long-play record symfonia jest faktycznie reprezentowana przez jedną długą krzywą przestrzeni. Ponieważ krzywe mogą być kodowane do dowolnej pożądanej dokładności za pomocą liczb, symfonia, podobnie jak obraz lub wiersz, może być skwantyzowana i wyrażona przez łańcuch liczb. Ogromna biblioteka taśm komputerowych, nagrywająca wszystkie kombinacje dźwięków symfonicznych, zawierałaby każdą symfonię, jaką kiedykolwiek napisano lub którą można było napisać. Czy istnieją algorytmy, dzięki którym komputer może skanować sekwencje liczbowe takiej biblioteki i wybrać wielką symfonię, która jeszcze nie została napisana? Takie procedury byłyby oczywiście tak zdumiewająco złożone, że człowiek może nigdy nie zbliżyć się do ich sformułowania, ale nie o to chodzi. Czy w zasadzie istnieją? Czy warto poszukać ich fragmentów? Rozważ jedno z najbardziej skromnych takich estetycznych zadań, poszukiwanie reguł rządzących wynalazkiem prostej melodii. Czy istnieje procedura, dzięki której osoba lub komputer może skomponować przyjemną melodię, używając jedynie zestawu reguł kombinatorycznych? Jeśli ograniczymy melodię do skończonej długości i skończonej liczby czystych tonów i rytmów, liczba możliwych melodii jest skończona. John Stuart Mill, w swojej autobiografii, przypomina, że jako młody człowiek był kiedyś "poważnie dręczony myślą o wyczerpaniu kompozycji muzycznych". Załóżmy, że nasza melodia składa się z dziesięciu nut wybranych z zestawu ośmiu nut w jednej oktawie. Liczba melodii jest taka sama, jak liczba dziesięcio-literowych słów, które można uformować za pomocą ośmiu różnych liter, umożliwiających powielanie. Jest to 81 ° = 1,073,741,824, a to nie uwzględnia nawet zmiennych rytmów, które w efekcie tworzą zmienne melodie. Większość z tych melodii będzie nudna (mi, mi, mi, mi, mi, na przykład), ale wiele z nich będzie bardzo przyjemne. Czy istnieją zasady, dzięki którym komputer lub osoba może wybrać przyjemne kombinacje? Próby sformułowania takich zasad i wcielenia ich w mechaniczne urządzenie do komponowania melodii mają ciekawą historię, która rozpoczęła się w 1650 roku, gdy Atanazy Kircher, niemiecki jezuita, opublikował w Rzym jego Musurgia universalis sive ars magna consoni et dissoni.Kircher był zapalonym uczniem Ramona Lulla, hiszpańskiego średniowiecznego mistyka, którego Ars magna wywodzi się z szalonego poglądu, że znaczącą nową wiedzę można uzyskać w prawie każdym polu, po prostu badając wszystkie kombinacje niewielka liczba podstawowych elementów. To naturalne, że Kircher, który później napisał 500-stronicowe opracowanie "wielkiej sztuki" Lulla, postrzegałby kompozycję muzyczną jako problem kombinatoryczny. W swojej książce muzycznej opisuje on lulliańską technikę tworzenia polifonii poprzez przesuwanie kolumn obok siebie, tak jak z kościami Napiera i odczytywanie rzędów w celu uzyskania różnych permutacji i kombinacji. Podobnie jak wszystkie wielkie książki Kirchera, książka to fantastyczna mieszanka cennych informacji i totalnego nonsensu, ilustrowana wyszukanymi napisami ze strun głosowych, kościami w uszach różnych zwierząt, ptakami i ich piosenkami, instrumentami muzycznymi, mechanicznymi detalami skrzyń muzycznych, wodociągowych organów z animowanymi postaciami zwierząt i ludzi oraz setkami innych ciekawych rzeczy. Urządzenie Lullian opisane przez Kirchera zostało zbudowane około 1670 roku dla pamiętnikarskiego Samuela Pepysa, który posiadał egzemplarz innej książki i bardzo ją podziwiał. Oryginalna maszyna, o nazwie "musarithmica mirifica", znajduje się w Muzeum Pepys w alma mater Peppers, Magdalene College w Cambridge. Na początku XVIII wieku wielu niemieckich muzyków zaczęło interesować się mechanicznymi metodami kompozycji. Lorenz Christoph Mizler napisał książkę w 1739 roku opisującą system, który produkuje figury basowe dla muzyki barokowej. W 1757 r. Uczeń Bacha, Johann Philipp Kirnberger, opublikował w Berlinie swój zawsze gotowy kompozytor polonezów i menuetów, wykorzystując kości do losowania pewnych wyborów. W 1783 r. Inna książka Kirnberger'a rozszerzyła jego metody na symfonie i inne formy muzyki. Pod koniec XVIII wieku praktyka generowania melodii przy pomocy tablic i randomizatorów, takich jak kości czy tezy, stała się popularną rozrywką. Maximilian Stadler, austriacki kompozytor, opublikował w 1779 r. Zestaw muzycznych barów i stołów do produkcji menuetów i trio za pomocą kości. Mniej więcej w tym samym czasie londyński wydawca muzyczny, Welcker, wydał "tabelaryczny system, w którym każda osoba, bez najmniejszej znajomości muzyki, może skomponować dziesięć tysięcy menuetów w najbardziej przyjemny i poprawny sposób". Podobne anonimowe prace były fałszywie przypisywane znanym kompozytorom, takim jak C. P. E. Bach (syn Johanna Sebastiana Bacha) i Josephowi Haydnowi. Praca "Haydna", "Gioco filarmonico" ("Filharmoniczny żart"), Neapol, 1790, została odkryta przez matematyka Glasgow Thomasa H. O'Beirne'a jako plagiat. Jego bary i stoły są identyczne z Stadlera. Najpopularniejsza praca wyjaśniająca, w jaki sposób można użyć pary kości "do komponowania bez najmniejszej znajomości muzyki", jak wiele niemieckich walców, jak jedna przyjemność, została po raz pierwszy opublikowana w Amsterdamie i w Berlinie w 1792 roku, rok po śmierci Mozarta. Dzieło zostało przypisane Mozartowi. Większość uczonych Mozarta twierdzi, że jest fałszywa, chociaż Mozart lubił łamigłówki matematyczne i pozostawił odręczne notatki ukazujące jego zainteresowanie muzycznymi permutacjami. (Ta sama broszura została wydana w Bonn rok później, z podobnym dziełem, przypisanym Mozartowi, do kompozycji tańców country w formie kostek, a broszura contredanses została przedrukowana w 1957 roku przez Heuwekemeijera w Amsterdamie). Mozartalisches Musikalisches Wiirfelspiel, jak zwykle nazywana jest broszurą walca, wielokrotnie przedrukowywano w wielu językach. W 1806 roku pojawił się w Londynie jako Gra Muzyczna Mozarta, Wyposażony w eleganckim pudełku, Pokazywany przez Easy System Jak komponować nieograniczoną liczbę walców, Rond, Hornpipes i Reels. W Nowym Jorku w 1941 roku węgierski kompozytor i pianista koncertowy Alexander Laszlo przyniósł to pod tytułem The Dice Composer, orkiestracja muzyki tak, aby mogła być odtwarzana przez zespoły kameralne i orkiestry. System pojawił się ponownie w Niemczech Zachodnich w 1956 roku w partyturze opublikowanej przez B. Schotta. Kserokopie wykresów i barów muzycznych Schotta pojawiają się w książeczce dla wydawnictwa The Melody Dicer, wydanej na początku 1974 r. Przez Carousel Publishing Corporation, Brighton, Mass. Ten boxed zestaw zawiera także parę kości i puste kartki papieru nutowego. System "Mozart" składa się z zestawu krótkich pomiarów o numerach od 1 do 176. Obie kości są rzucane szesnaście razy. Za pomocą wykresu zawierającego 11 liczb w każdej z ośmiu kolumn, pierwszych osiem rzutów określa pierwszych osiem taktów walca. Drugi wykres jest wykorzystywany w przypadku pozostałych ośmiu rzutów, które uzupełniają szesnastobramkowy fragment. Wykresy są tak skonstruowane, że walc otwiera się tonikiem lub kluczem, moduluje do dominującej, a następnie powraca do toniku na końcowej nucie. Ponieważ wszystkie paski wymienione w ósmej kolumnie każdego wykresu jest podobna, jedenaście opcji (sumy od 2 do 12 na kościach) są dostępne tylko dla czternastu słupków. Dzięki temu system może wyprodukować 11 walców, wszystkie z wyraźnym smakiem Mozartowskim. Liczba jest tak duża, że każdy walc, który generujesz kostką i faktycznie grasz, jest prawie na pewno walcem, którego nigdy wcześniej nie słyszałeś. Jeśli go nie zachowasz, będzie to walc, który prawdopodobnie nigdy więcej nie zostanie usłyszany. Pierwsze komercyjne nagranie kostki "Mozarta" zostało wykonane przez O′Beirne. Zarówno losowanie taktów, jak i faktyczne odtwarzanie melodii wykonał Solidac, mały i powolny komputer eksperymentalny zaprojektowany i zbudowany w latach 1959-1964 przez firmę Barr and Stroud z Glasgow, gdzie wtedy O'Beirne był głównym matematykiem. To był pierwszy komputer zbudowany w Szkocji. O'Beirne zaprogramował Solidac, by odtwarzał utwory w klarnetowych tonacjach, a długogrające nagranie wybranych walk i kontredansów zostało wydane przez Barra i Strouda w 1967. (To nagranie nie jest już dostępne.) O'Beirne jest autorem doskonała książka o matematycznych zabawach, zagadkach i paradoksach (Oxford University Press, 1965). On ma nieocenioną pomoc w przygotowaniu tego konta. Inne metody produkcji melodii mechanicznie zostały wynalezione na początku XIX wieku. Antonio Calegari, włoski kompozytor, użył dwóch kostek do komponowania utworów na fortepian i harfę. Jego książka o systemie została opublikowana w Wenecji w 180 1, a później w francuskim tłumaczeniu. Melographicon, anonimowa i niedatowana książka wydana w Londynie około 1805 r., Zawiera podtytuł: "Nowe dzieło muzyczne, dzięki któremu można produkować nieskończoną liczbę melodii, a także młodych ludzi, którzy mają ochotę poezja pozwoliła ustawić swoje wiersze na muzykę na głos i fortepian, bez konieczności posiadania wiedzy naukowej. "Książka składa się z czterech części, z których każda zapewnia muzykę do poezja z pewnym metrum i rymowanką. Kości nie są używane. Jeden po prostu wybiera dowolny pręt z grupy A, dowolny z grupy B, i tak dalej do ostatniej litery alfabetu dla tej sekcji. Zdjęcie boksowej gry w kości widnieje na Tablicy 42 The Oxford Companion to Music, ale bez wzmianki o dacie, wynalazcy lub miejscu wydania. Najwyraźniej używa trzydziestu dwóch kostek, ich boki są zaznaczone, aby wskazać dźwięki, interwały, akordy, modulacje i tak dalej. Są też ludzie z kości słoniowej, których cel, jak głosi napis, jest "trudny do pojęcia". W 1822 roku maszyna o nazwie Kaleidacousticon była reklamowana w Boston Music magazine, The Euterpiad. Tasując karty, może skomponować 214 milionów walców. Componium, organ fajkowy grający własne kompozycje, został wynaleziony przez M. Winkela z Amsterdamu i wzbudził sensację, kiedy został wystawiony w Paryżu w 1824 roku. Słuchacze nie mogli uwierzyć, że maszyna rzeczywiście skonstruowała melodie, które odtwarzała. Naukowcy z Akademii Francuskiej badali "Kiedy ten instrument otrzymał zróżnicowany temat," stwierdził ich raport, "który wynalazca miał czas naprawić własnym procesem, rozkłada on sam siebie i odtwarza ich różne części we wszystkich rzędach możliwej permutacji (...) Żaden z powietrza, który się zmienia, nie trwa dłużej niż minutę, można by przypuszczać, że jednak jeden z tych dźwięków był grany bez przerwy, ale zasada zmienności, którą posiada, mogłaby nigdy nie powrócić dokładnie do tego samego kombinacja, kontynuujcie grę ... w tak olbrzymiej serii wieków, które, choćby dane mogły być przedstawione w celu ich wyrażenia, wspólny język nie mógłby ". Raport, zaaprobowany przez fizyka Jeana Baptiste Biota, ukazał się w brytyjskim czasopiśmie muzycznym (The Harmonicon 2, 1824, s. 40 - 41). Maszyna Winkela zainspirowała wiedeńskiego wynalazcę Barona J. Giulianiego do zbudowania podobnego urządzenia, którego konstrukcja została szczegółowo opisana na stronach 198-200 tego samego tomu. W 1865 roku w The Euterpiad ogłoszono system kompozytowy o nazwie Quadrille Melodist, wymyślony przez J. Clintona. Tasując zestaw kart do komponowania, pianista na imprezie z okazji kadryli mógł "sprawić przyjemność wieczornej zabawie dzięki skromnemu zaopatrzeniu w 428 000 000 quadryli". Joseph Schillinger, matematyk z Columbia University, który zmarł w 1943 r., Opublikował swój matematyczny system muzyczny w książeczce Kaleidophone w 1940 r. Mówi się, że George Gershwin użył tego systemu w pisaniu Porgy and Bess. W 1940 roku Heitor Villa-Lobos, wykorzystując system, przetłumaczył panoramę Nowego Jorku na kompozycję fortepianową. System kompozycji muzycznej Schillingera jest dwutomowym dziełem L. Dowlinga i A. Shawa, opublikowanym przez Carla Fischera w 1941 roku. Przypis na stronie 673 ekscentrycznego opowiadania Schillingera The Mathematical Basis of the Arts (Philosophical Library, 1948) mówi, że pozostawił plany dla maszyn do komponowania muzyki, chronionych patentami, ale nic nie mówi się o ich konstrukcji. W latach 50. teoria informacji została zastosowana do kompozycji muzycznej przez J. R. Pierce'a i innych. W pionierskim artykule "Information Theory and Melody" chemik Richard C. Pinkerton zamieścił wykres, który nazwał "banalnym stroicielem". Przekręcając monetę, aby określić ścieżki wzdłuż sieci, można komponować proste melodie przedszkolne. Większość z nich jest monotonna, ale nie bardziej, przypomina nam Pinkerton, niż "A Tisket, a Tasket". W latach sześćdziesiątych i wczesnych siedemdziesiątych rozpowszechnianie komputerów i rozwój zaawansowanych elektronicznych syntezatorów tonów otworzyło nową erę w składzie maszynowym muzyki. Obecnie możliwe jest pisanie programów komputerowych, które wykraczają daleko poza proste urządzenia z wcześniejszych dni. Załóżmy, że chcemy skomponować melodię na wzór Chopina. Analiza komputerowa składa się ze wszystkich melodii Chopina, dzięki czemu komputer ma w swojej pamięci zbiór "prawdopodobieństw przejścia". Dają one prawdopodobieństwo, że dowolny zestaw jednej, dwóch, trzech lub więcej nut w melodii Chopina zostanie zastąpiony przez dowolną inną nutę. Oczywiście należy również wziąć pod uwagę rodzaj melodii, na jaką się chce komponować, rytmy, pozycję każdej nuty w melodii, ogólny wzór i inne rzeczy. W skrócie, komputer dokonuje losowych wyborów w ramach określonej ogólnej struktury, ale te wybory podlegają regułom i ważone przez preferencje przemiany Chopina. Rezultatem jest melodia "Łańcucha Markoffa", niepozorna, ale jednak brzmiąca zaciekawiona jak Chopin. Komputer może szybko zeskoczyć z kilkuset takich elementów, z których można wybrać najprzyjemniejsze. Obecnie istnieje szybko rosnąca literatura dotycząca kompozycji komputerowej, nie tylko muzyki w tradycyjnych stylach, ale także muzyki, która w pełni wykorzystuje zdolność komputera do syntezy dziwnych dźwięków, które nie przypominają żadnego z dźwięki wydawane przez znane instrumenty. Mikrotony, dziwne barwy, niewiarygodnie złożone rytmy i harmoniczne nie stanowią problemu. Komputer jest uniwersalnym instrumentem muzycznym. Zasadniczo może wytwarzać każdy rodzaj dźwięku, który słyszy ludzkie ucho. Ponadto można zaprogramować komputer grać jedną ze swoich kompozycji w tym samym czasie, w którym jest komponowana. Jak możemy podsumować? Komputery na pewno potrafią komponować przeciętną muzykę, zimną i zapominaną, mimo że muzyka ma smak wielkiego kompozytora. Nikt jednak nie znalazł jeszcze algorytmu do stworzenia nawet prostej melodii, która byłaby tak przyjemna dla większości ludzi kultury, jak ich tradycyjne popularne piosenki. Po prostu nie wiemy, co magia zabiera w mózgu comDoser, gdy tworzy su er eriotru ne. Nie wiem nawet, w jakim stopniu zasługi melodii wiążą się z uwarunkowaniami kulturowymi, a nawet cechami dziedzicznymi. O wszystkim można powiedzieć, że dobra melodia to mieszanka przewidywalnych wzorów i elementów zaskoczenia. To, jakie są proporcje i jak osiąga się miksturę, wciąż wymyka się wszystkim, łącznie z kompozytorami. O'Beirne zwrócił moją uwagę na to, jak bardzo niektóre systemy kompozycji muzycznych przypominają generator frazy buzz. To jest rozdanie Honeywell Incorporated. Wybierz losowo dowolną czterocyfrową liczbę, na przykład 8751, a następnie odczytaj wyrażenie 8 modułu A, zdanie 7 modułu B itd. Wynikiem jest zdanie SIMP (Simplified Integrated Modular Prose). "Dodaj jeszcze kilka liczb czterocyfrowych", mówią instrukcje ", aby utworzyć akapit SIMP Po opanowaniu podstawowej techniki, możesz w pełni wykorzystać potencjał SIMP poprzez uporządkowanie modułów w kolejności DACB, kolejności BACD lub Kolejność ADCB W tych zaawansowanych konfiguracjach może być wymagany dodatkowy przecinek. " SIMP brzmi bardzo podobnie do autentycznej prozy technicznej, ale po bliższym przyjrzeniu się odkrywa, że czegoś brakuje. Komputerowe melodie są chyba mniej szalone, bliższe losowej abstrakcyjnej sztuce kalejdoskopu, ale wciąż coś istotnego (nikt nie wie czego) brakuje. Rzeczywiście, dobra prosta melodia jest o wiele trudniejsza do skomponowania niż utwór orkiestrowy w skrajnie awangardowy sposób, tak obciążony przypadkowością i dysonansem, że jeden waha się powiedzieć, jak Mark Twain (czy to Bill Nye?) Powiedział o Wagnera muzyka: To jest lepsze, niż się wydaje. Kiedy komputer generuje melodię, która staje się tak popularna jak (myśl o tytule ulubionej piosenki), dowiesz się, że dokonano olbrzymiego przełomu. Czy kiedykolwiek to nastąpi? Jeśli tak, to kiedy? Eksperci nie zgadzają się z odpowiedziami tak samo, jak wtedy, gdy komputer napisze świetny wiersz, maluje świetne zdjęcie lub gra w szachy wielkiego mistrza.

UZUPEŁNIENIE

Carousel, firma, która wydała Mozarta The Melody Dicer, wydała później podobny zestaw The Scottloplin Melody Dicer. Korzystając z tego samego systemu kostek i kart, można komponować niekończące się szmaty odmiany Scott Joplin. W 1977 roku wydała w Anglii ciekawa 284-stronicowa książka zatytułowana "The Directory of Tunes and Musical Themes" Denysa Parsonsa, autorstwa matematyka G. Spencera Browna. Parsons odkrył, że niemal każdą melodię można zidentyfikować za pomocą śmiesznie prostej metody. Odłóż gwiazdkę na pierwszą nutę. Jeśli druga nuta jest wyższa, zapisz U dla "up." Jeśli jest niższy, napisz D dla "na dół." Jeśli to samo, użyj R dla "powtórzyć". Kontynuuj z następnymi notatkami, aż uzyskasz sekwencję maksymalnie szesnastu liter. To prawie zawsze wystarcza, aby zidentyfikować melodię. Na przykład * UDDUUUU wystarczy, aby wpisać "Białe Boże Narodzenie". Książka zawiera alfabetycznie dwie części, popularną i klasyczną, około 15 000 różnych sekwencji, po których następuje tytuł utworu, jego kompozytor i data. Idea generatora buzz-phrase - losowy dobór słów i fraz do tworzenia prozy lub poezji - to stara idea. Rational Recreations, a czterotomowe dzieło W. Hoopera (czwarte wydanie ukazało się w Londynie w 1794 r.), zawiera rozdział Tom II o tym, jak używać kostek do komponowania łacińskiego wersetu. Technika z pewnością jest znacznie starsza. Podobne randomizowanie stosuje się w nowoczesnych programach komputerowych, które generują "wiersze" i różne rodzaje imitacja prozy. Nauczyciele pierwszej klasy, którzy nazywają to "naciąganiem", stosują technikę nauczania czytania. Dzieci otrzymują proste zdanie wzoru ze spacjami, w które wstawiają słowa. The New York Times Book Review (4 czerwca 1978 r.) Wydrukował listę buzzwordów Randolpha Hogana, które pozwalają każdemu pisać imponującą krytykę literacką. (Ktoś powinien zrobić podobną listę, być może już ma, dla krytyków sztuki.) Mad Magazine (październik 1974) zawierał dwanaście kolumn słów i frazesów Franka Jacobsa do pisania artykułów z gazet impeachmentowych. Tom Koch (Mad Magazine, marzec 1982) dał podobną technikę komiksom stand-up. Jacobs powrócił w Mad (wrzesień 1982) z kolejnymi dwunastoma kolumnami słów i fraz do pisania tekstów pieśni country-western. O zastosowaniu przez Richarda Vossa koncepcji fraktali Benoita Mandelbrota do komputerowej kompozycji muzycznej, patrz moja amerykańska kolumna Scientijc z kwietnia 1978 r. Oraz cytowane odniesienia.

Sztuka anamorficzna



Sztuka anamorficzna to pojęcie nieznane większości ludzi; w rzeczywistości nie jest to znane większości artystów. Z greckiej ana (ponownie) i morphe (forma) odnosi się do realistycznej sztuki, tak monstrualnie zniekształconej przez rzutową transformację, którą trudno jest rozpoznać. Zniekształcenie można "uformować ponownie", oglądając je na skosie lub jako odbicie w odpowiednim lustrze, lustro, zwane anamorfosem, jest zwykle polerowanym cylindrem lub stożkiem, a wygląd niezakłóconego odbicia jest tak magiczny i zaskakujący że niewielu ludzi widzących to po raz pierwszy nie wykrzykuje w zdumieniu: w tym momencie czytelnik może chcieć zatrzymać się, aby zrobić najlepszy cylindryczny anamorfos, jaki potrafi, aby obejrzeć niektóre z anamorficznych dzieł sztuki tutaj i na okładce. najlepsze wyniki, cylinder powinien mieć podstawa pasująca do koła na zdjęciu. Dopuszczalne wyniki można jednak uzyskać za pomocą butli z większą lub mniejszą podstawą. Mały sok lub zupa można usunąć z etykietą, a pozostałości kleju na puszce mogą zmylić. Przejrzysta, cylindryczna butelka z wkładanym do niej cylindrem z czarnego papieru działa dość dobrze. Chromowane rurki, dostępne w niektórych sklepach z narzędziami do instalacji hydraulicznych, są jeszcze lepsze. Folia aluminiowa nie jest gładka i sztywna, ale posrebrzony papier Mylar, naklejony na cylinder o odpowiednim rozmiarze, zapewnia doskonały anamorfos. Czytelnik jest zachęcany do zdobycia kilku metrów kwadratowych tego materiału (jest sprzedawany w sklepach z artykułami artystycznymi i hobby), nie tylko do oglądania cylindrycznego, ale także dlatego, że można go użyć, jak to zostanie wyjaśnione, do wykonania stożkowego anamorfosu. To było we wczesnym okresie renesansu, że europejscy malarze, którzy dopiero zaczynali opanować perspektywę, zafascynowali się najprostszym rodzajem sztuki anamorficznej: rozciągniętymi obrazami, które są prawidłowo postrzegane, gdy patrzy się na pochyłości. Pierwsze znane przykłady to notatniki Leonarda da Vinci ; nie jest to zaskakujące, ponieważ Leonardo był jednym z pierwszych współtwórców geometrii perspektywy. Powierzchnie oglądane ukośnie są, oczywiście, zniekształcone, chociaż zwykle nie jesteśmy tego świadomi. Drzwi widziane z pewnego kąta to trapez, ale nasz mózg, uwarunkowany doświadczeniem, postrzega go jako przechylony prostokąt. Kiedy ludzie, którzy nie są przyzwyczajeni do telewizji, widzą ekran telewizora z boku, zdjęcia wydają się zbyt chude. Reszta z nas nauczyła się poprawiać tak dobrze, że obrazy w telewizji wydają się normalne. Kiedy renesansowi malarze odkryli, jak przekształcać płaskie kształty, aby dać głębię iluzji na płótnie, odkryli jednocześnie, jak zrobić to w odwrotnej kolejności. Obraz rozciągnięty zgodnie z tymi samymi zasadami perspektywy staje się groteskową formą. Obraz Ambasadorów Hansa Holbeina (1533) zawiera słynny przykład sztuki anamorficznej (patrz Ryc. 40). Możesz zobaczyć rozciągnięty kształt na dole obrazu normalnie, zamykając jedno oko i pochylając stronę od siebie, w lewym dolnym rogu strony, wskazując na otwarte oko i około sześciu cali od niego. Innym sposobem zobaczenia czaszki jest umieszczenie krawędzi płaskiego lustra około trzech cali od lewego dolnego rogu i patrzenie w lustro obiema oczami podczas przechylania, aż czaszka stanie się normalna. Obraz Holbeina prawdopodobnie miał wisieć blisko szczytu schodów, aby ludzie podchodzący do góry byli zaskoczeni czaszką. Kolejnym skośnym obrazem jest stara gazeta, którą Sam Loyd napisał. Ma ukryty portret dojrzałego Jerzego Waszyngtona. Czy możesz to znaleźć? (Druga zagadka polega na podzieleniu kwadratowego waszyngtońskiego pieca na sześć kwadratowych kawałków, niekoniecznie tego samego rozmiaru.) Tego rodzaju pochyłe zdjęcia pojawiają się czasami w książkach dla dzieci i na reklamach. Czasami drukowanie jest rozciągnięte, więc można je odczytać tylko przez ukośne strony. Technika ta jest często używana w przypadku słowa STOP na ulicach, aby litery wyglądały normalnie w stosunku do kierowcy zbliżającego się do skrzyżowania. Geometryczna technika rysowania skośnych obrazów została szczegółowo wyjaśniona w pierwszym ważnym traktacie o sztuce anamorficznej: La Perspective Curieuse, Jean Franqois Niceron (Paryż, 1638). Obraz jest najpierw rzucany w kwadratowe komórki. Macierz jest rozciągnięta do trapezu, a następnie artysta kopiuje obraz, wypełniając komórki trapezoidalne, rozciągając zawartość każdej komórki tak dokładnie, jak to możliwe, aby dopasować odpowiadającą komórkę na oryginalnym obrazie. Im dokładniejsza matryca, tym dokładniejsza jest kopia. Dokładny kształt trapezowej matrycy zależy od pozycji oka, gdy widzi kształt jako normalny kwadrat. Pełna trójwymiarowa struktura jest złożona, ale okazuje się, że istnieje prosty sposób na skonstruowanie trapezu, biorąc pod uwagę pożądaną pozycję oka. Rozważmy kwadrat z boku 8, który ma wymiary 64-calowych komórek. Chcemy go zniekształcić, aby wyglądał normalnie, gdy oko znajduje się 25 jednostek od środka górnej krawędzi obrazu i siedmiu jednostek powyżej płaszczyzny. Budowa jest następująca. XY to szerokość kwadratu. FB na prostopadłej dwusiecznej XY wynosi 25 jednostek. BE, prostopadła do FB, wynosi 7 jednostek. Narysuj XB, YB i YE. To określa CD, dolną krawędź trapezu. Inne linie od B i E do znaków jednostki na XY określają linie do XY, które uzupełniają 64 komórki trapezoidalne. Ani E ani B nie wskazują pozycji oka. Oko wynosi 7 jednostek powyżej poziomej płaszczyzny papieru. Prostopadła spadła z oka do płaszczyzny przecina FB w punkcie G. Konstrukcja zakłada, że G jest co najmniej 8 jednostek od F. Innym sposobem narysowania obrazu jest zamknięcie jednego oka, wyświetlenie papieru na odchylenie, a następnie narysowanie obraz, aby wyglądał normalnie. To jest lepsze niż próba zrobienia tego za pomocą lustra, ponieważ w lustrze ręka przesuwa się o jedną współrzędną w kierunku przeciwnym do tego, w jaki porusza się na prawdziwym arkuszu, a twój refleks jest trudny do opanowania. Prostą fotograficzną metodą wykonywania pochyłych zdjęć jest wyświetlenie obrazu (z powiększalnikiem lub rzutnikiem) na papierze powiększającym, tak aby światło padało na papier pod kątem przewidzianym do oglądania. Chociaż nie ma dowodów na to, że starożytni Grecy bawili się anamorficznymi obrazami, czasami zdeformowali kolumny świątyń, aby skorygować zniekształcenia postrzegane przez kogoś z przodu budynku. Z podobnych powodów malarze renesansowi od czasu do czasu zdeformowali murale, aby widzowie spoglądali na widzieliby je z mniejszymi zniekształceniami. Skośne obrazy były czasami ukryte w obrazach lub rozciągnięte wzdłuż długiego korytarza, aby można je było oglądać z wejścia lub wyjścia. Inną popularną praktyką było umieszczanie skośnych obrazów w pudełkach z wizjerem na jednym końcu, aby obejrzeć obraz pod właściwym kątem. Malowanie anamorficzne na cylindryczne i stożkowe lustra było modne zabawki w Europie i na Wschodzie w XVII i XVIII wieku. Zwykle wykonywali je anonimowi artyści i sprzedawali z pięknie wykonanymi anamorfoskopami. Od czasu do czasu obrazy niosły wiadomości o politycznym proteście; czasami były pornograficzne lub scatologiczne. Kilka przykładów erotycznych obrazów anamorficznych pojawia się w chińskiej sztuce erotycznej autorstwa Michela Beurdeleya i in. (Charles E. Tuttle Co., 1969). Ta wczesna sztuka anamorficzna jest teraz przedmiotem kolekcjonerskim. W grudniu 1973 r. Zestaw dziesięciu farb olejnych, dla zarówno butle, jak i szyszki z XVIII-wiecznej Francji sprzedano na aukcji Sotheby Parke-Bernet w Nowym Jorku za 10 800 $, co jest okazją w świetle dzisiejszych cen. Herbert Tannenbaum, nowojorski handlarz dziełami sztuki, odnalazł obrazy w 1939 roku w sklepie z ciekawostkami w Amsterdamie i kupił je, nie wiedząc nawet, co to jest. Aby wykonać anamorfos stożkowy, wyciąć okrągły krążek o odpowiednim rozmiarze z posrebrzanego Mylaru, wyciąć promień, pokryć przycięte krawędzie, a następnie przykleić lub zakleić nałożone na siebie krawędzie. Dopasuj zakładkę, aż podstawa stożka pasuje do wewnętrznego koła na zdjęciu. Umieść stożek na tym okręgu i zobacz go od góry jednym okiem. Przywrócony obraz jest mały i okrągły, całkowicie na obwodzie stożka. Jeśli naciśniesz wierzchołek stożka opuszkiem palca lub spinaczem do papieru, stożek stanie się sztywniejszy i uzyska lepszy obraz. Aby uzyskać idealne rezultaty, potrzebujesz solidnego stożkowego lustra wykonanego z wielką dokładnością. Podobnie jak w przypadku pochyłych zdjęć, istnieją trzy sposoby deformacji obrazu w celu uzyskania cylindrycznego lub stożkowego obrazu. Metody dokładnej budowy zniekształconej matrycy są skomplikowane; zainteresowani czytelnicy nie mogą zrobić nic lepszego niż skonsultować się z książką Niceron w celu uzyskania szczegółów. Kiedy Salvador Dali wykonał zestaw erotycznych obrazów anamorficznych (odbitki były sprzedawane w Szwajcarii z cylindrycznym anamorfozą), po prostu zajrzał do cylindra, gdy malował na powierzchni pod nim. To nie jest łatwe, ponieważ w lustrze ruch ręki jest odwrócony. Widzisz, co robisz z prawej strony, ale twoja ręka musi namalować obraz do góry nogami. Można zrobić prymitywne anamorficzne odbitki fotograficzne, owijając negatyw w połowie przezroczystego cylindra i wysyłając skośne światło przez cylinder ze źródła punktowego na zewnątrz i za cylindrem, aby wyświetlić obraz na powiększającym się papierze pod cylindrem. Dokładniejsze odbitki wykonuje się, wyświetlając obraz na boku dokładnie wykonanego cylindrycznego lustra, tak aby odbijał się on na powiększającym się papierze. Należy użyć powiększalnika lub projektora slajdów 35-milimetrowego z membraną przy soczewki i zatrzymaj obiektyw, aż obraz będzie ostry na sztalugach. Całe światło z urządzenia powiększającego, które nie spada bezpośrednio na cylinder, powinno być zablokowane przez czarny karton z prostokątnym otworem. Odciski stożkowe są wykonane w podobny sposób. Stożek lustra powinien być duży (około 6 cali średnicy). Obraz jest wyświetlany prosto na górze stożka poprzez okrągły otwór w czarnym tekturze, aby zablokować nieistniejące światło. Termin anamorficzny jest używany przez fotografów do każdego obiektywu, który rozciąga lub kompresuje obraz wzdłuż jednej współrzędnej, a także dla zdeformowanych obrazów, które tworzy. W 1953 roku Twentieth Century-Fox zaprezentował szeroki ekran z filmem TheRobe. Anamorficzne soczewki wycisnęły szeroki obraz na standardowe 35-mm. film, następnie soczewki anamorficzne w projektorze rozciągnęły obraz z powrotem, aby zmieściły się na szerokim ekranie. Większość współczesnych obrazów ruchów jest wykonywana z wyrafinowanymi anamorficznymi układami soczewek. Podobne systemy dostosowują szerokoekranowe filmy do taśm wideo. Psychologowie badający percepcję eksperymentowali z trójwymiarowymi anamorficznymi modelami krzeseł, stołów i innych przedmiotów. Zdeformowane modele wydają się być normalne, gdy widzimy je pod pewnym kątem. Pokój Amesa jest radykalnie zniekształconym pomieszczeniem, które wydaje się normalne, gdy ogląda się go przez otwór w ścianie. Osoba w pokoju wydaje się rosnąć lub kurczyć, gdy przechodzi z jednej części pokoju do drugiej. Siedemnastowieczni architekci nie odkryli pokoju Ames, ale grali w gry z fałszywą perspektywą. Najbardziej zaskakującym przykładem, jaki można jeszcze zobaczyć w Palazzo Spada w Rzymie, jest arkana anamorficzna Zaprojektowany przez Francesco Borromini około 1638. Wydaje się, że patrzysz w dół długiego korytarza na dużą statuę za wyjściem. Właściwie zdeformowana korona ma tylko 28 stóp długości, a posąg ma 3 stopy wysokości. Iluzja została stworzona przez uczynienie wejścia 19 stóp wysokości i 10 stóp szerokości, a wyjście tylko 8 stóp wysokości i 31/3 stóp szerokości (przy okazji sztuczka, długo znana projektantom sprzętu dla scenicznych magików). Istnieje wiele innych form płaskiej sztuki anamorficznej: obrazy odbijane w kulach, w odpowiednio splecione n-stronne i inne wielościany, oraz obrazy widoczne przez różne rodzaje soczewek zniekształcających. Faliste lustra w zabawnych domkach wytwarzają anamorficzne obrazy. Co to jest dobra karykatura, jeśli nie złożony zestaw zniekształceń anamorficznych, które nasz umysł widzi jako bardziej przypominający osobę niż rzeczywistą osobę? Istnieją też ekstremalne sposoby przekształcania obrazu i przywracania go (na przykład hologram, lub nadawanie obrazu telewizyjnego), ale termin anamorficzny najlepiej jest koordynować. transformacje, w szczególności trzy typy, które rozważaliśmy. Twórcy map nie używają terminu anamorficzny, ale wiele sposobów wyświetlania powierzchni Ziemi na płaszczyźnie - cylindrycznie, stożkowo i w przeciwnym razie - są transformacje współrzędnych ściśle związane ze sztuką anamorficzną. Botanicy stosują słowo anamorficzne do radykalnych zmian, które zachodzą w pewnych roślinach, gdy są uprawiane w różnych środowiskach. Zoolodzy używali tego terminu do ewolucyjnych modyfikacji form zwierzęcych. Klasyczna praca D 'Arcy'ego Wentwortha Thompsona "O rozwoju i formie" (Cambridge University Press, 1961) zawiera rozdział wypełniony diagramami przedstawiającymi gatunki zwierząt, które różnią się od siebie zniekształceniami anamorficznymi, tak bardzo podobnymi do omawianych tu typów, że jeśli widzisz, powiedzmy, jeden gatunki ryb na skosie lub w cylindrycznym lustrze, staje się identyczny z innym gatunkiem. Podobnie, profil ludzkiej czaszki, delikatnie zniekształcony, staje się czaszką szympansa lub pawiana. Zdolność naszego układu wzrokowego do korygowania zniekształceń anamorficznych sugeruje, że wizja bardziej dotyczy właściwości topologicznie niezmiennych niż euklidesowych. System wizualny nie tylko wykorzystuje odwrócone obrazy na dwóch siatkówkach w taki sposób, aby uzyskać wrażenie trójwymiarowego świata z prawej strony, ale także koryguje zniekształcenia anamorficzne przez nieregularne soczewki i rogówki. Osoba z wyraźnym astygmatyzmem, dopasowana po raz pierwszy do okularów, postrzega świat jako zdeformowany, ponieważ jego mózg wciąż koryguje stare zniekształcenia. Może minąć kilka tygodni, zanim znów zobaczy normalnie świat. Przeprowadzono eksperymenty, w których przedmiot nosi specjalne okulary, które wywołują ekstremalne transformacje topologiczne. Po kilku tygodniach i bólach głowy świat znów zaczyna wyglądać normalnie. Po zdjęciu okularów świat wygląda na zniekształcony, choć na szczęście tylko na krótki czas. Hamlet poradził niektórym aktorom, aby trzymali lustro w naturze. Czy zwierciadło wielkiej gry, powieści, obrazu lub filmu jest zniekształconym lustrem, czy też jest magicznym anamorfosem, który nadaje przyjemną formę brzydkiemu, bezkształtnemu światu? Czy systemy filozoficzne i religie, nawet poglądy zwariowanych, małych kultów, anamorficzne zniekształcenia prawdy czy też są anamorfoskopami, których celem jest nadanie sensu rzeczywistości pozbawionej znaczenia? "To miało naprawić ich anamorfozę Bóstwa" - pisał Thomas ~ efferson - "głosił Jezus". Dla outsidera system przekonań wydaje się przekręcać prawdę jak groteskowy anamorficzny zapach. Dla osoby z wewnątrz, która widzi świat w specjalnie ukształtowanym zwierciadle jego systemu percepcyjnego, wszystko wydaje się być normalne. Czy istnieje system metafizyczny, który odzwierciedla prawdę jak płaskie, nieoparte lustro? Niestety, każdy prawdziwy wierzący jest przekonany, że to właśnie jego własny anamorfos.