SŁOWNIK MATEMATYCZNY


A    B    C    D    E    F   G   H    I    J    K    L    Ł   M    N    O    P    R    S    Ś    T    U    W    V    X    Y    Z    Ż



SŁOWNIK MATEMATYCZNY - E


e (liczba Nepera) : Oznaczenie wprowadzone przez Eulera dla liczby będącej granicą ciągu

gdy n dąży do nieskończoności

Granica ta równa się sumie szeregu :

W przybliżeniu e=2,7182... ;e jest podstawą logarytmów naturalnych, liczbą niewymierną i przestępną;odgrywa w matematyce podobnie ważną rolę jak liczba pi

ekonometria : Nazwa wprowadzona przez norweskiego ekonomistę Ragnara Frisha (1926) na oznaczenie nowo powstałej nauki z pogranicza matematyki stosowanej i ekonomii,zajmującej się ustalaniem ilościowych prawidłowości w życiu gospodarczym. Rozwinęła się w latach bezpośrednio następujących po zakończeniu I wojny światowej. Do rozpowszechnienia maszyn matematycznych ekonometria odgrywała raczej rolę teoretyczną (konieczność licznych i żmudnych obliczeń.) Obecnie ekonometria zalicza się do tzw. badań operacyjnych gdzie ma podstawowe znaczenie przy budowie modeli matematycznych zjawisk ekonomicznych .W Polsce największy wkład w rozwój ekonometrii dał prof. OSkar Lange.

E(x) lub [x] : Symbol funkcji określonej następująco: E(x) = x, gdy x jest liczbą całkowitą, E(x) ma wartość równą największej liczbie całkowitej mniejszej od x, gdy x nie jest liczbą całkowitą. Symbol E(x) pochodzi od francuskiego słowa entier (całkowity). Wykres E(x) jest linią schodkową.

ekstrapolacja funkcji f(x) : Wyznaczenie jej wartości na zewnątrz przedziału, w którym funkcja jest znana. Dla tak ogólnie pojętej ekstrapolacji rozwiązanie nie jest jednoznaczne, dlatego przyjmuje się często, dodatkowe warunki dla f(x). Ekstrapolację stosuje się często w naukach doświadczalnych, gdy szukana wielkość nie może być bezpośrednio zmierzona (np. temperatura powierzchni Słońca). Dodatkowymi warunkami, które powodują jednoznaczność rozwiązania, są zazwyczaj odpowiednie prawa fizyczne.

ekstrapolacja statystyczna : Wnioskowanie o własnościach statystycznych całego zbioru w oparciu o wyniki badań jedynie pewnej jego części. Postępowanie takie ma jednak sens naukowy tylko przy zapewnieniu braku tendencji ze strony badacza, który mógłby nawet podświadomie eliminować niekorzystne dla jego hipotez przypadki

ekstremum funkcji (lokalne)w punkcie x0 : Maksimum lub minimum funkcji w tym punkcie. Mówimy,że funkcja f(x),określona w pewnym przedziale otwartym (a,b),posiada w punkcie x0 tego przedziału ekstremum (właściwe),jeżeli dla każdego x różnego od x0 z pewnego otoczenia tego punktu jest f(x) < f( x0)(maksimum) lub f(x) > f( x0)(minimum). Istnienie ekstremum funkcji w punkcie x0 jest jej własnością lokalną, świadczącą o zachowaniu się funkcji w dostatecznie małym otoczeniu tego punktu. Ta sama funkcja może osiągać ekstremum wielokrotnie. Jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x0 ekstremum oraz posiada w tym punkcie pochodną, to ta pochodna jest w punkcie x0 zerem, a więc f`( x0) = 0) jest w tym przypadku warunkiem koniecznym dla istnienia ekstremum. Jeżeli istnieje ponadto druga pochodna, różna w tym punkcie od zera, to gdy f''( x0) < 0 mamy maksimum, a gdy f''( x0) > 0 mamy minimum (warunek dostateczny istnienia ekstremum) Pojęcie ekstremum funkcji nie jest identyczne z pojęciem największej (lub najmniejszej) wartości funkcji w pewnym przedziale. Liczne zagadnienia praktyczne prowadzą do wyznaczania ekstremum funkcji. Badając np. zmienność pola powierzchni puszki w kształcie walca (przy ustalonej objętości) w zależności od stosunku wysokości do średnicy stwierdzamy ,że pole to osiąga minimum gdy przekrój osiowy puszki jest kwadratem, co przy produkcji masowej ma znaczenie ekonomiczne.

ekwidystanta : Krzywa równoległa

"Elementy" Euklidesa : Dzieło greckiego matematyka Euklidesa, zawierające wykład planimetrii, stereometrii i niektórych zagadnień teorii liczb. W dziele tym po raz pierwszy geometria została ujęta aksjomatycznie i niezwykle,jak na owe czasy ,ściśle. Przez blisko dwa tysiące lat Elementy służyły jako podręcznik i wzór ścisłości matematycznej.

elewacja : depresja

eliminacja (rugowanie) : Postępowanie mające na celu zmniejszenie liczby zmiennych lub niewiadomych. Jeżeli np. równania x= sin t, y = cos t wyrażają współrzędne x,y poruszającego się po płaszczyźnie punktu jako funkcje czasu t, to rugując czas (x2+y2 = cos2t + sin2t = 1)otrzymamy równanie toru punktu (okrąg o równaniu x2 + y2 = 1). Przy rozwiązywaniu układów równań korzystamy z metody rugowania niewiadomych celem otrzymania równania z jedną niewiadomą. Np .rozwiązując układ równań 2x-5y+9, x+y=1,wyznaczamy z drugiego równania x=1-y i podstawiamy do pierwszego, co daje jedno równanie z jedną niewiadomą 2(1-y) - 5y = 9;rozwiązując to równanie otrzymamy y=-1 ,a następnie obliczymy x=1-(-1) =2. Wskazany tu sposób postępowania jest nazywany metoda podstawiania. Innym sposobem rugowania niewiadomej jest metoda porównywania. Np. rozwiązując układ równań 5x+2y=16, 3x-2y = 0, wyznaczamy niewiadomą y z obu równań i przyrównujemy oba wyrażenia:
16-5x/2 = 3x/2
stąd x = 2;niewiadomą y wyznaczamy z któregokolwiek równania układu, podstawiając x=2; otrzymujemy y = 3.Jeszcze inną metodą eliminacji niewiadomej jest metoda dodawania lub odejmowania równań (zwana niekiedy metodą przeciwnych współczynników). Np .celem rozwiązania układu równań 3x+y=0, x-5y= -16, mnożymy drugie z nich przez -3, wskutek czego układ przyjmie postać:
3x+y=0
-3x+15y=48
Dodając następnie powyższe równania stronami, otrzymamy jedno równanie z jedną niewiadomą: 16y=48, a zatem y=3. Drugą niewiadomą wyznaczymy tak jak w metodzie porównywania (x=-1).Ogólnie rzecz biorąc,jeśli mamy układ równań F=0, G=0, to można jedno z nich zastąpić równaniem aF+bG = 0 ,gdzie a i b są różne od zera, i przez odpowiedni dobór stałych a i b uzyskać uproszczenie, np. eliminując jedną niewiadomą.

elipsa : Krzywa płaska,zamknięta, miejsce geometryczne punktów płaszczyzny, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów F1 i F2 zwanych ogniskami elipsy ,jest stała;przyjmując ,że suma tych odległości równa jest 2a, mamy: r1 + r2= 2a gdzie r1 i r2 są to odległości punktów elipsy od ognisk (nazywamy je promieniami wodzącymi elipsy).Inne równoważne definicje elipsy: 1. Elipsa jest miejscem geometrycznym punktów, dla których stosunek odległości od ustalonego punktu (ogniska) do odległości od ustalonej prostej (zwanej kierownicą) jest stały (mniejszy od 1). Stosunek ten zwany mimośrodem elipsy , e= MF2/MN2 = MF1/MN1 jest miarą jej spłaszczenia. 2. Elipsa jst krzywą powstałą z przecięcia stożka płaszczyzną nie przechodzącą przez jego wierzchołek i tworzącą z osią stożka kąt większy od połowy kąta rozwarcia stożka. Prost przechodząca przez ogniska elipsy oraz symetralna odcinka F1F2 są osiami symetrii elipsy, ich punkt przecięcia jest środkiem symetrii elipsy.

elipsograf : Przyrząd służący do wykreślania elipsy. Budowa elipsografu oparta jest na następującej zasadzie: jeżeli odcinek o stałej długości porusza się tak ,że jego końce przesuwają się po osiach prostokątnego układu współrzędnych, to dowolnym punkt wewnętrzny M tego odcinka opisuje elipsę o równanie x2/a2 + y2/b2 = 1, gdzie a i b są równe odległościom punktu M od odpowiednich końców odcinka.

elipsoida : Zamknięta powierzchnia drugiego stopnia, której każdy przekrój płaszczyzny jest elipsą (w szczególnym przypadku okręgiem). Elipsoida jest symetryczna względem trzech prostych wzajemnie prostopadłych, zwanych osiami symetrii elipsoidy. Jeżeli osiami symetrii są osie układu współrzędnych, równanie elipsoidy (równanie osiowe) ma postać x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 .Jeśli a = b = c, to elipsoida jest kulą, jeżeli a = b to mamy elipsoidę obrotową, powstałą przez obrót elipsy x2/a2 + z2/c2 = 1 dookoła osi z. Równanie x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 0 przestawia elipsoidę zredukowaną do punktu.

ENIAC : Pierwsza na świecie elektroniczna cyfrowa maszyna matematyczna, budowana na uniwersytecie pensylwańskim (J.P.Eckert i J.W.Mauchly) w latach 1943-1946 z pierwotnym przeznaczeniem do obliczania tablic balistycznych,po dobudowaniu pamięci zewnętrznej w 1947 używana przez kilka kolejnych lat do różnych obliczeń naukowych i technicznych dla marynarki USA. ENIAC był szumnie reklamowany jako "mózg elektroniczny". Mimo małej pamięci wewnętrznej (20 liczb 10 cyfrowych), dzięki znacznej szybkości liczenia (do 5 tysięcy dodawań na sekundę bezpośrednio w układzie dziesiątkowym) maszyna mogła np. wyznaczyć współrzędne wybuchu artyleryjskiego w czasie krószym niż lot pocisku. Z punktu widzenia współczesnej techniki, ENIAC był jednakże niezgrabnym kolosem (wgw kilku ton, pobór mocy 130 kW), o prymitywnej organizacji liczenia (czas nastawiania programu rzędu 30 min) i kłopotliwym w eksploatacji (konieczność wymiany każdej z 18 tysięcy lamp elektronowych co kilkaset godzin pracy).

entropia : W cybernetyce miara nieokreśloności informacyjnej. Jest to liczba równa zeru dla układów jednostanowych, dodatnia zaś dl układów wielostanowych, mogących zmienia swe stany z upływem czasu; entropia jest tym większa im bardziej poszczególne stany są równoprawdopodobne, oraz tym mniejsza im któryś ze stanów jest statystycznie bardziej wyróżniony. Dla systemu układów entropia jest zwykle mniejsza niż suma entropii poszczególnych układów, równa zaś wtedy gdy wszystkie układy są niezależne (kompletny brak organizacji)

epicykloida : Krzywa płaska, jaką zakreśla punkt okręgu o promieniu r, toczącego się bez poślizgu po zewnętrznej stronie drugiego okręgu o promieniu R. Gdy R = r mamy kardioidę. Współrzędne punktów epicykloidy wynoszą : x=(R+r) cos t - r cos (R+r)/r t; y = (R+r) sin t - r sin (R+r)/r t. gdzie t jest pewnym parametrem

epitrochoida : Krzywa płaska , uogólnienie epicykloidy;zakreślą ją punkt położony wewnątrz koła o promieniu r, toczącego się bez poślizgu po okręgu o promieniu R. Współrzędne punktów epitrochoidy wynoszą : x = (R+r) cos t - h cos (R+r)/r t; y =(R+r) sin t - h sin (R+r)/r t ;przy czym h oznacza odległość punktu kreślącego krzywą od środka toczącego się koła, a t jest pewnym parametrem

Eratostenes z Cyreny (ok. 275 - ok 194 p.n.e.) : Filozof, astronom, geograf i matematyk grecki, naukę pobierał w Aleksandrii i Atenach, od 236 r. kierował Biblioteką w Aleksandrii. Podał sposób znajdowania liczb pierwszych (sito Eratostenesa), zbudował mezolabium - przyrząd służący m.in. do podwojenia sześcianu, badał wartości średnie; stworzył podstawy matematycznej geografii, zmierzył kąt nachylenia ekliptyki do równika niebieskiego, promień i długość południka Ziemi .Pierwszy zaproponował wprowadzenie do kalendarza co 4 lata jednego dnia dodatkowego (rok przestępny)

esperancja : wartość przeciętna

estymator : W statystyce matematycznej funkcja wartości próbkowych, służąca szacowaniu nieznanego parametru badanej populacji. Najczęściej stosowanym estymatorem jest średnia arytmetyczna wartości pomiarowych.

Eudoksos z Knidos (408-355 p.n.e) : Matematyk, astronom, geograf i filozof grecki, pierwszy stworzył ogólną teorię proporcji, zajmował się złotym podziałem odcinka. Podał pewien sposób obliczania objętości figur geometrycznych oraz ścisły dowód twierdzenia ,że objętość stożka jest trzecią częścią objętości walca o tej samej podstawie i wysokości. Żądne z licznych dzieł Eudoksosa nie zachowało się do chwili obecnej, informacje o jego pracach znajdujemy jedynie w licznych wzmiankach innych pisarzy i matematyków (Archimedes, Euklides)

Euklides (ok. 365-ok. 300 p.n.e.) : Matematyk grecki, pracował i uczył w Aleksandrii. Był pierwszym matematykiem tzw. szkoły aleksandryjskiej. Jego Elementy, składające się z 13 ksiąg, należą do najczęściej wydawanych i studiowanych dzieł w historii świata zachodniego. Od powstania druku ukazało się ponad 1000 wydań Elementów. Większość podręczników szkolnych geometrii jest oparta niemalże wiernie na siedmiu spośród trzynastu ich ksiąg. Elementy wywarły duży wpływ na system myślenia naukowego. Dzieło to opracowane jest z zadziwiającą systematycznością i ścisłością, w oparciu o układ definicji (określeń), postulatów i aksjomatów (geometria Euklidesa). Pierwsze 4 księgi dotyczą geometrii płaskiej i zawierają systematyczny wykład zagadnień od najbardziej elementarnych własności linii i kątów do przystawania trójkątów, równości pól, twierdzenia Pitagorasa, konstrukcji kwadratu równoważnego danemu prostokątowi, złotego podziału, koła i wieloboków foremnych. Księga VV przedstawia teorię wielkości niewspółmiernych Eudoksosa w jej czysto geometrycznej postaci, a księga VI - podobieństwo trójkątów. Księgi VII-IX są poświęcone teorii liczb, np. podzielności liczb całkowitych, sumowaniu postępów geometrycznych oraz pewnym własnościom liczb pierwszych. Ostatnie 3 księgi dotyczą geometrii przestrzennej:kątów przestrzennych, objętości prostopadłościanów, graniastosłupów, ostrosłupów. Zachowała się również praca Euklidesa pt. "Data", w której podaje warunki na to, aby wyrażenia matematyczne (np. równanie) było określone. Euklides napisał również traktaty z dziedziny astronomii, muzyki, pedagogiki, optyki.

Euler Leonard (1707-1783) : Matematyk, fizyk i astronom szwajcarski. Studiował matematykę na uniwersytecie w Bazylei, pracując pod kierunkiem Johanna Bernoulliego. OD 1723 studiował również teologię, z której jednak zrezygnował poświęcając się matematyce. W 1726 roku opublikował pierwsze swoje prace w czasopiśmie "Acta eruditorum". W 1727 ,śladem Daniela i Mikołaja Bernoullich, rozpoczyna pracę w Petersburskiej Akademii , gdzie przebywał do 1741 roku; w tym czasie przygotował do druku 80 prac. Oprócz pracy naukowej zajmował się dydaktyką, prowadząc wykłady dla studentów oraz opracowując dla nich podręczniki. Brał również udział w różnych ekspertyzach technicznych. W latach 1741-1766 Euler był profesorem Akademii Nauk w Berlinie, którą kierował faktycznie do 1759. Pomimo ślepoty (w 1738 stracił prawe oko, a od 1766 praktycznie nie widział i na lewe) prowadził ożywioną działalność naukową. W Petersburgu, dokąd powrócił w 1766 i gdzie przebywał do śmierci, napisał jeszcze około 400 prac,w tym kilka dużych dzieł. Był członkiem wielu akademii naukowych. Około 3/5 jego prac dotyczyło zagadnień matematycznych, pozostałe poświęcone były zastosowaniom matematyki w fizyce, mechanice, muzyce, teorii maszyn, teorii sprężystości, balistyce, zagadnieniom morskim. Matematykę traktował jako narzędzie w innych naukach, nierozerwalnie z nimi związane. Był twórcą wielu nowych działów matematyki np. teorii funkcji zmiennej zespolonej. Prace jego dotyczą prawie wszystkich ówczesnych dyscyplin matematycznych.

ewoluta (rozwinięta)krzywej : Krzywa płaska, miejsce geometryczne środków krzywizny danej krzywej. Jest obwiednią normalnych do danej krzywej.

ewolwenta (rozwijająca) krzywej : Krzywa płaska przecinając styczne do danej krzywej T pod kątem prosty. Ewolutą ewolwenty jest dana krzywa .Koniec P odwijanej i napiętej nici, nawiniętej uprzednio na krzywą T i umocowanej drugim końcem w pewnym jej punkcie, zakreśla ewolwentę krzywej