SŁOWNIK MATEMATYCZNY


A    B    C    D    E    F   G   H    I    J    K    L    Ł   M    N    O    P    R    S    Ś    T    U    W    V    X    Y    Z    Ż



SŁOWNIK MATEMATYCZNY - R


rachunek całkowy : Dział analizy matematycznej. Zaczątków rachunku całkowego można się dopatrywać w pracach matematyków starożytnych szkoły Archimedesa, w dzisiejszej postaci powstał na przełomie XVII i XVIII wieku wraz z rachunkiem różniczkowym. rachunek całkowy stworzył Newton w 1665-1666, lecz opublikował swe wyniki znacznie później (1704-1736) .Wcześniej opublikował idee rachunku całkowego Leibniz (1684-1686), który odkrył go w latach 1673-1676 ,a następnie rozwinął przy wpsółpracy m.in. braci Bernoullich. Od Leibniza pochodzą nazwy calcuclus differentialis i calculus integralis (łacińskie nazwy rachunku różniczkowego i rachunku całkowego).Zarówno kinematyczne ujęcie Newtona (tzw. teoria fluksji, przez które rozumie on prędkości zmian wielkości zmiennych zwanych fluentami), jak i ujęcie Leibniza, opierające się na geometrycznej koncepcji "trójkąta podstawowego" o bokach dx, dy ,ds, zawierało wiele niejasności a nawet sprzeczności .Poprawne wprowadzenia pojęcia całki i pochodnej nastąpiło dopiero po sprecyzowaniu przez Cauchey`ego pojęcia granicy na początku XIX wieku (całka oznaczona). Rachunek całkowy znalazł liczne zastosowania w fizyce i technice pozwalając obliczać pola, długości łuku, objętości, środki ciężkości, momenty bezwładności i wiele innych wielkości geometrycznych i fizycznych, których obliczenie metodami elementarnymi nie było wcale możliwe.

rachunek logiczny : Dział logiki zajmujący się badaniem zdań złożonych. Niech p i q będą dwoma zdaniami. Symbol p ∨ q oznacza w rachunku logicznym zdanie "p lub q" (alternatywa), symbol p ∧ q zdanie "p i q" (koniunkcja), symbol p ⇒ q zdanie "jeżeli p to q" (implikacja), symbol p ⇔ q ,zdanie "p wtedy i i tylko wtedy gdy q" (równoważność zdań), zaś symbol ∼p zdanie "nieprawda ,że p" (negacja). W rachunku logicznym rozpatrujemy tylko takie zdania ,które mają wartość logiczną 1 (prawda) lub 0 (fałsz) .Zdania złożone, utworzone w ten sposób,że są zawsze prawdziwe (bez względu na wartości logiczne zdań składowych), nazywamy prawami rachunku logicznego .A oto kilka takich praw:
prawo podwójnego przeczenia: ∼(∼p)⇔p
prawo sprzeczności: ∼[p ∧ (∼p)]
prawo wyłączonego środka : p ∨(∼p)
prawo przedniości implikacji : (p ⇒r) ∧(r ⇒ q) ⇒ (p ⇒ q)
prawo kontrapozycji : (p ⇒ q) ⇔(∼p ⇒ ∼p)
prawa de Morgana : ∼(p ∨ q) ⇔(∼p) ∧ (∼q)
                              ∼(p ∧ q) ⇔(∼p) ∨ (∼q)

rachunek prawdopodobieństwa (probabilistyka) : Dział matematyki zajmujący się bdaniem modeli zjawisk przypadkowych (losowych).W całokształcie rachunku prawdopodobieństwa można wyróżnić elementarną teorię prawdopodobieństwa, odnoszącą się do zmiennych losowych przybierających skończoną i zazwyczaj niewielką ilość różnych wartości, oraz wyższą teorię prawdopodobieństwa dopuszczającą także zmienne losowe o nieskończonej (a nawet i tzw. nieprzeliczalnej) ilości różnych wartości, opartą o abstrakcyjny aparat pojęciowy teorii miary. Początki rachunku prawdopodobieństwa sięgają jeszcze XVII wiecznych rozważań dotyczących gier hazardowych (Pascal ,Fermat), po raz pierwszy usystematyzowanych bliżej przez Huygensa;w XVII wieku rachunek prawdopodobieństwa uległ rozbudowaniu (Jakob Bernoulli, Euler ,Bayes), nie bez wpływu rozwijających się wówczas bujnie licznych towarzystw ubezpieczeniowych i loterii. Wyodrębnienie się rachunku prawdopodobieństwa w samodzielną dyscyplinę matematyczną nastąpiło w XIX w. (Gauss, Laplace, Poisson, Czebyszew),jednakże stworzenie w pełni ścisłych podstaw rachunku prawdopodobieństwa nastąpiło dopiero w pierwszej połowie XX wieku (Bernstein, Gliwienko,Kołomogorow, Steinhaus i inni), po ostatecznym zrezygnowaniu z intuicyjnego określania prawdopodobieństwa i oparciu się o algebrę abstrakcyjną i teorię mnogości oraz po zaksjomatyzowaniu całej teorii. Równolegle z tym nastąpiła silna ekspansja zastosowań rachunku prawdopodobieństwa do innych działów matematyki, do fizyki teoretycznej, a także do techniki i nauk przyrodniczych.

rachunek różniczkowy : Dział analizy matematycznej, powstały wraz z rachunkiem całkowym na przełomie XVII i XVIII wieku w oparciu o pjęcie pochodnej funkcji oraz różniczki. Zasady obliczania pochodnych wyrażają się następującymi wzorami:

rachunek wariacyjny : Dział analizy matematycznej zajmujący się problemami osiągania wartości ekstremalnych (ekstremum funkcji) przez pewne funkcjonały. Rachunek wariacyjny jest podstawową metodą fizyki matematycznej

rachunek wektorowy : Dział matematyki zajmujący się własnościami i działaniami na wektorach. rachunek wektorowy zaczął się rozwijać dopiero na początku XI wieku ze względu na konieczność zastosowania w fizyce i mechanice. Poprzednio na ogół nie posługiwano się pojęciem wektora, przeprowadzając wszelkie rozważania na wielkościach zwanych obecnie składowymi wektora. W wieku XIX zaczęto dopiero stosować operacje nad tymi wielkościami nazwanymi wektorami. W połowie XIX w. rachunek wektorowy stał się dyscypliną matematyczną, w dużej mierze dzięki pracom H.Hamiltona i H.Grassmanna. Uogólnieniem rachunku wektorowego stał się rachunek tensorowy (tensor) .rachunek wektorowy dzieli się na dwa działy : algebrę wektorów, zajmująca się działaniami algebraicznymi na wektorach i analizę wektorową, obejmującą również działania analogiczne do operacji na funkcjach (składowe wektorów są tu funkcjami pewnych zmiennych niezależnych). Rachunek wektorowy ma bardzo duże zastosowanie mi.in w geometrii analitycznej, geometrii różniczkowej, fizyce i mechanice.

rachunek wyrównawczy : Dział matematyki stanowiący zastosowanie statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa do teorii błędów, polegający na dodaniu do danych empirycznych takich najprawdopodobniejszych poprawek wyrównawczych, aby spełnione były pewne założenia teoretyczne (np. aby suma mierzonych kątów trójkąta wynosiła 180 stopni, albo aby "zamykały się" łańcuchy pomiarowe).Rachunek wyrównawczy znajduje zastosowanie w geodezji, astronomii, biometrii, ekonometrii, fizyce eksperymentalnej i innych dziedzinach nauki.

radian : kat płaski

ramiona kąta : kąt płaski

reductio ad absurdum : Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności

Regiomonatus (właściwie Johannes Müller, 1436-1476) : Matematyk i astronom niemiecki. W Rzymie i Wenecji studiował dzieła greckich matematyków i astronomów, był potem profesorem Uniwersytetu Wiedeńskiego, w 1471 osiedlił się w Norymberdze,gdzie zbudowano mu obserwatorium astronomiczne. Brał udział w pracach nad ulepszeniem kalendarza. Pierwszy przetłumaczył na łacinę "Almagest" Ptolemeusza. W swojej pracy "Pięć ksiąg o różnych trójkątach" usystematyzował trygonometrię płaską i sferyczną, prawdopodobnie pierwszy wprowadził pisownię ułamków dziesiętnych, których użył w ułożonych przez siebie tablic trygonometrycznych.

regresja : W statystyce matematycznej oznacza empirycznie wyznaczoną zależność funkcyjną pomiędzy skorelowanymi zmiennymi losowymi (korelacja). W praktyce największe znaczenie ma regresja liniowa, odpowiadająca liniowej zależności między rozpatrywanymi zmiennymi; wprawdzie regresja liniowa rzadko występuje w praktyce w postaci "czystej" ,stanowi jednak użyteczne narzędzie jako metoda przybliżona. Przy bardziej skomplikowanych współzależnościach stosuje się regresję nieliniową np. kwadratową. Położenie krzywej regresji na wykresie współzależności wyznacza się przy pomocy najmniejszych kwadratów.

regula falsi : metoda siecznych

reguła trzech : proporcja

rektyfikacja łuku : Zagadnienie wykreślania przy pomocy cyrkla i linijki odcinka, którego długość jest równa długości danego łuku. Z uwagi na wąską klasę łuków dających się zrektyfikować, rektyfikacja łuku została rozszerzona do zagadnienia zbudowania przyrządu pozwalającego wykreślić taki odcinek

relacja (dwuczłonowa) : Jedno z pojęć pierwotnych logiki matematycznej, ejets własnością par przedmiotów i opisuje pewien stosunek zachodzący między nimi. Najważniejsze są relacje równoważnościowe i relacje porządkujące. Relacja jest równoważnościowa jeśli ma następujące własności:
1. dla każdego a aRa (zwrotność);
2. jeżeli aRb, to bRa (symetria);
3. jeżeli aRb i bRc, to aRc (przechodniość);
Np. równość i równoległość są relacjami równoważnościowymi. Relacja jest porządkująca , jeżeli ma następujące własności:
1. dla różnych a i b , jeżeli aRb to nie bRa (asymetria częściowa);
2. jeżeli aRb i bRc to aRc (przechodniość)

Riemann Georg Friedrich Bernhard (1826-1866) : Matematyk i fizyk niemiecki, studiował w Getyndze, gdzie słuchał wykładów Gaussa i Jacobiego, następnie sam był profesorem tego uniwersytetu. Podstawowe prace Riemanna dotyczą równań różniczkowych cząstkowych i teorii funkcji; Jest twórcą wielowymiarowej geometrii metrycznej zwanej geometrią Riemanna; która znalazła zastosowanie m.in w fizyce (A.Einstein zastosował geometrię Riemanna w swojej ogólnej teorii względności).Zajmował się również szeregami trygonometrycznymi.

Riesz Frigyes (1880-1956) : Matematyk węgierski , członek Węgierskiej Akademii Nauk profesor uniwersytetu w Kluż, Szeged i Budapeszcie; podstawowe jego prace dotyczą topologii i analizy funkcjonalnej.

rodzina linii : Zbiór krzywych posiadających wspólną własność ;równania przedstawiające te krzywe są zależne od jednego lub kliku parametrów.

rodzina powierzchni : Zbiór powierzchni posiadających wspólną własność;równania przedstawiające te powierzchnie zależą od jednego lub kilku (n) parametrów (rodzina powierzchni jedno- lub n - parametrowa).

Rolle Michel (1652-1719) : Matematyk francuski, od 1685 członek Akademii Nauk w Paryżu, podał metodę wyodrębniania pierwiastków równań algebraicznych (twierdzenie Rolle).Na początku XVIII wieku poddał krytyce rachunek różniczkowy Leibniza, wywołując tym ożywioną dyskusję

romb : Czworokąt o wszystkich bokach równych , szczególny przypadek równoległoboku. Przeciwległe boki rombu są równoległe, przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe; są one równocześnie dwusiecznymi kątów. Pole rombu S = 1/2(AC*BD) = a2 sinα , gdzie a = AB = BC = CD = AD. Szczególnym przypadkiem rombu jest kwadrat.

rozdzielność mnożenia względem dodawania : Własność zespołu działań w pewnych zbiorach elementów, któą wyraża wzó a(b+c) = abbb + ac (liczby rzeczywiste, pierścienie)

rozkład kanoniczny trójmianu kwadratowego : funkcja stopnia drugiego

rozkład normalny (rozkład Gaussa) : Rozkład prawdopodobieństwa charakterystyczny dla zjawisk stanowiących wypadkową mnóstwa drobnych niezależnych przyczyn losowych, typowy dla zagadnień przyrodniczych, pomiarowych, itp. Wykresem rozkładu normalnego jest tzw. krzywa Gaussa

rozkład Poissona : Rozkład prawdopodobieństwa charakterystyczny dla zmiennych losowych wyrażających krotność niezależnego pojawiania się elementarnego zdarzenia losowego w obserwowanych stałych przedziałach czasu.

rozkład prawdopodobieństwa : Funkcja przedstawiająca związek między wartościami zmiennej losowej a prawdopodobieństwem pojawienia się tych wartości.

rozkładnie liczb na czynniki pierwsze : największy wspólny dzielnik

rozkładanie na czynniki : Przedstawienie liczby lub wyrażenia algebraicznego w postaci iloczynu. Np. wyrażenie algebraiczne a2cb-abc2+ab2c można zastąpić iloczynem abc(a-c+b). Ogólnie: każdy wielomian Wn(x) stopnia trzeciego i wyższego daje się rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, przy czym czynniki te są rzeczywiste, jeżeli współczynnik wielomianu są rzeczywiste. Rozkład na czynniki odgrywa ważną rolę przy upraszczaniu wyrażeń algebraicznych.

rozwinięcie powierzchni : Rozcięcie wzdłuż pewnych linii wielościanu lub np. powierzchni walcowej, dzięki czemu powierzchnię tę możemy rozłożyć na płaszczyźnie. Rozwinięcie powierzchni na płaszczyźnie jest pewną figurą płaską zwaną również siatką powierzchni (wielościanu).

rozwijająca : ewolwenta

rozwinięta : ewoluta

równania niezależne : Równania z których żądne nie wynika z pozostałych. Np. równania x+y=1 oraz 2x-y=0 są równaniami niezależnymi, natomiast równania x-y=2 oraz 2x-2y=4 wynikają jedno z drugiego (mnożąc pierwsze stronami przez 2 otrzymujemy drugie, dzieląc drugie stronami przez 2 otrzymujemy pierwsze),nazywamy je równaniami zależnymi. Zależność i niezależność równań można interpretować w taki sposób: każde z równań dostarcza nam pewnych informacji o niewiadomych; równania niezależne dostarczają różnych informacji, równania zależne tych samych informacji, co najwyżej zanotowanych w inny sposób.

równania równoważne : Równania mające dokładnie te same rozwiązania. Np. x2-4=0 oraz (x-2)(x+2)=0 są równaniami równoważnymi, zaś x=2 oraz x2=4 nie są równaniami równoważnymi, ponieważ pierwsze z nich ma tylko jedno rozwiązanie x1 = 2, drugie zaś ma dwa rozwiązania x1 = 2 i x2 = -2. Jeżeli w celu rozwiązania równania przekształcamy je w ten sposób, że każda następna jego postać jest równaniem równoważnym względem poprzedniej (tzw. metoda równań równoważnych) to otrzymane rozwiązania spełniają równanie początkowe i każde z rozwiązań równania początkowego zawiera się wśród nich.

równania sprzeczne : Równania, które nie mogą być spełnione jednocześnie, np. x+2y=1 oraz 2x+4y=1 są równaniami sprzecznymi.

równania trygonometryczne : Równania(na ogół) algebraiczne względem funkcji trygonometrycznych. Stosując przekształcenia trygonometryczne rozwiązywanie równań trygonometrycznych sprowadzamy często do równań, w których po lewej stronie mamy funkcję trygonometryczną a po prawej wyraz wolny. Równania trygonometryczne można czasami sprowadzić do postaci, w której po jednej stronie jest iloczyn wyrażeń (funkcji trygonometrycznych),a po drugiej 0;wtedy każdy z czynników porównujemy do zera. W niektórych typach równań trygonometrycznych wprowadzenie niewiadomej pomocniczej prowadzi do równań wymiernych lub niewymiernych. Rozwiązując równania trygonometryczne należy pamiętać o założeniach dotyczących funkcji trygonometrycznych występujących w równaniu (np. przez zero dzielić nie wolno),stosując podstawienia i przekształcenia możemy otrzymać wartości kątów dla których równanie trygonometryczne nie jest określone, dlatego ważne jest sprawdzenie. Równań trygonometrycznych używamy czasem do rozwiązywania równań algebraicznych wyższych stopni.

równania zależne : równania niezależne

równanie : Równość dwóch wyrażeń np. algebraicznych,zawierających symbole literowe zwane niewiadomymi. Np. 2x+8=0 jest to równanie z jedną niewiadomą x , x2+y2=9 jest to równanie z dwoma niewiadomymi x i y , x+2y+z+2 = 0 jest to równanie z trzema niewiadomymi x, y i z itd. Równanie może stanowić przedmiot zagadnienia, które polega na wyznaczeniu rozwiązań tego równania, tzn. takich np. liczb , które po podstawieniu w miejsce niewiadomej spełniają dane równanie. Rozwiązać równanie znaczy zleźć wszystkie jego rozwiązania. Np. równanie 2x+6=0 posiada jedno rozwiązanie : x = -3, x2+5x+4 = 0 dwa rozwiązania x:1 =-4 i x2 = -1 .Równanie x+y=1 posiada nieskończenie wiele rozwiązań: x można przyjmować dowolni, zaś y = 1-x;równanie x2+y2 = 9 również ma nieskończenie wiele rozwiązań : x można przyjmować dowolnie w przedziale -3 ≤ 3, natomiast

lub

. Ostatnie dwa przykłady wskazują ,że równanie można wykorzystać do opisania kształtu krzywej przy użyciu współrzędnych (x+y=1 przedstawia prostą, x2+y2=9 okrą w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych), co ma znaczenie zasadnicze w geometrii analitycznej. Jeżeli równanie służy nam do opisywania krzywej, to nazywamy je równaniem krzywej, zaś niewiadome zmiennymi w tym równaniu. Równanie może także zawierać jako niewiadome funkcje (równanie funkcyjne, równanie różniczkowe)

równanie algebraiczne z jedną niewiadomą x : Równanie postaci anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 , an ≠ 0, przy czym a0,a1, ... , an są to dane współczynniki, zaś liczba naturalna n zwana jest stopniem równania. szczególnymi przypadkami równania algebraicznego są równania liniowe, równania kwadratowe, równania trzeciego stopnia oraz równania czwartego stopnia. Równanie algebraiczne stopnia n ≥ 1 posiada co najmniej jeden pierwiastek (rzeczywisty lub zespolony), co głosi tzw. twierdzenie podstawowe algebry, udowodnione po raz pierwszy przez Gaussa w 1799 roku. Równania algebraiczne do stopnia czwartego można rozwiązać algebraicznie tzn. można podać wzory wyrażające , w przypadku ogólnym, rozwiązanie tego równania w postaci wyrażeń utworzonych ze współczynników równania za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz pierwiastkowania. Równań algebraicznych stopnia n ≥ 5 nie można rozwiązać algebraicznie w przypadku ogólnym, co udowodnił Abel w 1824 roku. Dla pierwiastków równania algebraicznego dowolnego stopnia n ≥ 2 zachodzą następujące zależności:

zwane wzorami Viete`a, znane w przypadku n = 2 z kursu algebry elementarnej. Jeżeli współczynniki równania algebraicznego są liczbami całkowitymi, przy czym a0 ≠ 0 , to każdy pierwiastek całkowity (jeśli istnieje) jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0. Następujące twierdzenie ułatwia wyznaczanie pierwiastków wymiernych równania algebraicznego : jeżeli ułamek nieskracalny p/q, rożny od zera ,jest pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych to p jest dzielnikiem a0, zaś q jest dzielnikiem an. Równania algebraiczne stopnia n ≥ 3 rozwiązujemy w praktyce jedna z metod przybliżonych (np. metodą siecznych, metodą stycznych, metodą kolejnych przybliżeń)

równanie czwartego stopnia : Równanie postaci x4 + pxx3 + qxx2 + rx = s = 0 .Rozwiązanie równania czwartego stopnia sprowadza się do rozwiązania dwóch równań kwadratowych:
x2 +(p/2 + a)x + k + b = 0 oraz x2 +(p/2 - a)x + k - b = 0 , przy czym k jest jednym z rozwiązań równania trzeciego stopnia

zaś oraz b=kp-r/2a
Metodę rozwiązywania równań czwartego stopnia podał pierwszy Ferrari.

równanie drugiego stopnia : równanie kwadratowe

równanie dwukwadratowe : Równanie postaci x4 + ax2+b=0. Równania dwukwadratowe są szczególnym przypadkiem równania czwartego stopnia i sprowadza się za pomocą podstawienia y = x2 do równania kwadratowego y2+ay+b=0.

równanie dwumienne : Równanie postaci xn - a = 0 gdzie a jest liczbą daną. Jeżeli a > 0 to równanie dwumienne posiada pierwiastek dodatni

.W przypadku ogólnym pierwiastki równania dwumiennego położone są w płaszczyźnie liczb zespolonych,na okręgu o promieniu równym

i środku w początku układu ,będąc wierzchołkami foremnego n-kąta wpisanego w ten okrąg.

równanie funkcyjne : Równanie, w którym niewidomymi są funkcje lub zbiory funkcji. Np. równanie funkcyjne f(x) = f(-x) określa zbiór wszystkich funkcji parzystych, f(x+T) = f(x) zbiór wszystkich funkcji okresowych o okresie T. Do równań funkcyjnych zalicza się także równania różniczkowe.

równanie jednorodne względem występujących w nim niewiadomych x,y,.. : Równanie które jest równoważne równaniu powstałemu przez zastąpienie x,y,... przez kx,ky,..., gdzie k jest dowolną liczbą różną od zera. Z określenia równania jednorodnego widoczne jest ,że równanie algebraiczne jest jednorodne wtedy i tylko wtedy , gdy wszystkie jego wyrazy są tego samego stopnia względem występujących w równaniu niewiadomych

równanie krzywej : W prostokątnym układzie współrzędnych Oxy związek między odciętą x a rzędną y dowolnego punktu tej krzywej. Np y2 = 2px jest równaniem paraboli, b2x2+a2y2-a2b2 = 0 równaniem elipsy. Niekiedy wygodnie jest przedstawić krzywą za pomocą równań parametrycznych (np. z = a cos t , y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π przedstawiają elipsę jak wyżej) lub przy użyciu współrzędnych biegunowych r, φ (lemniskata Bernoulliego)

równanie kwadratowe : Równanie postaci ax2+bx+c=0, a ≠ 0, a,b,c rzeczywiste,a więc równanie algebraiczne drugiego stopnia. Jeżeli wyróżnik Δ=b2-4ac jest dodatni, to równanie kwadratowe ma dwa (różne) pierwiastki rzeczywiste:
x1 = -b-√Δ / 2a , x2 = -b+√Δ / 2a . Jeżeli Δ = 0 to równanie kwadratowe ma pierwiastek podwójny (pierwiastki wielokrotne równania) ,x0 = -b/2a. Jeżeli wreszcie Δ < 0 to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki zespolone :
x1 = -b-i√-Δ / 2a , x2 = -b+i√-Δ / 2a , które są liczbami sprzężonym względem siebie , gdy współczynniki równania kwadratowego są rzeczywiste. Pierwiastki równania kwadratowego spełniają związki x1 +x2x1 * x2 = c/a (tzw. wzory Viete`a)

równanie liniowe : Równanie postaci ax+b=0 (z jedną niewiadomą x), ax+by+c = 0(z dwoma niewiadomymi x i y), ax+by+cz+d = 0 (z trzema niewiadomymi x,y,z) itd. przy czym a,b,ci d są to liczby dane. Równanie liniowe ax+b=0 (a ≠ 0), będące równaniem algebraicznym pierwszego stopnia, posiada dokładnie jedno rozwiązanie x1 = -b/a. Obrazem geometrycznym równania liniowego ax+by+c= 0 (a2 + b2 > 0) w układzie współrzędnych Oxy jest linia prosta, obrazem równania ax+by+cz+d = 0 (a2+b2+c2 > 0), w układzie współrzędnych Oxyz jest płaszczyzna.

równanie logarytmiczne : Równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem logarytmu np. log2(2z+1) = 1. Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych sprowadzamy je zwykle do równania algebraicznego, posługując się w tym celu określeniem logarytmu oraz twierdzeniami, które dotyczą własności logarytmów.

równanie niewymierne (równanie pierwiastkowe) : Równanie, w którym niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka, np. √x + x =6. Rozwiązując równanie niewymierne przekształcamy je zwykle na równanie algebraiczne , podnosząc stronami do odpowiedniej potęgi. W celu rozwiązania równania niewymiernego √x+x=6, które można zapisać w postaci √x = 6-x, podnosimy je stronami do kwadratu x = (6-x)2, co prowadzi do równania kwadratowego x2-13+36=0. Jego pierwiastkami są x1 = 4 oraz x2 = 9. Nie możemy jednak twierdzić ,że liczby 4 i 9 są rozwiązaniami danego równania niewymiernego, lecz jedynie mogą być nimi [każde rozwiązanie równania √x + x =6 spełnia równanie x=(6-x)2, a w konsekwencji x2-13x+36=0].Z tego względu należy kolejno sprawdzić ,czy i która z liczb 4 i 9 spełnia dane równanie niewymierne √x + x =6; okazuje się ,że liczba 4 spełnia dane równanie (√4 + 4 =6),natomiast liczba 9 nie spełnia go (jest tzw. pierwiastkiem obcym). Powyższa metoda rozwiązywania równań niewymiernych nosi nazwę analizy starożytnych w metodzie tej sprawdzenie stanowi integralną część rozwiązywania i nie może być pominięte. Może się zdarzyć ,że każde z rozwiązań równania algebraicznego , do którego przekształciliśmy dane równanie niewymierne jest pierwiastkiem obcym (równanie niewymierne nie ma w ogóle pierwiastka), a także że żadne z nich nie jest pierwiastkiem obcym. Równania niewymierne można także rozwiązać metodą równań równoważnych np. równanie niewymierne √x =6 - x jest równoważne równaniu x2-13x+36=0, z warunkiem 6-x ≥ 0, a więc z dwóch rozwiązań x1 = 4 i x2 = 9 otrzymanego równania kwadratowego, rozwiązaniem równania niewymiernego √x = 6 - x jest tylko liczba x1 = 4, jako spełniająca warunek 6-x1 ≥ 0 .a oto inne rozwiązanie równania √x=6-x. Podstawiamy y = √x, co daje równanie y2+y-6=0 (warunek y ≥ 0) o rozwiązaniach y1 = 2 i y2 = -3; warunek spełnia tylko pierwsze rozwiązanie , skąd mamy x = 4.

równanie przestępne : Równanie w którym niewiadoma występuje pod symbolem funkcji przestępnej. Do równania przestępnego należą m.in równania logarytmiczne, równania wykładnicze i równania trygonometryczne.

równanie różniczkowe : Równanie w którym występuje pochodna funkcji niewiadomej np. y′ = y jest równaniem różniczkowym, w którym niewiadomą jest funkcja y =f(x) równa swej pochodnej (jest nią y = Cex, C -dowolna stała).Rozwiązać równanie różniczkowe znaczy znaleźć wszystkie funkcje spełniające to równanie (tzw. rozwiązanie ogólne lub całka ogólna) lub też wyznaczyć funkcję spełniającą równanie i pewne dodatkowe warunki (tzw. rozwiązanie szczególne lub całka szczególna).Rzędem równania różniczkowego nazywamy najwyższy z rzędów pochodnych występujących w tym równaniu. Np .y′ = y jest równaniem różniczkowym rzędu pierwszego, y′′ + ω2y = 0 - rzędu drugiego. W zagadnieniach natury fizycznej znajomość podstawowych praw przyrody pozwala często na ułożenie równania różniczkowego, jakie winna spełniać funkcja niewiadoma i ustalenie dodatkowych warunków (zwanych początkowymi lub brzegowymi w zależności od ich fizycznej treści), co sprowadza problem wyznaczenia tej funkcji do rozwiązania równania różniczkowego.

równanie trzeciego stopnia : Równanie postaci x3+a2x2+a1x + a0 = 0. Równania trzeciego stopnia można sprowadzić do tzw. postaci kanonicznej ya3+py+q = 0, wprowadzając nową niewiadomą y x- (a2/3). Równanie trzeciego stopnia było przedmiotem badań licznych matematyków XVI wieku, co doprowadziło do znalezienie jego rozwiązania algebraicznego. Gdy współczynniki p i q są rzeczywiste i jeżeli tzw. wyróżnik równania trzeciego stopnia D = (q/2)2 + (p/3)3)jest dodatni, to równanie posiada jedne pierwiastek rzeczywisty i dwa pierwiastki zespolone sprzężone

gdzie

.
Wzory powyższe ,znalezione przez Tartaglię w 1535, a podane drukiem przez Cardana w dziel Ars magna (1545), nazywamy dziś wzorami Cardana. Jeżeli D = 0, to równanie trzeciego stopnia posiada jeden pierwiastek rzeczywisty pojedynczy i jeen podwójny :

gdy q ≠ 0 (wobec D = 0 jest wówczas p < 0), lub jeden pierwiastek rzeczywisty potrójny y1 = y2 = y3 = 0 , gdy p = q = 0 .W przypadku D < 0 równanie trzeciego stopnia posiada trzy różne pierwiastki rzeczywiste jednakże rozwiązanie algebraiczne ,jakie się tu uzyskuje jest praktycznie niewygodne , gdyż zawiera pierwiastkowanie liczb zespolonych i nie daje się na drodze algebraicznej sprowadzić do działań arytmetycznych i pierwiastkowania liczb rzeczywistych (tzw. casus irreducibilis - przypadek nieprzewidywalny, badany szczegółowo przez Bombellego w 1572). Trzy pierwiastki rzeczywiste można otrzymać w tym przypadku ze wzoru

, (k=0,1,2) gdzie φ (0 ≤ φ ≤ π) wyznaczmy z warunku

(wobec D < 0, jest p < 0 )

równanie wykładnicze : Równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi, np 2x + 4x =1. Równania wykładnicze staramy się zwykle sprowadzić do równania algebraicznego, dobierając stosownie pomocniczą niewiadomą. Np. równanie wykładnicze 2*81x -10*9x+3 = 0 sprowadzamy za pomocą podstawienia y = 9x do równania kwadratowego 3y2-10y+3=0, skąd y1 = 1/3, y2 =3, a następnie x1 = -1/2, x2 = 1/2. Przy rozwiązywaniu równań wymiernych korzystamy również z twierdzenia : jeżeli ax = ay przy czym a ≠ 0 oraz a ≠ 1 to x = y.

równanie zwrotne : Równanie algebraiczne anxn + an-1xn-1+ ... + a1x + a0 = 0, w którym an = a0, an-1 = a1,an-2 = a2. Równanie zwrotne stopnia n = 2k (a0 ≠ 0)można sprowadzić do równania stopnia k za pomocą podstawienia z = x+1/x.

równoległobok : Czworokąt , którego przeciwległe boki są równoległe. W równoległoboku kąty i boki przeciwległe są równe; suma kolejnych kątów jest kątem półpełnym. Szczególnym przypadkiem równoległoboku są romb i prostokąt.

równoległościan : Wielościan, którego wszystkie ściany są równoległobokami. Równoległościan jet graniastosłupem. Objętość równoległościanu V=Bh, gdzie B jest polem podstawy a h wysokością równoległościanu. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i dzielą się na połowy.

równoleżnik : powierzchnia obrotowa

równość : Podstawowa relacja dwuczłonowa, oznaczona symbolem "=". a = b oznacza ,że a i b to ten sam obiekt, np. 0,5 = 1/2. Równość posiada następujące własności :
1. a=a; 2.jeżeli a = b , to b = a; 3. jeżeli a = b i b = c, to a = c. równość jest relacją równoważnościową.

równość przybliżona dwóch wartości : Relacja oznaczona symbolem ≈.Np. π ≈ 3.1415

różnica : odejmowanie

różnica kwadratów : Wyrażenie postaci a2 - b2. Różnicę kwadratów można przestawić jako iloczyn sumy i różnicy : a2 - b2 = (a+b)(a-b)

różnica postępu arytmetycznego : postęp arytmetyczny

różnica sześcianów : Wyrażenie postaci aa3 - b3. Różnicę sześcianów można przedstawić następująco: a3 - b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

różnica zbiorów A i B : Zbiór ułożony z tych wszystkich elementów zbioru A, które nie należą do zbioru B. Różnicę zbiorów A i B oznaczamy symbolem A - B. Np. różnica zbiorów liczb naturalnych i zbioru liczb parzystych jest zbiorem liczb nieparzystych. Jeśli zbiór A jest podzbiorem zbioru B, to A-B jest zbiorem pustym

różniczka dy (lub df) funkcji y=f(x) w punkcie x0 : Iloczyn pochodnej f′(x0) przez dowolny przyrost zmiennej niezależnej x oznaczany symboel dx : dy = f&prime(x0)dx. Różniczka zależy więc od x0 oraz od dx. Różniczka przedstawia liniową część przyrostu Δy funkcji, tzn tę część przyrostu która ,która jest proporcjonalna do dx. Jeśli f′(x) jest ciągła i różna od zera w pewnym otoczeniu x0, to różnica Δy-dy jest dla dx -> 0 wielkością nieskończenie małą wyższego rzędu niżdy, co uzasadnia wzór przybliżony Δy ≈dy dla dostatecznie małych dx.

rugowanie : eliminacja

Russel Bertrand Arthur William (1872-1970) : Matematyk, filozof i socjolog angielski. Prace Russela odegrały istotną rolę w rozwoju filozofii matematyki i logiki matematycznej. Wraz z A.N.. Whiteheadem napisał trzytomowe dzieło "Principia Mathematica (Podstawy Matematyki)" . Zajmował się również problemami paradoksów. W 1950 roku otrzymał nagrodę Nobla.

Ruziewicz Stanisław (1889-1941) : Matematyk polski, profesor uniwersytetu i politechniki we Lwowie, autor prac z algebry i teorii liczb. Zginął zamordowany przez hitlerowców.

Ryll-Nardzweski Czesław (1926) : Matematyk polski, profesor Uniwersytetu Wrocławskiego,członek PAN, autor prac z logiki matematycznej, podstaw matematyki, rachunku prawdopodobieństwa, funkcji rzeczywistych.

rzut : Przyporządkowanie figurom geometrycznym innych figur geometrycznych na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Punkt lub figurę geometryczną możemy odwzorować (rzutować) na prostą, krzywą, płaszczyznę lub dowolną powierzchnię, które nazywamy rzutniami (płaszczyznę nam którą rzutujemy, nazywamy również płaszczyzną rzutów)>Obrazem punktu M albo rzutu punktu M na rzutnię nazywamy punkt N przecięcia rzutni z prostą przechodzącą przez punkt M i pewien ustalony punkt S zwany środkiem rzutu (taki rzut nazywamy środkowym lub perspektywicznym).Zbiór wszystkich punktów , które są rzutami punktów figury geometrycznej,, nazywamy rzutem tej figury. Rzut środkowy ma duże zastosowanie w malarstwie (perspektywa malarska). Praktycznie ważny jest przypadek , kiedy środek rzutu jest punktem w nieskończoności (nieskończenie daleko oddalony). Wszystkie proste przechodzące przez punkty figury i wyznaczające rzut na rzutni są wtedy równoległe; rzut taki nazywamy równoległym (przez wszystkie punkty figury prowadzimy proste równoległe aż do przecięcia się z rzutnią). Jeżeli te proste wyznaczające rzut są prostopadłe do rzutni, to rzut nazywamy rzutem prostokątnym (z każdego punktu figury prowadzimy prostopadłe do rzutni); w przeciwnym wypadku rzut nazywamy ukośnym. Często rzutujemy figurę na trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny, otrzymując widok z przodu, z góry i z boku. Geometria wykreślna posługuje się również rzutem środkowym i równoległym, a zwłaszcza rzutem prostokątnym. Istnieją również inne rzuty, np. rzut kartograficzny (odwzorowanie powierzchni kuli ziemskiej lub jej części na płaszczyźnie w myśl pewnych reguł matematycznych), rzut krystalograficzny, rzut poziomy, rzut stereograficzny i in.