Teoria Fouriera

CZĘŚĆ I : Wprowadzenie

Teoria Fouriera jest gałęzią matematyki wymyśloną, aby rozwiązać pewne problemy w równań różniczkowych cząstkowych. Najbardziej znanym z tych równań są:
* Równanie Laplace′a : ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂2 = 0 , dla u(x,y) funkcji dwóch zmiennych
* Równanie fali : ∂2u/∂t2 - c2⋅∂2u/∂x2 = 0 dla u(x,t) funkcji dwóch zmiennych
* Równanie ciepła : ∂u/∂t - κ⋅∂2/∂x2 = 0 dla u(x,t) funkcji dwóch zmiennych
W równaniu ciepłą x przedstawia pozycję wzdłuż paska mierzoną od pewnego początku, t oznacza czas, u(x,t) temperaturę na pozycji x w czasie t. Fourier początkowo związał się z równaniem ciepła. Nawiasem mówiąc to równanie opisuje stężenie barwnika dyfuzji w cieczach takich jak woda. Z tego powodu, równanie to nazywa się równaniem dyfuzji. W równaniu fali, x przedstawia pozycję wzdłuż elastycznego łańcucha pod napięciem, mierzoną od pewnego początku, t przedstawia czas, u(x,t) przesunięcie łańcucha od równowagi przy pozycji x w czasie t. W równaniu Laplace′a, u(x,y) przedstawia stałą temperaturę na płaskiej przewodzącej płaszczyźnie na pozycji (x,y) na płaszczyźnie .Ponieważ równanie ciepła i równanie fali odnoszą się do pojedynczej zmiennej przestrzeni x, czasami odnosimy się do nich, odpowiednio jako jednowymiarowego równania ciepłą i jednowymiarowego równania fali. Równanie Laplace′a zawiera dwie zmienne przestrzenne i dlatego jest czasami nazywane dwuwymiarowym równaniem laplace′owskim. Równanie Laplace′a jest podłączone do teorii funkcji analitycznych zmiennych zespolonych. Jeśli f(z) - u(x,y) + iv(x,y), części rzeczywista i urojona u(x,y) ,v(x,y) spełniają równania Cauchy′ego - Riemanna:
∂u/&partx = ∂v/∂y , ∂y/∂y = - ∂v/∂x2u/∂x2 = ∂2v/∂x∂y = - ∂2u/∂y2
lub
2u/∂x2 + ∂2u/∂y = 0
Podobnie
2v/∂x2 + ∂2v/∂y2 = 0
Przewodzenie ciepła i rozchodzenie się fal zwykle występuje w przestrzeni trójwymiarowej i są opisane przez następujące wersje równania Lapalce′a, równanie ciepła i równanie fal:
2u/∂x2 + ∂2y/∂u2 + ∂2u/∂z2 = 0
∂u/∂t - κ(∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2) = 0
2u/∂t2 - c2⋅(∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2) = 0

CZĘŚĆ II : Liniowe operatory różniczkowe

Wszystkie powyższe częściowe równania różniczkowe można zapisać w postaci
L[u] = F
gdzie
L[u] = ∇2u = ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2 w równaniu Laplace′a
L[u] = ∂u/∂t - κ(∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2) = ∂u/∂t - κ∇2 w równaniu ciepła
i
L[u] = ∂2u/∂t2 - c2 (∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2) = ∂2u/∂t2 - c22u w równaniu ciepła
L[u] jest w każdym przypadku, liniowym operatorem różniczki cząstkowej. Liniowość oznacza ,że dla dowolnych funkcji u1, u2 i dwóch stałych c1, c2
L[c1u1 + ... + cnun] = c1L[u1] + c2L[u2].
Innymi słowy, L jest liniowe jeśli zachowuje kombinacje liniowe u1, u2/ Tą definicję uogólniamy do
L[c1u1 + ... + cnun] = c1L[u1] + ... + cnL[un]
dla dowolnej funkcji u1,...un i stałych c1,..,cn
Niech u(x1,x2,...,xn) będą funkcjami n zmiennych χ = (x1,x2,...,xn).Wtedy najbardziej ogólny operator liniowy cząstkowej różniczki jest w postaci :


gdzie aij(χ),bj(χ),c(χ) są danymi współczynnikami. Najwyższy rząd pochodnej cząstkowej jest stopniem operatora cząstkowej różniczki. Odtąd będziemy rozpatrywać tylko operator różniczki cząstkowej drugiego rzędu postaci


Ogólna równanie liniowej różniczki cząstkowej drugiego rzędu jest postaci :
L[u] = F(χ)
gdzie F(χ) jest podaną funkcją. Kiedy F(χ) ≡ 0 , Równanie L[u] = 0 jest nazywane jednorodnym. Jeśli F(χ) ≠ 0, równanie L[u] = F(χ) jest nazywane niejednorodnym. Liniowość L ma zasadnicze znaczenie dla sukcesu metody Fouriera. Jest zazwyczaj (nieskończenie) wiele rozwiązań liniowych równań różniczkowych cząstkowych. Liczba rozwiązań może być ograniczona przez dodatkowe warunki. Często te dodatkowe warunki są podane przez równania liniowe zawierające u i ich pochodne na granicy pewnego regionu Ω ⊂ Rn. Te równania są zapisywane jako warunki brzegowe
B[u9χ)] = Φ(χ)
gdzie B jest operatorem cząstkowej różniczki zdefiniowanej na graniczy ∂Ω regionu Ω. Jako przykład nich u(χ,t) będzie temperaturą przy x ∈ Ω , w czasie t. Wtedy u spełnia równanie ciepła
∂u/∂t-κ∇2u = 0 , x ∈ Ω , t > 0
Załóżmy ,że temperatura na granicy utrzymuje się przy danej temperaturze Φ, wtedy
u(x,t) = Φ(x,t), x ∈ ∂Ω t > 0
Również temperatura ciała jest dana przez
u(x,0)=f(x), x ∈Ω
Załóżmy ,że u1,...,uk spełnia liniowe równanie różniczkowe cząstkowe
L[uj] = Fj, j = 1,....,k
i warunek brzegowy
B[uj] = Φj , j = 1,...,k,
wtedy liniowa kombinacja u =c1u1 + ... + ukuk spełnia liniowe równanie cząstkowe różniczkowe
L[u] = c1F1 + ... + ckFk
i warunek brzegowy
B[u] = c1Φ1 + ... + ckΦk
Do tego wyniku odnosimy się jako zasady superpozycji i ma ogromne znaczenie dla metody Fouriera. To pokazuje ,że przez liniowe kombinacje rozwiązań powiązanych liniowych równań różniczkowych cząstkowych, inne rozwiązania mogą być konstruowane dla źródłowych i granicznych warunków F,Φ które są liniowymi kombinacjami prostszych warunków.

CZĘŚĆ III : Separacja zmiennych

Przykład 1 Rozważmy ciepło pręta przewodzącego o długości l, izolowany na całej swej długości, tal aby ciepło mogło przepływać tylko wzdłuż pręta. Temperatura u(x,t) wzdłuż pręta, spełnia równanie ciepła
ut - κuxx = 0, 0 < x < l , t > 0
i warunki brzegowe
u(0,t) = 0, u(l,t) = 0 t > 0
Niech temperatura wzdłuż pręta przy t = 0 będzie dana przez
u(x,0) = f(x) , 0 < x < l
Załóżmy rozwiązanie w postaci
u(x,t) = X(x)T(t)
Takie rozwiązanie jest nazywane rozwiązaniem separacji zmiennych. Zastępując w równaniu ciepła
X(x)T(t) = κX″(x)T(t)
Dzielenie przez κX(x)T(t) prowadzi do
T′(t)/κT(t) = X″(x)/X(x)
Ponieważ zmienne x,t pojawiają się w oddzielnych stronach równania, każda strona tego równania może być tylko równe stałej, powiedzmy λ Wtedy
T′ = κλT i X″ = λX
Są to stałe współczynniki równań różniczkowych zwyczajnych. λ jest rzeczywista ,ale może być dodatni, ujemna lub zerowa. Załóżmy na chwilę ,że λ > 0. Rozwiązaniami są
T(t) = Ceκλt , X(x) = Aex√λ + Be-x√λ
dla stałych A,B,C. Wtedy u(x,t) = X(x)T(t) spełnia u(0,t) = 0, u(l,t) = 0 t > 0, jeśli i tylko jeśli X(0) = 0, X(l) = 0. Jest to
0 = X(0) = A + B
0 = X(l) = Ael√λ + Be-l√λ
Eliminacja A,B prowadzi do warunku
el√λ - e-l√λ = 0
lub
sinh (l√λ) = 0
Nie ma wartości λ > 0 które spełniają ten warunek. Więc λ nie może być dodatnia. Załóżmy że λ < 0 i niech λ = -μ2 dla pewnego rzeczywistego μ. Wtedy √λ = iμ a zatem μ spełnia
eiμl - e-iμl = 0
lub
sin (μl) = 0
Ma to rozwiązanie μl = nπ = ±1,±2,..., a zatem μn = nπ/l, n = ±1,±2,...


Dla λ = 0
T′ = 0 i X″ = 0
lub
T(t) = C a X(x) A +Bx
Warunki brzegowe u(0,t), u(l,t) = 0 , t > 0, są spełnione jeśli i tylko jeśli X(0) = 0, X(l) = 0. To znaczy
0 = X(0) = A, 0 = X(l) = Bl
lub
A = B = 0
Dlatego nietrywialne rozwiązania równania ciepła
ut - κuxx = 0, 0 < x < l , t > 0
spełniają warunki graniczne
u(0,t) = 0, u(l,t) = 0 , t > 0


Przez superpozycję


również spełniają równanie ciepła i warunki brzegowe. Dla warunków początkowych będzie spełnione


To musi wykazać ,że f(x) może być przedstawiona jako szereg rozwinięć sinusów. Skoncentrujemy się na tych funkcjach f(x) które mają tą właściwość. Rozwinięcie szeregu takie jak


jest nazywane rozwinięciem szeregu Fouriera
Przykład 2 Załóżmy ,że przewód przewodzący jest izolowany na każdym końcu, temperatura u(x,t) spełnia to samo równanie ciepła i początkowy warunek ale z innymi warunkami granicznymi
ux(0,t)=0, ux(l,t)=0 , t > 0
Separacja zmiennych u(x,t) = X(x)T(t) w tym równaniu ciepła prowadzi do tych samych równań różniczkowych zwykłych
T′κλT i X″=λX
i zakładamy w danej chwili ,że λ > 0 rozwiązanie
T(t)= Ceκλt, X(x) =Aex√λ + Be-x√λ
Warunki brzegowe są spełnione jeśli i tylko jeśli
0 = X′(0), 0 =X′(l)
To znaczy
0 = √λ(A-B), 0 = √λ(Ael√λ - Be-l√λ)
Eliminacja A ,B ponownie prowadzi do warunku λ ≠ 0;
el√λ - e-l√λ = 0
lub sinh (l√λ) = 0. Nie ma żadnych wartości λ > 0 które spełniają ten warunek. Więc λ nie może być dodatnia. Załóżmy ,że λ < 0 i niecj λ = -μ2 dla pewnego rzeczywistego μ Wtedy √λ = iμ a zatem μ spełnia
eiμl - e-iμl
lub
sin (μl) = 0
Mamy rozwiązanie μnl = nπ, n = ±1,±2,..., zatem μn = nπ/l , n = ±1,±2,...,
λn = -μn2 = -(nπ/l)2, n = 1,2,...,


Jeśli λ = 0, T(t) = C, a X(x) = A + Bx. Warunki brzegowe u(0,t)=0,u(l,t) = 0, t > 0 ,jeśli i tylko jeśli X′(0) = 0, X′(l) = 0. To znaczy
0 = X′(0) = B, 0 = X′(l)
lub
X(x) = A0, T(t) = C0
Dlatego też rozwiązania nietrywialne równania ciepła
ut - κuxx , 0 < x < l ,t > 0
spełniają warunki brzegowe
ux(0,t) = 0, ux(l,t) = 0 , t > 0


Przez superpozycję


również spełniają równanie ciepła i warunki brzegowe. Dla warunku początkowego będzie spełnione


jest również nazywane rozwinięciem szeregu Fouriera

CZĘŚĆ IV : Szereg Fouriera

Funkcja f(x), f:R → R jest nazywana okresową jeśli f(x + P) = f(x) dla wszystkich x ∈ R. P > 0 jest nazywane okresem f. Załóżmy ,że f(x) jest okresowa z okresem 2π, wtedy ważnym pytaniem jest czy f(x) ma rozwinięcie szeregu Fouriera w postaci


Stały wyraz jest brany jako a0 / 2 dla wygody. Wzory
eix = cos x + i sin x, e-ix = cos x - i sin x
mogą być użyte do zapisania rozwinięcia szeregu Fouriera jako


gdzie współczynnikami są
cn = an - ibn / 2 , c-n = an + ibn / 2 , n = 1,2,..., c0 = a0 / 2,
Zakładając przez chwile ,że funkcja okresowa 2π ma rozwinięcie szeregu Fouriera, współczynnik Fouriera cn będzie określony przez zastosowanie następującej właściwości ortogonalnej wykładnika zespolonego einx, n = 0,±1,±2,...,
Lemat


Dowód Dla n ≠ m



które są współczynnikami Fouriera f(x)
Ponieważ
cn = an - ibn / 2 , c-n = an + ibn / 2 , n = 1,2,..., c0 = a0 / 2,
współczynniki Fouriera cosinusa i sinusa są dane przez


Albo rozwinięcie


jest nazywany rozwinięciem szeregu Fouriera f(x).Pierwsze, w postaci wykładniczej a po drugie w postaci trygonometrycznej. Zauważmy ,że jeśli f(x) jest parzystym okresem funkcji tj. f(-x) = f(x) dla wszystkich x, wtedy


Zatem, rozwinięcie szeregu Fouriera parzystej funkcji f(x) ma tylko wyrazy cosinusa


Co więcej, współczynniki an


Podobnie jeśli f(x) jest nieparzystą funkcją okresową f(-x) = -f(x) , wtedy


Zatem rozwinięcie szeregu Fouriera funkcji nieparzystej f(x) ma tylko wyrazy sinusa


a współczynnik to


Warto zauważyć ,że dla okresowych funkcji f(x), stały wyraz szeregu Fouriera


jest średnią wartością f(x) przy okresie, -π < x < π
Przykład (a) Niech f(x) będzie okresowa z okresem 2π


Nazywa się to funkcją prostokątną. Jest to oczywiście funkcja nieparzysta, zatem współczynnik cosinusa Fouriera an, wszystkie są zerami i


Dlatego też b2n = 0, b2n-2 = 4/(2n-1)π , n = 1,2,... . Szereg Fouriera f(x) to


(b) Niech f(x) będzie okresowa w okresem 2π, f(x) = |sin x| , -π < x < π



f(x) jest parzystą funkcją okresową, zatem bn = 0 dla wszystkich n


Dlatego też a,sub>2n = - 4/((2n)2 -1)π , a2n-1 = 0 a szereg Fouriera f(x) to



CZĘŚĆ V : Nierówność Bessela

Twierdzenie Niech f będzie okresowa 2π i całkowana Riemannem przy [-π ,&pi] .Wtedy


Dowód Używając dla zespolonego z


Dzieląc przez 2π i całkując przez [-π, π]


N → ∞ prowadzi do wyniku
Nierówność Bessela później będzie pokazana w rzeczywistości jako równość ale teraz implikuje ,że szereg


jest zbieżny, gdzie cn są współczynnikami Fouriera funkcji całkującej f Riemanna. Używając równań
cn = an -ibn/2 , c-n = an + ibn/2 , n = 1,2,..., c0 = a0/2
Nierówność Bessla może być zapisana jako


To implikuje ,że szeregi


również są zbieżne , gdzie an, bn, są współczynnikami cosinusa i sinusa f Fouriera

CZĘŚĆ VI : Konwergencja wyników dla szeregów Fouriera

Rozważmy pytanie: Dla jakich funkcji f szeregi Fouriera


są zbieżne?
Ponieważ zajmujemy się funkcjami, pojęcie konwergencji muszą być wyjaśnione precyzyjniej. Czy oznaczamy szeregi numeryczne jako zbieżne przy każdym x ∈ [-π, π]? Czy konwergencja może być różna przy różnych punktach x,czy rzeczywiście możemy mieć konwergencje w niektórych punktach a nie innych, a jeśli tak., jakie to są punkty zbieżne? Czy możemy mieć jakiś rodzaj średniej konwergencji na [-π, π]?. Funkcja f jest nazywana kawałkami ciągłą w przedziale [a,b] jeśli jest ciągła gdziekolwiek, z wyjątkiem skończenie wielu punktów x1,x2,...,xk ∈ [a,b] i istniej lewostronna i prawostronna granica f przy każdym z tych punktów x1,x2,..,xk . Zbiór wszystkich funkcji kawałkami ciągłych w [a,b] jest oznaczony przez PC[a,b]. f jest nazywana kawałkami gładką jeśli f i jesj pochodna f′ są kawałkami ciągłe w [a,b]. Rozważmy sumę częściową N zespolonego szeregu Fouriera f


Definiujemy .
Wtedy


[Ostatnie równość wynika ze zmiany zmiennej i okresowości funkcji podcałkowej DN(x-y)f(y)]. Funkcja DN(x) jest nazywana jądrem Dirichleta i


Pytanie o konwergencję szeregów Fouriera redukuje się do pytania : Czy SNf(x) jest zbieżne przy N → ∞ dla x ∈ [-π, π]? jeśli tak , to jak jest zbieżne?
Udowodnijmy podstawowe wyniki
Lemat


Dowód


Z parzystości DN(x) i całkowania


Twierdzenie Niech f będzie kawałkami gładką funkcją cykliczną 2π w R. Wtedy


dla każdego x .Zatem dla każdego punktu x ciągłości f
Dowód



Dla stałego x definiujemy


która jest nieparzystą funkcją kawałkami ciągłą dla [-π, π] przez warunek kawałków gładkości na f .Wtedy


Ostatnie dwa wyrazy są współczynnikami sinusa i cosinusa BN, AN z 1/2⋅cos(y/2) g(y), 1/2⋅sin(y/2) g(y), odpowiednio. Z nierówności Bessela, BN, AN → 0 jeśli N →. Dlatego też
SNf 1/2[f(x-) + f(x+)] = BN + AN → 0 , jeśli N → ∞
Ten wynik , że sumy cząstkowe szeregu Fouriera funkcji kawałkami gładkich okresowych 2π jest zbieżny punktowo do średnie z lewej i prawej strony granicy przy x. Jeśli x jest punktem ciągłości f, wtedy sumy częściowe są zbieżne punktowo do f(x). Szeregi Fouriera dostarcza przydatnych metod dla sumowania pewnych szeregów numerycznych.
Przykład/ Szereg Fouriera funkcji ciągłej okresowej f(x) = |sin x| , x ∈ [-π , &pi] to


Ponieważ x = 0 jest punktem ciągłości f, szereg Fouriera jest zbieżny przy x = 0 do f(0) = 0


lub


Przy x = π/2, szereg Fouriera jest zbieżny do


CZĘŚĆ VII : Różniczkowanie i całkowanie szeregu Fouriera

Szereg Fouriera może być różniczkowany wy7raz po wyrazie, ale pytanie brzmi, czy szereg wynikowy jest zbieżny a jeśli tak to do czego? Podobne obawy mają zastosowanie do szeregu wynikowego z całkowania wyraz po wyrazie szeregu Fouriera.
Twierdzenie Niech an,bn,cn będą współczynnikami Fouriera z funkcji okresowej 2π kawałkami gładkiej f a a′n,b′n,c′n współczynnikami Fouriera z f′. Wtedy
a′n = nbn, b′n = -nan, c′n = incn
Dowód Przez całkowanie części


Podobny sposób działa dla a′n = nbn , b′n = -nan
Twierdzenie Niech f będzie funkcją 2π okresową, kawałkami gładką, z kawałkami gładką pochodną f′. Wtedy szereg Fouriera z f′ to


i jest zbieżny dla każdego x gdzie istnieje f′(x). Jeśli f′ nie jest ciągła przy x, wtedy szereg powyższy zbiega się do 1/2[f′(x-) + f′(x+)]
Dowód ten wynik wynika z połączenia poprzednich dwóch
Całkowanie szeregu Fouriera nie jest proste ponieważ funkcja pierwotna funkcji okresowej nie musi być okresowa. Na przykład f(x) = 1 jest okresowa ale jej funkcja pierwotna F(x) = x nie jest. Jednakże stały wyraz szeregu Fouriera ma okresową funkcję pierwotną, poniższy wynik jest prawdziwy.
Twierdzenie Niech f będzie 2π okresową, kawałkami ciągłą ze współczynnikami Fouriera an,bn,cn i niech


Jeśli c0 = 1/2⋅a0 = 0, wtedy dla wszystkich x


gdzie


jest średnią wartością F na [-π , π]. Jeśli c0 ≠ 0, wtedy powyższy szereg jest zbieżny do F(x) - c0x.
Dowód Ponieważ f(x) jest kawałkami ciągła, jest ciągła . Jeśli c0 = 0, F(x) jest okresowa 2π ponieważ


Dlatego też, szereg Fouriera jest zbieżny kawałkami przy każdym x ∈ [-π , π] do F(x). Ponieważ f(x) = F′(x), z dwóch poprzednich twierdzeń
an = nBn , bn = -nAn , cn - inCn
gdzie an, bn, cn są współczynnikami Fouriera z f a An, Bn, Cn są współczynnikami Fouriera z F. Jeśli n ≠ 0 implikuje to ,że
An = - bn/n , Bn = an/n , Cn = cn/in
Stała


jest stałym wyrazem w szeregu Fouriera


Jeśli c0 ≠ 0, f(x) -c0 ma zerową średnią wartość w [-π , π] i dlatego ma zerowy współczynnik Fouriera


Zastosowanie wynik uzyskany dla f(x)-c0 i jej funkcji pierwotnej F(x)-c0c kończy to twierdzenie. Różniczkowanie i całkowanie znanego szeregu Fouriera używając powyższych wyników jest przydatnym sposobem dla uzyskania nowego szeregu Fouriera
Przykład Funkcja okresowa 2π f:R→R, f(x) = x(π -|x|), x ∈ [-π,π] jest ciągła z kawałkami gładką pochodną. Dlatego jej szereg Fouriera jest zbieżny przy każdym x do f(x)


lub


Przykład


jest kawałkami ciągłą z szeregiem Fouriera


Ponieważ


Dlatego


Ponieważ


Ale


Dlatego


Ten wynik zgadza się z poprzednim przykładem

CZĘŚĆ VIII : Półzakresowy szereg Fouriera

Często wygodniej jest przedstawiać daną funkcję jako szereg Fouriera, który zawiera tylko wyrazy cosinusowe lub tylko wyrazy sinusowe, jak w początkowych przykładach. Jeśli f(x) jest kawałkami ciągła w [0,π], może być rozszerzona do [-π, 0] jak również do parzystej funkcji jak i funkcji nieparzystej. Wtedy f jest okresowo rozszerzana do całej linii rzeczywistej jako funkcja okresowa 2π przez f(x+2π) = f(x) , x ∈ R. Niech f(x) będzie funkcją kawałkami gładką w przedziale [0,π] i rozszerzoną do [-π,0] jako funkcja parzysta. To znaczy, f(x) = f(-x), x ∈ [-π0]. Wtedy okresowe rozszerzenie do R jest kawałkami gładkie i ma szereg Fouriera


Podobnie, rozszerzenie f(x) do [-π,0] jak funkcji nieparzystej i okresowej do R, rozwinięcie ma szereg Fouriera


Szeregi Fouriera


są znane jako szeregi półzakresowe dla f(x) ,x ∈[0,π]
Przykłady niech f(x) = sin(x),x ∈[0,π]. Rozszerzamy f do [-π,0] jako funkcję parzystą. To znaczy



Półzakresowy szereg Fouriera zf jest dany przez



CZĘŚĆ IX : Przedziały ogólne

Teoria szeregów Fouriera może być rozszerzona ,obejmując funkcje które mają dowolny okres. Niech f:R→ R ma okres 2l > 0. To znaczy f(x+2l) = f(x), x ∈R. Definiujemy również Φ:R → przez Φ(x) = f(lx/π).Wtedy
Φ(x+2π) = f(l(x+2π)/&pi) = f(lx/π + 2l)=f(lx/π) = Φ(x)
Więc Φ ma okres 2π. Stosując wcześniejsze wynik do Φ , kończy się szeregiem Fouriera


Zmiana zmiennej y = lx/π prowadzi do


Dlatego


jest szeregiem Fouriera funkcji okresowej 2l. Z powyższych wyliczeń wynika ,że jeśli f(x) jest funkcją parzystą w [-l,l] jej szereg Fouriera nie zawiera żadnych wyrazów sinusa i jest w postaci


Podobnie ,jeśli f(x) jest funkcją nieparzystą w [-l,l] ,jej szereg Fouriera nie zawiera wyrazów cosinusów i jest w postaci


Funkcja f(x) zdefiniowana w przedziale [0,l] może być rozszerzona do [-l,l] albo jako nieparzysta albo parzysta i rozszerza okresowo z okresem 2l do linii rzeczywistej .Szeregi Fouriera takich funkcji są półzakresowym rozwinięciem na [0,l] i nie zawiera wyrazów sinusa w przypadku rozwinięcia parzystego lub wyrazów cosinusa dla rozwinięcia nieparzystego.

CZĘŚĆ X : Zastosowanie równania Laplace′a

Przykład 1. Niech Ω będzie prostokątem 0 ≤ x ≤ a , 0 &;le; y ≤ b, i rozważmy problem wartości brzegowe


Zakładając rozdzielenie zmiennych rozwiązania w postaci u(x,y) = X(x)Y(y) i zastępując w równaniu Laplace′a
X″Y + XY″ = 0
lub
- X″/X = Y″/Y = stała = λ
Dla λ > 0, X″ + λX = 0, Y″ - λY = 0 ,zatem
X(x) = A cos √&lamda;x + B sin √&lamda;x, Y(y) = C cosh √λy + D sinh √λy
Dla spełnienia warunków brzegowych u(0,y) = u(a,y) = 0, 0 ≤ y ≤ b, wymaga aby
X(0) = A = 0, X(a) = B sin(a√λ) = 0
Dlatego też a√λ = nπ , λ=(nπ/a)2, n = 1,2,... , i X(x) = B sin(nπx/a)
Aby również spełnić warunek brzegowy u(x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ a , wymaga
Y(0) = C = 0 i dlatego Y(y) = D sinh(nππy/a). Rozwiązanie rozdzielenia zmiennych dla λ > 0 to
u(x,y) = X(x)Y(y) = BD sin(nπx/a) sinh(nπy/a) n = 1,2,..., dla dowolnej stałej BD. Dla λ < 0, niech λ = -μ, μ > 0. Wtedy X″ - μX = 0, Y″ + μY = 0 zatem
X(x) = A cosh √μx + B sinh √μx , Y(y) = C cos √μy + D sin √μy
Dla spełnienia warunków brzegowych u(0,y) = u(a,y) = 0 , 0 ≤ y ≤ b wymagane jest
X(0) = A = 0, X(a) = B sinh (a√λ) = 0
Ale B = 0 daje trywialne rozwiązanie a sinh (a√λ) ≠ 0 dla λ < 0. Więc jest tylko trywialne rozwiązanie rozdzielenia zmiennych u = 0 dla λ < 0 . W końcu załóżmy ,że λ = 0, wtedy X′ = 0, Y″ = 0 zatem
X(x) = A + Bx, Y(y) = C + Dy
aby spełnić warunki brzegowe u(0,y) = u(a,y) = 0 , 0 ≤ y ≤ b wymagane jest
X(0) = A = 0, X(a) = Ba = 0
To znaczy, A = B = 0 i jedyne rozwiązanie rozdzielenia zamiennych dla λ = 0 jest trywialnym rozwiązanie. Podsumowując, jest sekwencja nietrywialnych rozwiązań w postaci
un(x,y) = Bn sin(nπx/a) sinh(nπy/a) n = 1,2,...,
gdzie Bn sa stałymi BD dla każdego n = 1 , 2,...,. Przez superpozycję, rozwiązanie jest dane przez


Warunki brzegowe u(x,b) = f(x), 0 ≤ x ≤ a implikuje ,że


Ponieważ Φ(x) , 0 ≤ x ≤ a, ma szereg półzakresowy


gdzie


Załóżmy ,że wszystkie cztery strony prostokąta mają niezerowe warunki graniczne, wtedy możemy podzielić problem na cztery podproblemy każdy podobny do tego właśnie rozwiązanego. Każdy z tych podproblemów będzie miał zerowe warunki graniczne na trzech z czterech stron i będzie rozwiązany jak wyżej. Wtedy to rozwiązanie problemu wartości granicznej jest sumą czterech podproblemów przez superpozycję.
Ćwiczenie 2. Szukamy rozwiązania równania Laplace′a na okręgu, spełniającego warunki brzegowe Dirichleta. Naturalnym wyborem dla Ω jest środek okręgu, promień a i równanie Laplace′a we współrzędnych biegunowych
Δu(r,θ) = ∂2u/∂r2 + 1/r ⋅∂u/∂r + 1/r2 ⋅∂2u/∂θ2 = 0, r < a , 0 ≤ θ < 2π
z zastrzeżeniem warunków brzegowych
u(a,θ) = f(θ), 0 ≤ θ < 2π
gdzie Φ jest funkcją ciągłą w 0 ≤ θ < 2π


Użycie rozdzielenia zmiennych, zakładamy ,że
u(r,θ) = R(r)Θ(θ) a zastępując w równaniu różniczkowym uzyskujemy
R″Θ + 1/r⋅R′Θ + 1/r2RΘ″ = 0
lub rozdzielając zamienne
r2R″ + r R′/R = - Θ″/Θ = stała = λ2 (powiedzmy)
co prowadzi do dwóch podobnych zwykłych równań różniczkowych
r2R&Primel + rR′ - λ2R = 0 , Θ″ + λ2Θ = 0
Rozważmy przypadek Λ = 0; wtedy rozwiązaniami powyższych równań są
Θ = A0 + B0θ
R = C0 + D0 log r
Ponieważ rozwiązania u musi by c okresowe w θ i graniczna dla r≤ a, konkludujemy ,ż B0 = 0, D0 = 0. w przypadku λ ≠ 0 rozwiązaniami powyższych równań są
Θ = Aλ cos λθ + Bλ sin λθ
R = Cλrλ + Dλr
gdzie współczynniki zależą od λ .Ponownie ,ponieważ rozwiązania są okresowe w θ z okresem 2π, konkludujemy ,że λ = n = 1,2,3,..., i ponieważ rozwiązania są brzegowe dla r ≤ a ,Dn = 0, n = 1,2,3,.... Przez superpozycję możemy połączyć te rozwiązania uzyskując


Jak również możemy inkorporować stałą Cn do An i Bn zatem


Przy granicy r = a



są współczynnikami Fouriera funkcji f. Utożsamiając współczynniki z cos nθ, sin nθ w tych dwóch wyrażeniach dla f(θ), uzyskujemy
An = an/an, Bn = bn/an
a zatem


Ten szereg jest zbieżny jednostajnie dla 0 ≤ θ < 2π , r < a. Możemy otrzymać zamkniętą formę wyrażenia dla u przez zastąpienia we worze dla współczynników Fouriera


gdzie wymiana kolejności sumowania i całkowania jest dozwolona przez jednostajną zbieżność tego szeregu. Dlatego też


Używając formy wykładniczej, 2 cos x = eix + e-ix wyraz w nawiasie kwadratowym redukuje się do dwóch nieskończonych szeregów geometrycznych których suma to


Dlatego


który jest wzorem całkowym Poissona dla okręgu

CZĘŚĆ XI : Problem Sturma - Liouville′a i funkcje ortogonalne

Funkcje sin nx, cos nx, einx, e-inx, n = 0,1,2,... są przykładami funkcji ortogonalnych w [-π , π]. Ich właściwości ortogonalne wynikają z faktu ,że rozwiązują równania różniczkowe zwykłe drugiego rzędu. Na przykład, sin nx, cos nx, einx spełniają
-u″(x) = λu(x), u(-π) = u(π) , u′(-π) = u′(π) dla λ = n2. Równanie różniczkowe zwykle razem z warunkami brzegowymi jest nazywane zagadnieniem brzegowym. Zbiór {einx, n = 0,±1,±2,...} formuje podstawę dla przestrzeni wektorowej L2[-π,π] składającą się z funkcji f:[-π , &pi] → R dla których


Zbiór funkcji {Φn(x); n = 1,2,...} jest podstawą dla L2[-π &pi] jeśli dla dowolnej funkcji f ∈ L2[-ππ], jest jednoznaczny zbiór skalarów cn, n = 1,2,.... takich ,że


Wtedy mówimy ,że f ma rozwinięcie


Co więcej, jeśli zbiór {Φn(x); n =1,2...} jest ortonormalna, to znaczy


wtedy współczynniki cn są dane przez


Przedział [-π, π] może być zastąpiony przez [a,b] a teoria szeregu Fouriera uogólnia to do rozwinięcia dowolnych funkcji f ∈ L2[a,b] w odniesieniu do podstawy ortonormalnej {Φn (x); n= 1,2,...} składającej się z funkcji które są rozwiązaniem zagadnienia brzegowego dla pewnych równań różniczkowych liniowych zwykłych drugiego rzędu. Niech p(x),q(x),w(x) będą funkcjami rzeczywistymi ciągłymi w przedziale [a,b] .Niech p(x) będzie ciągła i p(x) > 0, q(x) ≥ 0, w(x) ≥ 0 w [a,b]. Niech α0, α1, β12 będą stałymi rzeczywistymi. Problem Sturma - Liouville′a jest zagadnieniem granicznym
- (p(x)u′)′ + q(x)u = λw(x)u, x ∈[a,b]
α0u(a) + α1u′(a) = 0
β0u(b) + β1u′(b) = 0
Wartość λ dla której to zagadnienie brzegowe ma nietrywialne rozwiązania są nazywane wartościami własnym .Można pokazać ,że wartości własne formują policzalny zbiór {λn; n=1,2,...} i odpowiednich funkcji własnych {Φn(x); n =1,2,...} są ortonormalne w odniesieniu do średniego iloczynu skalarnego


Niech przestrzeń wektorowa L2w[a,b] składa się z funkcji f:[a,b] → R dla których


Zbiór funkcji {Φn; n = 1,2,...} będzie podstawa dla L2w[a,b] jeśli dla dowolnej funkcji f ∈ L2w[a,b], jest jednoznaczny zbiór skalarów cn, n = 1,2,... taki ,że


Niech liniowy operator różniczkowy Sturma-Liouville′a L będzie zdefiniowany następująco:
L[f] = 1/w(x)⋅[-(p(x)f′)′ + q(x)f]
Niech f(x),g(x) będą funkcjami c2 w [a,b]. Wtedy


Odejmując te dwa wyrażenia


mamy tożsamość Lagrange′a
Lemat Jeśli f,g są funkcjami C2 w [a,b] które spełniają


Dowód Załóżmy ,że α0 ≠ 0, β0 ≠ 0, wtedy tożsamość Lagrange′a


Podobnie, jeśli α1 ≠ 0, β1 ≠ 0 lub α1 ≠ 0, β0 ≠ 0 lub α0 ≠ 0, β1 ≠ 0, wynik wynika z niewielkich zmian argumentu.
Lemat Wartości własne operatora L Sturma-Liouville′a sa rzeczywiste
Dowód Niech λ będzie wartością własną z odpowiednią funkcją własną Φ. Wtedy Φ spełnia


ponieważ a λ jest rzeczywista
Lemat Niech Φ(x),Ψ(x) będą funkcjami własnymi zagadnienia brzegowego Sturma - Liouville′a z odpowiednimi wartościami własnymi λ μ odpowiednio. Wtedy jeśli λ & ne; μ , Φ(x), Ψ(x) są ortogonalne w [a,b] w odniesieniu do średniego iloczynu skalarnego w
Dowód


Z poprzedniego lematu


Ponieważ λ ≠ μ , <Φ; Ψ>w = 0.
ten wynik może być użyty do udowodnienia poniższego
Twierdzenie Funkcje własne regularnego problemu Sturma-Liouville′a są policzalnym zbiorem {Φn(x); n = 1,2,...} i formuje ortonormalną bazę dla Lww[a,b]. To znaczy, każda funkcja f ∈L2w[a,b] ma rozwinięcie w szereg


gdzie cn = < f;Φn > w, n = 1,2,... i jest zbieżny w tym sensie ,że


jeśli f(x) ∈ C2[a,b] i spełnia warunki brzegowe α0f(a) + α1f′(a) = 0, β0f(b) + β1f′(b) = 0, szereg


jest zbieżny jednoznacznie w [a,b]. To znaczy



CZĘŚĆ XII : Funkcje Bessela

Rozważmy równanie ciepła na dysku 0 ≤ r < a , 0 ≤ θ < 2π


0 ≤ r < a, 0 ≤ &theta < 2π, t > 0, gdzie u(r.θ,t) jest temperaturą , κ > 0 jest stałą. Niech początkowa temperatura przy t = 0 będzie
u(r,θ,0) = f(r,θ)
0 ≤ r < a, 0≤ θ < 2π,a warunek brzegowy r = a
u(a,θ,t) = 0 ; 0 ≤ θ < 2π , t > 0
Zakładając rozwiązanie w postaci u(r,θ,t) = R(r)Θ(θ)T(t), zastępując w równaniu ciepla


Równania dla T , Θ są podobne ,ale równanie dla R jest równaniem Bessela i ma niestałe współczynniki. Możemy zapisać go w postaci Sturma-Liouville′a
- (rR′)′ + v2/r ⋅R = λ2rR , gdzie p(r) = r ≥ 0, q(r) = v2/r > 0, w(r) = r ≥ 0
Zmiana zmiennej ρ = λr w równaniu Bessela kończy się


gdzie S(ρ) = Rr = R(ρ/λ). Oznaczamy rozwiązanie tego równania Bessela jako S(ρ) = Jv(ρ) a potem rozwiązanie oryginalnej formy równania Bessela to R(r) = S(λr) = Jv(λr). Drugim rozwiązaniem równania Bessela to Yv(λr), funkcja Bessela drugiego rodzaju i dlatego ogólnym rozwiązaniem jest
R(r) = AJv(λr) + BYv(λr)
Jeśli v ≠ 0,1,2,... wtedy J-v(λr) jest również rozwiązaniem a {Jv(λr); J-v(λr)} jest liniowo niezależnym zbiorem rozwiązań równania Bessela. Ogólnym rozwiązaniem jest wtedy
R(r) = AJv(λr) + BJ-v(λr)
dla stałych A,B. Rozwiązanie Jv(λr) jest nazywane funkcją Bessela pierwszego rodzaju a szereg reprezentujący może być taki


Dla v > 0, Jv(0) = 0, J0(0) = 1. Yv(λr), J-v(λr) są nieograniczone jeśli r → ∞, zatem jedynym granicznym rozwiązaniem R(r) wystąpi kiedy B = 0. Funkcje Bessela Jv(λr) są naprzemienne dla r > 0. Dla v > 0, niech zera Jv(ρ) będa {ρvm; m = 0,1,...}; gdzie ρv0 = 0 dla wszystkich v > 0. Wtedy R(r) = Jv(λr) rozwiązuje problem Sturma-Liouville′a


jeśli λa = ρvm , m = 1,2,..., dla każdego v > 0. Funkcje Bessela


są ortogonalne w przedziale (0,a), w odniesieniu do ważonego iloczynu skalarnego


Wracając do równania ciepła na dysku 0 ≤ r < a , 0 ≤ θ < 2π, rozwiązanie w postaci u(r,θt) = R(r)&Theta(θ)T(t) są dane przez


Dla Θ(θ) mamy okres 2π, v = n =0,1,2...
Dla R(r) będzie graniczne przy r = 0, B =0
Dla u(a, θt) = 0, R(a) = Jn(λa) = 0 lub λa = ρnm, n = 0,1,2,..., m =1,2, zerowych Jn(ρ). To znaczy λnm = λnm/a , n= 0,1,2,..., m= 1,2,...


Związki ortogonalności


implikuje ortogonalność


na prostokącie (r,θ) ∈ (0,a)x(-π,π) w odniesieniu do iloczynu skalarnego


To znaczy


Współczynniki Cnm, Dnm są określone przy użyciu tych właściwości ortogonalnych. Na przykład


CZĘŚĆ XIII : Transformata Fouriera

Funkcja f:R → R jest całkowana w R jeśli


. Nazwiemy klasę wszystkich takich funkcji L1(R). Podobnie, f:R → R jest całkowalna z kwadratem w R jeśli


i nazwiemy klasę wszystkich takich funkcji L2(R)
Przykład Niech f:R → R a g:R → R będą zdefiniowane przez


Dlatego też f ∈ L1(R) ale f ∉ L2(R). Z drugiej strony


Dlatego też g ∉ L1(R) ale g ∈ L2(R)
Biorąc pod uwagę dwie funkcje f∈L1(R) i g ∈ L1(R), iloczyn fg niekoniecznie jest w L1(R) . Kontrprzykłady są dane przez


Jest iloczyn * dla którego f*g ∈ L1(R) kiedy f ∈ L1(R) i g ∈ L1(R). Definiujemy iloczyn splotowy


Lemat Jeśli f ∈ L1(R) i g ∈ L1(R), wtedy f*g ∈ L1(R)
Dowód


Transformata Fouriera funkcji f ∈ L1(R) jest zdefiniowana


gdzie ξ ∈ R .Łatwo zauważyć ,że transformat Fouriera funkcji f ∈ L1 (R) jest ograniczoną funkcją ciągłą w R. Ograniczalność wynika łatwo z


Ciągłość wynika z poniższego
Twierdzenie (Reimann-Lebesgue)Jeśli f ∈ L1(R) wtedy f^ ∈ C(R) a f^(ξ) → 0 jeśli |ξ| → ∞
Dowód Niech ξ ∈ R , ξ ≠ 0. Wtedy


Dla udowodnienia ciągłości f^, niech ε > 0 będzie dane a a > 0 wybrane takie ,że


i δ > 0 wybrane takie ,że


Wtedy dla |η| < δ


Dlatego f^(ξ) jest jednostajnie ciągła w R. Określamy liniową transformację F:f→ f^ zdefiniowaną przez


F jest nazywane transformacją całkową Fouriera a f^ transformatą Fouriera z f ∈ L1(R)
Właściwości transformaty Fouriera
1.Translacja (a). Niech f:R → R i h ∈ R. Translacja f przez h jest funkcją τhf zdefiniowaną przez
hf)(x) = f(x-h),x ∈ R
Transformata Fouriera z τhf to


2.Dylatacja. Niech λ ∈ R , λ > 0, dylatacja f przez λ jest zdefiniowana jako δλ f gdzie
λ f)(x) = λ-1/2f(λ-1x), x ∈ R
Transformata Fouriera z δλ f to


3.Różniczkowanie.Niech f i f′ ∈ L1(R) i oznaczmy przez D operator różniczkowania D = ∂/∂x. Transformata Fouriera z Df to


Przez indukcję (Dkf)^ = (iξ)kf^, k =1,2,...
4.Monożenie. Oznaczmy prze ∂ operator różniczkowy ∂ = ∂/∂ξ . Jeśli f i xf ∈ L1(R) wtedy


Dlatego też (-ixf)^ = ∂f^. Z indukcji wynika ,że ∂kf^ = ((-ix)kf)^ , k =1,2,...
5.Splot. Niech f,g ∈ L1(R). Wtedy f*g ∈ L1(R) i ma transformatę Fouriera


Przykład 1. Niech f(x) = e-x2/2. Wtedy f ∈ L1(R) i ma transformatę Fouriera



Dlatego f^ spełnia równanie różniczkowe zwykłe pierwszego rzędu f^(ξ) = ce2/2
Ponieważ


Przykład 2 Niech


i ma transformatę Fouriera



CZĘŚĆ XIV : Odwrotna transformata Fouriera

Transformata Fouriera z f ∈ L1(R) jest ciągła, ograniczona i |f^(ξ)| → 0 jeśli |ξ| → ∞. Jednakże f^ nie jest konieczna w L1(R). Zakładając f ∈ L1(R),f kawałkami gładka a f^ ∈ L1(R) definiujemy


gdzie Da(x) = sin ax/πx
Teraz


W drugiej całce


Ponieważ


obie są całkami zbieżnymi,



Dla całki przy [0,K]


Ponieważ f jest kawałkami gładką, f′(x+) istnieje dla wszystkich x ∈ R i


Dlatego g jest ograniczona w [0,K] a zatem g ∈ L1(R). Z lematu Riemanna-Lebesgue, istniejące g^, jest ciągła, g^(±a)→ 0 jeśli a → ∞ i dlatego


dla K ≥ 1. Praktycznie identyczny argument działa dla pierwszej całki .Dlatego


Twierdzenie Niech f ∈ L1(R) i niech f będzie kawałkami gładką w R. wtedy dla każdego x ∈ R


Jeśli x jest punktem ciągłości f, wtedy


Dla Φ ∈ L1(R), nazwiemy


odwrotną transformatą Fouriera z Φ a F-1 zdefiniowaną przez


odwrotną transformacją Fouriera. Jeśli Φ jest transformatą Fouriera funkcji kawałkami gładkiej f ∈ L1(R), to znaczy Φ = f^, wtedy definiujemy f(x) = 1/2[f(x-) + f(x+)] przy punkcie nieciągłości f. Wtedy


To znaczy F-1Ff = f
Przykład Odwrotna transformata Fouriera jest przydatna w obliczaniu transformaty Fouriera. Ponieważ F (e-a|x|) = 2a/a2 + ξ2, wynika ,z F-1F(e-a|x|) = F-1(2a/a2 + ξ2) lub e-a|x| = F-1(2a/a2 + ξ2). Zmieniamy rolami x i ξ , mnożymy przez 2π, prowadzi nas to do
F(2a/a2 + x2) = 2πe-a|ξ| lub F(1/a2 + x2) = π/a⋅e-a|ξ|. W podobny sposób, każda para transformat Fouriera definiuje parę dualną za pomocą odwrotnej transformaty Fouriera

CZĘŚĆ XV : Zastosowanie równań różniczkowych


1.Równanie fali Równanie
2u/∂t2 - c2⋅∂2u/∂x2 = 0, -∞ < x < ∞ , t > 0
opisuje pionowe drgania nieskończonego elastycznej struny, gdzie u(x,t) jest pionowym przemieszczeniem struny z pozycji spoczynkowej przy pozycji x , w czasie t. Niech początkowe przemieszczenie i i prędkość będą dane przez
u(x,0) = f(x), ∂u/∂t⋅(x,t)=g(x),-∞< x <∞
Weźmy transformatę Fouriera równania fali i warunki początkowe w odniesieniu do zmiennej x i oznaczamy przez u^(ξ,t) transformatę Fouriera F(u(x,t)). Używając właściwości pochodnej Transformaty Fouriera


Kiedy t = 0, u^(ξ,t) = A(ξ) = f^(ξ), ∂u^/∂t⋅(ξ,t) = g^(ξ) =cξB(ξ).Dlatego też


Używając właściwości translacji i splotu


Jest to rozwiązanie d′Alemberta dla jednowymiarowego równania fali
2.Równanie Laplace′a Rozważmy równanie Laplace′a w dwóch zmiennych w górnej półpłaszczyźnie. Wtedy
2/∂x22u/∂y2 = 0 , -∞ < x < ∞ , y > 0
Niech warunek brzegowy
u(x,0) = f(x), -∞ < x < ∞
będzie dany dal funkcji f ∈ L1(R). Wtedy biorąc transformatę Fouriera w zmiennej x


Potrzebujemy dwóch warunków dla określenia funkcji A(ξ),B(ξ). Oprócz u(x,0) = f(x), -∞ < x < ∞ , niech ∂u/∂y⋅(x,0) = g(x), -∞ < x < &infin dla pewnej funkcji g ∈ L1(R). Znajdziemy g takie ,że rozwiązanie u(x,y) jest ograniczona dla y > 0, faktycznie takie ,że u(x,y) → 0 jeśli y → ∞. Biorąc transformaty


Rozwiązania dla A(ξ), B(ξ)


Dla ξ > 0, u^(ξ,y) → 0 jeśli y → 0 jeśli i tylko jeśli f^(ξ) + g^(ξ)/ξ = 0 a dla ξ < 0, u^(ξy) → 0 jeśli y → 0 jeśli i tylko jeśli f^(ξ) - g^(ξ)/ξ = 0. Dlateg0


Zatem


Ponieważ e-ξ|y| = (y/π(x2 + y2))^ , z twierdzenia splotu


3.Równanie ciepła Równanie ciepła
∂u/∂t - κ⋅∂2u/∂κ2 = 0 , -∞ < x < ∞ , t > 0
dla u(x,t) funkcji dwóch zmiennych z warunkiem początkowym
u(x,t) = f(x) , -∞ < x < ∞
dla f ∈ L1(R), ciągłej i ograniczonej, może być rozwiązane przy użyciu transformaty Fouriera. Biorąc transformaty w zmiennej x


Rozwiązując równanie różniczkowe zwykłe pierwszego rzędu
u^(ξ,t) = u^(ξ,0)e-κξ2t = f^(ξ)e-κξ2t
Teraz (e-x2/2)^ = √2π e2/2 i używając właściwości dylatacji transformaty Fouriera


Niech λ2/2 = κt lub λ = √2κt, wtedy


Dlatego też ,z twierdzenia splotu


Funkcja


jest nazywana jądrem ciepła. Możemy zapisać wtedy


,br>

CZĘŚĆ XVI : Tożsamości Plancherela i Parsevala

Z twierdzenia splotu, dla f,g ∈ L1(R)∩ L2(R)


Zastępując



transformata Fouriera g^(ξ) jest zastępowana przez stąd


Jest to tożsamość Plancherela . Kiedy f = g uzyskujemy tożsamość Parsevala


Przykłady
1. Niech


Wtedy f^(ξ) = 2 sin aξ / ξ , a tożsamość Parsevala


2. Niech f(x) e-a|x|, f^(ξ) = 2a/a2 + ξ2 a z tożsamości Parsevala



CZĘŚĆ XVII : Funkcje ograniczone pasmowo i twierdzenie o próbkowaniu Shannona

Zmienna transformaty Fouriera odgrywa rolę częstotliwości a do f^(ξ) odnosimy się jako reprezentację częstotliwości f(x).Jeśli f^(ξ) = 0 dla |ξ| > ξC > 0 , wtedy f(x) jest funkcją ograniczonego pasma a ξC częstotliwością graniczną .Wiele funkcji w nauce i technologii ma ograniczone pasmo. Na przykład, ludzki słuch jest ograniczony do częstotliwości poniżej 20 kHz. Dlatego sygnały akustyczne nagrywane na płytach kompaktowych są ograniczone do pasma 22 kHz. Pierwszym krokiem w przetwarzaniu sygnałów jest próbkowanie. Sygnał reprezentowany przez funkcję ciągłą f(x), jest zastępowana przez jej próbki w regularnych przedziałach, {f(nL),n = 0, ±1,±2,...}. Twierdzenie Shannona pokazuje ,że jest możliwe dokładne odtworzenie funkcji ciągłej ograniczonego pasma f(x) ze znanych jej próbek, pod warunkiem ,że przedział próbki L jest wystarczająco krótki
Rozważmy funkcję Φ^n(ξ) daną przez


Odwrócone transformaty Fouriera z Φn^(ξ) są dane przez



Rozważmy iloczyny skalarne


Więc funkcje {Φ^n(ξ); n = 0,±1,±2,...}, formują ortogonalny zbiór w L2(-ξCC). Ponieważ f^(ξ) jest ograniczonym pasmem do |ξ| ≤ ξC ma szereg Fouriera


gdzie współczynniki Fouriera cn są dane przez


Z twierdzenia Plancherela


Bierzemy odwróconą transformatę Fouriera


Próbki przy przedziałach długości L = π/ξC to


Podsumowując , mamy twierdzenia Shannona
Twierdzenie Niech f ∈ L1(R)∩ L2(R) będą ciągłymi i pasmowo ograniczonymi do |ξ| ≤ ξC. Wtedy


Związek ωL = 2π, gdzie ω jest częstotliwością próbkowania w cyklach na jednostkę długości, pokazuje że z twierdzenia Shannnona, do rekonstrukcji funkcji ograniczonej pasmowo, wystarczy próbka o częstotliwości ω = 2π/L = 2ξC dwukrotność częstotliwości odcięcia

CZĘŚĆ XVIII : Nierówność Heisenberga

Niech f ∈ L2(R),xf ∈ L2(R). Wtedy wielkość


jest nazywany dyspersją o punkcie x = a z f. Rozumowanie definicji jest takie ,że jeśli f(x) koncentruje się blisko x = a, wtedy Δaf jest mniejsza niż kiedy f nie jest bliskie zeru daleko od x = a.
Przykład Rozważmy funkcję charakterystyczną


która ma transformatę Fouriera (Χb)^(ξ) = 2 sin b ξ/ξ
Zauważmy że Xb jest skoncentrowana blisko x = 0 dla małych b. Dyspersja wokół początku to


a dyspersja zwiększa się ze zwiększaniem b. Zwróć uwagę ,że transformata Fouriera Xb^ nie ma skończonej dyspersji wokół początku ponieważ


Wskazuje to ,że Xb^ rozciąga się od x = 0. Poniższy wynik pokazuje ,że jest typ odwrotnych związków między dyspersją funkcji a jej transformatą Fouriera.
Twierdzenie Niech f ∈ L1(R)∩ L2(R). Wtedy dla wszystkich a , α ∈ R


a równość mam miejsce jeśli i tylko jeśli f(x) = ce-kx2 dla stałych c ∈ R i k > 0.
Dowód Najpierw udowodnimy wynik dla a = α = 0


są obie z założenia skończone ponieważ w przeciwnym razie wynik jest trywialny
Niech f*(x) ≡ ((iξf^(ξ)) lub (f*)^(ξ) = iξf^(ξ). Wtedy f* ∈ L2(R) i


Ponieważ


Wykażemy ,że


z wyniku wynika ,że wtedy



Aby zakończyć dowód, zakładamy, że f jest ciągłą i kawałkami gładka. To założenie może być usunięte ponieważ funkcje w L1(R)sa jednostajnymi granicami takich funkcji. Wtedy formujemy właściwość transformat Fouriera
f*(x) = f′(x), kiedy istnieje pochodna. Wtedy dla dowolnego przedziału [a,b]


Założenie f ∈ L2(R) implikuje ,że b |f(b)|2 → 0 jeśli b → ∞ i a |f(a)|2 & rarr; 0 jeśli a → -∞ ponieważ w przeciwnym razie |f(x)| > c |x|-1/2 jeśli |x| → ∞, które nie jest całkowalne. Biorąc granicę b → ∞ i a → -∞


co jest wymagane. Jak w przypadku równości w nierówności Heisenberga, wystąpi to jeśli i tylko jeśli


jest rzeczywista f*(x) = Kxf(x) dla pewnej stałej zespolonej K .To znaczy


Dlatego K jest rzeczywiste. Równanie różniczkowe f′(x) = f(x) = Kxf(x)
ma rozwiązanie w postaci
f(x) = ce-Kx2/2, c dowolna stała rzeczywista a f(x) = ce-Kx2/2 ∈ L2(R) jeśli i tylko jeśli K > 0. Dlatego też równość w nierówności Heisenberga ma miejsce tylko jeśli f(x) = ce-kx2 dla stałych c ∈ R i k > 0. Odwrotnie, niech f(x) = e-Kx2/2 dla stałej K > 0. Wtedy


Podczas gdy



Przypadek a ≠ 0, α ≠ 0, przez obserwację ,że F(x) = e-iαxf(x+a) spełnia tą samą hipotezę jak f(x) a Δaf = Δ0F i Δaf^ = Δ0F^ dla dowolnego a ≠ 0, α ≠ 0. Jako konsekwencję nierówności (Δaf)(Δaf^) ≥ 1/4, widzimy ,że jest możliwe dla obu Δaf i Δaf^ będą jednocześnie małe .To znaczy ,jeśli Δaf lub Δaf& jest bardzo małe wtedy drugie musi być duże.