Elementarz matematyki i fizyki

Nie mo�na si� przed tym ukry� - je�li chcesz nauczy� si� sztucznej inteligencji, musisz pozna� matematyk� i fizyk�. Jasne, mo�esz u�ywa� wielu technik sztucznej inteligencji w spos�b "wytnijj i wklej", ale nie robisz sobie �adnych przys�ug; w momencie, gdy musisz rozwi�za� problem nieco inny ni� ten, do kt�rego po�yczy�e� kod, b�dziesz mia� trudno�ci. Je�li jednak zrozumiesz teori� tych technik, b�dziesz mie� znacznie wi�ksz� szans� na znalezienie alternatywnego rozwi�zania. Poza tym dobrze jest zrozumie� narz�dzia, z kt�rymi pracujesz. Jaki jest lepszy pow�d, aby nauczy� si� tego, ni� to? Przejrzyj tekst, a� dojdziesz do czego�, czego nie znasz lub nie znajdziesz tematu, kt�ry Twoim zdaniem wymaga od�wie�enia. W tym momencie zacznij czyta�. Je�li ju� znasz si� na matematyce wektorowej i fizyce ruchu, proponuj� ca�kowicie pomin�� t� cz�� i wr�ci� p�niej, je�li znajdziesz co�, czego nie rozumiesz.

Matematyka

Zaczniemy od matematyki, poniewa� nauka fizyki bez matematyki przypomina latanie bez skrzyde�.

Wsp�rz�dne kartezja�skie

Prawdopodobnie znasz ju� kartezja�ski uk�ad wsp�rz�dnych. Je�li kiedykolwiek napisa�e� program, kt�ry rysuje obrazy na ekranie, prawie na pewno u�yjesz kartezja�skiego uk�adu wsp�rz�dnych do opisania pozycji punkt�w, linii i bitmap tworz�cych obraz. W dw�ch wymiarach uk�ad wsp�rz�dnych jest zdefiniowany przez dwie osie ustawione wzgl�dem siebie pod k�tem prostym i oznaczone w jednostkach d�ugo�ci. O� pozioma nazywa si� osi� x, a o� pionowa - osi� y. Punkt przeci�cia osi nazywany jest punktem pocz�tkowym

Groty strza�ek na ka�dym ko�cu osi na powy�szym rysunku wskazuj�, �e rozci�gaj� si� one w ka�dym kierunku w niesko�czono��. Je�li wyobra�asz sobie, �e trzymasz niesko�czenie du�y arkusz papieru z narysowanymi na nim osiami x i y, papier reprezentuje p�aszczyzn� xy - p�aszczyzn�, na kt�rej mo�na narysowa� wszystkie punkty w dwuwymiarowym kartezja�skim uk�adzie wsp�rz�dnych. Punkt w przestrzeni 2D jest reprezentowany przez par� wsp�rz�dnych (x, y). Warto�ci x i y reprezentuj� odleg�o�ci wzd�u� ka�dej z odpowiednich osi. Obecnie seria punkt�w lub linii wykre�lonych w kartezja�skim uk�adzie wsp�rz�dnych jest zwykle okre�lana jako wykres, co na pewno oszcz�dza du�o pisania.
Aby przedstawi� tr�jwymiarow� przestrze�, potrzebna jest inna o� - o� Z O� Z rozci�ga si� od ty�u ekranu do ty�u za g�ow�, przechodz�c przez punkt pocz�tkowy na trasie.

Funkcje i r�wnania

Poj�cie funkcji ma fundamentalne znaczenie dla matematyki. Funkcja wyra�a zwi�zek mi�dzy dwoma (lub wi�cej) terminami zwanymi zmiennymi i jest zwykle zapisywany w postaci r�wnania (zestaw wyra�e� algebraicznych r�wny innym wyra�eniom algebraicznym). Zmienne s� nazywane jako takie, poniewa�, jak sama nazwa wskazuje, ich warto�ci mog� si� r�ni�. Zmienne s� zwykle wyra�ane literami alfabetu. Dwie najcz�ciej u�ywane zmienne, kt�re zobaczysz w r�wnaniach matematycznych, to xiy (chocia� dowolna litera lub symbol jest r�wnie poprawna). Je�li ka�da warto�� x mo�e by� powi�zana z jedn� warto�ci� y, to y jest funkcj� x. y jest zmienn� zale�n�, poniewa� jej warto�� zale�y od warto�ci x. Oto kilka przyk�ad�w:
y = 2x (1,1)
y = mx + c (1,2)

W drugim przyk�adzie m i c reprezentuj� sta�e (czasem nazywane wsp�czynnikami) - warto�ci, kt�re nigdy si� nie zmieniaj� bez wzgl�du na warto�� x. S� skutecznie podobne do r�wnania 2 w r�wnaniu (1.1). Dlatego je�li a = 2, r�wnanie (1.1) mo�na zapisa� w nast�puj�cy spos�b:
y = ax (1.3)
Bior�c pod uwag� dowoln� warto�� x, odpowiedni� warto�� y mo�na obliczy�, wprowadzaj�c warto�� x do funkcji. Bior�c pod uwag� x = 5 i x = 7 oraz funkcj� y = 2x, warto�ci y s� nast�puj�ce:
y = 2 (5) = 10
y = 2 (7) = 14 (1,4)

Ten typ funkcji, gdzie y zale�y tylko od jednej innej zmiennej, nazywa si� funkcj� jednej zmiennej. Funkcje jednej zmiennej mo�na wizualizowa�, wykre�laj�c je na p�aszczy�nie kartezja�skiej xy. Aby wykre�li� funkcj�, wystarczy przesuwa� si� wzd�u� osi x i dla ka�dej warto�ci x u�yj funkcji do obliczenia warto�ci y. Oczywi�cie nie mo�na wykre�li� wykresu dla ka�dej warto�ci x - co zaj�oby wieczno�� (dos�ownie) - wi�c musisz wybra� zakres warto�ci. Lewa strona poni�szego rysunku pokazuje, jak wygl�da funkcja y = 2x po wykre�leniu na p�aszczy�nie xy, przy u�yciu zakresu warto�ci x od -5,0 do 5,0.

Aby narysowa� funkcj� y = mx + c na wykresie, musisz najpierw mie� pewne warto�ci dla sta�ych m i c. Powiedzmy, �e m = 2 i c = 3, co daje funkcj� y = 2x + 3. Prawa strona rysunku powy�ej pokazuje wynikowy wykres. Wykresy wygl�daj� bardzo podobnie, prawda? Jest tak, poniewa� y = mx + c jest funkcj�, kt�ra definiuje wszystkie linie proste w przestrzeni 2D. Sta�a m okre�la gradient linii lub to, jak strome jest nachylenie linii, a sta�a c okre�la, gdzie linia przecina o� y. Funkcja y = 2x, pokazana po lewej stronie na rysunku, jest r�wnowa�na funkcji y = mx + c, gdy m = 2 i c = 0. Wykres po prawej jest prawie identyczny, ale poniewa� jego warto�� c wynosi 3, punkt przeci�cia osi y jest przesuni�ty w g�r� o trzy jednostki. Czasami zobaczysz funkcj� tak� jak y = mx + c zapisan� w nast�puj�cy spos�b:

f(x) = mx + c (1,5)

Notacja f (x) oznacza, �e zmienna zale�na - w tym przyk�adzie y - zale�y od zmiennej x w wyra�eniu podanym po prawej stronie, mx + c. Cz�sto zobaczysz symbole inne ni� f, kt�re reprezentuj� funkcj�, wi�c nie myl si�, je�li natrafisz na co� takiego.

g(x) = x² + bx (1.6)

g(x) reprezentuje dok�adnie to samo, jakby r�wnanie zosta�o zapisane jako:

f(x) = x² + bx (1.7)

Funkcje mog� zale�e� od wi�cej ni� jednej zmiennej. We�my na przyk�ad obliczenia dla pola prostok�ta. Je�li jego d�ugo�� jest oznaczona liter� l, a szeroko�� przez w, to pole A jest podane r�wnaniem:

A = lw (1.8)

Aby wykre�li� na wykresie funkcj� dw�ch zmiennych, tak� jak (1.8), nale�y doda� trzeci wymiar, z, poni�ej

Obj�to�� kostki zale�y od funkcji trzech zmiennych:

V = lwh (1.9)

gdzie h oznacza wysoko�� sze�cianu. Aby narysowa� to na wykresie, musisz doda� czwart� o�. Niestety, chyba �e pod wp�ywem zwi�zk�w psychotropowych ludzie nie widz� w wi�cej ni� trzech wymiarach. Mamy jednak mo�liwo�� ich wyobra�enia, wi�c to w�a�nie musisz zrobi�, je�li chcesz wykre�li� funkcje z wi�cej ni� trzema zmiennymi na wykresie. Matematykom wydaje si� to �atwe, ale wielu programist�w, w tym ja, nie! Przestrze�, kt�r� zajmuje funkcja n-wymiarowa, gdzie n jest wi�ksza ni� 3, jest cz�sto okre�lana przez matematyk�w jako hiperprzestrze�

Wyk�adniki i pot�gi

Funkcja wyk�adnicza jest zdefiniowana w nast�puj�cy spos�b:

f (x) = a^x (1.10)

a jest znane jako podstawa, a x jako pot�ga c. Je�li r�wnanie zostanie wypowiedziane, powiesz, �e f (x) jest r�wne a do pot�gi x. Oznacza to, �e a jest mno�one przez siebie x razy. Wi�c 7² to to samo co pisanie 7x7, a 3⁴ to to samo co pisanie 3x3x3x3. Liczba pot�gi 2 jest znana jako kwadrat tej liczby, a liczba pot�gi 3 jest znana jako sze�cian. Dlatego sze�cian 5 to:

5³ = 5 x 5 x 5 = 125 (1,11)

Rysunek poni�ej pokazuje r�wnanie (1.10) wykre�lone na wykresie dla a = 2. Krzywa wyra�nie pokazuje, jak gwa�townie ro�nie warto�� y przy x. Ten rodzaj krzywej jest cz�sto okre�lany jako wzrost wyk�adniczy.

NOTA HISTORYCZNA : Z przyczyn straconych przez czas matematycy zdecydowali, �e u�yj� drugiej cz�ci alfabetu do przedstawienia zmiennych, a reszt� alfabetu do sta�ych. Dlatego osie w kartezja�skim uk�adzie wsp�rz�dnych s� oznaczone x, y i z.

Pierwiastki z liczb (pierwiastki)

Pierwiastek kwadratowy z liczby jest warto�ci�, kt�ra po pomno�eniu przez siebie powoduje powstanie oryginalnej liczby. Pierwiastki kwadratowe s� zapisywane przy u�yciu symbolu pierwiastka √. Dlatego pierwiastek kwadratowy z 4 jest zapisany jako:

√4 = 2(1.12)

Mo�emy obliczy� obie strony tego r�wnania, aby pokaza� zwi�zek mi�dzy moc� a pierwiastkiem:

4 =2² (1.13)

Pierwiastek kwadratowy z liczby jest tak�e znany jako pierwiastek drugiego stopnia z tej liczby. Mo�emy r�wnie� obliczy� pierwiastek trzeciego, czwartego, pi�tego lub dowolnego rozmiaru. Trzeci pierwiastek liczby jest znany jako pierwiastek sze�cienny i jest zapisany w nast�puj�cy spos�b:∛. Zauwa�, �e potrzebujemy tam 3, aby powiedzie� nam, �e pierwiastek ma by� trzeci. Pierwiastek sze�cienny liczby daje liczb�, kt�ra pomno�ona przez pot�g� trzech daje liczb� pierwotn�. Na przyk�ad:
∛27 = 3 (1.14)

Po raz kolejny mo�emy obliczy� obie strony r�wnania, aby pokaza� zwi�zek mi�dzy pot�g� a pierwiastkiem:
27 = 3³ (1.15)

Mo�na r�wnie� zapisa� pierwiastek z liczby jako wyk�adnik u�amkowy. Na przyk�ad pierwiastek kwadratowy z liczby mo�na zapisa� jako x^1/2, pierwiastek trzeciego stopnia jako x^1/3i tak dalej.

Przyk�ad 1

Rozwa� nast�puj�ce r�wnanie:
3x + 7 = 22 - 2x (1.16)
To r�wnanie mo�na upro�ci�, odejmuj�c 7 z obu stron.
3x + 7 - 7 = 22 - 2x - 7
3x = 15 - 2x (1.17)
Mo�na to dodatkowo upro�ci�, dodaj�c 2x po obu stronach:
3x + 2x = 15 - 2x + 2x
5x = 15 (1.18)
Mo�emy r�wnie� podzieli� obie strony przez 5, daj�c nam odpowied� na x:
5x/5 = 15/5
x = 3 (1.19)
Rzu�my okiem na nieco bardziej z�o�ony przyk�ad.

Przyk�ad 2

Powiedzmy, �e chcemy rozwi�za� nast�puj�ce kwestie dla y:
y = 2(3x-5y) + x/3 (1.20)
Przede wszystkim mo�emy usun�� nawiasy, mno��c termin w nawiasach (3x - 5y), przez wyraz na zewn�trz (2), daj�c:
y = 6x - 10y + x/3 (1.21)
Nast�pnie dobrze jest usun�� wszystkie wyra�enia u�amkowe, mno��c wszystkie wyra�enia po obu stronach przez mianowniki u�amk�w (mianownikami s� warto�ci poni�ej linii). W tym przyk�adzie pomno�enie wszystkich termin�w po obu stronach r�wnania (1.21) przez 3 daje:
3y = 18x - 30y + x (1.22)
W tym momencie mamy wyraz y po lewej i x i y po prawej. Musimy transponowa� podobne wyrazy, aby mia�y t� sam� stron� r�wnania. W tym przyk�adzie mo�emy to zrobi�, dodaj�c 30y po obu stronach.
3y + 30y = 18x - 30y + x + 30y
3y + 30y = 18x + x (1.23)
Teraz, gdy podobne terminy s� zgrupowane razem, mo�emy je ��czy�. To daje:
33y = 19x (1.24)
Na koniec powinni�my podzieli� obie strony przez wsp�czynnik przed nieznan� zmienn�. W tym przyk�adzie rozwi�zujemy dla y, wi�c musimy podzieli� obie strony przez 33, daj�c:
y = 19x/33 (1,25)

Przyk�ad 3

Oto kilka innych zasad, kt�re przydaj� si� podczas uproszczenia r�wna�:
x/y = 1/y · (x) (1,26)
a/x + b/y = ay+bx/ xy (1.27) (x+y)² = x²2 (x/y) ²22 √/x/y = √ x/√y (1.30)
Rzu�my okiem na niekt�re nowe zasady w akcji. Tym razem r�wnanie do uproszczenia to:
5x - 2y = (y-x/√x)² (1.31)
Zastosowanie regu�y (1.29) daje:
5x - 2y = (y-x)² / (√x)²
5x-2y = (y -x)² / x (1.32)
Pomno�enie obu stron przez x w celu usuni�cia cz�ci u�amkowej daje:
x(5x-2y) = (y-x)² (1.33)
Teraz, aby pozby� si� nawias�w po lewej:
5x² - 2xy = (y-x)²(1.34)
Aby usun�� nawiasy po prawej stronie, u�ywamy regu�y z (1.28):
5x² - 2xy = x² + y² - 2xy (1.35)
Dodanie 2xy do obu stron daje:
5 x² = x² + y ² (1.36)
Odejmuj�c x² z obu stron i przestawiaj�c, uzyskujemy uproszczenie:
y² = 4 x² (1,37)
Ostatnim krokiem jest obliczenie pierwiastka kwadratowego z obu stron:
y = 2x (1.38)
Oczywi�cie uproszczenie r�wna� mo�e by� znacznie trudniejsze, ale tych kilka regu�y s� wystarczaj�ce, aby zrozumie� dowolne z przedstawionych uproszcze�.

Trygonometria

Trygonometria oparta jest na badaniu tr�jk�t�w. S�owo pochodzi od greckiego s�owa trigon, dla tr�jk�ta i metry, dla miary. Jest to niezwykle przydatna dziedzina matematyki i ma wiele praktycznych zastosowa� w informatyce. W polu sztucznej inteligencji w grze znajdziesz j� do oblicze� liniowych (LOS), wykrywania kolizji, niekt�rych aspekt�w znajdowania �cie�ek itp. Wiele sztucznej inteligencji jest naprawd� zale�nych od matematyki, gdy j� zagotujesz; m�drze b�dzie dobrze si� tego nauczy�.

Promienie i odcinki

Promie� to linia z jednym punktem ko�cowym. Ma niesko�czon� d�ugo�� i jest zdefiniowany przez kierunek (zwykle wyra�ony jako znormalizowany wektor; patrz rozdzia� o wektorach w dalszej cz�ci tego rozdzia�u) i pochodzenie. Rycina 1.6 pokazuje promie� umieszczony u �r�d�a. Segment linii jest fragmentem linii i jest zdefiniowany przez dwa punkty ko�cowe. Rysunek pokazuje r�wnie� odcinek linii zdefiniowany przez dwa punkty ko�cowe p1 i p2.

K�ty

K�t jest zdefiniowany jako miara rozbie�no�ci dw�ch promieni o tym samym poz�tku.

Mo�esz by� przyzwyczajony do my�lenia o k�tach w stopniach. �ciany w wi�kszo�ci dom�w maj� zazwyczaj na przyk�ad k�ty 90 stopni, a ko�a maj� 360 stopni. Matematycy wol� mierzy� wielko�� k�ta za pomoc� radian�w. Radiany s� jednostk� miary opart� na okr�gu o promieniu jednostkowym - promieniu 1-wy�rodkowanym na pocz�tku. Promie� ko�a to odleg�o�� od �rodka ko�a do jego obwodu. Rysuj�c dwa promienie z rysunku powy�ej na tym samym schemacie co ko�o jednostkowe, otrzymujemy rysunek poni�ej. D�ugo�� odcinka zakrzywionej linii mi�dzy dwoma promieniami - pokazana na schemacie jako linia przerywana - to k�t zmierzony w radianach mi�dzy nimi

Teraz, gdy wiesz, co to jest radian, obliczmy, ile radian�w jest w okr�gu. Mo�esz pami�ta� grecki symbol (pi) z czas�w szkolnych. Jest to dobrze znana i cz�sto stosowana sta�a matematyczna o warto�ci 3,14159 (do pi�ciu miejsc po przecinku). Za pomoc� pi mo�na obliczy� obw�d ko�a - odleg�o�� na ca�ym obwodzie - za pomoc� r�wnania:
obw�d = 2πr (1,39)
Wykorzystanie tego r�wnania do okre�lenia obwodu ko�a jednostkowego daje liczb� radian�w w okr�gu. Wynika to z faktu, �e liczba radian�w w okr�gu jest d�ugo�ci� obwodu ko�a o promieniu 1. Wi�c zast�pujemy 1 r�wnaniem r w r�wnaniu (1.39), aby otrzyma�:
obw�d = 2πr = 2π(1) = 2π = num radian�w (1.40)
Dlatego w ka�dym kr�gu s� 2π radiany
Teraz, gdy wiesz, ile radian�w tworzy okr�g, mo�esz w razie potrzeby przelicza� mi�dzy radianami i stopniami. Ko�o ma 360 stopni, co oznacza:
360^o = 2π radian�w
Dziel�c obie strony przez 360 otrzymujemy:
1^o = 2π/360 radian�w
K�ty s� zwykle oznaczone greck� liter� theta, kt�ra wygl�da nast�puj�co: θ

Tr�jk�ty

Tr�jk�t sk�ada si� z trzech odcink�w linii po��czonych na ich ko�cach. Wewn�trzne k�ty tr�jk�ta zawsze sumuj� si� do radian�w (180 stopni). Poni�szej mamy opis r�nych typ�wy tr�jk�t�w, kt�re mo�na napotka�:

* Tr�jk�t r�wnoboczny ma boki o r�wnej d�ugo�ci. Tr�jk�ty z t� w�a�ciwo�ci� maj� r�wnie� k�ty o r�wnej wielko�ci.
* Tr�jk�t r�wnoramienny ma dwa boki i dwa r�wne k�ty.
* Tr�jk�t prostok�tny ma jeden k�t, kt�ry wynosi π/ 2 radian�w (90 stopni) - k�t prosty. K�t prosty jest zawsze reprezentowany przez ramk�.
* Wszystkie k�ty wewn�trzne tr�jk�ta ostrego s� ostre (mniej ni� π/2 radian�w).
* Tr�jk�t rozwarty ma jeden k�t rozwarty (wi�kszy ni� π/2 radian�w)

Twierdzenie Pitagorasa

Tr�jk�ty, z kt�rych b�dziesz najcz�ciej korzysta�, s� odmiany o kszta�cie prostopad�ym. Maj� wiele interesuj�cych w�a�ciwo�ci, kt�re mo�na dobrze wykorzysta�. By� mo�e najs�ynniejsz� w�a�ciwo�� tr�jk�t�w prostok�tnych odkry� grecki matematyk Pitagoras, kt�ry �y� od 569 do 475 p.n.e. By� naprawd� bardzo sprytnym facetem i najbardziej znany jest z tego, �e stwierdzi�:
Kwadrat przeciwprostok�tnej tr�jk�ta prostok�tnego jest r�wny sumie kwadrat�w pozosta�ych dw�ch bok�w.
Przeciwprostok�tna tr�jk�ta jest jego najd�u�szym bokiem, jak pokazano na rysunku poni�ej.

Je�li przeciwprostok�tna jest oznaczona jako h, twierdzenie Pitagorasa mo�na zapisa� jako:
h² = a² + b² (1.41)
Wykorzystanie pierwiastka kwadratowego z obu stron daje:
h = √ a² + b ² (1.42)
Oznacza to, �e je�li znamy d�ugo�� dowolnych dw�ch bok�w tr�jk�ta prostok�tnego, mo�emy �atwo znale�� trzeci.
Podczas pracy nad sztuczn� inteligencj� dla gier cz�sto u�ywasz twierdzenia Pitagorasa, aby obliczy�, czy Agent A jest bli�ej obiektu ni� Agent B. Zwykle wymaga�oby to dw�ch wywo�a� funkcji pierwiastka kwadratowego, kt�ra, jak wszyscy wiemy, jest powolne i nale�y tego unika�, gdy tylko jest to mo�liwe. Na szcz�cie, por�wnuj�c d�ugo�ci bok�w dw�ch tr�jk�t�w, je�li strona A jest wi�ksza ni� strona B, to zawsze b�dzie wi�ksza, niezale�nie od tego, czy d�ugo�ci s� kwadratowe, czy nie. Oznacza to, �e mo�emy unikn�� pierwiastka kwadratowego i po prostu por�wna� warto�ci kwadratowe. Jest to znane jako praca w przestrzeni kwadratu i jest to co�, co cz�sto zobaczysz w kodzie pokazanym u nas

Praktyczny przyk�ad twierdzenia Pitagorasa

Za��my, �e masz �ucznika na pozycji A(8,4) i jego cel na pozycji T(2,1). �ucznik mo�e wystrzeli� strza�� maksymalnie na odleg�o�� 10 jednostek. W zwi�zku z tym, aby ustali�, czy uda mu si� trafi� w cel, nale�y obliczy� odleg�o�� mi�dzy nimi. �atwo to ustali� za pomoc� twierdzenia Pitagorasa. Najpierw obliczane s� d�ugo�ci bok�w TP i AP pokazane na rysunku

Aby znale�� odleg�o�� AP, sk�adnik y pozycji �ucznika odejmuje si� od sk�adnika y pozycji celu:
AP = 4 - 1 = 3 (1.43)
Aby znale�� odleg�o�� TP, robimy to samo, ale z komponentami x:
TP = 8 - 2 = 6 (1.44)
Teraz, gdy TP i AP s� znane, odleg�o�� od �ucznika do celu mo�na obliczy� za pomoc� twierdzenia Pitagorasa:
TA = √AP² + TP² = √ 3² + 6² = √9+36 = 6,71 (1.45) Dobrze w docelowym zakresie. Niech ta strza�a leci!

Tajemnice SohCahToa ods�oni�te

Je�li znasz d�ugo�� jednego z bok�w tr�jk�ta prostok�tnego i jeden z pozosta�ych dw�ch k�t�w, mo�esz okre�li� wszystko inne o tr�jk�cie za pomoc� trygonometrii. Najpierw sp�jrz na rysunek. Pokazuje nazwy ka�dej strony tr�jk�ta prostok�tnego.

Strona naprzeciw k�ta jest nazywana przeciwleg�� (zaskoczenie, niespodzianka), a strona le��ca mi�dzy k�tem a k�tem prostym jest znana jako przyleg�a. Istniej� trzy funkcje trygonometryczne, kt�re pomagaj� obliczy� cechy tr�jk�ta prostok�tnego. Prawdopodobnie znasz ich ze szko�y. S� sinus, cosinus i tangens i cz�sto s� skracane do sin, cos i tan. Oto, co reprezentuj�:

sin( θ) = przeciwleg�a / przeciwprostok�tna (1.46)
cos (θ) = przyleg�a / przeciwprostok�tna (1.47)
tan(θ ) = przeciwleg�a / przyleg�a (1.48)

Gdy rozwi��esz kt�rykolwiek z poni�szych problem�w na kalkulatorze, upewnij si�, �e jest on ustawiony w radianach, a nie stopniach! Sp�jrz na rysunek

Chcemy obliczy� d�ugo�� przeciwleg�� , bior�c pod uwag� d�ugo�� przyleg�ej i k�t. Z SohCahToa mo�emy pami�ta�, �e tangens k�ta jest r�wna przeciwleg�ej podzielonej przez przyleg��. Troch� przestawienie r�wnania daje nam:
o= aTan(θ) (1.49)
Wi�c wszystko, co musimy zrobi�, aby uzyska� o, to wzi�� kalkulator (w celu ustalenia stycznej) i pod��czy� liczby, w ten spos�b:
o = 6Tan(0.9) = 7.56 (1,50)
Bu�ka z mas�em. Dobra, spr�bujmy innego, tylko tym razem spr�bujesz go najpierw rozwi�za�. Oblicz d�ugo�� boku h pokazanego na rysunku poni�ej

Uda�o ci si�? W tym przyk�adzie znamy k�t i odwrotnie. Pami�taj�c o SohCahToa, widzimy, �e nale�y zastosowa� funkcj� sinusoidaln�, poniewa� sinus k�ta jest r�wny odwrotno�ci podzielonej przez przeciwprostok�tn�. Zmiana uk�adu r�wnania daje:

h = o/sin(θ) (1.51)
A pod��czenie liczb daje:
h = 3/sin(0.3) = 10.15 (1,52)
Jak na razie dobrze. Co powiesz na problem pokazany na poni�szym rysunku? Tym razem musisz znale�� k�t, bior�c pod uwag� d�ugo�ci przyleg�ej i przeciwprostok�tnej

Tym razem naszym przyjacielem jest funkcja cosinus, ale pod��czenie liczb stwarza problem.
cos(?) = 10/13 = 0.769 (1.53)
Wiemy, �e cosinus k�ta wynosi 0,769, ale jaki jest sam k�t? Jak si� tego dowiadujemy? C�, k�t okre�la si� za pomoc� odwrotnego cosinusa. Zwykle jest to zapisywane jako cos^-1. Wszystko, co musisz zrobi�, to u�y� odwrotnego przycisku cosinus na kalkulatorze (je�li nie widzisz na kalkulatorze cos^-1, by� mo�e b�dziesz musia� nacisn�� przycisk odwrotny przed przyciskiem cosinus), aby uzyska� wynik:
? = cos^-1(0.769) = 0,693 radian�w (1,54)
W tym momencie zako�cz� lekcj� trygonometrii. Chocia� jest to obszerny temat, twierdzenie Pitagorasa i SohCahToa s� teori� trygonometrii , kt�rej b�dziesz potrzebowa� w dalszej cz�ci

Wektory

Podczas projektowania sztucznej inteligencji do gier b�dziesz cz�sto u�ywa� matematyki wektorowej. Wektory s� u�ywane wsz�dzie, od obliczania kierunku, w kt�rym agent gry powinien wystrzeli�, a� do wyra�ania wej�� i wyj�� sztucznej sieci neuronowej. Wektory s� twoim przyjacielem. Powiniene� je dobrze pozna�. Nauczy�e� si�, �e punkt na p�aszczy�nie kartezja�skiej mo�na wyrazi� jako dwie liczby, tak jak poni�ej: P = (x,y) (1,55)(1,55)
Zapisany wektor 2D wygl�da prawie tak samo:
v = (x,y)(1,56)
Jednak chocia� jest podobny, wektor reprezentuje dwie cechy: kierunek i wielko��. Prawa strona rysunku 1.16 pokazuje wektor (9, 6) znajduj�cy si� w punkcie pocz�tkowym.

Wektory s� zwykle oznaczone pogrubion� czcionk� lub liter� ze strza�k� nad nim. Po�o�enie strza�ki wskazuje kierunek wektora, a d�ugo�� linii reprezentuje wielko�� wektora. W porz�dku, jak dot�d tak dobrze. Ale co to znaczy? Jakie to ma zastosowanie? Na pocz�tek wektor mo�e reprezentowa� pr�dko�� pojazdu. Wielko�� wektora reprezentuje pr�dko�� pojazdu, a kierunek reprezentuje kierunek pojazdu. To ca�kiem sporo informacji z zaledwie dw�ch liczb (x, y). Wektory te� nie s� ograniczone do dw�ch wymiar�w. Mog� mie� w og�le dowolny rozmiar. U�y�by� na przyk�ad wektora 3D (x, y, z), aby przedstawi� pr�dko�� pojazdu poruszaj�cego si� w trzech wymiarach, jak helikopter. Rzu�my okiem na niekt�re rzeczy, kt�re mo�esz zrobi� z wektorami.

Dodawanie i odejmowanie wektor�w

Wyobra� sobie, �e jeste� uczestnikiem telewizyjnej gry reality. Stoisz na polanie w d�ungli. Obok ciebie stoi kilku innych konkurent�w. Wszyscy jeste�cie bardzo zdenerwowani i podekscytowani, poniewa� zwyci�zca poznaje Cameron Diaz� a przegrani musz� ogl�da�. Pot �cieka ci z czo�a, twoje r�ce s� lepkie, a ty rzucasz nerwowe spojrzenia na innych konkurent�w. Opiekun telewizyjny z br�zow� brod� podchodzi do przodu i podaje ka�demu konkurentowi z�ot� kopert�. Cofa si� i ka�e wam rozerwa� koperty. Zwyci�zc� zostanie pierwsza osoba, kt�ra wype�ni instrukcje. Szale�czo odrywasz papier. W �rodku jest notatka. To m�wi: "Czekam na ciebie w tajnym miejscu. Pospiesz si�, jest bardzo gor�co tutaj. Mo�esz dotrze� do lokalizacji, post�puj�c zgodnie z wektorami (-5, 5), (0, -10), (13, 7), (-4, 3)… Cameron"

Z u�miechem na twarzy patrzysz, jak reszta zawodnik�w biegnie w kierunku pierwszego wektora. Wykonujesz kilka oblicze� z ty�u koperty, a nast�pnie leniwie spacerujesz w zupe�nie innym kierunku. Zanim inni konkurenci dotr� do kryj�wki Camerona, poc�c si� jak stary ser i z trudem �api�c oddech, s�ysz� twoje zabawne chichoty i plusk ch�odnej wody z prysznica� Pokona�e� przeciwnik�w, poniewa� wiedzia�e�, jak dodawa� wektory. Poni�szy rysunek pokazuje tras�, kt�r� przeszli pozostali konkurenci, post�puj�c zgodnie z wektorami podanymi w notatce Cameron

Wiedzia�e� jednak, �e je�li dodasz wszystkie wektory razem, otrzymasz w rezultacie pojedynczy wektor: ten, kt�ry zabierze ci� bezpo�rednio do ostatecznego celu. Aby doda� wektory razem, wystarczy doda� wszystkie warto�ci x, aby otrzyma� sk�adow� x wyniku, a nast�pnie zrobi� to samo z warto�ciami y, aby uzyska� sk�adow� y. Dodaj�c razem cztery wektory w notatce Camerona, otrzymujemy:
new x = (-5) + (0) + (13) + (-4) = 4
new y = (5) + (-10) + (7) + (3) = 5 (1.57)

daj�c wektor (4, 5), dok�adnie taki sam wynik, jakby�my pod��ali za ka�dym wektorem osobno. Zobacz rysunek

Mno�enie wektor�w

Mno�enie wektor�w jest bardzo proste. Wystarczy pomno�y� ka�dy sk�adnik przez warto��. Na przyk�ad wektor v (4, 5) pomno�ony przez 2 wynosi (8, 10).

Obliczanie wielko�ci wektora

Wielko�� wektora to jego d�ugo��. W poprzednim przyk�adzie wielko�� wektora v(4, 5) to odleg�o�� od punktu pocz�tkowego do kryj�wki Cameron.

Mo�na to �atwo obliczy� za pomoc� twierdzenia Pitagorasa.
wielko�� = √ 4² + 5² (1.58)
Gdyby� mia� tr�jwymiarowy wektor, u�y�by� podobnego r�wnania:
wielko�� = √ x² + y² + z² (1.59)
Matematycy umieszczaj� dwa pionowe paski wok� wektora, aby zaznaczy� jego d�ugo��.
wielko�� = |v| (1,60)

Wektory normalizuj�ce

Kiedy wektor jest znormalizowany, zachowuje sw�j kierunek, ale jego wielko�� jest ponownie obliczana, tak �e ma d�ugo�� jednostkow� (d�ugo�� 1). W tym celu nale�y podzieli� ka�dy sk�adnik wektora przez wielko�� wektora. Matematycy pisz� tak� formu��:
N = v/|v| (1.61)
Dlatego, aby znormalizowa� wektor (4, 5), zrobi�by� to:
new x = 4 / 6.403 = 0.62
new y = 5 / 6.403 = 0.78 (1.62)

Mo�e to wydawa� si� dziwne dla wektora, ale w rzeczywisto�ci znormalizowane wektory s� niezwykle przydatne. Dowiesz si� wkr�tce.

Rozwi�zywanie wektor�w

Mo�liwe jest u�ycie trygonometrii do rozdzielenia wektora na dwa oddzielne wektory, jeden r�wnoleg�y do osi x, a drugi do osi y. Sp�jrz na wektor v, reprezentuj�cy pchni�cie my�liwca odrzutowego pokazanego na rysunku

Aby rozdzieli� v na jego sk�adowe x / y, musimy znale�� Oa i Ob. To da nam komponent ci�gu samolotu, kt�ry dzia�a odpowiednio wzd�u� osi y, i komponent wzd�u� osi x, odpowiednio. Innym sposobem na okre�lenie tego jest to, �e Oa jest wielko�ci� si�y dzia�aj�cej wzd�u� osi x, a Ob jest wielko�ci� wzd�u� osi y. Najpierw obliczmy si�� ci�gu wzd�u� osi y: Oa. Z trygonometrii wiemy, �e:

cos (θ) = przyleg�a / przeciwprostok�tna = Oa / |v| (1.63)
Zmiana uk�adu daje:
Oa = |v| cos (θ) = sk�adowa y (1.64)
Do obliczenia Ob stosuje si� to r�wnanie:
sin( θ) = przeciwleg�a / przeciwprostok�tna (1.65)
Daj�ce:
Ob = |v| sin( θ) = sk�adowa x (1.66)

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny podaje k�t mi�dzy dwoma wektorami - co�, co trzeba cz�sto obliczy� podczas programowania AI. Bior�c pod uwag� dwa wektory 2D u i v, r�wnanie wygl�da nast�puj�co:
u • v = u_xv_x + u_yv_y (1.67)
Symbol • oznacza iloczyn skalarny. R�wnanie (1.67) nie daje nam jednak k�ta. Obieca�em k�t, wi�c dostaniesz go! Oto inny spos�b obliczania iloczynu kropkowego:
u • v = |u||v|cos(θ)(1.68)
Zmiana uk�adu otrzymujemy:
cos(θ) = u • v / |u||v| (1.69)
Pami�taj, �e pionowe linie otaczaj�ce wektor wskazuj� jego wielko��. Nadszed� czas, kiedy odkryjesz jedno z przydatnych zastosowa� normalizacji wektor�w. Je�li zar�wno v, jak i u s� znormalizowane, r�wnanie ogromnie upraszcza:
cos(θ) = u • v / 1 x 1 = u • v (1.70)
Podstawienie w r�wnaniu z (1.67) po prawej stronie daje:
cos(θ) = u • v = u_xv_x + u_yv_y (1.71)
daj�c nam r�wnanie k�ta mi�dzy wektorami. Jednym wielkim zastosowaniem produktu kropkowego jest to, �e szybko powie ci, czy jeden byt jest za czy przed p�aszczyzn� skierowan� w stron� drugiego. Jak to? Zobacz rysunek poni�ej

Na rysunku pokazano agenta gry skierowanego bezpo�rednio na p�noc. Linia pozioma odnosi si� do agenta i opisuje p�aszczyzn� skierowan� do agenta. Wszystko, co znajduje si� przed t� lini�, mo�na powiedzie�, �e znajduje si� przed agentem. Za pomoc� iloczynu skalarnego �atwo jest ustali�, czy obiekt znajduje si� przed czy za agentem. Iloczynskalarny wektora skierowanego do agenta i wektora od agenta do obiektu b�dzie dodatni, je�li obiekt znajdzie si� przed p�aszczyzn� skierowan� do agenta, a ujemny, je�li b�dzie z ty�u.

Praktyczny przyk�ad matematyki wektorowej

Oto przyk�ad niekt�rych metod wektorowych, kt�rych nauczy�e� si� o wsp�lnej pracy. Za��my, �e masz agenta gry, Trolla Erica, kt�ry stoi w pozycji T (pocz�tek) i jest zwr�cony w kierunku znormalizowanym wektorem H (na kurs). Czuje zapach bezradnej ksi�niczki w pozycji P i bardzo chcia�by rzuci� w ni� pa�k�, delikatnie j� zmi�kczy�, zanim rozerwie j� na kawa�ki. Aby to zrobi�, musi wiedzie�, ile radian�w musi obr�ci�, aby si� z ni� zmierzy�. Poni�szy rysunek pokazuje sytuacj�.

Odkry�e�, �e mo�esz obliczy� k�t mi�dzy dwoma wektorami za pomoc� iloczynu skalarnego. Jednak w tym problemie masz tylko jeden wektor, H. Dlatego musimy okre�li� wektor

- wektor, kt�ry wskazuje bezpo�rednio na ksi�niczk�. Oblicza si� to odejmuj�c punkt T od punktu P. Poniewa� T jest na pocz�tku (0, 0), w tym przyk�adzie P - T = P. Jednak odpowied� P - T jest wektorem, wi�c poka�my to, wpisuj�c go pogrubion� czcionk� i nazywaj�c j� P. Wiemy, �e cosinus k�ta, kt�ry troll musi obr�ci� w stron� ksi�niczki, jest r�wnowa�ny iloczynowi H i P, pod warunkiem, �e oba wektory s� znormalizowane. H jest ju� znormalizowany, wi�c musimy tylko znormalizowa� P. Pami�taj, aby znormalizowa� wektor, jego sk�adniki s� podzielone przez jego wielko��. W zwi�zku z tym normalna P (N_P) wynosi
N_P = P/|P| (1.72)
Iloczynu skalarnego mo�na teraz u�y� do okre�lenia k�ta.
cos(θ) = N_P • H(1.73)
Wi�c
θ = cos^-1 (N_P • H)(1.74)
Aby wyja�ni� ten proces, zr�bmy to jeszcze raz, ale z pewnymi liczbami. Powiedzmy, �e troll znajduje si� na pocz�tku T (0, 0) i ma nag��wek H (1, 0). Ksi�niczka stoi w punkcie P (4, 5). Ilu radian�w musi odwr�ci� troll, by stan�� twarz� w twarz z ksi�niczk�? Wiemy, �e mo�emy u�y� r�wnania (1.74) do obliczenia k�ta, ale najpierw musimy ustali� wektor TP mi�dzy trollem a ksi�niczk� i znormalizowa� go. Aby uzyska� TP, odejmujemy T od P, otrzymuj�c wektor (4, 5). Aby znormalizowa� TP, dzielimy go wed�ug jego wielko�ci. Obliczenia te pokazano wcze�niej w r�wnaniu (1,62), co da�o wynik NTP (0,62; 0,78). Na koniec wstawiamy liczby do r�wnania (1.74), zast�puj�c r�wnanie (1.71) iloczynem skalarnym.
θ = cos^-1 (N_TP • H)
θ = cos^-1 ((0,.62x1)) + ((0.78 x 0))
θ = cos^-1(0.62)
θ = 0.902 radian�w

Struktura Vector2D

Wszystkie przyk�ady podane w tej ksi��ce wykorzystuj� struktur� Vector2D. Jest to bardzo proste i realizuje wszystkie om�wione operacje wektorowe. Wymieni� tutaj wi�kszo�� jej deklaracji, aby� m�g� si� z ni� zapozna�.

struct Vector2D
{
double x;
double y;
Vector2D():x(0.0),y(0.0){}
Vector2D(double a, double b):x(a),y(b){}
//ustawia x i y na zero
inline void Zero();
//zwraca warto�� true, je�li zar�wno x, jak i y s� r�wne zero
inline bool isZero()const
//zwraca d�ugo�� wektora
inline double Length()const;
//zwraca kwadratow� d�ugo�� wektora (unikaj�c w ten spos�b sqrt)
inline double LengthSq()const;
inline void Normalize();
// zwraca iloczyn skalrny tego i v2
inline double Dot(const Vector2D& v2)const;
//zwraca warto�� dodatni�, je�li v2 jest zgodny z ruchem wskaz�wek zegara od tego wektora,
// ujemny, je�li jest przeciwny do ruchu wskaz�wek zegara (zak�adaj�c, �e o� Y jest skierowana w d�,
//o� X po prawej jak aplikacja Windows) inline int Sign(const Vector2D& v2)const;
//zwraca wektor, kt�ry jest prostopad�y do tego
inline Vector2D Perp()const;
//dostosowuje x i y, aby d�ugo�� wektora nie przekracza�a max
inline void Truncate(double max);
//zwraca odleg�o�� mi�dzy tym wektorem a tym przekazanym jako parametr
inline double Distance(const Vector2D &v2)const;
//kwadratowa wersja powy�szego
inline double DistanceSq(const Vector2D &v2)const;
//zwraca wektor b�d�cy odwrotno�ci� tego wektora
inline Vector2D GetReverse()const;
//potrzebujemy operator�w
const Vector2D& operator+=(const Vector2D &rhs);
const Vector2D& operator-=(const Vector2D &rhs);
const Vector2D& operator*=(const double& rhs);
const Vector2D& operator/=(const double& rhs;
bool operator==(const Vector2D& rhs)const;
bool operator!=(const Vector2D& rhs)const;
};

Przestrze� lokalna i przestrze� �wiata

Wa�ne jest, aby zrozumie� r�nic� mi�dzy przestrzeni� lokaln� a przestrzeni� �wiata. Reprezentacja przestrzeni �wiata jest zwykle tym, co widzisz renderowane na ekranie. Ka�dy obiekt jest okre�lony pozycj� i orientacj� wzgl�dem pocz�tku �wiatowego uk�adu wsp�rz�dnych. �o�nierz wykorzystuje przestrze� �wiata, gdy na przyk�ad opisuje pozycj� czo�gu z odniesieniem do siatki.

Lokalna przestrze� opisuje jednak po�o�enie i orientacj� obiekt�w wzgl�dem lokalnego uk�adu wsp�rz�dnych okre�lonego podmiotu. W dw�ch wymiarach lokalny uk�ad wsp�rz�dnych obiektu mo�na zdefiniowa� za pomoc� wektora skierowanego i wektora bocznego (reprezentuj�cego odpowiednio lokaln� o� x i y), z punktem pocz�tkowym umieszczonym w �rodku elementu (dla trzech wymiar�w dodatkowy wymagany jest wektor). Rysunek 1.24 pokazuje o� opisuj�c� lokalny uk�ad wsp�rz�dnych obiektu w kszta�cie strza�ki

Za pomoc� tego lokalnego uk�adu wsp�rz�dnych mo�emy przekszta�ci� �wiat, tak aby wszystkie znajduj�ce si� w nim obiekty opisa�y swoj� pozycj� i orientacj� wzgl�dem niego. To jest jak ogl�danie �wiata oczami istoty. �o�nierze u�ywaj� miejscowej przestrzeni, gdy m�wi� takie rzeczy, jak "Cel 50 metr�w od siebie o godzinie 10". Opisuj� lokalizacj� celu w stosunku do w�asnej pozycji i kierunku skierowania.

Ta zdolno�� do przekszta�cania obiekt�w mi�dzy przestrzeni� lokaln� a �wiatow� mo�e upro�ci� wiele oblicze�, jak zobaczymy p�niej.

Fizyka

M�j s�ownik definiuje fizyk� jako:
"Nauka o materii i energii oraz interakcje mi�dzy nimi"
Jako programista gier AI cz�sto b�dziesz pracowa� z prawami fizyki, a zw�aszcza z poruszaniem si�, o czym b�dzie mowa. Cz�sto zdarza si�, �e tworzysz algorytmy do przewidywania, gdzie w przysz�o�ci b�dzie znajdowa� si� obiekt lub agent, do obliczania najlepszego k�ta strza�u broni lub kierunku i si�y, kt�r� agent powinien kopn�� pi�k�, aby poda� do odbiorcy. To oczywi�cie nie jest sztuczna inteligencja, ale wszystko to jest cz�ci� iluzji inteligencji i zwykle stanowi cz�� obci��enia programisty AI, wi�c musisz zna� te rzeczy. Rzu�my okiem na niekt�re podstawowe poj�cia stosowane w fizyce.

Czas

Czas jest wielko�ci� skalarn� (ca�kowicie okre�lon� przez wielko�� i bez kierunku), mierzon� w sekundach, w skr�cie s. Do niedawna definiowano sekund� w kategoriach rotacji obrotowej Ziemi, ale poniewa� obroty Ziemi nieznacznie zwalniaj� co roku, pod koniec lat sze��dziesi�tych sta�o si� to problematyczne dla naukowc�w, kt�rzy potrzebowali coraz bardziej precyzyjnych pomiar�w w swoich eksperymentach. Dzisiaj zatem sekund� mierzy si� jako: Czas trwania 9 192 621,770 okres�w promieniowania odpowiadaj�cych przej�ciu mi�dzy dwoma hiper drobnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 133. Ta definicja zapewnia dzisiejszym naukowcom sta�y przedzia� czasu wymagany do ich precyzyjnych eksperyment�w. Czas w grach komputerowych jest mierzony na jeden z dw�ch sposob�w: w sekundach (tak jak w prawdziwym �wiecie) lub przy u�yciu odst�pu czasu mi�dzy aktualizacjami jako rodzaj wirtualnej sekundy. Ten ostatni pomiar mo�e upro�ci� wiele r�wna�, ale musisz by� ostro�ny, poniewa�, chyba �e szybko�� aktualizacji jest zablokowany, fizyka b�dzie si� r�ni� mi�dzy maszynami o r�nych pr�dko�ciach! Dlatego je�li zdecydujesz si� u�y� wirtualnej sekundy, upewnij si�, �e cz�stotliwo�� aktualizacji fizyki gry jest zablokowana na rozs�dnym poziomie - zwykle jest to szybko�� najwolniejszej maszyny, dla kt�rej si� rozwijasz. Nie tak dawno temu wi�kszo�� gier komputerowych u�ywa�a sta�ej liczba klatek na sekund� i ka�dy element - rendering, fizyka, sztuczna inteligencja itp. - by� aktualizowany z t� sam� cz�stotliwo�ci�. Wiele wsp�czesnych wyrafinowanych gier okre�la jednak niepowtarzaln� stawk� dla ka�dego elementu. Na przyk�ad fizyka mo�e by� aktualizowana 30 razy na sekund�, AI 10 razy na sekund�, a kod renderowania mo�e dzia�a� tak szybko, jak maszyna, na kt�rej dzia�a. Dlatego za ka�dym razem, gdy m�wi� o "cz�sto�ci aktualizacji" w tek�cie, je�li nie okre�l� kontekstu, b�dzie to w kontek�cie tematu, o kt�rym m�wi�.

Odleg�o��

Standardow� jednostk� odleg�o�ci - wielko�ci skalarnej - jest to metr , w skr�cie m.

Masa

Masa jest wielko�ci� skalarn� mierzon� w kilogramach, w skr�cie do kg. Masa jest miar� ilo�ci czego�. Mo�e to by� myl�ca jako�� do zmierzenia, poniewa� mas� obiektu oblicza si� przez jego zwa�enie, ale masa nie jest jednostk� masy; jest to jednostka materii. Ci�ar obiektu jest miar� si�y grawitacji dzia�aj�cej na ten obiekt. Poniewa� grawitacja zmienia si� w zale�no�ci od miejsca (nawet tutaj na Ziemi), oznacza to, �e ci�ar obiektu mo�e si� r�ni� w r�nych miejscach, nawet je�li jego masa nigdy si� nie zmienia. Jak wi�c dok�adnie zmierzy� mas�? Naukowcy pokonali ten problem, tworz�c cylinder platynowo-irydowy, kt�ry wszyscy zgodzili si� nazywa� THE kilogram. Ten cylinder jest przechowywany w Pary�u i wszystkie pomiary s� wykonywane wzgl�dem niego. Innymi s�owy, mo�esz uda� si� do Francji i zrobi� sw�j w�asny duplikat, kt�ry wa�y dok�adnie tyle samo, co THE kilogram. Teraz wiesz, �e gdziekolwiek si� znajdujesz, bez wzgl�du na grawitacj�, tw�j duplikat b�dzie mia� dok�adnie tak� sam� mas� jak THE kilogram we Francji. Problem rozwi�zany

Pozycja

Mo�esz my�le�, �e pozycja obiektu jest �atw� do zmierzenia w�a�ciwo�ci�, ale sk�d dok�adnie mierzysz jego pozycj�? Na przyk�ad, je�li chcesz okre�li� pozycj� cia�a w przestrzeni, sk�d wzi��by� pomiar? Czy by�oby to z twoich st�p, brzucha czy g�owy? Stanowi to problem, poniewa� istnia�aby du�a rozbie�no�� mi�dzy pozycj� g�owy a pozycj� st�p. Fizycy rozwi�zuj� ten problem, przyjmuj�c po�o�enie �rodka masy obiektu za jego pozycj�. �rodek masy jest punktem r�wnowagi obiektu. By�oby to miejsce, w kt�rym mo�na przymocowa� wyimaginowany kawa�ek sznurka do obiektu i balansowa�by w dowolnej pozycji. Innym dobrym sposobem my�lenia o �rodku masy jest to, �e jest to �rednia lokalizacja ca�ej masy w ciele.

Pr�dko��

Pr�dko�� jest wielko�ci� wektorow� (wielko�ci�, kt�ra ma wielko�� i kierunek), kt�ra wyra�a szybko�� zmiany odleg�o�ci w czasie. Standardow� jednostk� miary pr�dko�ci s� metry na sekund�, w skr�cie m / s. Mo�na to wyrazi� matematycznie jako:

v = ∆x / ∆ t(1.75)

Wielka litera grecka ∆, czytana jako delta, jest u�ywana w matematyce do oznaczania zmiany ilo�ci. Dlatego ∆t w r�wnaniu (1,75) reprezentuje zmian� czasu (przedzia� czasu), a ∆x zmian� odleg�o�ci (przemieszczenie). oblicza si� jako ilo�� po odj�ciu minus ilo�� przed. Dlatego je�li pozycja obiektu przy t = 0 wynosi 2 (przed), a przy t = 1 wynosi 5 (po), ∆x wynosi 5 - 2 = 3. Mo�e to r�wnie� powodowa� warto�ci ujemne. Na przyk�ad, je�li pozycja obiektu przy t = 0 wynosi 7 (przed), a przy t = 1 wynosi 3 (po), ∆x wynosi 3 - 7 = -4. UWAGA M�odszy brat Delty, delta ma�ymi literami, zapisany jako δ, jest u�ywany do przedstawienia bardzo ma�ych zmian. Cz�sto widzisz δu�ywane w rachunku r�niczkowym. Poniewa� wygl�da podobnie do litery d, aby zapobiec nieporozumieniom, matematycy zwykle unikaj� u�ywania d do reprezentowania odleg�o�ci lub przesuni�cia w swoich r�wnaniach. Zamiast tego u�ywany jest mniej niejednoznaczny symbol, taki jak ∆ x.

Za pomoc� r�wnania (1.75) �atwo jest obliczy� �redni� pr�dko�� obiektu. Powiedzmy, �e chcesz obliczy� �redni� pr�dko�� pi�ki tocz�cej si� mi�dzy dwoma punktami. Najpierw obliczy� przesuni�cie mi�dzy dwoma punktami, a nast�pnie podzieli� przez czas potrzebny pi�ce na pokonanie tej odleg�o�ci. Na przyk�ad, je�li odleg�o�� mi�dzy punktami wynosi 5 m, a czas potrzebny na przemieszczenie pi�ki mi�dzy punktami wynosi 2 s, w�wczas pr�dko�� wynosi:

v = 5/2 = 2.5 m/s(1.76)

�atwo jest r�wnie� obliczy�, jak daleko przeszed� obiekt, je�li go znamy �redni� pr�dko�� i czas podr�y. Za��my, �e jedziesz samochodem z pr�dko�ci� 35 km / h i chcesz wiedzie�, jak daleko si� przeszed�e� w ci�gu ostatnich p� godziny. Zmiana uk�adu r�wnania (1.75) daje:

Δ x = vΔ t(1.77)

Podanie liczb daje:

przebyta odleg�o�� = 35 x1/2 = 17.5 mil(1.78)

Odnosz�c si� do gier komputerowych, je�li masz pojazd w pozycji P w czasie t poruszaj�cy si� ze sta�� pr�dko�ci� V, mo�emy obliczy� jego pozycj� w nast�pnym kroku aktualizacji (w czasie t + 1) przez:

P_t+1 = P_t + VΔt(1.79)

Gdzie VΔt oznacza przesuni�cie mi�dzy krokami aktualizacji (z r�wnania (1.77)). Wyja�nijmy to, pokazuj�c przyk�adowy kod. Poni�ej znajduje si� lista klas pojazd�w, kt�ra opisuje ruch pojazdu poruszaj�cego si� ze sta�� pr�dko�ci�.

class Vehicle
{
//wektor reprezentuj�cy jego pozycj� w przestrzeni
vector m_vPosition;
//wektor reprezentuj�cy jego pr�dko��
vector m_vVelocity;
public:
//wywo�a� ka�d� ramk�, aby zaktualizowa� pozycj� pojazdu
void Update(float TimeElapsedSinceLastUpdate)
{
m_vPosition += m_vVelocity * TimeElapsedSinceLastUpdate;
}
};

Zauwa�, �e je�li twoja gra u�ywa sta�ej cz�stotliwo�ci aktualizacji fizyki, podobnie jak wiele przyk�ad�w , Δt b�dzie sta�y i mo�e zosta� wyeliminowany z r�wnania. Powoduje to uproszczon� metod� aktualizacji w nast�puj�cy spos�b:
// aktualizacja do symulacji przy u�yciu sta�ego kroku aktualizacji
void Vehicle :: Update ()
{
m_vPosition + = m_vVelocity;
}

Pami�taj jednak, �e je�li zdecydujesz si� na wyeliminowanie tego w ten spos�b, jednostk� czasu, kt�rej b�dziesz u�ywa� w jakichkolwiek obliczeniach, nie jest ju� drugi, ale raczej odst�p czasu mi�dzy krokami aktualizacji.

Przy�pieszenie

Przyspieszenie to wielko�� wektorowa, kt�ra wyra�a szybko�� zmiany pr�dko�ci w czasie i jest mierzona w metrach na sekund� na sekund�, zapisywana jako m / s2. Przyspieszenie mo�na wyrazi� matematycznie jako:

a = Δv / Δt (1.80)

To r�wnanie m�wi, �e przyspieszenie jest r�wnowa�ne zmianie pr�dko�ci obiektu podzielonej przez przedzia� czasu, podczas kt�rego nast�pi�a zmiana pr�dko�ci. Na przyk�ad, je�li samoch�d zaczyna od spoczynku i przyspiesza z pr�dko�ci� 2 m / s2, w�wczas co sekund� do pr�dko�ci dodaje si� 2 m / s. Tabela

Czas (y) : Pr�dko�� (m / s)

0 : 0
1 : 2
2 : 4
3 : 6
4 : 8
5 : 10

Rysuj�c te dane na wykresie pr�dko�ci w funkcji czasu, otrzymujemy rysunek poni�ej.

Je�li zbadamy przedzia� czasu, powiedzmy przedzia� mi�dzy t = 1 i t = 4, mo�emy zobaczy�, �e gradient nachylenia, podany przez Δv / Δt, jest r�wnowa�ny przyspieszeniu w tym przedziale. Nauczy�e� si� wcze�niej, jak r�wnanie y = mx + c definiuje wszystkie linie proste na p�aszczy�nie kartezja�skiej 2D, gdzie m jest gradientem ic przeci�ciem na osi y. Poniewa� na podstawie rysunku powy�ej mo�emy wywnioskowa�, �e sta�e przyspieszenie jest zawsze wykre�lane jako linia prosta, mo�emy odnie�� to r�wnanie do przyspieszenia samochodu. Wiemy, �e o� y reprezentuje pr�dko��, v, a o� x reprezentuje czas, t. Wiemy r�wnie�, �e gradient m odnosi si� do przyspieszenia. To daje r�wnanie:

v= at + u (1.81)

Sta�a u reprezentuje pr�dko�� samochodu w czasie t = 0, co mo�na przedstawi� jako przeci�cie linii na osi y. Na przyk�ad, je�li samoch�d w przyk�adzie wystartowa� z pr�dko�ci� 3 m / s, w�wczas wykres by�by identyczny, ale przesuni�ty w g�r� o 3, jak pokazano na rysunku poni�ej

Aby przetestowa� r�wnanie, ustalmy, jaka b�dzie pr�dko�� samochodu rozpoczynaj�ca si� od pr�dko�ci 3 m / s i przyspieszaj�ca przy 2 m / s2 po 3 sekundach. Wprowadzenie liczb do r�wnania (1.81) daje:

v = 2 x 3 +3

v = 9 m/s (1.82)

To w�a�nie mo�emy wywnioskowa� z wykresu.

Kolejn� interesuj�c� rzecz� zwi�zan� z wykresem pr�dko�ci i czasu jest to, �e obszar pod wykresem mi�dzy dwa razy jest r�wnowa�ny odleg�o�ci przebytej przez obiekt w tym czasie. Najpierw sp�jrzmy na prosty przyk�ad. Poni�szy rysunek pokazuje wykres zale�no�ci czasu od pr�dko�ci dla pojazdu, kt�ry sp�dza 2 sekundy przy pr�dko�ci 4 m / s, a nast�pnie zatrzymuje si�

Obszar pod wykresem (obszar zacieniowany na szaro) jest okre�lony przez szeroko��, kt�ra jest r�wnowa�na czasowi pr�dko�ci, kt�ry, jak wida�, daje wynik 8 metr�w. Jest to ten sam wynik z zastosowania r�wnania x = v Δt. Poni�szy rysunek pokazuje przyk�ad z wcze�niejszego okresu, w kt�rym pojazd przyspiesza od spoczynku ze sta�ym przyspieszeniem 2 m / s2. Powiedzmy, �e chcieliby�my obliczy� odleg�o�� przebyt� mi�dzy czasami t = 1 it = 3

Wiemy, �e odleg�o�� przebyta mi�dzy t = 1 i t = 3 to obszar pod wykresem mi�dzy tymi czasami. Jak wyra�nie pokazano na rysunku, jest to suma obszar�w prostok�ta A i tr�jk�ta B. Obszar A jest okre�lony przez przesuni�cie czasowe, t, pomno�one przez pr�dko�� pocz�tkowa, u, zapisana jako:

Obszar A = Δt x u (1.83)

Obszar B, tr�jk�ta, jest po�ow� pola prostok�ta opisanego przez boki tr�jk�ta. Boki tr�jk�ta podane s� przez przesuni�cie czasowe, t oraz r�nic� mi�dzy pr�dko�ci� ko�cow� a pr�dko�ci� pocz�tkow�, v - u. Mo�na to zapisa� jako:

Obszar(B) = 1/2 ⋅ (v-u)Δt(1.84) Dlatego ca�kowity obszar pod wykresem mi�dzy czasami t = 1 it = 3, kt�ry jest r�wnowa�ny przebytej odleg�o�ci, jest sum� tych dw�ch sk�adnik�w, podanych jako:

Δx = uΔt + 1/2 ⋅(v-u)Δt (1.85)

v- u = Δv = aΔt (1.86) Warto�� v - u mo�na podstawi� do r�wnania (1.85), aby uzyska� r�wnanie, kt�re odnosi odleg�o�� do czasu i przyspieszenia.

Δx = uΔt + 1/2 ⋅aΔt²(1.87)

Umieszczenie liczb w tym r�wnaniu daje:

Δx = 2 x 2 + 1 / 2 x 2 x 2²

Δx = 4 + 4

Δx = 8 m (1.88)

Za pomoc� tego r�wnania mo�emy zrobi� kolejn� przydatn� rzecz: Mo�emy uwzgl�dni� czas, aby uzyska� r�wnanie dotycz�ce pr�dko�ci i przebytej odleg�o�ci. Oto jak. Z r�wnania (1.81) wiemy, �e:

Δt = v- u / a (1.89)

Mo�emy zast�pi� t� warto�� Δt r�wnaniem (1.87), aby uzyska�:

Δx = u( v-u/a) + 1/2 ⋅a(v-u/a)² (1.90)

To paskudnie wygl�daj�ce r�wnanie mo�na znacznie upro�ci�. (Je�li dopiero zaczynasz przygod� z algebr�, sugeruj� pr�b� uproszczenia jej samemu.

v² = u² + 2aΔ(1.91)

To r�wnanie jest niezwykle przydatne. Na przyk�ad mo�emy go u�y� do ustalenia, jak szybko pi�ka upuszczona ze szczytu Empire State Building b�dzie podr�owa�, gdy uderzy o ziemi� (zak�adaj�c brak oporu powietrza z powodu wiatru lub pr�dko�ci). Przyspieszenie spadaj�cego obiektu wynika z si�y wywieranej na niego przez pole grawitacyjne Ziemi i jest r�wnowa�ne oko�o 9,8 m / s². Pr�dko�� pocz�tkowa pi�ki wynosi 0, a wysoko�� Empire State Building wynosi 381 m. Umieszczenie tych warto�ci w r�wnaniu daje:

v² = 0² + 2 x 9,8 x 381

v = √7467,6

v= 86,41 m/s (1.92) Powy�sze r�wnania s� prawdziwe dla wszystkich obiekt�w poruszaj�cych si� ze sta�ym przyspieszeniem, ale oczywi�cie mo�liwe jest r�wnie� poruszanie si� obiekt�w z r�nym przyspieszeniem. Na przyk�ad, samolot podczas startu z pasa startowego ma wysokie przyspieszenie na pocz�tku swojego biegu (kt�re odczuwasz jako si�� popychaj�c� ci� do oparcia siedzenia), kt�ra zmniejsza si� w miar� osi�gania limit�w mocy silnika . Ten rodzaj przyspieszenia wygl�da�by mniej wi�cej tak, jak pokazano na rysunku

Jako kolejny przyk�ad, poni�szy rysunek pokazuje wykres pr�dko�ci w funkcji czasu dla samochodu, kt�ry przyspiesza do 30 km / h, hamuje gwa�townie, aby unikn�� zb��kanego psa, a nast�pnie przyspiesza z powrotem do 30 km / h.

Gdy masz r�ne przyspieszenia, takie jak te, mo�esz okre�li� przyspieszenie tylko w okre�lonym czasie. Osi�ga si� to poprzez obliczenie gradientu stycznej do krzywej w tym punkcie.

Si�a

Wed�ug Isaaca Newtona: Odci�ni�ta si�a to dzia�anie wywierane na cia�o w celu zmiany jego stanu, albo spoczynku, albo r�wnomiernego ruchu we w�a�ciwej linii.

Dlatego si�a jest t� jako�ci�, kt�ra mo�e zmieni� pr�dko�� obiektu lub lini� ruchu. Si�a nie ma jednak nic wsp�lnego z samym ruchem. Na przyk�ad lataj�ca strza�a nie potrzebuje sta�ej si�y przy�o�onej do niej, aby mog�a lata� (jak s�dzi� Arystoteles). Si�a jest obecna tylko tam, gdzie zachodz� zmiany ruchu, takie jak zatrzymanie strza�y przez obiekt lub gdy kierowca przeci�gaj�cy przyspiesza wzd�u� paska. Jednostk� si�y jest Newton, w skr�cie N, i jest zdefiniowany jako:

Si�a potrzebna do przesuni�cia masy kilogramowej z spoczynku do pr�dko�ci jednego metra na sekund� w ci�gu jednej sekundy.

Istniej� dwa r�ne rodzaje si�: si�y kontaktowe i bezdotykowe. Si�y kontaktowe wyst�puj� mi�dzy dotykaj�cymi si� obiektami, takimi jak si�a tarcia wyst�puj�ca mi�dzy �niegiem a nartami zjazdowego narciarza. Si�y bezkontaktowe to takie, kt�re wyst�puj� mi�dzy obiektami, kt�re si� nie stykaj�, takie jak si�a grawitacji Ziemi na ciele lub si�a magnetyczna Ziemi na igle kompasu. Nale�y zauwa�y�, �e wiele si� mo�e oddzia�ywa� na pojedynczy obiekt jednocze�nie. Je�li suma tych si� jest r�wna zero, obiekt pozostaje w ruchu z t� sam� pr�dko�ci� w tym samym kierunku. Innymi s�owy, je�li obiekt jest nieruchomy lub porusza si� w linii prostej ze sta�� pr�dko�ci�, suma wszystkich dzia�aj�cych na niego si� musi wynosi� zero. Je�li jednak suma si� nie jest r�wna zero, obiekt przyspieszy w kierunku si�y wynikowej. Mo�e to by� myl�ce, szczeg�lnie w odniesieniu do obiekt�w statycznych. Na przyk�ad, w jaki spos�b si�y dzia�aj�ce na jab�ko siedz�ce na stole? W ko�cu si� nie rusza! Odpowied� jest taka, �e na jab�ko dzia�aj� dwie si�y: si�a grawitacji pr�buje przyci�gn�� jab�ko do Ziemi i r�wna i przeciwna si�a od sto�u odsuwa je od Ziemi. To dlatego jab�ko pozostaje nieruchome.

Wiemy, �e je�li suma si� dzia�aj�cych na obiekt jest r�na od zera, przyspieszenie b�dzie przekazywane w kierunku si�y; ale ile przyspieszenia? Odpowied� jest taka, �e wielko�� przyspieszenia a jest proporcjonalna do masy obiektu, m, i do przy�o�onej si�y ca�kowitej, F. Zale�no�� t� podaje r�wnanie:

a = F/m (1.93)

Cz�ciej jednak zobaczysz to r�wnanie zapisane jako:

F = ma (1.94)

Korzystaj�c z tego r�wnania, je�li wiemy, jak szybko obiekt przyspiesza i jego masa, mo�emy obliczy� ca�kowit� si�� dzia�aj�c� na niego. Wykorzystuj�c r�wnania si�y, przyspieszenia, pr�dko�ci i po�o�enia, je�li wiemy, ile si�y dzia�a na obiekt, mo�emy okre�li� przyspieszenie wynikaj�ce z tej si�y i odpowiednio zaktualizowa� po�o�enie i pr�dko�� obiektu. Za��my na przyk�ad, �e masz klas� statku kosmicznego z atrybutami masy, aktualnej pr�dko�ci i aktualnej pozycji. Co� takiego:

class SpaceShip
{
private:
vector m_Position;
vector m_Velocity;
float m_fMass;
public:
�
};

Bior�c pod uwag� odst�p czasu od ostatniej aktualizacji i si��, kt�r� nale�y zastosowa�, mo�emy stworzy� metod�, kt�ra aktualizuje pozycj� i pr�dko�� statku. Oto jak:

void SpaceShip::Update(float TimeElapsedSinceLastUpdate, float ForceOnShip)
{
float acceleration = ForceOnShip / m_fMass;

Przede wszystkim obliczy� przyspieszenie wynikaj�ce z si�y za pomoc� r�wnania (1.93)

m_Velocity += acceleration * TimeElapsedSinceLastUpdate;

Nast�pnie zaktualizuj pr�dko�� przyspieszenia za pomoc� r�wnania (1.80)

m_vPosition += m_Velocity * TimeElapsedSinceLastUpdate;
}

Na koniec pozycj� mo�na zaktualizowa� za pomoc� zaktualizowanej pr�dko�ci za pomoc� r�wnania (1.77).

Matematyka I FizykaProgramownie A.I. Gier

Elementarz matematyki i fizyki

Matematyka

Fizyka