pantograf : Przyrząd matematyczny(wynaleziony w 1603) służący do zmiany skali rysunków, map ,planów itp. Działanie pantografu opiera się na zasadzie równoległoboku przegubowego, w którym odległości pomiędzy obranymi punktami na przekątnej zmieniają się proporcjonalnie do długości tej przekątnej. Pantografy używane są także przez grawerów (zmniejszające) i rzeźbiarzy (pantografy przestrzenne powiększające) .Mianem pantografu określa się także popularny typ ślizgu prądowego w tramwajach i kolejach elektrycznych, przez analogię do kształtu.

papier logarytmiczny : Specjalnie poliniowany papier, służący do sporządzania wykresów w takich przypadkach, gdy przy jego użyciu osiąga się szczególnie prosty kształt wykresu. Na każdej z osi narysowanego układu współrzędnych prostokątnych Oxy odkładamy wartości logarytmów: x = log z na Ox oraz y = log w na Oy, a następnie kreślimy z otrzymanych punktów proste równoległe do osi.

papier semilogarytmiczny : Odmiana papieru logarytmicznego polegająca na tym ,że wartości logarytmów odkładamy tylko na jednej osi układu. Papier ten jest wygodny przy wykreślaniu funkcji wykładniczych typu w = k*a^u (k stałe, a > 0).

Pappus z Aleksandrii (III-IV w. n.e.) : Matematyk i fizyk grecki, napisał dzieło "Synagoge"(Zbiór), złożone z 8 ksiąg, gdzie skomentował treść wielu wybitnych starożytnych dzieł matematycznych, które zaginęły. Był to pewnego rodzaju podręcznik do studiowania geometrii greckiej wraz z uwagami historycznymi, ulepszeniami i odmianami istniejących twierdzeń i dowodów.

parabola : Krzywa płaska, miejsce geometryczne punktów równo oddalonych od ustalonego punktu F zwanego ogniskiem paraboli i od ustalonej prostej (nie przechodzącej przez F) zwanej kierownicą. Równoważna jest definicja: parabola jest krzywą powstała z przecięcia stożka płaszczyzną nie przechodzą przez jego wierzchołek i tworząca z osią stożka kąt równy połowie kąta rozwarcia stożka. Parabola posiada jedną oś symetrii, która przechodzi przez ognisko F i jest prostopadła do kierownicy. Punkt przecięcia paraboli z osią symetrii paraboli nazywamy wierzchołkiem paraboli; jest ona środkiem odcinka łączącego ognisko z punktem przecięcia kierownicy z osią symetrii. W celu wykreślenia paraboli rysujemy kierownicę i oś symetrii, na której umieszczamy ognisko i znajdujemy wierzchołek. Następnie rysujemy szereg prostych równoległych do kierownicy znajdujących się po tej samej stronie wierzchołka co ognisko. Odmierzamy cyrklem odległość pierwszej prostej od kierownicy i promieniem tym zakreślamy łuk z ogniska F; punkty przecięcia tego łuku z pierwszą prostą są punktami paraboli; podobnie szukamy punktów paraboli na drugiej i następnych prostych. Jeśli oś symetrii pokrywa się z osią x, a wierzchołek leży w początku układu współrzędnych, to równanie kanoniczne paraboli ma postać y² = 2px; p nazywamy parametrem paraboli; równanie kierownicy tej paraboli : x = -(p/2), współrzędne ogniska F(p/2, 0).

parabola Neila (parabola półsześcienna) : Krzywa płaska o równaniu :(x-a)² = (y-b)³. Prota y = b jest osią symetrii paraboli Neila. nazwa pochodzi od nazwiska matematyka angielskiego Williama Neila (1637-1670) , który obliczył długość łuku tej paraboli.

parabola sześcienna (parabola trzeciego stopnia) : Krzywa płaska o równaniu y=ax³bx²+cx +d gdzie a ≠ 0

paraboloida : Powierzchnia drugiego stopnia nie posiadająca środka symetrii, mająca natomiast jedną oś symetrii, która przecina paraboloidę w punkcie zwanym wierzchołkiem paraboloidy. Rozróżniamy dwa rodzaje paraboloid:1.paraboloida eliptyczna i 2.paraboloida hiperboliczna. Paraboloida eliptyczna powstaje przy równoległym przesuwaniu paraboli, której wierzchołek ślizga się po drugiej nieruchomej paraboli leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny ruchomej paraboli, przy czym ramiona parabol wychylone są tym samym kierunku. Jeżeli wierzchołek paraboloidy umieścimy w początku układu współrzędnych, a parabolę nieruchomą w płaszczyźnie yz (lub xz) symetrycznie względem osi z, to oś symetrii pokryje się z osią z, a równanie paraboloidy przybierze postać : x²/a² + y²/b² = z .Przy przekroju płaszczyzną równoległą do płaszczyzny xy otrzymujemy elipsę, natomiast w płaszczyznach równoległych do płaszczyzn xz i yz otrzymujemy parabole. Jeżeli a = b to mamy paraboloidę obrotową, którą można otrzymać również przez obrót paraboli dookoła jej osi symetrii. W kształcie paraboloidy eliptycznej obrotowej budowane sa reflektory ze względu na akustyczne i optyczne właściwości paraboli. Paraboloida hiperboliczna powstaje przy równoległym przesuwaniu paraboli, której wierzchołek ślizga się po drugiej nieruchomej paraboli leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny ruchomej paraboli, ale ramiona parabol wychylone są w przeciwnych kierunkach. Umieszczając nieruchomą parabolę w płaszczyźnie xz lub yz symetrycznie względem osi z, a jej wierzchołek w początku układu współrzędnych, otrzymamy paraboloidę hiperboliczną o równaniu x²/a² - y²/b² = z. W przekroju płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn xz i yz otrzymujemy parabole, natomiast płaszczyzny równoległe do płaszczyzny xy (z = c) przecinają paraboloidę hiperboliczną wzdłuż hiperbol o równaniach x²/a²-y²/b² = c (jeżeli c = 0, to hiperbole redukują się do dwóch prostych). Paraboloida hiperboliczna jest powierzchnią prostokreślną ,tzn. przez każdy jej punkt przechodzą dwie proste tworzące (leżące całkowicie na tej powierzchni)

paradoks : Nieoczekiwane "twierdzenie",które może być zarówno prawdziwe jak i fałszywe, kecz którego treść jest tak dziwna ,że budzi podejrzenie co do poprawności założeń lub dowodu. Dowód zawiera często zręcznie ukryty błąd,Np . dowód wzoru a = 2a, gdzie a jest liczbą dowolną, można przeprowadzić następująco: a²-a²=(a+a)(a-a) oraz a²-a²=a(a-a), stąd (a+a)(a-a)=a(a-a); "skracając" przez (a-a)stronami, otrzymamy (a+a)=a czyli 2a=a. Rozumowanie to, prowadzące do paradoksu,zawiera jeden krok błędny: "skracanie" o którym mowa, jest obustronnym dzieleniem przez (a-a), czyli przez 0, które nie jest wykonalna. Paradoksy będące przedmiotem licznych zabaw matematycznych, odegrały w historii matematyki ważną rolę, zwracając uwagę na konieczność ścisłego precyzowania pojęć i na luki w dowodach, co prowadziło do tworzenia nowych pojęć i doskonalenia teorii

paradoks Achillesa : Jeden ze słynnych paradoksów Zenona z Elei. Achilles goni żółwia, obaj poruszają się w tym samym kierunku po linii prostej ze stałymi prędkościami. Gdy Achilles znajdzie się w w P₁, żółw - choć porusza się znacznie wolniej - będzie już w P₂;gdy Achilles w P₂, to żółw w P₃, gdy Achilles w P₃, to żółw w P₄ itd. W ten sposób, twierdził Zenon, Achilles nigdy nie dogoni żółwia. Wyjaśnienie paradoksu Achillesa polega na spostrzeżeniu ,że łączna droga przebyta przez Achillesa do momentu zrównania się ze żółwiem, choć składa się z nieskończenie wielu etapów :P₀P₁+P₁P₂+P₂P₃+.... ma długość skończoną P₀P (postęp geometryczny nieskończony) ,równą (w /w-v)P₀P₁ gdzie w oznacza prędkość Achillesa, v - prędkość żółwia.

paradoks strzały : Jeden ze słynnych paradoksów Zenona z Elei. Strzała wypuszczona z łuku ma przebyć drogę AB. Aby znaleźć się w punkcie B, musi ona przedtem znaleźć się w połowie tej drogi w punkcie P₁.Aby znaleźć się w punkcji P₁ musi przedtem znaleźć się w połowie drogi AP₁, w punkcie P₂, aby znaleźć się punkcie P₂ musi przedtem znaleźć się w połowie drogi AP₂, w punkcie PP₃ itd. W ten sposób, twierdził Zenon, strzała nigdy nie doleci do punktu B, co więcej nigdy nie zacznie się nawet poruszać. Wyjaśnienie paradoksu strzały polega na spostrzeżeniu ,że łączny czas w jakim strzała przebędzie drogę AB=BP₁+P₁P₂+P₂P₃+... jest skończony, gdyż czasy potrzebne na przebywanie kolejnych etapów tej drogi tworzą postęp geometryczny nieskończony o ilorazie.

parametr : Nazwa ,której używa się niekiedy dla zmiennej, gdy chcemy podkreślić odmienną jej rolę w porównaniu z innymi zmiennymi. Np .w układzie współrzędnych prostokątnych kartezjańskich Oxy, równanie x²+y²=r² przedstawia wszystkie okręgi o środku w początku układu współrzędnych; r jest tu parametrem; nadając mu określone wartości, otrzymuje określone okręgi.

parametry statystyczne : Liczby charakteryzujące ogólne własności rozkładu prawdopodobieństwa, jak wartość przeciętna, odchylenie średnie, mediana itp.

parametryczne przedstawienie funkcji : Wyrażenie zależności między zmienną niezależną x oraz zmienną zależną y za pomocą pomocniczej zmiennej t, zwanej parametrem: x =f₁(t) i y =f₂(t) , gdzie f₁ i f₂ są danymi funkcjami.

Pascal Blasie (1623-1662) : Matematyk, fizyk i filozof francuski. W 1639 napisał swój pierwszy traktat naukowy o przekrojach stożkowych (twierdzenie Pascala dotyczące sześcioboku wpisanego w stożkową), w 1642 skonstruował jedna z pierwszych maszyn matematycznych do dodawania. Podał ogólną cechę podzielności liczb całkowitych, opartą na sumowaniu cyfr liczb występujących w dzieleniu; wynalazł metodę obliczania współczynników w rozwinięciu dwumianu (trójkąt Pascala), podał sposób obliczenia ilości kombinacji (kombinatoryka), pierwszy sformował dokładnie i zastosował metodę indukcji matematycznej. Podał metody całkowe obliczania pola powierzchni figur, objętości i pola powierzchni brył. Jest współtwórcą rachunku prawdopodobieństwa. Napisał również wiele prac z fizyki i analizy matematycznej.

Peano Gisussepe (1858-1932) : Matematyk włoski od 1890 profesor uniwersytetu w Turynie, Zajmował się analizą matematyczną, równaniami różniczkowymi i logicznymi podstawami matematyki .Najbardziej znana jest aksjomatyka arytmetyki liczb naturalnych Peano.

pentagon : Pięciokąt (pięciobok), nazwa pochodzenia greckiego

pentagram : Pięciokąt foremny w kształcie gwiazdy, w starożytności był symbolem zdrowia, umieszczanym na monetach, w średniowieczu ryto go na amuletach i służył do odczyniania czarów

permutacja (przemiana , uporządkowanie) : Pojęcie kombinatoryki. Permutacją z n elementów nazywamy ustawienie ich w pewnym określonym porządku. Np. liczby 1 ,2 i 3 można ustawić na 6 różnych sposobów: 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 3 1 2, 2 3 1, 3 2 1,a więc mamy 6 permutacji. Ogólnie istnieje n! permutacji z n elementów, a więc mamy np 6 ludzi można ustawić w rzędzie na 720 sposobów, a 10 na 3 628 800 sposobów.

pewnik : aksjomat

pewnik Dedekinda : aksjomaty ciągłości, przekrój zbioru liczb

pewnik Euklidesa : postulat Euklidesa

pęk płaszczyzn : Zbiór płaszczyzn posiadających wspólną prostą lub równoległych. Jeśli płaszczyzny P i Q mają równania A₁x+B₁y+C₁z+D₁ = 0 i A₂x+B₂y+C₂z+D₂ = 0 to dowolna płaszczyzna pęku płaszczyzn zawierającego P i Q ma równanie (A₁k+A₂l)x+(B₁k+B₂l)y+(C₁k+C₂l)z+(D₁k+D₂l) = 0, gdzie k i l są pewnymi liczbami, nie równymi jednocześnie zeru (k² + l²) > 0.

pęk prostych : Zbiór linii prostych ma płaszczyźnie, które przechodzą jednocześnie przez jeden punkt lub są równoległe. Jeżeli proste K i L mają równanie: A₁x+B₁y+C₁ = 0 i A₂x+B₂y+C₂ = 0 , to dowolna prosta pęku prostych zawierająca K i L ma równanie:
(A₁k+A₂l)x+(B₁k+B₂l)y+(C₁k+C₂l) gdzie k i l są pewnymi liczbami , nie równymi jednocześnie zeru,(k² + l²) > 0

pi(π) : Nazwa liczby wyrażającej stosunek długości okręgu do jego średnicy; π = 3,1415926536.... π jest liczbą niewymierną i przestępną. Znanych jest wiele interesujących przybliżeń liczby π, np. π = 18(3-2√2), podane w hinduskim dziele "Sulvasturas" (co najmniej 500 lat p.n.e), π = √10 (święta księga Jainy, ok. 500 lat p.n.e), wreszcie π≈3 1/7 = 3.1428 (przybliżenie Archimedesa)

pierścień : Jedno z podstawowych pojęć współczesnej algebry. Pierścieniem nazywamy każdy zbiór elementów Z, w którym określone są : dodawanie i mnożenie, przyporządkowujące każdym dwóm elementom a,b , tego samego zbioru element a+b tego zbioru, zwany ich sumą, oraz element a*b tego zbioru,zwany ich iloczynem, przy czym winny być spełnione następujące warunki:
I. a+b=b+a
II.a+(b+c) = (a+b)+c , a(bc) = (ab)c
III.Równanie a+x=b ma jednoznaczne rozwiązanie w Z
IV. a(b+c)=ab+ac, (b+c)a = ba+ca
Przykłady pierścieni: zbiór wszystkich liczb całkowitych, zbiór wszystkich liczb zespolonych, zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych itd. Nie jest pierścieniem zbiór liczb naturalnych, ponieważ np. równanie 3+x=1 nie posiada w tym zbiorze rozwiązania.

pierwiastek algebraiczny stopnia n danej liczby a : Każda liczba b o tej własności ,że bⁿ = a. Symbolu √ należy używać w znaczeniu pierwiastka arytmetycznego, gdyż w przeciwnym przypadku liczne symbole byłyby wieloznaczne

pierwiastek arytmetyczny stopnia n z danej liczby a ≥ 0 : Taka liczba b ≥ 0 ,że bⁿ = a, piszemy wówczas

pierwiastek obcy : równanie niewymierne

pierwiastek wielokrotny równania algebraicznego : Liczba a taka ,że lewa strona równania algebraicznego W(x) = 0 dzieli się bez reszty przez (x-a)^k (k liczba naturalna ≠ 1); jeżeli W(x) nie dzieli się bez reszty przez (x-a)^k+1 a jest wówczas k-krotnym pierwiastkiem równania algebraicznego.

pierwiastek wielomianu : Miejsce zerowe wielomianu

pierwiastki sprzężone : równanie kwadratowe

pierwiastkowanie liczb rzeczywistych : Obliczanie pierwiastka (pierwiastek arytmetyczny)

pierwiastkowanie liczb zespolonych : Obliczanie pierwiastka z liczb zespolonych, przy czym pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z = r(cosφ+isinφ) nazywamy każdą liczbę zespoloną w spełniającą warunek wⁿ = z. Istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z danej liczby zespolonej z ≠ 0, mianowicie

(k=0,1,2...,n-1). Pierwiastki w₁,...,w_n są położone w płaszczyźnie zespolonej na okręgu o środku w początku układu i promieniu równym i są wierzchołkami wielokąta foremnego.

Pitagoras (ok. 582-ok. 507 p.n.e) : Filozof grecki, urodził się i żył na wyspie Samos, a następnie działał w Krotonie w Italii gdzie założył religijno-filozoficzną szkołę. Pitagorasowi przypisuje się systematyczne wprowadzenie dowodów w geometrii. Pitagoras wprowadził pojęcie podobieństwa figur, dowiódł znanego twierdzenia dla trójkątów, podał konstrukcję pewnych wielokątów i wielościanów,badając wielokąty odkrył niewspółmierność odcinków, zajmował się również wraz ze swymi uczniami własnościami liczb, przypisując im mistyczne znaczenie

planimetr : Odmiana integrimetru, przyrząd matematyczny do obliczania pól obszarów krzywoliniowych, wynaleziony w 1814 przez Hermanna, a następnie wielokrotnie udoskonalany; najpopularniejszą odmianą stanowi planimetr biegunowy Amslera (1854), składający się z dwu przegubowo połączonych ramion, kółka pomiarowego i osi oraz wodzika. Prowadząc wodzik po konturze mierzonego obszaru otrzymujemy z chwilą powrotu do punktu wyjściowego wartość pola w odpowiedniej skali na kółku pomiarowym

planimetria : Dział geometrii zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych płaskich. Elementy planimetrii znane były już w starożytnej Grecji ("Elementy" Euklidesa)

płaszczyzna : Jedno z pojęć pierwotnych geometrii (geometria absolutna).Niektóre własności płaszczyzny:1.prosta przechodząca przez dwa dowolne punkty płaszczyzny leży całkowicie w tej płaszczyźnie;2.płaszczyzna jest miejscem geometrycznym punktów w przestrzeni równo oddalonych od dwóch ustalonych punktów (Łobaczewski podłą tę własność jako określenie płaszczyzny);3. przez trzy punkty nie leżące na jednej prostej przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna. Prosta leżąca na płaszczyźnie dzieli ją na dwie części zwane półpłaszczyznami. Jeśli w przestrzeni trójwymiarowej dana jest płaszczyzna, to dowolna prosta :1.może całkowicie leżeć na tej płaszczyźnie;2.może przecinać płaszczyznę w jednym puncie (punkt przebicia);3.być równoległa do płaszczyzny. Jeżeli prosta L jest prostopadłą do do każdej prostej leżącej na płaszczyźnie P i przechodzącej przez punkt przebicia płaszczyzny P przez prostą L, to mówimy ,ze prosta L jest prostopadła do płaszczyzny P. Jeżeli co najmniej jedna prosta leżąca na płaszczyźnie P₁ jest prostopadła do płaszczyzny P₂, to płaszczyzna P₁ jest prostopadła do płaszczyzny P₂.Płaszczyzna prostopadła do pionu w danym punkcie jest płaszczyzną poziomą. Równanie ogólne płaszczyzny ;Ax+By+Cz+D=0, gdzie A²+B²+C² > 0(A,B,C nie są równocześnie równe zeru).Wektor [A,B,C] jest prostopadły do tej płaszczyzny. Równanie normalne : αx+βy+γz+δ = 0 , gdzie α²+β²+γ² = 1; α,β,γ są cosinusami kierunkowymi prostej prostopadłej do płaszczyzny .Równanie normalne płaszczyzny określonej równaniem ogólnym :

Równanie odcinkowe płaszczyzny:
x/a+y/b+z/c=1, punkty (a,0,0),(0,b,0), (0,0,c) są punktami przecięcia płaszczyzny z osiami układu współrzędnych. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty nie leżące na jednej prostej A(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂,z₂),C(x₃,y₃,z₃):

Przypadki szczególne : x= 0 - równanie płaszczyzny yz, y=0 - równanie płaszczyzny xz, z = 0 -równanie płaszczyzny xy.

płaszczyzna normalna : trójścian Freneta

płaszczyzna prostująca : trójścian Freneta

płaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie P₀(x₀,y₀,z₀) : Płaszczyzna utworzona przez wszystkie proste styczne do krzywych leżących na tej powierzchni i przechodzących przez punkt P₀ (proste te leżą w jednej płaszczyźnie)

płaszczyzna symetrii : symetria

płaszczyzna ściśle styczna : trójścian Freneta

pochodna (funkcji) : Jedno z podstawowych pojęć analizy matematycznej, wprowadzone do matematyki w końcu XVII w. przez Newtona i Leibniza. Jeżeli y = f(x) jest funkcją daną , to jej pochodną f′(x) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

lub krótko

, przy czym Δy=f(x+Δx)-f(x). Pochodną funkcji oznaczamy także symbolem Δy/Δx (różniczka) .Pochodna f′(x) jest funkcją "pochodzącą" od funkcji f(x), czemu zawdzięcza swą nazwę. Nie każda funkcja ma pochodną; o funkcjach ,które mają pochodne mówimy ,że są różniczkowalne. Obliczanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem. Wielkie znaczenie pochodnej przy badaniu zjawisk przyrody wynika z jej interpretacji geometrycznej i fizycznej.. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji polega na tym, że wartość f′(x) równa jest współczynnikowi kątowemu, stycznej do linii o równaniu y = f(x), poprowadzonej w punkcie o odciętej x₀.

pochodna funkcji odwrotnej : Jeżeli funkcja y = f(x) posiada w przedziale otwartym (a,b) pochodną f′(x) ≠ 0 to pochodna funkcji odwrotnej x = f-1(y) istnieje w każdym punkcie tego przedziału przy czym
[f-1(y)]′ = 1/f′(x).

pochodna funkcji złożonej : Jeżeli funkcje y = F(u) oraz u = f(x) posiadają pochodne, to dla każdej wartości x należącej do dziedziny funkcji złożonej y = F[f(x)] istnieje pochodna dy/dx, przy czym dy/dx=dy/du*du/dx. Znajomość wzoru na pochodną funkcji złożonej pozwala obliczać pochodne funkcji, wyrażających się zawiłymi wzorami, w dość prosty i krótki sposób.

pochodna logarytmiczna danej funkcji f(x) : Pochodna logarytmu naturalnego tej funkcji. Pochodna logarytmiczna f(x) = [ln(f(x)]′ = f′(x)/f(x)

pochodne wyższych rzędów : Pochodną pochodnej rzędu n [f⁽ⁿ⁾(x)]′ oznaczamy f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) i nazywamy pochodną rzędu (n+1)

pochylnik (chyłomierz,kinometr) : Prosty przyrząd do pomiarów kąta nachylenia powierzchni terenu względem poziomu. Używany jest przede wszystkim do obliczania odległości dwóch punktów na terenie pochyłym

podera (krzywa spodkowa) danej krzywej K względem punktu A : Miejsce geometryczne punktów przecięcia stycznych do krzywej i prostych prosotpadłych do nich, opuszczonych z punktu A. Krzywą K nazywamy antypoderą podery P względem punktu A

podnormalna krzywej K o równaniu y=f(x) : Miara względna wektora na osi Ox;wyraża się wzorem y₀ * f′(x₀.)

podobieństwo : Przekształcenie geometryczne jednej figury geometrycznej w drugą, przy którym odległości pomiędzy punktami figury zmieniają się w tym samym stosunku, zwanym skalą podobieństwa albo stosunkiem podobieństwa. Dwie figury są podobne, jeżeli odcinki jednej figury są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiej figury. Podobieństwo oparte na proporcjonalności odcinków znane było już Euklidesowi. Dwa wielokąty o tej samej liczbie boków są podobne, jeżeli odpowiednie kąty tych wielokątów są równe, a boki jednego są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego. Dwa okręgi są figurami podobnymi. Do wykreślania figur podobnych o danym stosunku podobieństwa służą m.in. pantografy. Dwa wielościany o tej samej liczbie ścian są podobne, jeżeli kąty płaskie i dwuścienne jednego z nich są równe odpowiednim kątom płaskim i dwuściennym drugiego, a krawędzie jednego są proporcjonalne do odpowiednich krawędzi drugiego (odpowiednie ściany są wielokątami podobnymi)

podstawa logarytmu : logarytm

podstawa potęgi : potęgi

podstyczna krzywej K o równaniu y =f(x) : Miara względna wektora na osi Ox; wyraża się wzorem y₀/f&prime(x₀).

podwojenie sześcianu (problem delfijski) : Jeden z klasycznych problemów geometrycznych starożytności, polegający na zbudowaniu metodami elementarnymi (za pomocą cyrkla i linijki) sześcianu dwukrotnie większej objętości od danego, czyli na zbudowaniu odcinka od długości . Konstrukcja tymi środkami jest niewykonalna. Eratostenes zbudował przyrząd do wykonania tej konstrukcji - mezalabium. Istnieje poza tym szereg innych tego rodzaju metod.

podział harmoniczny : proporcja harmoniczna

podział odcinka w danym stosunku : Znalezienie wewnątrz odcinka AB punktu C , dzielącego ten odcinek na dwie części, których stosunek długości jest dany. Jeżeli mamy współrzędne punktów A(x₁,y₁) i B(x₂,y₂) oraz AC/BC = λ, to współrzędne punktu C otrzymujemy ze wzorów:

Jeżeli λ = 1, to punkt C jest środkiem odcinka AB

podział wewnętrzny odcinka : Znalezienie wewnątrz odcinka AB punktu C dzielącego go na części proporcjonalne do dwóch danych odcinków a i b .Konstrukcja opiera się na twierdzeniu Talesa.

podział zewnętrzny odcinka : Znalezienie na prostej zawierającej odcinek AB punktu C leżącego na zewnątrz odcinka AB takiego ,że odcinki AC i BC były proporcjonalne do dwóch danych odcinków a i b. Konstrukcja opiera się na twierdzeniu Talesa.

podzielność liczb : Pojęcie z teorii liczb. Liczba całkowita n jest podzielna przez liczbę całkowitą m wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba całkowita k ,że n = m*k. Oto niektóre tzw .cechy podzielności (będące warunkami koniecznymi i dostatecznymi podzielności liczb):
liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8
liczba jest podzielna przez 3 jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3
liczba jest podzielna przez 4, jeśli liczba zapisana dwoma ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 4
liczba jest podzielna przez 5 jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 liczba jest podzielna przez 9 ,jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 9
liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych dzieli się przez 11 (może być zerem)

podzielność wielomianów : Wielomian W(x) podzielny przez wielomian N(x),a ich ilorazem jest wielomian P(x),jeżeli W(x) ≡ N(x)*P(x). W przypadku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-a mamy następujące twierdzenie: na to aby wielomian W(x) był podzielny przez dwumian x-a, potrzeba i wystarcza aby W(a) = 0

Pogorzelski Witold (1895-1963) : Matematyk polski, od 1922 profesor Politechniki Warszawskiej. Zorganizował i postawił na wysokim poziomie katedry matematyki w Politechnice Łódzkiej, Warszawskiej i wojskowej Akademii Technicznej, napisał około 100 prac naukowych, poświęconych głównie zagadnieniom równań różniczkowych i całkowych,jak również 11 podręczników dla słuchaczy wyższych szkół technicznych oraz inżynierów i matematyków. Pogorzelski był twórcą i kierownikiem Działu Równań Całkowych w Instytucie Matematycznym PAN.

Poincare Jules Henri (1854-1912) : Matematyk, fizyk francuski, członek Akademii Nauk w Paryżu (od 1887), profesor Uniwersytetu Paryskiego (od 1886). Poincare napisał wiele wybitnych prac z równań różniczkowych, zajmował się zarówno klasycznymi jak i nowymi w owym czasie działami matematyki. Był jednym z twórców kombinatorycznej topologii, autorem wielu praz z fizyki matematycznej.

Poisson Simeon Denis (1781-1840) : Matematyk i fizyk francuski,członek Akademii Nauk w Paryżu (1812), profesor Ecole Polytechnique i Uniwersytetu Paryskiego. Napisał wiele prac z równań różniczkowych i fizyki matematycznej m.in. teorii sprężystości i ciepła, balistyki wewnętrznej, jak również z rachunku wariacyjnego i szeregów Fouriera

pole figury : Liczba rzeczywista nieujemna, przyporządkowana ograniczonej figurze płaskiej lub powierzchni w przestrzeni,spełniająca następujące warunki: 1. pole figury składające się z innych figur rozłącznych równa się sumie pól figur składowych;2.pole figur przystających są równe. Przyjmujemy ponadto ,że pole kwadratu o boku jednostkowym równa się 1. Pole figury było wielkością znaną już w starożytności, Grecy znali dość dokładnie wzory do obliczania pola figur. Euklides ujął te formuły w formę twierdzeń. Mierzenie pola figur płaskich możemy wprowadzić np. w następujący sposób :
I.Pole trójkąta równe jest połowie pola prostokąta o bokach równych podstawie i opuszczonej na nią wysokości trójkąta. Pole wielokąta równa się sumie pól trójkątów, na które dzielimy wielokąt. Ażeby obliczyć pole figury ograniczonej pewną krzywą zamkniętą,wpisujemy oraz opisujemy na tej figurze wielokąty, zwiększając za każdym razem liczbę boków, przy czym wraz ze wzrostem liczby boków długość każdego boku maleje do zera. Przy pewnych założeniach dotyczących krzywej ograniczającej obszar, pola wielokątów wpisanych i opisanych dążą do tej samej granicy, którą nazywamy polem wielokąta.
II.Daną figurę pokrywamy kwadratami leżącymi wewnątrz figury, a następnie kwadratami posiadającymi z figurą co najmniej jeden punkt wspólny. Pole figury jest większe od sumy pól kwadratów wewnętrznych, a mniejsze od sumy pól kwadratów drugiego zbioru. Zwiększamy ilość kwadratów zmniejszając długość boku. Przy pewnych założeniach dotyczących brzegu figury sumy pól kwadratów dążą do wspólnej granicy, która jest polem figury. Jeżeli figura jest pewną powierzchnią, to dzielimy ją na części tak, że każdą część możemy zastąpić polem prostokąta, który jest rzutem prostopadłym tej części na płaszczyznę styczną do tej części powierzchni. Zwiększając ilość części przy podziale tak ,że przekątna każdego z prostokątów dąży do zera , otrzymamy w granicy pole figury.

pole kierunków : Funkcja, która każdemu punktowi, należącemu do pewnego obszaru płaskiego lub leżącemu na pewnej powierzchni, przyporządkowuje pewien kierunek.

pole koła : okrąg

pole wektorowe : Funkcja przyporządkowująca każdemu punktowi pewnego obszaru płaskiego lub pewnej powierzchni wektor.

poligonizacja : Ogólnie, podział danego obszaru liniami łamanymi na wielokąty, w geodezji najstarsza historycznie metoda pomiarów terenowych, polegająca na zastąpieniu pomiarów odległościowych między stosunkowo odległymi punktami przez pomiary kątowe i odległościowe między wierzchołkami wytyczonego tzw. ciągu poligonizacyjnego. Poligonizacja stosowana jest przy mierzeniu stosunkowo małych terenów (długość odcinka w ciągu poligonizacyjnym zawiera się zwykle w granicach 50-500m.)

południk : powierzchnia obrotowa

Poncelet Jean Victor (1788-1867) : Matematyk i inżynier francuski, członek Akademii Nauk w Paryżu (od 1834), profesor Uniwersytetu Paryskiego i dyrektor Ecole Polytechnique. Jest twórcą geometrii rzutowej i autorem prac z mechanik teoretycznej; wprowadził jednostkę pracy mechanicznej (kilogramometr)

postać kanoniczna trójmianu kwadratowego : Funkcja stopnia drugiego

postęp arytmetyczny : Ciąg liczbowy (skończony lub nie), w którym każdy wyraz następny a_n+1 powstaje przez dodanie do poprzedniego a_n stałej liczby r zwanej różnicą postępu:
a_n+1 = a_n + r (n=1,2,3...) .Dla każdego naturalnego n zachodzi wzór a_n = a₁+(n-1)r. Suma n początkowych wyrazów postępu arytmetycznego wyraża się wzorem:
S_n=(a₁+a_n/2) * n lub S_n=n/2[2a₁+(n-1)r)]
Każdy wyraz postępu arytmetycznego z wyjątkiem skrajnych jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:
a_n = a_n-1+a_n+1/2
Za pomocą postępu arytmetycznego można rozwiązać wiele ciekawych zagadnień, np. suma n pierwszych liczb naturalnych (tworzących postęp arytmetyczny o wyrazie pierwszym a₁ = 1 i różnicy r = 1)wyraża się wzorem: 1+2+3+...+n = (1+n/2)*n

postęp arytmetyczny wyższego rzędu : Ciąg powstały z postępu arytmetycznego przez podniesienie do tej samej potęgi naturalnej wszystkich jego wyrazów, np. a², (a+d)²,....,(a+nd)², ..... jest postępem arytmetycznym drugiego rzędu, Sumy pewnych ważnych postępów arytmetycznych wyższego rzędu są następujące:

postęp geometryczny : Ciąg liczbowy (skończony lub nie)w którym każdy wyraz następny a_n+1 powstaje przez pomnożenie poprzedniego_n przez stały czynnik q , różny od zera zwany ilorazem postępu:
a_n+1 = a_n*q. Dla każdego naturalnego n mamy a_n = a₁ * qa^n-1. Suma n początkowych wyrazów postępu geometrycznego , w którym q ≠ 1 ,wyraża się wzorem
S_n = a₁*(qⁿ - 1 / q-1)
Każdy wyraz (z wyjątkiem skrajnych) w postępie geometrycznym o wyrazach dodatnich jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich

Postęp geometryczny nieskończony tzn. posiadający nieskończenie wiele wyrazów ,zapisujemy a₁,a₁q,a₁q²,...,a₁qⁿ. Jeżeli iloraz q spełnia warunek -1 < q < 1 (co można zapisać krócej |q| < 1 ) to postęp geometryczny nieskończony posiada określoną sumę
S _∞ = a1/1-q.

postępy : Pewne szczególne ciągi .Postęp arytmetyczny, postęp geometryczny

postulat : aksjomat

postulat (pewnik) Euklidesa (o prostych równoległych) : Na płaszczyźnie przez punkt nie leżący na prostej przechodzi dokładnie jedna prosta nie przecinająca danej prostej.

potęga : Iloczyn n jednakowych czynników równych a, gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą , zaś n ≥ 2 liczbę naturalną: aⁿ = a*a*a*a...*a. Liczbę a nazywamy podstawą zaś n wykładnikiem potęgi aⁿ. Pojęcie potęgi rozszerzono na przypadek wykładników całkowitych, określając dodatkowo a¹ = a, a⁰ = 1, a^-n = 1/aⁿ (a ≠ 0, n naturalne), następnie wykładników wymiernych postaci m/n ora -(m/n) (m i n naturalne)

wreszcie na przypadek dowolnych wykładników rzeczywistych. Następujące prawa rządzą rachunkiem na potęgę:
a^x*a^y = a^x+y      a^x:a^y = a^x-y
(ab)^x = a^xa^x     (a:b)^x = a^x : b^x
(a^x)^y = a^xy,przy czym a > 0, b > 0, zaś x i y są to dowolne liczby rzeczywiste

potęga punktu względem okręgu : Liczba rzeczywista K charakteryzująca położenie punktu M względem okręgu: K = εMA*MB, gdzie ε = 1, jeżeli punkt M leży na zewnątrz okręgu, natomiast ε = -1, jeżeli M leży wewnątrz okręgu, przy czym A i B są to punkty przecięcia okręgu z sieczną przechodzącą przez punkt M.

potęgowanie : Obliczanie potęgi

powierzchnia : Figura geometryczna dwuwymiarowa, określana różnie w poszczególnych działach geometrii. W geometrii elementarnej rozważamy następujące powierzchnie: płaszczyzny ,wielościany, powierzchnie krzywoliniowe, powierzchnie określane jako miejsce geometryczne punktów o danej własności (powierzchnia kulista, stożek itd).

powierzchnia algebraiczna : Powierzchnia, którą możemy opisać funkcjami algebraicznymi.

powierzchnia jednostronna : Powierzchnia na której istnieje droga prowadząca z każdego punktu po jednej jej stronie do dowolnego punktu leżącego po drugiej stronie, nie przecinająca nigdzie brzegu powierzchni i nie przerywająca jej. Powierzchnie nie spełniające tego warunku są powierzchniami dwustronnymi. Powierzchniami jednostronnymi są : wstęga Möbiusa, powierzchnia Kleina, siedmiościan jednostronny itd.

powierzchnia kulista (sfera) : Miejsce geometryczne (w przestrzeni trójwymiarowej) punktów jednakowo odległych od ustalonego punktu zwanego środkiem. Odcinek łączący dowolny punkt powierzchni kulistej ze środkiem nazywamy promieniem (R).Cięciwę przechodzącą przez środek powierzchni kulistej nazywamy średnicą. Współrzędne punktów powierzchni kulistej spełniają równanie (x-a)²+(y-b)²+(z-c)² = R², gdzie (a,b,c) są współrzędnymi środka. Powierzchnia kulista dzieli przestrzeń trójwymiarową na dwie części : ograniczoną i nieograniczoną. Część ograniczoną nazywamy kulą. Środek i promień powierzchni kulistej są również środkiem i promieniem kuli. Kulę można również określić jako bryłę, która powstaje przy obrocie koła dookoła jego średnicy. Współrzędne punktów kuli spełniają nierówność : (x-a)²+(y-b)²+(z-c)² ≤ R².Pole powierzchni kulistej P=4πR² = πd², gdzie d = 2R jest średnicą kuli. Objętość kuli V=(4/3)πR³ = (1/6)πd³ = (1/3)PR. Przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Jeżeli płaszczyzna nie przechodzi przez środek kuli, to otrzymamy w przekroju okrąg nazwany małym kołem kuli

powierzchnia obrotowa : Powierzchnia jaką zatacza krzywa obracająca się dookoła prostej zwaną osią obrotu. Jeżeli krzywa dana równaniami x=x(t), y=y(t), z=z(t) obraca się dookoła osi z, to eliminując z równań x²+y²=[x(t)]²+[y(t)]² i z = z(t), parametr t, otrzymamy równanie powierzchni obrotowej. Płaszczyzny przechodzące przez oś obrotu przecinają powierzchnię obrotową wzdłuż linii zwanych południkami, a płaszczyzny prostopadłe do osi obrotu przecinają powierzchnię kulistą wzdłuż okręgów zwanych równoleżnikami.

powierzchnia rozwijalna : Powierzchnia , którą możemy przekształcić na część płaszczyzny w ten sposób ,że każda krzywa leżąca na tej powierzchni staje się krzywą płaską o tej samej długości. Obrazowo mówiąc, powierzchnia rozwijalna jest powierzchnią, którą można rozłożyć na płaszczyźnie bez rozciągania i rozcinania tej powierzchni .Każda powierzchnia rozwijalna jest powierzchnią prostokreślną (tzn. przez każdy jej punkt przechodzi prosta w całości leżąca na tej powierzchni),ale nie zawsze na odwrót. Każda powierzchnia rozwijalna jest albo miejscem geometrycznym stycznych do krzywej przestrzennej albo powierzchnią stożkową (stożek), albo powierzchnią walcową , na odwrót, każda z tych powierzchni jest powierzchnią rozwijalną. w punktach powierzchni rozwijalnej leżących na tej samej prostoliniowej tworzącej płaszczyzna stycznej jest ta sama

powierzchnia stożkowa : stożek

powierzchnia walcowa (walec) : Powierzchnia utworzona przez prostą zwaną tworzącą, przesuwając się równolegle po pewnej krzywej tworzącej płaskiej, nie leżącej w płaszczyźnie równoległej do tworzącej. Jeżeli krzywa tworząca jest elipsą, mamy walec eliptyczny jeżeli hiperbolą - walec hiperboliczny, jeżeli parabolą - walec paraboliczny itd. Jeżeli przekrój walca płaszczyzną prostopadłą do tworzącej jest okręgiem, mamy walec obrotowy (kołowy) .Walcem nazywamy również bryłę ograniczoną powierzchnią walcową zamkniętą dwiema płaszczyznami nierównoległymi do tworzących, zwanymi podstawami walca. Jeżeli płaszczyzny te są prostopadłe do tworzących to walec nazywamy prostym, jeżeli nie są prostopadłe to walcem ściętym. Walec kołowy prosty posiada oś symetrii zwaną osią walca; jest nią prosta przechodząca przez środki kół utworzonych przez przekroje płaszczyznami prostopadłymi do tworzących. Odległość między podstawami walca prostego (h) nazywamy wysokością walca. Objętość walca kołowego V = πr²h, gdzie r jest promieniem podstawy walca; pole powierzchni bocznej walca S = 2πrh. Objętość walca eliptycznego prostego V = πabh, gdzie a i b są to długości półosi wielkiej i małej elipsy.

powierzchnia wielościanu : Powierzchnia zamknięta złożona z wielokątów nie leżących w jednej płaszczyźnie, których każdy bok jest wspólny dla dwóch wielokątów.

powierzchnie drugiego stopnia : Powierzchnie złożone z punktów, których współrzędne spełniają równania a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z²+2a₁₁xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0; gdzie


Δ - wielki wyróżnik, W₂ - mały wyróżnik. Rząd wyznacznika jest równy liczbie wierszy wyznacznika liniowo niezależnych (zależność liniowa).Równania ogólne powierzchni drugiego stopnia można za pomocą zmiany układu współrzędnych (przesunięcie i obrót) sprowadzić do tzw. postaci kanonicznej.

powinowactwo : przekształcenie geometryczne

pozycyjny system liczbowy : Sposób zapisu liczb polegający na tym ,że znaczenie cyfr zależy od miejsca (pozycji),na której się one znajdują. Przykładem pozycyjnego systemu liczbowego są np. dziesiątkowy i dwójkowy system liczbowy. Jeżeli c₁.c₂,...,c_p oznaczają cyfry (np. arabskie, wówczas p = 10),to zapis c₁c₂ oznacza c₁*p¹ + c₂p⁰. Liczbę p nazywamy podstawą danego systemu. Przyjmując dziesięć cyfr arabskich 0,1,2,3...,9 oraz p = 10, otrzymujemy ogólnie rozpowszechniony dziesiątkowy system liczbowy. Zaletą pozycyjnego systemu liczbowego jest to ,że pozwala on zapisać każdą liczbę za pomocą p cyfr.

półpłaszczyzna : płaszczyzna

półprosta : linia prosta

prawa de Morgana : rachunek logiczny

prawa wielkich liczb : Ogólna nazwa liczbie grupy twierdzeń w rachunku prawdopodobieństwa o własnościach granicznych średnich arytmetycznych zmiennych losowych, w szczególności o własnościach granicznych frekwencji zdarzenia losowego (prawo Bernoulliego, zbieżność stochastyczna)

prawdopodobieństwo : Miara zdarzenia losowego; w najprostszym przypadku prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego wyraża się to stosunkiem liczby przypadków sprzyjających temu zdarzeniu do liczby wszystkich możliwych równoprawnych przypadków (tzw. zdarzeń elementarnych). w ogólnym przypadku, prawdopodobieństwo określa się w sposób aksjomatyczny, na gruncie algebry Boole`a i teorii miary

prawdopodobieństwo warunkowe : Prawdopodobieństwo względne danego zdarzenia losowego, tzn. przy założeniu, że zaszło określone zdarzenie warunkujące; prawdopodobieństwo warunkowe równe jest stosunkowi prawdopodobieństwa jednoczesnego wystąpienia obu zdarzeń do prawdopodobieństwa zdarzenia warunkującego np. prawdopodobieństwa wyrzucenia "szóstki" jeżeli wiadomo ,ze rzut kostką do gry dał wynik parzysty,wynosi 1/6:1/2=1/3

prawo Bernoulliego : Najprostsza i historycznie najwcześniejsza postać prawa wielkich liczb w rachunku prawdopodobieństwa ,sformułowana przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Bernoulliego (1713).Prawo Bernoulliego orzeka ,że z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać ,iż przy dostatecznie wielkiej ilości prób frekwencja danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa. Np. przy rzucaniu kostką do gry można oczekiwać,że frekwencja "jedynek" będzie praktycznie zbliżać się do 1/6 w miarę wykonywania coraz to większych serii rzutów; nie oznacza to jednak ,że zaobserwowanie granicznej wartości frekwencji różnej znacznie od 1/6 (np. równej 1/3) jest niemożliwe - tyle ,że niesłychanie mało prawdopodobne.

prawo małych liczb : Twierdzenie z rachunku prawdopodobieństwa,że krotność występowania w ustalonych okresach obserwacyjnych zdarzenia losowego o małym prawdopodobieństwie charakteryzuje się rozkładem Poissona. Prawo małych liczb znajduje zastosowanie w odniesieniu do zjawisk rozpadu promieniotwórczego atomu, powstawania wad w produkcji masowej, teorii ogonków, występowania jednakowych kolejnych cyfr w liczbach losowych.

probabilistyka : rachunek prawdopodobieństwa

problem delfijski : podwojenie sześcianu

procent pewnej liczby (%) : Setna część tej liczby;1% liczby a wynosi a/100. Ogólnie p% liczby a wynosi ap/100 .Jeżeli szukamy liczby a ,której p% wynosi b to a = 100b/p. jeżeli np. wiadomo ,że 4% nieznanej liczby wynosi 28 to liczbą tą jest 100*28/4 = 700.

procent prosty : Potoczna nazwa sposobu oprocentowania kapitału polegającego na tym ,że roczny dochód z kapitału nie jest dołączany do niego i nie bierze udziału w oprocentowaniu w roku następnym. jeżeli K oznacza kwotę początkową, zaś p% stopę procentową, to po n latach właściciel dysponuje kwotą:
K_n = K(1+ np/100)

procent składany : Sposób oprocentowania kapitału polegający na tym, że roczny dochód doliczany jest do kapitału i procentuje w następnym roku wraz z nim .Jeżeli K oznacza kwotę początkową, a p% stopę procentową, to po n latach powstanie kwota:
K_n = K(1+ p/100)ⁿ. Liczbę (1+p/100) nazywamy czynnikiem procentowym. Kwoty K₁ ,K₂ ,...., tworzą postęp geometryczny o ilorazie 1+p/100.

produkt zbiorów : iloczyn kartezjański

program erlangeński : Pogląd na istotę geometrii zaproponowany przez F>Kleina na wykładzie inauguracyjnym na uniwersytecie w Erlangen w 1872 roku. Program erlangeński uważa za geometrię dowolny zbiór obiektów (zwanych punktami) i pewną grupę przekształceń (grupa) Geometria taka zajmuje się badaniem tych własności układów punktów, które nie zmieniają się przy dowolnym przekształceniu obranej grupy. Własności te nazywają się niezmiennikami danje grupy przekształceń. Np grupy przekształceń : identycznościowe - izometrie - podobieństwa - afiniczne - homeomorfizmy - wzajemnie jednoznaczne, określają geometrie : położenia - metryczną - podobieństw - afiniczną - topologię - teorię mnogości. Niezmiennikami przytoczonych grup będą między innymi : położenie - odległość - kat - współliniowość - spójność - moc. Program erlangeński został przyjęty powszechnie przyjęty przez matematyków i obecnie stanowi podstawowe podejście do geometrii.

programowanie liniowe : Metoda optymalizacji zagadnień planistycznych, które dają się opisać układami równań i nierówności nie zawierających kwadratów i wyższych potęg niewiadomych. Idea programowania liniowego pochodzi od radzieckiego matematyka Kantorowicza (1939), który podał metodę optymalizacji zadań produkcyjnych, zwiększenia efektywności transportu, racjonalnego wykorzystania limitowanych surowców itp. podobnych problemów. w okresie II wojny światowej podobne metody opracowali niezależnie w Anglii i USA w ramach prowadzonych przez wielkie zespoły naukowców tzw .badań operacyjnych dla potrzeb wojska alianckich. Po wojnie metody programowania liniowego znalazły zastosowanie przy ustalaniu optymalnych (ze względu na założone kryterium efektywności ekonomicznej) planów produkcyjnych, zarówno w poszczególnych przedsiębiorstwach, jak i całych gałęziach gospodarki narodowej.

promień krzywizny : krzywizna

promień okręgu : okrąg

promień okręgu opisanego na trójkącie : trójkąt

promień okręgu wpisanego w trójkąt :

promień wodzący : układ współrzędnych

promil pewnej liczby (‰) : Tysięczna część tej liczby; 1‰ liczby a wynosi a/1000.

proporcja : Równość dwóch stosunków a:b = c : d. Proporcja ma tę własność ,że iloczyn jej wyrazów skrajnych a*d równy jest iloczynowi jej wyrazów środkowych b*c, mamy więc ad=bc. Jeżeli trzy z liczb występujących w proporcji są dane, to czwartą z nich można obliczyć (postępowanie to jest zwane regułą trzech). Mówi się także o tzw. proporcjach złożonych, np. a:b:c = d:e:f, co oznacza ,że a:b = d:e oraz b:c = c:f.

proporcja harmoniczna : Proporcja postaci a:b=b:(a-b) .Rozkład danej liczby a na dwa składniki: b oraz z-b spełniające proporcję harmoniczną nazywa się złotym podziałem lub podziałem harmonicznym.

proporcje pochodne : Proporcje wynikające z danej proporcji podstawowej a:b = c:d np. b:a=d:c, a:c=b:d

proporcjonalność : proporcjonalność prost, proporcjonalność odwrotna

proporcjonalność odwrotna : Zależność między dwiema wielkościami zmiennymi x i y, polegająca na tym, że ich iloczyn jest stały tzn. xy=k (k-stała dodatnia). Wielkości x i y nazywamy odwrotni proporcjonalnymi. wykresem proporcjonalności odwrotnej jet hiperbola.

proporcjonalność prosta : Zależność między dwiema wielkościami zmiennymi x i y , polegająca na tym ,że ich iloraz jest stały , tzn. y/x = k (k -stała dodatnia,zwana współczynnikiem proporcjonalności).Wielkości x i y nazywamy wprost proporcjonalnymi lub mówimy ,że między nimi zachodzi proporcjonalność prosta. Wykresem proporcjonalności prostej jest linia prosta.

prosta : linia prosta

prosta Pascala : twierdzenie Pascala

proste równoległe : W geometrii euklidesowej dwie proste leżące w jednej płaszczyźnie i nie posiadające punktów wspólnych. Przez punkt nie leżący na prostej przechodzi dokładnie jedna prosta prostopadła (twierdzenie to jest równoważne V postulatowi Euklidesa).W geometrii absolutnej przez punkt nie leżący na prostej przechodzi co najmniej jedna prosta leząca w płaszczyźnie danej prostej i nie przecinająca jej. W geometrii Łobaczewskiego istnieje nieskończenie wiele takich prostych,z których dwie nazywamy prostymi równoległymi

proste skośne : linia prosta

prostokąt : Czworokąt o wszystkich kątach równych kątowi prostemu. w prostokącie boki przeciwległe są równoległe i równe;prostokąt jest szczególnym przypadkiem równoległoboku. Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowę. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat.

prostopadłościan : Wielościan wypukły o ścianach przyległych wzajemnie prostopadłych. Prostopadłościan jest szczególnym przypadkiem równoległościanu. Objętość prostopadłościanu V=xyz, gdzie x,y,z są to długości krawędzi wzajemnie prostopadłych. Pole powierzchni prostopadłościanu P = 2(xy+xz+yz).Jeśli wszystkie krawędzie prostopadłościanu są równe (x=y=z) to prostopadłościan nazywamy sześcianem (V=x³, P=6x²)

pryzmatoid : Wielościan, którego wszystkie wierzchołki leżą na dwóch płaszczyznach równoległych wyznaczając w tych płaszczyznach wielokąty zwane podstawami pryzmatoidu. Objętość pryzmatoidu V=(1/6)h(B₁+B₂ +4S), gdzie h jest to odległość pomiędzy podstawami, B₁,B₂ - pola powierzchni podstaw, S - pole powierzchni przekroju płaszczyzną jednakowo oddaloną od podstaw.

przeciwprostokątna : trójkąt prostokątny

przedział : Zbiór spójny punktów osi liczbowej

przedział całkowania : całka oznaczona

przedział domknięty (lub zamknięty) oznaczony symbolem ⟨ a,b⟩ : Zbiór wszystkich wartości x, które spełniają nierówność a ≤ x ≤ b. Do przedziału domkniętego zaliczamy więc także jego końce a i b.

przedział otwarty ,oznaczony symbolem (a,b) : Zbiór wszystkich wartości x które spełniają nierówność a < x < b. Do przedziału otwartego nie należą więc jej końce a i b, z czego wynika ,że nie ma w nim ani liczby najmniejszej ani największej

przedział zamknięty : przedział domknięty

przekątna : wielokąt, wielościan

przekroje stożka : stożkowa

przekrój zbioru liczb : Podstawa teorii Dedekinda liczb niewymiernych (1872). Przekrój zbioru liczb wymiernych oznacza podział wszystkich liczb wymiernych na dwie niepuste klasy A i B takei ,że każda liczba klasy A jest mniejsza od każdej liczby klasy B. Jeżeli ani w klasie A nie ma liczby największej, ani w klasie B liczby najmniejszej , to mówimy ,że przekrój wyznacza lukę. Np. zaliczając do klasy B wszystkie dodatnie liczby wymierne w spełniające warunek w² > 2 zaś do klasy A wszystkie pozostałe liczby wymierne, otrzymamy przekrój zbioru liczb wymiernych wyznaczający lukę. W teorii Dedekinda przyporządkowuje się każdemu przekrojowi zbioru liczb wymiernych, wyznaczającemu lukę, nową liczbę - niewymierną, np. przekrojowi w podanym wyżej przykładzie liczbę √2 .Jeżeli przekrój zbioru liczb wymiernych nie wyznacza luki, to przyporządkowujemy mu liczbę największą klasy A lub liczbę najmniejszą klasy B, tę , która istnieje (obydwie nie mogą istnieć jednocześnie). Zbiór wszystkich liczb wymiernych i wszystkich liczb niewymiernych razem wziętych, a więc zgodnie z teorią Dedekinda, zbiór wszystkich przekrojów zbioru liczb wymiernych wyznaczających lub nie wyznaczających luki, nazywamy zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, w któym już nie ma luk (pewnik lub zasada Dedekinda) i o którym mówimy ,że jest ciągły

przekształcenie geometryczne : Przekształcenie jednego zbioru punktów na drugi. Jeżeli każdemu punktowi M zbioru Z przyporządkowujemy co najmniej jedne punkt N zbioru Z - obraz punktu M, to przyporządkowanie nazywamy nazywamy przekształceniem geometrycznym lub odwzorowaniem zbioru Z w ten sam zbiór Z i oznaczamy np. symbolem T[N=T(M)\]. Jeżeli przekształcenie geometryczne T przekształca punkt M₀ w punkt M₀[M₀=T(M₀)], to M₀ nazywamy punktem stałym przekształcenia geometrycznego. Jeżeli wszystkie punkty zbioru Z są stałe, to przekształcenie geometryczne T nazywamy identycznością lub przekształceniem tożsamościowym. Jeżeli na osi liczbowej punktowi x przyporządkowujemy punkt x^=ax+b , gdzie a i b są stałe i a ≠ 0, to przekształcenie geometryczne nazywamy powinowactwem lub przekształceniem afinicznym; kiedy a = 1 przekształcenie geometryczne nazywamy przesunięciem (x^=x+b), kiedy a = k, b = x₀ - kx₀[x^=k(x-x₀)+x₀], to przekształcenie geometryczne jest jednokładnością o środku w punkcie x₀ w stosunku do k. Przekształcenie geometryczne jednoznacznym nazywamy przekształcenie, w którym każdemu punktowi M zbioru Z odpowiada dokładnie jeden punkt N zbioru Z′. Przekształcenie wzajemnie jednoznacznym albo jednoznacznym nazywamy przekształcenie, w którym każdemu punktowi M zbioru Z odpowiada dokładnie jeden punkt N zbioru Z′, i na odwrót, każdemu punktowi N zbioru Z′ odpowiada dokładnie jeden punkt M zbioru Z .Przekształceniem płaszczyzny xy w płaszczyznę x^y^ nazywamy powinowactwem, kolineacją albo przekształceniem afinicznym, jeżeli zachodzą zależności x^= a₁x + b₁y + c₁, y^=a₂x + b₂y + c₂, gdzie a₁b₂ ≠ a₂b₁ ;szczególnym przykładem powinowactwa są :
1. przesunięcie (x^=x+c₁, y^=y+c₂);
2. symetria względem osi z (x^=x, y^= -y);
3. symetria względem osi y (x^ = -x, y^=y) ;
4.obrót dookoła początku układu współrzędnych o kąt α (x^=x cos α - ysin α, y^=xsin α+ycos α)
5. jednokładność
Przy powinowactwie zmieniają się na ogół długości odcinków i katy między nimi, natomiast środek odcinka przechodzi na środek jego obrazu. Powinowactwo, które nie zmienia katów, nazywamy podobieństwem. Każde powinowactwo przekształca krzywą algebraiczną dowolnego stopnia w krzywą algebraiczną tego samego stopnia: elipsa przechodzi w elipsę, hiperbola w hiperbolę, parabola w parabolę. W przestrzeni trójwymiarowej powinowactwem ,kolineacją albo przekształceniem afinicznym nazywamy odwzorowanie punktów x^, y^, z^ w zbiorów x,y,z określone wzorami:
x^= a₁x + b₁y + c₁z + d₁, y^=a₂x + b₂y + c₂z + d₂, z^=a₃x + b₃y + c₃z + d₃ ,gdzie

Każde powinowactwo w przestrzeni przekształca płaszczyznę w płaszczyznę , prostą w prostą, a płaszczyzny i proste równoległe w płaszczyzny i proste równoległe .Szczególne przypadki powinowactw:
1. podobieństwo - powinowactwo nie zmieniające katów pomiędzy odcinkami;
2. izometria - powinowactwo nie zmieniające długości odcinków;
3.przesunięcie - (x^=x+a, y^=y+b, z^=z+c);
4. a) stymetria względem płaszczyzny xy (x^=x, y^=y, z^= -z);
b) symetria względem płaszczyzny xz (x^=x, y= -y, z^=z)
c) symetria względem płaszczyzny yz (x^= -x, y^=y, z^=z)
5. obrót - jeżeli d₁ = d₂ = d₃ = 0 oraz wyznacznik W jest wyznacznikiem macierzy ortogonalnej i W = 1;
6. jednokładność.

przemienność (komutatywność) : Własność np. dodawania i mnożenia w niektórych zbiorach elementów np. w zbiorze liczb rzeczywistych, w pierścieniu itd.

przestrzeń euklidesowa : Przestrzeń w której spełnione są aksjomaty geometrii euklidesowej .Stosując metody geometrii analitycznej przestrzeń euklidesową można uogólnić na więcej niż 3 wymiary. Przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa jest zbiorem uporządkowanych układów liczb (x₁,x₂,....,x_n) zwanych punktami, liczby x₁,x₂,....,x_n nazywamy współrzędnymi punktu. Odległość między punktami x = (x₁,x₂,....,x_n) i y = (y₁,y₂,....,y_n) określona jest wzorem

Przestrzeń euklidesową nazywamy rzeczywistą lub zespoloną w zależności od tego ,czy współrzędne są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Istniej również przestrzeń euklidesowa o nieskończonej liczbie wymiarów (tzw. przestrzeń Hilberta);jest ona zbiorem nieskończonych ciągów liczb rzeczywistych (x₁, x₂...), dla których istnieje i jest skończona suma
,
odległość między punktami określamy wtedy wzorem

przestrzeń funkcji (funkcyjna) : Podstawowe pojęcie analizy funkcjonalnej. Przestrzeń funkcji jest zbiorem funkcji, które traktujemy jako punkty przestrzeni, przy czym wprowadza się pewne pojęcie odległości. Np .zbiór wszystkich funkcji ciągłych w przedziale 0 ≤ x ≤ 1 , z odległością dwóch funkcji f(x) i h(x) określoną wzorem ρ = max|f(x) - h(x)| jest przestrzenią funkcji .Przestrzeń funkcji zawierająca wraz z każdymi dwoma elementami f₁,f₂ ich kombinację liniową &apha;f₁, + βf₂ (gdzie α i β są dowolnymi liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi) nazywa się przestrzenią funkcyjną liniową

przestrzeń metryczna : Zbiór X i funkcja ρ przyporządkowująca każdej parze jego elementów x iy nieujemną liczbę rzeczywistą ρ(x,y) spełniającą następujące warunki:
1. ρ(x,y) = 0 wtedy i tylko wtedy , gdy x = y;
2. ρ(x,y) = ρ(y,x);
3. ρ(x,y) + ρ(y,z) ≥ ρ(x,z)
Liczbę ρ(x,y) nazywamy odległością elementów x i y a funkcję ρ - metryką. Przestrzeń euklidesowa z jej sposobem określania odległości jest przestrzenią metryczną. Przestrzeń metryczna jest pojęciem topologii i analizy funkcjonalnej

przestrzeń topologiczna : Zbiór w którym określona została operacja zwana operacją domknięcia ,przyporządkowująca każdemu jego podzbiorowi A pewien podzbiór A^ tego samego zbioru w taki sposób ,że spełnione są następujące warunki:
1. Domknięcie sumy zbiorów A + B równa się sumie domknięć z tych zbiorów A i B
2. Każdy zbiór A jest zawarty w swym domknięciu
3. Domknięcie zbioru pustego jest zbiorem pustym
4. Domknięcie zbioru domkniętego jest tymże zbiorem domkniętym.
Wszystkie zbiory są podzbiorami zbioru wyjściowego

przesunięcie : Przekształcenie geometryczne

przybliżone całkowanie : Przybliżony sposób obliczania całki

(całka oznaczona)w oparciu o jej interpretację geometryczną. Jedna z najprostszych metod przybliżonego całkowania jest metoda trapezów. Aby obliczyć

,dzielimy przedział na n równych części ,a następnie przyjmujemy za wartość przybliżoną całki sumę pól trapezów, co prowadzi do wzoru

zwanego często wzorem trapezów. Lepsze na ogół przybliżenie daje metoda Simpsona: przedział dzielimy na 2π równych części za pomocą punktów x₀,x₁,...,x_2n dla których wartości funkcji podcałkowej wynoszą odpowiednio Y₀,Y₁,Y₂,...,Y_2n.Zastępując funkcję f(x) w przedziałach (x₀,x₂),(x₂,x₄),...,(x_2n-2,x_2n) funkcjami stopnia drugiego, otrzymujemy następujący wzór :

zwany wzorem Simpsona

przybliżone rozwiązywanie równań K : Metoda siecznych, metoda stycznych

przyprostokątna : trójkąt prostokątny

przyrost zmiennej : Różnica dwóch jej wartości , np. przyrost zmiennej x ,oznaczamy zazwyczaj przez δx = x₂ - x₁ . Jeżeli x₂ > x₁, to δx > 0, jeżeli x₂ < x₁ to δx < 0

przyrządy matematyczne : Urządzenia służące do rozwiązywania różnych problemów matematycznych, ale nie wykazujące cech samoczynności działania, np. liczydła, suwaki, planimetry, integrafy, analizatory harmoniczne, elektrointegratory, hydrointegratory, cyrkle matematyczne, nomogramy, tablice matematyczne itd

przystawanie figur : Własność figur geometrycznych. Mówimy ,że dwie figury są przystające, jeśli jedną z nich można otrzymać z drugiej przez wykonanie pewnej ilości przesunięć, obrotów i symetrii (figury dają się wzajemnie nałożyć).Dwa wielokąty przystające mają odpowiednie boki i kąty równe. Jeżeli na płaszczyźnie jedną figurę otrzymujemy z drugiej przez przesunięcie i obrót w tej płaszczyźnie (przekształcenie geometryczne), to mówimy o przystawaniu figur prostym; jeżeli jedną z figur otrzymujemy z drugiej przez przesunięcie i obrót wyprowadzający figurę z płaszczyzny obu figur, to mówimy o przystawaniu figur odwrotnym (cechy przystawania trójkątów).Dwie figury przystające do trzeciej są przystające.

przystawanie liczb : kongruencja

Ptolemeusz (Ptolemaeus Claudius) (II w n.e.) : Matematyk , astronom i geograf aleksandryjski, w latach 127 - 151 przeprowadzał badania astronomiczne w Aleksandrii. Napisał dzieło "megale syntaksis" (Wielki zbiór),nazywane z arabska "Almagest" gdzie zawarł całą ówczesną wiedzę astronomiczną, wyłożył trygonometrię liniową i sferyczną, określił dokładniej liczbę π i podał tablicę cięciw odpowiadających różnym kątom, różowaną tablicy wartości sinusów.

punkt : Jedno z podstawowych pojęć w matematyce, mające wiele różnych określeń. W aksjomatycznej teorii geometrii absolutnej, punkt jest pojęciem pierwotnym, posiada określone położenie, lecz nie posiada wymiarów. W przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej punkt jest zbiorem uporządkowanej w pewnej kolejności n liczb rzeczywistych (x₁,x₂,...,x_n); na płaszczyźnie każda para liczb rzeczywistych (x,y) jest pewnym punktem przestrzeni euklidesowej dwuwymiarowej.

punkt brzegowy zbioru : Punkt w którego dowolnym otoczeniu znajdują się punkty należące do zbioru i punkty nie należące do zbioru. Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru stanowi brzeg zbioru.

punkt Laplace`a : Krańcowy punkt bazy triangulacyjnej, czyli precyzyjnie wymierzonego boku trójkąta należącego do sieci trójkątów pokrywających dany teren w celach pomiarowych. Trójkąty należące do tzw. sieci triangulacyjnej mają boki o długości od 3 do 50 km w zależności od potrzeby i dokładności pomiarów. W punkcie Laplace`a dokonuje się precyzyjnych pomiarów długości i szerokości geograficznej.

punkt nieciągłości funkcji f(x) : Punkt x₀ , którego pewne otoczenie (z wyjątkiem - być może - samego punktu x₀) należy do dziedziny funkcji f(x) i w którym ta funkcja nie jest ciągła (ciągłość funkcji)>Punkt nieciągłości funkcji nazywa się punktem nieciągłości funkcji pierwszego rodzaju kiedym istnieją granice skończone

oraz

.W przypadku gdy skończona granica prawo lub lewostronna nei istnieje, punkt x₀ nazywamy punktem nieciągłości funkcji drugiego rodzaju.

punkt osobliwy : Punkt nie będący punktem regularnym. Punktami osobliwym krzywej są np. punkty rozgałęzienia, ostrza i punkty odosobnione

punkt przegięcia krzywej y =f(x) : Punkt tej krzywej, w którym przechodzi ona z jednej stycznej na drugą. Jeżeli f(x) posiada drugą pochodną w otoczeniu odciętej x₀ punkt przegięcia to f′′(x₀) = 0 (warunek konieczny punktu przegięcia). Warunkiem wystarczającym na to ,aby x₀ było odcięta punktu przegięcia krzywej y = f(x), jest f′′ = 0 oraz zmiana znaku f′′, gdy x przechodzi przez x₀ [tzn. f′′ < 0 dla x < x₀ i f′′ > 0 dla x > x₀ lub f′′(x) > 0 dla x < x₀ i f′′ < 0 dla x > x₀ w pewnym otoczeniu punktu x₀]

punkt regularny : Punkt w którym istnieje dokładnie jedna styczna (w wypadku krzywej - prost styczna , w wypadku powierzchni - płaszczyzna).

punkt skupienia : Taki punkt P zbioru Z, w którego każdym otoczeniu znajduje się jakiś punkt zbioru Z różnych od punktu P (zbiór doskonały). Każdy punkt zbioru Z nie będący punktem skupienia nazywamy punktem izolowanym.

punkt wewnętrzny zbioru : Punkt, wraz z którym należy do zbioru pewne jego otoczenie, czyli punkt nie będący punktem brzegowym tego zbioru.

punkt zerowy funkcji f(x) : Liczba x₀,dla której f(x₀) = 0

Puzyna Julian (1856-1919) : Matematyka polski, profesor uniwersytetu we Lwowie ,napisał dzieło "Teoria funkcji analitycznych", które przez wiele lat było niemal encyklopedią analizy matematycznej