para względnie pierwszych liczb całkowitych : Dwie liczby całkowite których największym wspólnym dzielnikiem jest 1. Na przykład, 6 i 26 są względnie pierwsze, ponieważ gcd(6,25) = 1

parami rozłączne : Kolekcja zbiorów w którym dwa różne zbiory są rozłączne jest rodziną par rozłącznych. Na przykład, {[2n, 2n+1) : n ∈ N} jest zbiorem zbiorów parami rozłącznych (gdzie każdy przedział [2n, 2n+1) jest zbiorem liczb rzeczywistych x takich ,że 2n ≤ x < 2n +1

parami względnie pierwsze liczby : Zbiór liczb całkowitych z taką właściwością taką ,że nie ma dwóch części, ze wspólnym dzielnikiem większym niż 1

parabola : Zbiór punktów na płaszczyźnie jednakowo odległych od danego punktu i danej linii .Alternatywnie, stożkowa, sformowana prze przecięcie stożka kołowego z płaszczyzną taka ,że przecięcie jest spójne ale nie ograniczone

paraboloida : Powierzchnia dana przez zbiór rozwiązań w R³ dla równanie postaci x²/a² + y²/b² = z (paraboloida eliptyczna) lub x²/a² - y²/b² = z (paraboloida hiperboliczna)

parazwarta przestrzeń topologiczna : Przestrzeń Hausdorffa z taką właściwością ,że każde otwarte pokrycie ma lokalnie skończone otwarte pokrycie, które pokrywa X. Przestrzenie metryczne są parazwarte, ale , oczywiście, generalnie nie zwarte. Parazwartość jest ważna w teorii< rozmaitości ponieważ jest wystarczającym warunkiem w przestrzeni dla zbudowania rozkładu jednoznaczności

parallel [prosta równoległa] : Jednakowa odległość , w pewnym sensie. W przestrzeni euklidesowej, dwie linie są równoległe jeśli się nie przecinają i istnieje płaszczyzna na której obie leżą.

parallelepiped [równolglościan] : Wielościan którego ścianki są równoległobokami.

parallelogram [równoległobok] : Czterościenny wielościan mający równoległe przeciwne boki.

Postulat równoległości : Piąty postulat z Elementów Euklidesa, który mówi ,że jeżeli prosta przecina dwie proste, tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przecinają się po tej stronie, po której znajdują się owe kąty wewnętrzne.

partially ordered set [zbiór częściowo uporządkowany] : Zbiór z częściowym uporządkowaniem. Zbiór częściowo uporządkowany jest czasami nazywany poset

partial ordering [uporządkowanie częściowe] : Binarna relacja na zbiorze A (tj. podzbiór A x A), często oznaczona prze ≤ , która jest zwrotna (dla wszystkich x ∈ A, x ≤ x), antysymetryczna (dla wszystkich x,y ∈ A , jeśli x ≤ y i y ≤ x, wtedyu x = y) i przechodnia (dla wszystkich x ,y ,z ∈ A, jeśli x ≤ y i y ≤ z, wtedy x ≤ z). Biorąc pod uwagę częściowe uporządkowanie ≤ na A i x,y ∈ A, x < y definiowane jest x ≤ y i x ≠ y. Zwróć uwagę ,że jeśli ≤ jest częściowym uporządkowaniem na A, wtedy nie jest konieczny przypadek ,że dla każde dwa różne elementy z A są porównywalne.; tj. istnieje wiele x,y ∈ A przy x ≠ y i
Czasami widzimy alternatywną definicję częściowego uporządkowania, gdzie < jest najpierw definiowane a ≤ definiowane biorąc pod uwagę <. Częściowe uporządkowanie na zbiorze A jest relacją binarną na A ,często oznaczoną prze < , która jest antyzwrotna (dla wszystkich x ∈ A , x < x) i przechodnia .Przy danym częściowym uporządkowaniu < na A i x,y ∈ A, x ≤ y definiuje x < y lub x = y. Używając tej definicji częściowego uporządkowania, można udowodnić ,że &lel jest antysymetryczne. Zauważ ,że jeśli < jest częściowo uporządkowane na A, wtedy nie jest konieczny przypadek ,że każda para różnych elementów jest porównywalna tj. istnieje wiele x,y ∈ A przy x ≠ y i x < y i y < x. Bez względu na wybór definicji < z ≤ lub ≤ z <, odpowiednia notacja z ≤ i < są takie same. Przykładem częściowego uporządkowania jest zwykle uporządkowaniem ≤ na liczbach naturalnych N. To częściowe uporządkowanie jest faktycznie całkowite, lub liniowo uporządkowane. Niech P(N) będzie zbiorem potęgowym zbioru liczb naturalnych; to znaczy, zbiór wszystkich podzbiorów z N. Wtedy zawarcie zbioru ⊆ jest częściowo uporządkowane na P(N) które nie jest liniowo uporządkowany, ponieważ {1,2} i {3} nie są ⊆ - porównywalne;

partial recursive function [funkcja częściowo rekurencyjna] : Wszystkie wspomniane funkcje są funkcjami na liczbach naturalnych N; n-arna funkcja jest częściowa jeśli jej dziedzina jest pewnym podzbiorem z N_n (tj. funkcja może bu być określona na wszystkich danych wejściowych). Pojęcie częściowej funkcji rekurencyjnej jest formalizacją pojęcia intuicyjnie obliczalnej funkcji częściowej. n-arna funkcja częściowa φ jest częściowo rekurencyjna jeśli może być dziedziczona z pewnego zbioru funkcji początkowych przez skończenie wielu zastosowań złożenia, rekurencji lub μ - operatora, tj. istnieje skończony ciąg
φ₀,φ₁,… φ_k = φ
funkcji taki, że dla wszystkich i , 0 ≤ i ≤ k
(i)φ_i jest funkcją początkową
(ii)φ_i może być uzyskana z {φ_j : 0 ≤ j < i} przez złożenie, rekurencję lub μ-operator
Poniższe funkcje są funkcjami początkowymi
• S(x) = x+1 (funkcja następnicza)
• C_iⁿ(x₁,…,x_n) = i, dla wszystkich liczb naturalnych i, n ≥ 0 (funkcje stałe)
• P_iⁿ(x₁,…,x_n) dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ 1 I 1 ≤ I ≤ n (funkcje rzutowe)
Niech g₁,…,g_k, f będzie funkcjami n-arnymi i niech h będzie funkcją k-arną; niech x^ oznacza n-krotką x₁,…,x_n .Funkcja f jest uzyskiwana z g₁,…,g_k i h będą złożonością jeśli dla wszystkich liczb naturalnych x₁,…,x_n ,f(x^) = h(g₁(x^), … ,g_k(x^)). Niech f będzie funckją n-arną, n ≥ 1, g będzie (n-1)-arną funkcją, h będzie (n+1)-arną funkcją, a y^ oznacza (n-1)-krotkę y₁,…,y_n-1. Funkcja f jest uzyskiwana z g i h przez rekurencję jeśli dla wszystkich liczb naturalnych x, y₁,…,y_n-1
f(0,y^) = g(y^)
f(x+1, y^) = h(x,f(x,y^),y^)
Niech f bedzie n-arną funkcją i niech g będzie (n+1)-arną (możliwie częściową) funkcją. Niech x^ oznacza n-krotkę x₁,…,x_n i niech μ będzie operatorem najmniejszej liczby; tj. (μx)[…] oznacza najmniejszą liczbę naturalnę x spełniającą właściwość […]. Niech ↓ będzie skrótem dla zdania "jest określona". Jeśli dla wszystkich liczb naturalnych x₁,…,x_n
f(x^) = (μy)[g(x^,y) = 0 ∧ (∀z < y)[g(x^,z) ↓ ]]
wtedy f jest uzyskiwana z g przez μ-operator. Jeśli n-arna funkcja jest częściowo rekurencyjna i całkowita (tj. dziedzina funkcji jest całe N^N), wtedy funkcja jest nazywana reukrencyją (lub całkowicie rekurencyjną)
Dowolna pierwotna funkcja rekurencyjna jest rekurencyjna; na przykład, funkcja f(x₁,x₂) = x₁ + x₂ jest rekurencyjna. Jednakże, nie jest to przypadek, kiedy każda (całkowita) rekurencyjna funkcja jest pierwotnie rekurencyjną. Przykładem funkcji rekurencyjnej ,która nie jest pierwotnie rekurencyjną jest funkcja Ackermanna, która jest definiowana nieformalnie przez "podwójną rekurencję", jak poniżej
A(0,y) = S(y)
A(x+1,0) = A(x,1)
A(x+1,y+1) = A(x,(A(x+1),y))
Funkcja Ackermanna rośnie szybciej niż inne pierwotne funkcje rekurencyjne. Z Hipotezy Churcha-Turinga, intuicjnie obliczeniowa funkcja częściowa jest częściowo rekurencyjna. Funkcja

gdzie φ_e jest funkcją częściowo rekurencyjną z liczbą Gödela e, jest częściowo rekurencyjna

partition [rozkład] : 1. Zbiór. Parami rozłączny zbiór niepustych podzbiorów danego zbioru, którego suma jest danym zbiorem. Na przykład, {{3,a}, {-2}} jest rozkładem zbioru {3,a,-2}. Również {[n,n+1) : n ∈ Z} jest rozkładem z R, (gdzie każdy przedział [n,n+1) jest zbiorem liczb rzeczywistych x takich ,że n ≤ x < n+1)
2.Liczby całkowite. Jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, rozkład z n jest ciągiem (k₁, k₂, … , k_r) dodatnich liczb całkowitych takich ,że k₁ ≥ k₂ … ≥ k_r a k₁ + k₂ + … + k_r = n. Na przykład (4,3) i (2,2,2,1) są dwoma rozkładami 7

Pascala trójkąt : Specyficzna trójkątna tablica liczb, nazwana na cześć Blaise Pascala. Oto kilka pierwszych wierszy:

.Jeśli pierwszy wiersz oznaczym jako "wiersz 0" i nazwiemy pierwsze wejście (po lewej) każdego wiersza, wejściem "0-owym", wtedy k-te wejście z n-tego wiersza jest współczynnikiem dwumianowym

path [droga] : Droga z punktu x do puntu y w przestrzeni topologicznej X jest dowolną funkcją ciągłą f:[0,1] → X przy f(0) = x i f(1) = y. Intuicyjnie, droga jest obrazem funkcji f

Peano przestrzeń : Zwarta, lokalnie spójna przestrzeń metryczna. Z twierdzenia Hahna - Mazurkiewicza, zbiory Peano są dokładnie tymi zbiorami, które występują jako ciągłe obrazy przedziału jednostkowego

Paeano postulaty : Zbiór aksjomatów dla rozwijania właściwości (używając naiwnej teorii mnogości) z liczb naturalnych, Opublikowane w 1899 roku, oparte były na pracy Dedekinda .Jest pięć postulatów Peano
(i)0 jest liczbą naturalną
(ii)Dla każdej liczby naturalnej n, istnieje liczba naturalna n′ , nazywana jest następnikiem n
(iii)Dla każdej liczby naturalnej n, n′ ≠ 0
(iv)Dla dowolnych liczb naturalnych m i n , jeśli m′ = n′ , wtedy m = n
(v)Jeśli I jest dowolnym podzbiorem liczb naturalnych takich ,że
(a)0 ∈ I i
(b)dla dowolnej liczby naturalnej n, jeśli n ∈ I, wtedy n′ ∈ I
wtedy I zawiera wszystkie liczby naturalne
Ten ostatni postulat jest Zasadą indukcji matematycznej i jest stosowany dla każdego z nieprzeliczalnie wielu podzbiorów liczb naturalnych. Postulaty Peano jednoznacznie określają zbiór liczb naturalnych w tym sensie ,że jeśli M jest zbiorem, który spełnia te pięć postulatów (ze zdaniem "n jest liczbą naturalną" zastąpioną przez " n ∈ M"), wtedy M jest zbiorem liczb naturalnych

pedal triangle : Trójkąt wewnątrz danego trójkąta formowany przez połączenie nie wierzchołkowych punktów końcowych wysokości danego trójkąta

Pella równanie : Równanie x² -dy² = k, gdzie x i y są z zmiennymi niewiadomymi a d i k są liczbami całkowitymi .Równanie Pella jest przykładem równania diofantycznego (równania dla którego szukamy rozwiązań w liczbach całkowitych lub wymiernych) . Liczba całkowita d jest wolnym kwadratem (to znaczy, jeśli p jest dzielnikiem pierwszym z d, wtedy p² nie jest dzielnikiem d) i dodatnia ponieważ w przeciwnym razie równanie ma tylko skończenie wiele rozwiązań całkowitych dla x i y.

pęk okręgów : Zbiór wszystkich okręgów na płaszczyźnie przechodzących przez dwa dane punkty

pęk prostych : 1.zbiór wszystkich linii na danje płaszczyźnie przechodzących przez dany punkt; 2.zbiór wszystkich linii równoległych do danej linii

pęk płaszczyzn : Zbiór wszystkich płaszczyzn w przestrzeni zawierających daną linię

pęk sfer : Zbiór wszystkich sfer zawierających dany okrąg

piętnastokąt : Wielokąt mający 15 boków

pięciobok : Wielobok mający pięć boków

pentagonalna liczba : Dodatnia liczba całkowita w postaci 3n² - n/2 (tj. dowolne wejście w ciągu 1,5,12,22,35, …)

pięciościan : Wielościan z pięcioma ściankami

procent : Z łaciny, "na sto", procenty są używana jako aletrnatywa dla ułamków lub liczb dziesiętnych dla przestawienia proporcji wartości liczbowych

perfect number [liczba doskonała] : Dodatnia liczba całkowita n mając taka właściwość ,że suma jego dzielników dodatnich to 2n, tj. σ(n) = 2n . Zatem 6 jest liczbą doskonałą ponieważ 1+2+3+6 = 2(6). Kolejne dwie liczby doskonałe to 28 i 496. Wszystkie parzyste liczby doskonałe są charakteryzowane jako będące w postaci2^p-1(2^p-1), gdzie zarówno p i 2^p-1 są liczbami pierwszymi (tj. gdzie 2^p-1 są liczbami pierwszymi Mersenne′a). Nie istnieją znane nieparzyste liczby doskonałe

perfect set [zbiór doskonały] : Przestrzeń topologiczna X z taką właściwości ,że każdy punkt z X jest punktem skupienia X. To znaczy, przy danym x ∈ X i otoczeniu U z x, zbiór (U ∩ X)\{x} jest niepusty. Wszystkie przedziały linii rzeczywistej są doskonałe. Przykładem podzbioru doskonałego prostej rzeczywiste, który nie jest przedziałem jest zbiór Cantora

perfect square [kwadrat idealny] : Liczba całkowita x dla której istnieje inna liczba całkowita b, taka ,że a = b². Np. 36 = 6² i 286 = 17² są kwadratami idealnymi

perigon [kąt pełny] : Kąt 360^o

perimeter [obwód] : 1.Długość zamkniętej krzywej, szczególnie rozpatrywanej jako granica figury płakiej; 2.Zamknięta krzywa formująca granicę figury płaskiej

periodic continued fraction [ułąmek okresowy łańcuchowy] : Ułamek w postaci

dla którego istnieją dodatnie liczby całkowite p i N takie ,że dla wszystkich k ≥ N. a_k+p = a_k i b_k+p = b_k

prostopadła : 1.Względna pozycja pary linii, które przecinają się tak ,że tworzą parę równych kątów przyległych;2.Względna pozycja prostej i płaszczyzny taka ,że prosta jest prostopadła do każdej prostej z którą przecina się na płaszczyźnie; 3.Względna pozycja pary płaszczyzn , które przecinają się tak ,że prosta jest prostopadła zarówno do linii przecięcia i prostej, która jest prostopadła do linii przecięcia

perpendicular bisector [symetralna] : Prosta lub odcinek prostej która przecina dany odcinek i jest do niego prostopadła

pi : Liczba, oznaczona π, równa stosunkowi obwodu i średnicy każdego okręgu. Jest również stosunkiem pola okręgu do kwadratu jego promienia. Wiadomo równiż ,że π jest liczbą przestępną (i dlatego wymierną). Wartość π jest w przybliżeniu równa 3,14159265358979

punkt w nieskończoności : Punkt hiperpłaszczyzny w nieskończoności

polar coordinates [współrzędne biegunowe] : Diwe liczby (r, θ), które określają P na płaszczyźnie (x,y), r będące odległością od początku O a 0 ≤ θ < 2π kątem jaki tworzy półprosta OP z dodatnią osią x, mierzonym w radianach i przeciwny do ruchu wskazówek zegara, z wykątkiem kiedy P = O, co jest powiązane tylko z liczbą zwero; zatem = r cosθ, y = r sinθ. Jeśli r będzie ujemne, para (pr, θ) daje ten sam punkt co para (r, θ + π)

Polska powierzchnia : Przestrzeń topologiczna X , która jest rozdzielna i całkowicie metryzowalna. To znaczy, X ma przeliczalnie gęsty podzbiór i istnieje metryka d indukująca topolgię na X do którego zbieżny jest każdy cig Cuachy′ego. Polskie przestrzenie są naturalnymi ustawieniania dla opisowej teorii zbiorów

Pollarda metoda rho : Metoda rozkładu na czynniki liczb całkowitych złożonych (używając np. jednego z testów pseudopierwszości). Metoda opiera się częściowo na fakcie, że chociaż trudno znaleźć czynniki dużych liczb, stosunkowo łatwo jest (używając algorytmu Euklidesa) znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych. Niech m będzie dodatnią liczbą całkowitą złożoną i definiujemy ciąg {u_i} rekurencyjnie:
(i)u₀ = 1
(ii)u_i+1 jest jednoznaczną liczbą całkowitą ,taką ,że u_i+1 ≡ u_i² + 1 (mod m) i 0 ≤ u_i+1 < m
(Generalnie u₀ może być liczbą dodatnią całkowitą a u_i+1 = f(u_i) dla pewnego nieliniowego wielomianu, f). Następnie obliczamy D_n - gcd(u_2n - u_n, m) dla n = 1,2,3,… .Jeśli D_n ≠ 1 dla dowolnego n, wtedy D_n jest dzielnikiem m. Dla zilustrowania, niech m = 1771. Wtedy kilka pierwszych wyrazów ciągu (poczynając od u₁ definiowane przez u₀ = 1 i u_i+1 ≡ + 1 (mod m) to 2,5,26,677,1412, …. Zwróć uwagę ,że gcd(u₂ - u₁, 1771) = gcd(3,1771) = 1, a gcd(u₄ - u₂,1771) = gcd(672,1771) = 7, więc 7 jest dzielnikiem 1771 (1771 / 7 = 253. Ponieważ 7 jest liczba pierwszą a 253 liczbą złożoną, możemy powtórzyć metodę Pollarda ,aby wykazać ,że 253 jest iloczynem liczb pierwszych 11 i 23, zatem uzupełniając rozkład na czynniki 1771.

polygonal numer [liczba wielokątna] : Dodatnia liczba całkowita n taka ,że n kropek może być ułożona w określony wielokątny wzór

polynomial [wielomian] : Skończona suma wielokrotności nieujemnych całkowitych potę nieoznaczonego x, ze współczynnikami w danym zbiorze R. Na przykład, 3x⁵ - 4x³ + x²+ 7x -12, jest wielomianem ze wszpółczynnikami w Z

positive numer [liczba dodatnia] : Liczba rzeczywista , która jest większa od 0

positive orthant [dodatni orthant] : Zbiór punktów (x₁ , x₂, … , x_n) w Rⁿ, takie ,że x_i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. W przypadku płaszczyzny, jest to ćwiartka dodatnia

postulaty Euklidesa : Euklides oparł swoją geometrię na pięciu podstawowych założeniach, znaych jako Postulaty
1. Od dowolnego punktu do dowolnego innego można poprowadzić prostą
2. Ograniczoną prostą można dowolnie przedłużyć
3. Z dowolnego środka dowolnym promieniem można opisać okrąg
4. Wszystkie kąty proste są równe
5. Jeśli dwie proste na płaszczyźnie tworzą z trzecią kąty jednostronne wewnętrzne o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych, to te proste, po przedłużeniu, przetną się i to z tej właśnie strony.

power set (of a set) [zbiór potęgowy (zbioru)] : Zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru. Zbiór potęgowy S jest oznaczony przez P(S) lub 2^S. Na przykład jeśli S = {3,5} wtedy P(S) = {∅, {3}, {5},{3,5}}. Zbiór potęgowy danego zbioru S, razem z działaniem sumy, części wspólnej i uzupełnianiem w odniesieniu do S, formują algebrę boolowską. Elementy jedności i zera tej algebry boolowskiej są to odpowiednio, S i ∅

predykatów rachunek : Synktatyczna część logiki pierwszego rzędu. Rachunek predykatów jest systemem formalnym składającym się z języka pierwszego rzędu, zbioru dobrze ułożonych formuł, które są nazywane aksjomatami logicznym i listą zasad dedukcji. Formuły dobrze ułożonych, które są aksjomatami logicznymi powinny być poprawnymi formułami. Typowy aksjomat , który może wystąpić w rachunku predykatów to
∀x(α → β) → (∀xα → ∀xβ)
gdzie α i β są formułami dobrze ułożonymi, lub jeśli język zawiera równość
x = y → (α - α′)
gdzie α jest formułą atomową, a α′ jest uzyskiwana z α przez zastąpienie zmiennej x w α w zero lub więcej miejsc przez zmienną y. Typową zasadą dedukcji w rachunku predykatów jest modus ponens. Rachunek predykatów jest używany dla udowadniania tweiordzeń. Podczas gdy rzeczywisty wybór aksjomatów logicznych w zasad dedukcji nie jest ważny, ważne jest ,aby rachunek predykatów było logiczny (tzn. każda dobrze ukształtowana formuła, które jest do udowodnienia w systemie formalnym powinna być logiczną konsekwencją aksjomatów logicznych) i kompletnny (tzn. logiczna konsekwencja logicznych aksjomatów powinna być udowadnialna w systemie formalnym. Rachunek predykatów jest czasem nazywany rachunkiem predykatów pierwszego rzędu

prymarne działanie kohomologiczne : Naturalna transformacja funktorów
Hⁱ(X,A;M) → H^i+j(X,A;N)
może być określone dla wielu wyborów i i j, i wielu wyborów grup abelowych M i N, lub tylko dla określonych wyborów. Działania są często addytywne .Działanie podnoszenia do kwadratu z u do u² nie jest addytywne; operacje podnoszenia do kwadratu Steenorda (zwane zredukowanymu kwadratami) są addytywne

prime factor [czynnik pierwszy] : Liczba pierwsza p która jest dzielnikiem liczby całkowitej n

prime ideal [ideał pierwszy] : Niech S będzie zbiorem. Ideał I na S jest ideałem pierszym,jeśli dla wszystkich X ⊆ S, albo X ∈ I albo S\X ∈ I

prime number [liczba pierwsza] : 1.Liczba całkowita z dokładnie dwoma dodatnimi dzielnikami całkowitymi (w tym ona sama i 1). Na przykład 5 jest liczbą pierwszą , ponieważ jej dodatnie dzielniki to 1 i 5, podczas gdy 6 nie jest liczbą pierwszą ponieważ dodatnie dzielniki 6 to 1,2,3 i 6. Zauważ ,że 1 nie jest liczbą pierwszą ponieważ ma tylko jeden dodatni dzielnik, samą siebie . 2.Ogólniej, element p pierścienia jest liczbą pierwszą (lub nieredukowalną) jeśli nie ma jedności a wszystkie jego dzielniki (w pierścieniu są sprzężone (wielokrotności jedności) z p

Prime Number Theorem [Twierdzenie o liczbach pierwszych] : Jeśli π(x) oznacza liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych dodatniej liczbie rzeczywistej x, wtedy

To znaczy, jeśli x jest duże, π(x) ≈ x/log(x). Równoważnie sformułowane twierdzenie mówi, że

(tzw. całka logarytmiczna). Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało udowodnione, niezależnie przez Jaquesa Hadamrda i Charlesa de la Valee Pousiina w 1896 roku

pierwotna funkcja rekurencyjna : Wszystkie wymienione funkcje są funkcjami na liczbach naturalnych. Dowolna n- arna funkcja f jest pierwotnie rekurencyjna jeśli może być wyprowadzona z pewnego zbioru funkcji początkowych przez skończenie wiele zastosowań złożoności i rekurencji; tzn. istnieje skończony ciąg
f₀, f₁, …, f_k = f
funkcji takich ,zed la wszystkich i,0 ≤ i ≤ k
(i)f_i jest funkcją początkową
(ii) f_i może być uzyskana z { f_j : 0 ≤ j < i} przez złożenie lub rekurencję
Poniższe funkcje są funkcjami początkowymi:
• S(x) = x + 1 (funkcja następnika)
• C_iⁿ(x₁, … , x_n) = 1, dla wszystkich liczb naturalnych i, n ≥ 0 (funkcje stałe
• P_iⁿ(x₁, … , x_n), dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ 1 i 1 ≤ i ≤ n (funkcje rzutowe)
Niech g₁, …, g_k, f , będą n-arnymi funkcjami i niech h będzie k-arną funkcją; niech x^ oznacza n-krotkę x₁, … x_n. Funkcja f jest uzyskiwana z g₁, …, g_k ah przez złożenie jeśli dla wszystkich liczb naturalnych x₁, …, x_n, f(x^) = h(g₁(x^), …, g_k(x^)). Niech f będzie n-arną funkcją, n ≥ 1, g będzie (n-1)-arną funkcją, h będzie (n+1)-arną funkcją, a y^ oznacza (n-1)-krotkę y₁, …, y_n-1. Funkcja f jest uzyskiwana z g i h przez rekurencję jeśli dla wszystkich liczb naturalnych x,y₁, …, y_n-1
f(0,y^) = g(y^)
f(x+1),y^) = h(x,f(x,y^),y^)
Na przykład, funkcja f(x,y) = x + y jest pierwotnie rekurencyjna. Nieformanie, równania rekurencji dla f to
f(0,y) = y
f(x+1,y) = S(f(x,y))
Bardziej formalnie
f(0,y) = P₁¹(y) gdzie h(x,y,z) = S(P₂³(x,y,z)

principal curvature [krzywizna główna] : Jeśli P jest punktem na powierzchni S w R³ wtedy krzywizna główna przy P są wartościami minimalnymu i maksymalnymu krzywizny krzywej formowanej przez przecięcie S z płaszczyzną przez P zawierającą wektor normalny do powierzchni przy P. Równoważnie, krzywizny główne są wartościami własnym przekształcenia Weingartena przy P

principle fibre bundle [główna wiązka włóknista] : Wiązka włóknista, której włókno jest grupą topologiczną G a której grupa struktury to również G, działając na sobie przez (lewostronne) mnożenie. Składa się z przestrzenie bazowej B, przestrzeni całkowitej E i odwzorowania rzutowego π E → B. Istnieje pokrycie B przez zbiory otwarte U_i i homeomorfizmy Φ_i : U_i x G → π^-1(U_i) takie ,że π o Φ_i(x,q) = x. To identyfikuje π^-1(x) z G jako przestrzeń topologiczna. Przykłady głównych wiązek włóknistych są skonstruowane przez wzięcie odwzorowania ilorazowego π : L → (L/G) z grupy Liego L do przestrzeni ilorazowej z L przez domkniętą podgrupę G. Uniwersalne odwzorownie pokrywające π :E → B jest główną wiązką z fundamentalną grupą z B (z topologią dyskretną) jako wiązka i grupa

principal ideal [ideał główny] : Niech S będzie niepustym zbiorem I niech P(S) będzie zbiorem potęgowym z S. Ideał I na S jest ideałem głównym jeśli istnieje zbiór A ⊆ S taki ,że I = {X ∈ P(S) :X ⊆ A}

principal type [typ główny] : Typ Φ(x^) teorii T w języku L, taki ,że istnieje L-formuła θ(x^) w Φ(x^) taka ,że T |- ∀x^(θ(x^) → φ(x^)) dla każdego φ(x^) ∈ Φ(x^). To znaczy, pod T, pojedyncza formuła θ generuje zbiór całkowity Φ

principal ultragfilter [ultrafiltr główny] : Ultrafiltr U nas algebra boolowską B taki ,że istnieje b ∈ B takie ,że U = {x &isisn; B : b ≤ x}

principle of dependent choices [zasada wyborów zależnych] : Załóżmy ,że R jest binarną relacją na niepustym zbiorze S i ,że , dla każdego x ∈ S, istnieją y ∈ S takie ,że (x,y) ∈ R. Wtedy istnieje przeliczalny ciąg x₀, x₁
, … , x_n, … (n ∈ N) elementów w S ,taki ,że (x_n, x_n+1) ∈ R dla wszystkich n ∈ N. Ta zasada jest również znana jako Aksjomat Wyboru Zależnego. Jest słabszy niż Aksjomat Wyboru, i zwykle jest zastępowany Aksjomatem Wyboru jeśli założono Aksjomat Określoności

principle inclusion-exclusion [zasada włączenia-wyłączenia] : Kombinatoryczna formuła dla kardynalności sumy skończonego zbioru ,zbiorów skończonych/. W przypadku dwóch zbiorów, formuła to |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| Dla r dowolnie skończonych zbiorów A_1>, …, A_r formuła ta to:

gdzie druki zakres sumy nad wszystkimi n-krotkami liczb naturalnych (k₁,… , k_n) takich ,że 1 ≤ k₁ < … < k_n ≤ r

product [iloczyn] : Ogólny termin używany dla wyniku uzyskanego przez zastosowanie jakiejś operacji, zwykle nazywanej mnożeniem. Na przykład iloczyn liczb naturalnych, iloczyn liczb zespolonych, iloczyn funkcji rzeczywistych, iloczyn kartezjański zbiorów, iloczyn macierzy, iloczyn liczb kardynalnych, iloczyn elementów grupy, iloczyn obiektów w kategorii

product bundle [iloczyn wiązki] : Utworzony przez wzięcie iloczynu tensorowego włókien (dwóch wiązek wektorowych E i E′ nad B) nad każdym punktem B. Zatem, iloczyn tensorowy dwóch wiązek prostych jest ponownie wiązką prostych. Wiązki prostych nad przestrzenią formują grupę w odniesieniu do tego iloczynu; grupa tożsamościowa jest wiązką trywialną B x R → B

product category [kategoria iloczynowa] : Niech C₁, … ,C_n będą kategoriami. Iloczyn C₁ x … x C_n jest kategorią której obiekty są n-krotkami (A₁, … ,A_n), gdzie każde A_i jest obiektem C_i , a morfizmy są n-krotkami (f₁, … ,f_n) z każdym f_i jako morfizmem C_i; złożenie morfizmu definiuje składowe : (f₁, … ,f_n) o (g₁, … ,g_n) = (f₁ o g₁ ,… f_n o g_n) .Iloczyn dowolnej liczby kategorii jest definiowany podobnie

product metric [metryka iloczynowa] : Metryka na skończonym iloczynie przestrzeni metrycznych definiowana jest przez wzór

gdzie d_i jest metyrką na X_i a (x₁, … x_n), (y₁, … y_n) ∈ x₁ x … x X_n. Ta definicja pokazuje ,że skończony iloczyn przestrzeni metryzowalnych jest metryzowalny

product of cardinal numbers [iloczyn liczb kardynanych] : Iloczyn pewnych liczb kardynalnych jest liczbą kardynalną, która jest równoliczna z iloczynem kartezjańskim danych liczb kardynalnych. Jeśli κ i λ są liczbami kardynalnymi, κ ⋅ λ oznacza ich iloczyn kadynalny

products of objects [iloczyn obiektów] : Załóżmy ,że C jest kategarią a {A_i : i ∈ I} jest rodziną obiektów C, gdzie I jest pewnym zbiorem indeksowanym . Niech p_i : A → A_i będzie morfizmem dla każdego i ∈ I. Krotka (A;p_i : i ∈ I) jest iloczynem tej rodziny, jeśli , dla każdego obiektu B z C i każdego zbioru morfizmów f_i : B → A_i, dla i ∈ I, istniej jednoznaczny morfizm f : B → A taki ,że p_i o f = f_i , dla wszystkich i &sin; I. Morfizmy p_i są zazwyczaj nazywane morfizmami rzutowymi

product space [przestrzeń ilorazowa] : Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru przestrzeni topologicznych {X_α}_{α ∈ A} z topologią iloczynową

product topology [topologia produktowa] : Standardowa topologia dla iloczynu ∏_αX_α przestrzeni topologicznych. Podstawa jest dana przez zbiórw postaci ∏_αU_α gdzie U_α jest otwartym podzbiorem z X_α i U_α = X_α dla wszystkich ale skończenie wielu wskaźników α. Topologia produktowa jest topologią najmniejszą w przestrzeni iloczynowej, co tworzy wszystkie odwzorowania rzutowe ciągłymi

projection map [odwzorowanie rzutowe] : Odwzorowanie p_α z iloczynu kartezjańskiego ∏_αX_α przestrzeni topologicznych do X_α, definiowane dla każdego α, przez p_α({x_α}) = x_α

projective geometry [geometria rzutowa] : System aksjomatyczny wyrosły z rysunku perspektywicznego z okresu Renesansu; jeden charakterystyczny aksjomat mówi ,że dowolne dwie proste na płaszczyźnie rzutowej mają dokładnie jeden punkt wpsólny. Analitycznie, przestrzeń rzutowa Pⁿ wymiaru n może być dana przez współrzędne rzutowe (x₀ : … : x_n), które określają punkt do przeskalowania (λx₀ : … : λx_n) przez niezerową liczbę λ, i spełnia warunek ,że co najmniej jedno x_i jest niezerowe. Zatem, zbiór prostych zawierających początek w R³ daje model dla płaszczyzny rzutowej P² .W niej, proste odpowiadają płaszczyznom przez punkt początkowy i punkt przecięcia prostej wspólnej dwó płaszczyzną

projective set [podzbiór rzutowy] : Podzbiór rzutowy fomuje rozszerzoną hierarchię hierarchii Borela w przestrzeni polskiej X. Niech &sum:₁¹ oznacza zbiór wszystkich zbiorów analitycznych w X. Dla n ≥ 1 niech
∏_n¹ = {A ⊆ X:X \ A ∈ ∑_n¹}
a wtedy niech ∑_n+1¹ będzie zbiorem wszystkich rzutów ∏_n¹ zbiorów w X x N^N, gdzie N^N jest przestrzenią Baire′a. Niech Δ_n¹ = ∑_n¹ ∩ ∏_n¹, wtedy zbiory w

są zbiorami rzutowymi. Formują one hierarchię ponieważ dla każdego n ≥ 1
∑_n¹ ∪ ∏_n¹ ⊆ Δ_nⁿ⁺¹ = ∑_nⁿ⁺¹ ∩ ∏_nⁿ⁺¹
Dodatkowo
Δ₁¹ = Borel
Klasy rzutowe ∑_n¹,∏_n¹ i Δ_n¹ są również znane jako klasy punktu Lusina

proof [dowód] : W logice pierwszego rzędu, niech L będzie językiem pierwszego rzędu i rozważmy określony rachunek predykatów dla L, z Λ zbiorami logicznych aksjomatów. Niech α będzie dobrze ułożon formuła z L. Dowód z α w rachunku predykatów jest ciągiem α₁, α₂, … , α_n dobrze ułożonych formuł z L takim ,że α_n = α i taki ,że dla wszystkicj i , 1 ≤ i ≤ n albo
(i)α_i ∈ Λ (tzn. α_i jest aksjomatem logicznym
albo
(ii)Istnieje 1 ≤ j₁ < … < j_k < i takie ,że α_ij₁, … , α_jk używając zasady interferencji (Wartoś k zależy od zasady interferencji; na przykład, jeśli zasada interferncji to modus ponens, wtedy k = 2)
Formuła α jest udowadnialna z rachunku predykatów (zapis : |- α) jeśli istnieje dowód z α z rachunku predykatów. Jeśli Γ jest zbiorem dobrze ułożonych formułz L, wtedy dowód α z Γ jest ciagiem α₁,α₂, … , α_n dobrze ułożonych formuł z L, taki ,że α_n = α i taki ,że dla wszystkich i, 1 ≤ i ≤ n, albo
(i)α_i ∈ Γ ∪ Λ
albo
(ii)Istnieje 1 ≤ j₁ < … < j_k < i takie ,że α_i może być wydedukowany z α_j1, … , α_jk, używając zasady interferencji. Formuła α jest udowadnialna z Γ w rachnku predykatów (zapis : |- α) jeśli istnieje dowód α z Γ w rachunku predykatów. Zapis dowodu w logice zdaniowej jest całkowicie analogiczna. Zapis dowodu w logice formalne jest również nazywana dowodem formalnym lub dedukcją

proper fraction [ułamek właściwy] : Dodatnia liczba wymierna a/b gdzie a I b są dodatnimi liczbami całkowitymi i a < b. Na przykład 15/38 jest ułamkiem właściwym, podczas gdy 15/8 jest ułamkiem niewłaściwym

properly discontinuous transformation group [właściwa nieciągła grupa transformacji] : Grupa G działająca właściwie nieciągle w przestrzeni X, jeśli dla każdego x w X, istnieje otwarte otoczenie U, tak ,że ilekroć g nie jest tożsamością w G, U ∩ gU jest puste. Właściwe nieciągłe grupy transformacji są przydatne dla studiowania przestrzeni pokrytych, które są dane przez odwzorowanie X → Y tak ,że dowolny punkt w Y ma (spójne) otoczenie U , którego przeciwobraz jest sumą rozłączną zbiorów otwartych X każdy homoemorficzny do U. Określona instancja tegi jest pokryciem przestrzeni homogenicznej przez grupę Lie: inkluzja grup Lie H → G ma przestrzeń warstwy G/H która dziedziczy topologię ilorazową z G; przekształcenie ilorazowe G → G/H jest odwzorowaniem nakrywającym

proper subset (of a set) [podzbiór właściwy (zbioru)] : Zbiór S jest właściwym podzbiorem zbioru T jeśli S jest podzbiorem T ale S nie jest równy T. Zatem, zbiór nie jest właściwym podzbiorem samego siebie. Na przykład {3,10} jest właściwym podzbiorem {3,10,47}. Zapis nie jest całkowicie jednostajny. Jeśli S jest właściwym podzbiorem z T, wielu oznacza go przez S ⊂ T

propositional calculus [rachunek zdań] : Syntaktyczna część logiki zdaniowej. Rachunek zdań jest systemem formalnym, składającym się z alfabetu, zbioru dobrze ułożonych formuł, określonego zbioru dobrze sformułowanych formuł, które są nazywane aksjomatami , i listy zasad dedukcji. Dobrze ułożone formuły, które są aksjomatami są formułami, które są intuicyjnie oczywiste ,i powinny być tautologiczne. Typowym aksjomatem, który może wystąpić w rachunku zdań będzie
(&alpga; → (β → α))
gdzie α i β są dobrze ułożonymi formułami zdaniowymi (to znaczy w rzeczywistości nazywane schematem aksjomatu, niż aksjomatem, ponieważ jest nieskończenie wiele aksjomatów tej postaci, po jednym dla każdego różnego wyboruz α i β. Typowa zasada dedukcji w rachunku zdań to modus ponens. Rachunek zdań , używając aksjomatów i zasad dedukcji, jest używany do udowadniania twierdzeń. Ponieważ wybór aksjomatów i zasad dedukcji nie jest ważny, ważne jest że rachunek zdań jest logiczny (tzn. dobrze ułożone formuły , które są udowadniane z systemu formalnego powinny być tautologią) i kompletny (tzn. tautologia powinna być udowadniana z systemu formalnego)

propositional logic [logika zdań] : Logika formalna z następującymi symbolami alfabetycznymi
(i)( , ) (nawisay okrągłe)
(ii)¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ (spójniki logiczne)
(iii)A₁,A₂,A₃, … (symbole nielogiczne)
Często lista logicznych spójników w pozycji (ii) jest skrócona do kompletnej listy logicznych spójników, takich jak {¬ , →} .Symbol A_n jest nazywany n-tym symbolem zdaniowym.. Symbole zdaniowe nie mają znaczenia , chociaż używają prawdziwych przypisani, które mogą być interpretowane jako prawda albo fałsz. Logika zdaniowa ma zasady, które mówią jakie wyrażenia z języka są dobrze ułożonymi formułami. Rachunek zdań jest używany do tworzenia twierdzeń logiki zdaniowej. Prawdziwe przypisanie prowadzi do zpisu semantycznego prawdy w logice zdaniowej, podczas gdy rachuenk zdań podaje syntaktyczny zapis dowodzenia

pseudozwarta przetsrzeń topologiczna : Przestrzeń topologiczna X z taką właściwością ,że każda ciągła funkcja rzeczywista definiowana w X jest ograniczona. Przestrzeń pseudozwarta odgrywa znaczącą rolę w teorii C^*-algebr

pseudorozmaitość : Kompleks symplicjalny S , który jest sumą n- sympleksów (dla pewnego n) i spełaniający:
(i)każda n-1-sympleks z S jest ścianką dokładnie dwóch n-sympleksów 0, σ₁, … , σ_k = σ′ przy σ_i ∩ σ_i+1 n-1 sympleksu z S. Pseudorozmaitość współdzieli kluczową własność homologiczną z rzeczywistymi rozmaitościami; mianowicie H_n(S) = Z jeśli S jest orientowalne i H_n(S) = 0 w przeciwnym razie

pseudopierwsza liczba : 1.Nieparzysta liczba całkowita złożona, n , z taką właściwością ,że 2ⁿ ≡ 2 (mod n). To znaczy, n jest liczbą pseudopierwszą jeśli n jest dzielnikiwem 2 - 2. Nazwa wywodzi się z faktu ,że jeśli p jest liczbą pierwszą, wtedy a^p ≡ a (mod p) dla wszystkich liczb całkowitych a. 2.Liczba całkowita złożona n taka ,że aⁿ ≡ a (mod n) dla wszystkich liczb całkowitych a jest liczbą absolutnie pseudopierwszą

pitagorejskie ciało : Ciało, F, w którym suma kwadratów dwóch elementów z tego ciała jest kwadratem elementu tego ciała. To znaczy, F jest pitagorejskie, jeśli , dla każdego a i b w F, istnieje c w F takie ,że a² + b² = c² . Liczby wymierne nie są pitagorejskie ponieważ 1² + 1² = 2 nie jest kwadratem liczby wymiernej. Jednakże, liczby rzeczywiste są ciałem pitagorejskim ponieważ √a² + b² jest liczbą rzeczywistą kiedy a i b są rzeczywiste

pitagorejski trójkąt : Trójkąt dodatnich liczb całkowitych (a,b,c) spełniających równanie a² + b² = c². Jeśli (a,b,c) jest trójkątem pitagorejskim i a,b i c są względnie pierwsze, wtedy (a,b,c) są znane jako pierwotny trójkąt pitagorejski. Można wykazać ,że albo a albo b (albo obie) muszą być parzyste jeśli (a,b,c) jest trójkątem pitagorejskim. Faktycznie , (a,b,c) jest trójkątem pitagorejskim jeśli i tylko jeśli istnieją liczby całkowite dodatnie k,m i n takie ,że gcd(m,n) = 1 , dokładnie jedna z m lub n jest parzysta, a = (m² - n²)k, b = 2mnk a c= (m² + n²)k, dostarczając formuły dla wygenerowania wszystkich trójkątów pitagorejskich